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解直角三角形及应用 培优练习
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解直角三角形及应用 了解解直角三角形的含义 ★
会解直角三角形，能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题 ★★
能综合应用直角三角形的性质解决有关问题
二、核心纲要
1.直角三角形的性质(如下表所示)
如下右图所示，在 中, 的对边分别为a，b，c，斜边中线长为d.
边的关系 a +b =c (勾股定理);;d=c(直角三角形斜边中线等于斜边一半)
角的关系 ∠A+∠B=90°
边角关系 ,
2.解直角三角形
(1)定义：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.
(2)解直角三角形的基本类型(如下表所示).
类型 已 知 解 法
两边 两直角边 a,b 由tanA=,,求∠A;∠B=90°-∠A;c=
一直角边a，斜边c 由sinA=,求∠A;∠B=90°-∠A;b=
一边一锐角 一直角边 a，锐角 A ∠B=90°-∠A. b=a·tanB. c=
斜边c,锐角 A ∠B=90°-∠A,a=c·sinA,b=c·cosA
注：有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除，取原避中，化斜为直.3.几种常见的三角形(如下表所示)
图 形
角 度 30°,60° 45°,45° 30°,45° 45°,60°
三边之比 a:b:c=1: :2 a:b:c=1:1:
辅 助 线 过点 A 作 AD⊥BC 过点 A 作 AD⊥BC
4.相关概念
(1)仰角和俯角都是视线与水平线所成的角，视线在水平线上方的角叫做仰角；视线在水平线下方的角叫做俯角.如下左图所示.
(2)如下中图所示，坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比). 用字母 i 表示，即 坡度一般写成1：m的形式，如 i=1：5 等.把坡面与水平面的夹角，记作α(叫做坡角)，那么 =tanα.
(3)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于9 °的水平角，叫做方向角.如下右图所示，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东 南偏东 (东南方向)，南偏西( ，北偏西 (西北方向).
本节重点讲解：一个性质，四个图形，五个概念.
三、全能突破
基础演练
1.在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5m，那么这两树在坡面上的距离AB 为( )m.
A.5cosα C.5sinα
2.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图 28-2-1 所示，此时测得地面上的影长为8m，坡面上的影长为4m.已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1m 且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2m，则树的高度为( )m.
B. 12 D.10
3.图28-2-2 所示是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为 O，直径 AB 是河底线，弦 CD 是水位线， 且( 于点E.已测得 根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过 小时才能将水排干.
4.如图 28-2-3所示,在 中, 求 的面积.
5.小红在学习教科书上相关内容后自制了一个测角仪(如图28-2-4(a)所示)，并尝试用它来测量校园内一座教学楼 CD的高度(如图28-2-4(b)所示).她先在 A 处测得楼顶C的仰角( 再向楼的方向直行10米到达B处，又测得楼顶C的仰角β=60°,，若小红的目高(眼睛到地面的高度)AE 为 1.60米，请你帮助她计算出这座教学楼CD的高度(结果精确到0.1米，参考数据：
6.图28-2-5 是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带 AB 长为4m.
(1)求新传送带 AC的长度.
(2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2m的通道，试判断距离 B点 4m的货物 MNQP 是否需要挪走，并说明理由(计算结果精确到0.1m，参考数据：
7.如图28-2-6所示，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机欲测量一岛屿两端A、B的距离，飞机在距海平面垂直高度为 100米的点 C 处测得端点 A 的俯角为( ，然后沿着平行于 AB 的方向水平飞行了 500米，在点 D 测得端点 B 的俯角为 ，求岛屿两端A、B的距离(结果精确到 0.1 米，参考数据： 1.73
8.如图 28-2-7 所示，一艘货轮在 A 处发现其北偏东 方向有一海盗船，立即向位于正东方向 B 处的海警舰发出求救信号，并向海警舰靠拢，海警舰立即沿正西方向对货轮实施救援，此时距货轮 200 海里，并测得海盗船位于海警舰北偏西 60°方向的C处.
(1)求海盗船所在 C处距货轮航线AB 的距离.
(2)若货轮以45 海里/时的速度从 A 处向正东方向海警舰靠拢，海盗船以 50 海里/时的速度由 C 处沿正南方向对货轮进行拦截：问海警舰的速度应为多少时才能抢在海盗之前去救货轮(结果保留根号)
能力提升
9.一副直角三角板按图28-2-8 所示放置,点C 在 FD 的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=30°,∠A=45°,AC=12/2,则CD的长为 .
10.学校校园内有一小山坡，如图28-2-9 所示，经测量，坡角. 斜坡 AB 长为 12m.为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡 BD 的坡比是1：3(即为CD 与BC 的长度之比)，A、D 两点处于同一铅垂线上，则开挖后小山坡下降的高度 AD为 m.
11.如图28-2-10 所示,△ABC 内接于⊙O,BC=m,锐角.∠A=α,,则⊙O 的半径为 ,△ABC的△ABC面积的最大值为 .
12.在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3，0)，点 B 为y轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2,设tan∠BOC=m,则m的取值范围是 .
13.如图 28-2-11 所示,四边形 ABCD中,CD= ,∠BCD=90°,∠B=60°,∠ACB=45°,∠CAD=30°,求 AB 的长.
14.如图28-2-12所示,在四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点E,∠DAB=∠CDB=90°,∠ABD=45°,∠DCA=30°,AB= 求 AE的长和△ADE 的面积..
15.小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图28-2-13 所示，把一张长方形卡片AB-CD放在每格宽度为 12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α=36°，求长方形卡片的周长.”请你帮小艳解答这道题(结果精确到 1mm).
中小学教育资源及组卷应用平台
16.超速行驶是引发交通事故的主要原因之一.上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速.如图28-2-14 所示，观测点设在 A 处，离益阳大道的距离 AC 为 30m.这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从 B 处行驶到C 处所用的时间为8s，
(1)求 B、C 两点的距离.
(2)请判断此车是否超过了益阳大道 60km/h 的限制速度
(计算时距离精确到1m，参考数据：sir ,60km/h≈16.7m/s)
17.如图28-2-15 所示,某防洪指挥部发现长江边一处长 500m,高 10m，背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形 AB-CD)急需加固.经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 3m，加固后背水坡EF 的坡比
(1)求加固后坝底增加的宽度 AF.
(2)求完成这项工程需要土石多少立方米(结果保留根号)
18.如图28-2-16所示,在△ABC中,BC=3,AC=2,P 为BC 边上一个动点,过点 P作 PD∥AB,交 AC 于点D,连接BD.
(1)若∠C=45°,请直接写出:当 时,△BDP 的面积最大.
(2)若∠C=α为任意锐角,则当点 P 在 BC 上何处时,△BDP 的面积最大
中考链接
19.(杭州)如图 28-2-17 所示,在 Rt△ABO 中,斜边 AB=1.若OC∥BA,∠AOC=36°,则( ).
A.点 B到AO 的距离为 sin54°
B.点 B 到AO 的距离为 tan36°
C.点 A 到OC 的距离为
D.点 A 到OC 的距离为
20.(张家界)黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图28-2-18(a)所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图28-2-18(b)所示,其中∠B=∠D=90°,AB=BC=15km,CD=3 km,请据此解答如下问题：
(1)求该岛的周长和面积(结果保留整数，参考数据
(2)求∠ACD 的余弦值.
巅峰突破
21.如图 28-2-19所示,在△ABC中,∠A=60°,∠C=80°,∠C的平分线与∠A 的|外角平分线交于点 D,连接 BD,则 tan∠BDC的值是( ).
A.1
22.如图28-2-20 所示,在△ABC中,D 为边 BC 上一点, AD=2,若△ADC的面积为 则∠BAC= .
基础演练
1. B 2. A 3.10
4.过点 C作CD⊥AB于点D,
在 Rt△ACD中,∠A=30°,∴CD=AC·sin A=√ ,
在 Rt△BCD中.∠B=45°,则 BD=CD= .
∴AB=AD+BD=3+ .
5.∵α=30°,β=60°,∴∠ECF=β-α=30°.
∴CF=EF=10.
在 Rt△CFG中,CG=CF·cosβ=5√ .
∴CD=CG+GD=5 +1.6≈10.3.
答：这座教学楼的高度约为 10.3m.
6.(1)如下图所示,作 AD⊥BC 于点 D.
在 Rt△ABD中.
在Rt△ACD 中,∵∠ACD=30°,∴AC=2AD=4/2≈5.6.
即新传送带 AC的长度约为 5.6m；
(2)结论:货物 MNQP 应挪走。
在 Rt△ABD中.
在 Rt△ACD中,CD=ACcos30°=2 .
∴CB=CD-BD=2 -2 =2( - )≈2.1.
∵PC=PB-CB≈4-2.1=1.9<2.
∴货物 MNQP 应挪走.
7.如下图所示,过点 A 作AE⊥CD 于点 E,过点 B 作 BF⊥CD于点F,
∵AB∥CD,∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°.
∴四边形ABFE为矩形.∴AB=EF,AE=BF.
由题意可知:AE=BF=100m,CD=500m.
在 Rt△AEC中,∠C=60°,AE=100m.
在 Rt△BFD中,∠BDF=45°,BF=100.
∴DF=100m.
∴AB=EF =CD+DF-CE=500+100-100/3≈542.3m.
答:岛屿两端A、B的距离为542.3m.
8.(1)如下图所示,过点 C作AB 的垂线CD,设 CD的长为x，那么可知：
∵∠CAD=90°-45°=45°.
∴在Rt△ACD中,AD=CD=x.
∵∠CBD=90°-60°=30°,
∴在Rt△CBD中.
-100.
(2)设海警舰的速度应为 y才能抢在海盗之前去救货轮.海盗从C点到D点所用的时间为： 海警舰要抢在海盗之前去救货轮，则((2 -2)y≥ ×(100 -100)
∴y≥50
答：(1) 海盗船所在 C 处距货轮航线AB 的距离为(100 -100)海里
(2)海警舰的速度应为50/3海里/时才能抢在海盗之前去救货轮.
能力提升
9.12-4/3 10. 6-2/3
13.过点 D 作 DE⊥AC于点E,过点 A 作AF⊥BC于点 F.
∵∠ACB=45°,∠BCD=90°.
∴∠ACD=45°.∵CD=/2,∴DE=EC=1.
∵∠CAD=30°.∴AE= .∴AC= +1.
14.如下图所示,过点 A 作AF⊥BD于点F.
∵∠CDB=90°.∠1=30°.∴∠2=∠3=60°.
在△AFB中,∠AFB=90°.∵∠4=45°,AB= .、
在△AFE中,∠AFE=90°.∴EF=1. AE=2.
在△ABD中,∠DAB=90°.∴DB=2 .
∴DE=DB-BF-EF= -1.
15.作 BE⊥l于点E,DF⊥l于点F.
∵∠α+∠DAF=180°-∠BAD= 180°-90°= 90°.
∴∠ADF=∠α=36°.根据题意,得
BE=24mm,DF=48mm.
在 Rt△ABE中.
在 Rt△ADF中,
∴矩形 ABCD 的周长=2×(40+60)=200mm.
16.(1)在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=75°,AC=30.∴BC= AC·tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈112m.
(2)∵此车速度 = 112÷8= 14(m/s)<16.7(m/s)=60(km/h)∴此车没有超过限制速度.
18.(1)1.
(2)如下图所示,过点 D作 DE⊥BC 于点 E.∴∠DEC=90°.
设 PB=x.∵BC=3,∴PC=3-x.
在 Rt△DEC中,∠DEC =90°,∠C=α,
∵α为任意锐角.
∴当 时,S△BDP有最大值.
即 P在 BC中点时,△BDP的面积最大.
中考链接
19. C
20.(1)连接AC
∵AB=BC=15km,∠B=90°.
又∵∠D=90°.
∴周长=AB+BC+CD+DA=30+3/2+12/3=30+
4.242+20.784≈55km
面积
巅峰突破
21. D
22.60°

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