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二次函数与三角形的综合 专题探究
一、技巧提炼
1.与等腰三角形、直角三角形综合
问题 作图 求点坐标
“万能法” 其他方法
等腰三角形 已知点 A、B 和直线 l,在l上求点 P,使△PAB为等腰三角形 分别以点 A、B 为圆心，以线段 AB 长为半径作 圆，再作 AB中垂线，两圆和中垂线与l的交点即 为所有P 点 分别表示出点 A、B、P的坐标，再表示出线段 AB、BP、AP 的长度，由 ①AB=AP ②AB=BP ③BP=AP 列方程解出坐标 作等腰三角形底边的 高，用勾股或相似建立等量关系
直角三角形 已知点 A、B 和直线 l,在l上求点P,使△PAB为直角三角形 分别过点 A、B作AB 的垂线，再以线段 AB 为直径作圆，两垂线和圆与 l的交点即为所有 P 点 分别表示出点 A、B、P的坐标。再表示出线段 AB、BP、AP的长度，由 ①AB =BP +AP ②BP =AB +AP ③AP =AB +BP 列方程解出坐标 作 垂 线,用勾股或相似建立等量关系
2.与相似三角形、全等三角形综合
△ABC 与△DEF 相似或全等在没指明对应点的情况下，理论上应分六种情况讨论，但实际问题中通常不超过四种，比如相似常见有如下两种类型，每类分两种情况讨论就可以了.
两个三角形均为直角三角形 两个三角形有一个公共角
若△ABC 与△DEF 相似,∠B=∠E=90°,则: △ABC∽ △DEF 或 △ABC∽△FED 若△ABC 与△AEF 相似,则: △ABC ∽ △AEF 或△ABC∽△AFE
(二)二次函数与直角三角形的综合
3.如下图所示，已知直线 与y轴交于点 A，与x轴交于点 D，抛物线 与直线交于A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0).
(1) 求该抛物线的解析式.
(2) 动点 P 在x 轴上移动,当 是直角三角形时，求点 P 的坐标.
(3) 若点 Q 在抛物线上,且 为直角三角形，请直接写出点 Q的坐标.
4.如下左图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 经过点 B(0,4).
(1)求抛物线的解析式.
(2)设抛物线的顶点为 D，过点 D、B作直线交x轴于点A，点C在抛物线的对称轴上，且C点的纵坐标为 连接 BC、AC.求证: 是等腰直角三角形.
(3)在(2)的条件下，将直线 DB沿y轴向下平移，平移后的直线记为l，直线 l与x轴、y轴分别交于点 是否存在直线l，使 是直角三角形，若存在求出 l的解析式，若不存在，请说明理由.
(三)二次函数与相似三角形的综合
5.如下图所示，二次函数图像的顶点坐标为( 直线 的图像与该二次函数的图像交于A、B 两点,其中 A 点坐标为(3,0),B点在y 轴上.点 P 为线段AB 上的一个动点(点 P 与点A、B不重合)，过点 P 且垂直于x轴的直线与这个二次函数的图像交于点E.
(1)求这个二次函数的解析式.
(2)设点 P 的横坐标为x，求线段 PE的长(用含 x的代数式表示).
(3)点 D 为直线AB 与这个二次函数图像对称轴的交点，若以点 P、E、D 为顶点的三角形与 相似，请求出 P点的坐标.
6.如下图所示，抛物线 交x轴于A、B两点,交y轴于点C,( 的面积为2.
(1)求抛物线的解析式.
(2)若平行于x轴的动直线DE 从点C 开始，以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，分别交 y轴、线段 BC于点 E、D，同时动点 P 从点 B 出发，在线段OB上以每秒2 个单位的速度向原点O 运动.当点 P 运动到点O 时，直线DE 与点 P 都停止运动.连接DP，设点 P 的运动时间为t秒.
①当t为何值时， 的值最小，并求出最小值；
②是否存在t的值，使以 P、B、D为顶点的三角形与 相似.若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
\
7.如下图所示，已知抛物线 (b是实数且 与x轴的正半轴分别交于点A、B(点 A 位于点B 的左侧)，与 y轴的正半轴交于点C.
(1)点B 的坐标为 ，点 C 的坐标为 (用含b的代数式表示).
(2)请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形 如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由.
(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得 和 中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)，如果存在，求出点 Q的坐标；如果不存在，请说明理由.
8.如下左图所示，已知直线. 与抛物线 交于点 A(3,6).
(1)求直线. 的解析式和线段OA 的长度.
(2)点 P 为抛物线第一象限内的动点，过点 P 作直线PM，交x轴于点M(点 M、O不重合)，交直线 OA于点 Q，再过点 Q作直线 PM 的垂线，交 y轴于点 N.试探究：线段 QM 与线段QN 的长度之比是否为定值 如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由.
(3)如下右图所示，若点 B 为抛物线上对称轴右侧的点，点 E 在线段OA 上(与点 O、A 不重合)，点 D(m，0)是x轴正半轴上的动点，且满足 继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个
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(四)二次函数与全等三角形的综合
9.如下图所示，抛物线 的顶点为A，直线 与y 轴的交点为B，其中 m
(1) 写出抛物线对称轴及顶点 A的坐标(用含 m的代数式表示).
(2) 证明点 A 在直线l上，并求出 的度数.
(3)动点 Q在抛物线对称轴上，问对称轴左侧的抛物线上是否存在点 P，使以 P、Q、A 为顶点的三角形与 全等 若存在，求出 m的值，并写出所有符合上述条件的 P 点坐标；若不存在，说明理由.
1.(1)∵DC∥AB,AD=DC=CB,
∴∠CDB=∠CBD=∠DBA,∠DAB=∠CBA,
∴∠DAB=2∠DBA.
∵∠DAB+∠DBA=90°.
∴∠DAB=60°.∠DBA=30°.
∵AB=4,∴DC=AD=2.
在 Rt△AOD中,OA=1,OD= ,
∴A(-1,0),D(0,/3),C(2, ).
(2)易求 B(3,0).∴解析式为 对称轴l为直线x=1.
(3)△PDB 可以为等腰三角形. 由(1)知 D(0,/3).
B(3.0),设点 P 坐标为(1.1),则
当 PD=PB时. 解得t=0,
∴P(1.0)
当DP=DB时, 解得 /11.∴P(1,/3+ /11)或.P(1./3- /11)
当BP=BD时. 解得t=±2/2,
∴P(1,2/2)或P(1,-2/2)
综上所述，在直线l上，使△PDB为等腰三角形的点 P 有5个，它们的坐标为(1，0)或(1. - /IT) 或(1. + /11)或(1,-2 )或(1.2 ).
2.(1) 过点 B 作 BH⊥x 轴,垂足为 H,易证△BCH≌△CAO,
∴BH=OC=1,CH=OA=2;∴点B的坐标为(-3,1);
∴抛物线解析式为
(2)由点 A(0,2). C(-1.0).可知 如右图所示.
当AD=AC时,
D 点坐标为((0.2+ )
或
当CA=CD时,
D 点坐标为(0.-2);
当 DA=DC 时,设 D 点坐标为(0,y),在△COD 中,
解得
综上，D点坐标为
(3)方法一：①若以 AC为直角边，点 C为直角顶点，则可以设直线BC交抛物线于点P ，由题意，直线BC的解析式为
解得 (舍)
过点 P 作 P M⊥x轴于点M.
在 Rt△P MC中.(
∴CP =AC.∴△ACP 为等腰直角三角形.
②若以 AC为直角边，点 A为直角顶点；
则过点 A 作AF∥BC,交抛物线于点 P ,易得直线AF的解析式为
解得 (舍)
∴P (2.1)
过点 P 作P N⊥y轴于点 N.
在Rt△AP N中..
∴AP =AC.∴△ACP 为等腰直角三角形.
综上所述,在抛物线上存在点 P (1,-1),P (2,1).使△ACP 是以AC 为直角边的等腰直角三角形
方法二：①若以 AC为直角边，点 C为直角顶点；
则延长 BC 至点 P ,使得 P C= BC,得到等腰直角△ACP ,过点 P 作 P M⊥x轴,
由△MP C≌△OCA 可得点 P (1.-1);
②若以AC为直角边，点A 为直角顶点，同理求得点P (2，1);
经检验,点 P (1.-1),P (2.1)均在抛物线 上,使得△ACP 为等腰直角三角形.
3.(1) 抛物线的解折式为
(2)E的坐标为(4,3)
(1)当A为直角顶点时,过 A 作AP ⊥DE交x轴于 P 点,设 P (a,0),易知D点坐标为(-2,0)
由Rt△AOD∽Rt△P OA,得 即
(Ⅱ)同理，当 E为直角顶点时，P 点坐标为( .0)
()当 P 为直角顶点时,过 E 作 EF⊥x 轴于 F,设P (b.0)
由 得∠OP A=∠FEP ,
Rt△AOP ∽Rt△P FE
由 得 解得
∴此时点 P 的坐标为(1.0)或(3.0)
综上，满足条件的点 P 的坐标为( ,0)或(1,0)或(3,0)或
(3)点 Q坐标为 或
提示：如下图所示，由直角构造“三垂直”相似三角形较为简单.
4.(1)16a+6=4解得
抛物线的解析式为：
(2)证明：由抛物线的解析式知：顶点 D 坐标为(-4，6)
∵点C的纵坐标为-4，且在抛物线的对称轴上
∴C点坐标为(-4,-4)
易得 BD解析式为
∴直线BD与x轴的交点A 的坐标为(8,0)
过点C作CE⊥y轴于点E,则CE=4,BE=8
又∵OB=4,OA=8,∴CE=OB,BE=OA,∠CEB=∠BOA=90°
∴△CEB≌△BOA ∴CB=AB,∠1=∠2.
∵∠2+∠3=90°.
∴∠1+∠3=90°,即∠ABC=90°
∴△ABC是等腰直角三角形
(3)存在.方法一：设直线A'B'的解析式为 则 A'(2b,0),B'(0,b),则
+(b+4)
①当 时，解方程得
∴直线l解析式为
②当 时，解方程得b=4，与直线AB重合，舍去；
③当 时,解方程得b=-1.
∴直线l解析式为
方法二：①当 时，如右图所示.
∵A'B'∥AB,∴∠OA'B'=∠BAO易证:. =∠BAO
∴A'坐标为(-2.0)
∴直线l的解析式为
②当 时，如右图所示.
过点 C作CE⊥y轴于点E,
易证△A'FC≌△B'EC ∴A'F=
B'E ∴由(
∴设 B'坐标为(0,n) ∴有
B'坐标为((0,- )∴直线l的解析式为
(2)如右图所示，抛物线与 y轴交点B 的坐标为
易得直线AB的解析式为
∵P为线段AB 上的一个动点，
∴P点坐标为
由题意可知 PE∥y轴,
∴E点坐标为
∵0(3)由题意可知 D点横坐标为x=1，又 D点在直线AB上,∴D点坐标(1,-1).
①当∠EDP=90°时.△AOB∽
如右图所示,过点 D 作 DQ⊥PE于Q,
∴xq=xp=x, yq= -1
∴△DQP∽△AOB∽△EDP
又
又
解得x=-1± (负舍).
如上图中的 P 点)
②当∠DEP=90°时,△AOB∽△DEP,∴B=DE.
由
解得x=1± (负舍).
如上图中的 P 点)
综上所述，P点坐标为( 或
6.(1)如右图所示,由抛物线 y= 得:C(0,-2)
∴OA=OC=2∴A(2.0)
∵△ABC的面积为2∴AB=2
∴B(4,0)
∴设抛物线解析式为y=a(x-2)(x-4),代入点 C(0,-2).
(2)由题意:CE=t,PB=2t,OP=4-2t
∵ED∥BA∴≌=VC即
∵当t=1时-t +2t有最大值 1 ∴当t=1时 的值最小，最小值为1.
②由题意可求：
∵∠PBD=∠ABC
∴以P、B、D为顶点的三角形与△ABC 相似有两种情况
当 时，即 解得：
当 时，即 解得
∴当 或 时，以 P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似.
7.(1)点 B 坐标分别为(b,0),点C坐标为(0,b/4).
(2)假设存在这样的点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于2b.且△PBC是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形.
设点 P 坐标为(x,y),连接OP,
则=2b.∴x+4y=16.
过 P作PD⊥x轴,PE⊥y轴,垂足分别为 D、E.
∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°.
∵△PCB是等腰直角三角形,∴PC=PB,∠CPB=90°.
∴∠EPC=∠DPB.
∴△PEC≌△PDB.∴PE=PD.即x=y.
由 解得
由△PEC≌△PDB 得EC=DB,即 解得 符合题意。
∴P点坐标为
(3)假设存在这样的点 Q.使得△QCO、△QOA 和△QAB中的任意两个三角形均相似.
∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO.∴∠QAB>∠AOQ.∠QAB>∠AQO.
∴要使△QOA 与△QAB 相似,只能∠QOA=∠AQB,此时∠OQB=90°.
由 QA⊥x轴知QA∥y轴,∴∠COQ=∠OQA.
∴要使△QOA 与△OQC 相似,只能∠OCQ=90°或∠OQC
(Ⅰ)当∠OCQ=90°时,△QOA≌△OQC.
则易证△QOA∽△BQA. AQ =OA·AB
得
解得：
∴点Q的坐标是
(Ⅱ)当∠OQC=90°时.△QOA∽△OCQ.
即OQ =OC·AQ.
又OQ =OA·OB,∴OC·AQ=OA·OB,
即
解得:AQ=4,此时b=17>2符合题意。
∴点Q的坐标是(1.4).
∴综上可知，存在点( 或Q(1.4),使得△QCO、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似.
是一个定值，理由如下：
如右图所示，过点 Q 作QG⊥y轴于点G. QH⊥x轴于点 H.
①当 QH 与QM 重合时,显然QG与QN 重合.
此时
②当QH 与QM 不重合时,∵QN⊥QM,QG⊥QH不妨设点 H，G分别在x、y轴的正半轴上，
∴∠MQH=∠GQN.
又∵∠QHM=∠QGN=90°∴△QHM∽△QGN
当点 P、Q 在抛物线和直线上不同位置时，同理可得 =2.
(3)如右图,延长AB交x轴于点 F,过点 F 作FC⊥OA于点C,过点A作AR⊥x轴于点R
∵∠AOD=∠BAE.
∴AF=OF.
∵∠ARO=∠FCO=90°,∠AOR=∠FOC.
∴△AOR∽△FOC,
∴点 F( .0).
设点
过点 B 作 BK⊥AR 于点K,则△AKB∽△ARF,
即
解得 (舍去)∴点 B(6.2).
∴BK=6-3=3,AK=6-2=4,∴AB=5.
(求 AB 也可采用下面的方法)
设直线 AF为y=kx+b(k≠0),把点 A(3,6),点 代入得
舍
去). B(6.2),∴AB=5
在△ABE与△OED中
∵∠BAE=∠BED,∴∠ABE +∠AEB=∠DEO+∠AEB.∴∠ABE=∠DEO.
∵∠BAE=∠EOD,∴△ABE∽△OED.设 OE=x,则AE
由△ABE∽△OED得
∴顶点为
如右图所示，当 时,OE 此 时 E 点 有1个:
当 时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个.
∴当 时，E点只有1个，当 时，E点有2个9.(1) 对称轴为直线x=m,顶点 A(m,0).
(2) 把x=m代入函数 得 ∴点A(m,0)在直线l上,
当x=0时,
(3)如下图所示，以P、Q、A为顶点的三角形与△OAB 全等共有以下四种情况：
∴P 点坐标为
代入抛物线解析式得
点与 B 点重合.
点的坐标为
代入抛物线解析式得
点的坐标为
代入抛物线解析式得
∴符合条件的 P点坐标为
( / ξ.- );(0,-3);(2- ,-3).

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