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实际问题与一元二次方程专项练习
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列一元二次方程解应用题 能根据实际问题，抽象出一元二次方程的实际模型，进而解决实际问题 ★★
二、核心纲要
1.列一元二次方程解决应用题的步骤
(1)审题：明确已知条件和未知条件，以及它们之间的关系.
(2)找等量关系：明确题目中的等量关系.
(3)设未知数：用字母表示未知数，可以直接设未知数也可以间接设未知数.
(4)列方程：根据等量关系列方程.
(5)解方程：选择恰当的方法解方程.
(6)检验：检验所求出的一元二次方程的根是否符合题意.
(7)作答：写出题目最终的答案.
2.一元二次方程实际问题的常见类型
(1)传播问题：传染病的第一轮和第二轮传播，可以抽象为一元二次方程的数学模型.
(2)增长率(或减少率)问题(重点)：以增长率为未知数来设元，便可以转化为求解一元二次方程的问题. 银行储蓄的利率问题，其实也是一种特殊的增长率问题，利率即增长率.
(3)销售问题(重点)：如何选择最优化的方案，获得最大利润或减少成本(方案选择问题).
(4)几何问题：掌握几何图形的性质、周长和面积的计算方法.
(5)行程问题：路程=速度×时间，速度=路程÷时间，时间=路程÷速度，抓住这三个量之间的关系列方程.
(6)数论问题：有些时候也会遇到与位值原理相关问题，题目中明确说明，某一位的位值与其他位的位值之间有平方关系，这种题目也需要用到一元二次方程来求解.
本节重点讲解：一个步骤，一类应用.
三、全能突破
基础演练
1.某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为 148元，下列所列方程正确的是( ).
） ） % ） )
2.为了美化环境，某市加大对绿化的投资.2007年用于绿化投资 20万元，2009 年用于绿化投资 25 万元，求这两年绿化投资的年平均增长率.设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据题意所列方程为( ).
B.20(1+x)=25
3.在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图21-3-1 所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm ,设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是( ).
4.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有( )人.
A.12 B.10 C.9 D.8
5.矩形的周长为8，面积为1，则矩形的长和宽分别为 .
6.在实数范围内定义运算“ ”，其法则为：( 求方程(4 3) x=24 的解.
能力提升
7.有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长是第一块宽的3倍，宽比第一块的长少2m，已知第二块木板的面积比第一块大 108m ，这两块木板的长和宽分别是( ).
A.第一块木板长 18m,宽 9m,第二块木板长 27m,宽 16m
B.第一块木板长12m,宽 6m,第二块木板长 18m,宽 10m
C.第一块木板长 9m,宽4.5m,第二块木板长 13.5m,宽 7m
D.以上都不对
8.一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大 3，则这个两位数为( ).
A.25 B.36 C.25 或36 D.-25 或-36
9.甲用 1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲获利了 元.
10.张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1m的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m 的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2m，现已知购买这种铁皮每平方米需20元，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元
11.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长25m)，另三边用木栏围成，木栏长 40m.
(1)鸡场的面积能达到 吗
(2)鸡场的面积能达到： 吗
12.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑 若病毒得不到有效控制，3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 700台
13.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件.
(1)若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元
(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多
14.某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的进价为27 万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内(含 10 辆)，每辆返利0.5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万元.
(1)若该公司当月售出3 辆汽车，则每辆汽车的进价为 万元.
(2)如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月赢利 12 万元，那么需要售出多少辆汽车 (赢利=销售利润+返利)
15.如图21-3-2所示，将正方形沿图中虚线(其中x(1)画出拼成的矩形的简图.
(2)求 的值.
16.甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为 m元的商品，甲超市连续两次降价20%；乙超市一次性降价40%；丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品，最划算的超市是 .
17.某楼盘准备以每平方米 6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售.
(1)求平均每次下调的百分率.
(2)某人准备以开盘价均价购买一套 100m 的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：
①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠
18要在一块长52m，宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路.下面分别是小亮和小颖的设计方案.
(1)求小亮设计方案中甬路的宽度x.
(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积(友情提示：小颖设计方案中的x与小亮设计方案中的x取值相同).
巅峰突破
19.如图 21-3-4 所示,在△ABC中,. 点P 从点 A 开始,沿 AB 边向点 B 以 1cm/s的速度移动,点 Q从点 B 开始,沿 BC 边向点C 以2cm/s的速度移动,如果 P、Q两点同时出发，
(1)几秒后△PBQ的面积等于
(2)如果 P、Q分别从A、B同时出发,几秒后 PQ的长度等于 5cm
(3)在(1)中,△PQB的面积能否等于 说明理由.
20.如图 21-3-5 所示,在△ABC 中, 于点 D,将. 沿AB 所在的直线折叠,使点 D 落在点E 处;将△ACD 沿AC 所在的直线折叠,使点 D落在点 F 处,分别延长 EB、FC使其交于点 M.
(1)判断四边形 AEMF的形状，并给予证明.
(2)若 BD=1,CD=2,试求四边形 AEMF 的面积.
基础演练
1. B 2. C 3. B 4. C 5.2+/3.2-/3
6. x =5. x =-5
能力提升
7. B 8. C 9.1
10.设长方体的长为xm,则宽为(x-2)m,根据题意,得:
x(x-2)·1=15.解得: (舍).
原矩形铁皮的面积为:(x+2)x=7×5=35m .
∴张大叔购回这张矩形铁皮共花了35×20=700元.
11.(1)设鸡场的一边长为xm,则另一边长为(40-2x)m,若面积能达到 180m ，根据题意，得：
x(40-2x)=180. 解得:
∵0<40-2x≤25,∴7.5≤x<20.
∴当鸡场的一边长为 时,面积达到180m .
(2)∵x(40-2x)=-2(x-10) +200.
∴鸡场的最大面积为 200m .
∴鸡场的面积能不能达到210m .
12.设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，根据题意，得:(1+x) =81.
解得： (舍).
∴3轮感染后,被感染的电脑为(1+8) =729>700.
答：每轮感染中，平均一台电脑会感染8台电脑；3 轮感染后，被感染电脑的台数会超过700台.
13.设平均每天利润为w元，每件衬衫降价 x元，根据题意,得:
(1)当w=1200时,
解得:x =10,x =20.
根据题意要尽快减少库存，所以应降价 20元.
答：每件衬衫应降价 20元.
(2)由(1)可知当x=15元时,商场盈利最多,共1250元.答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多.
14.(1)26.8,
(2)设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润为：
28-[27-0.1(x-1)]=(0.1x+0.9)万元,
当0≤x≤10,根据题意,得x·(0.1x+0.9)+0.5x=12.整理，得
解这个方程,得x =-20(不合题意,舍去),x =6.
当x>10时,根据题意,得x·(0.1x+0.9)+x=12,整理,得x +19x-120=0.
解这个方程，得x =-24(不合题意,舍去),x =5.
因为5<10,所以 舍去，
答：需要售出6部汽车.
15.(1)如下图所示
(2)由拼图前后的面积相等得：:[(x+y)+y]y=(x+y) .
因为y≠0,整理得:
解得： 负值不合题意，舍去).
中考链接
16.乙
17.(1)设平均每次下调的百分率x，则6000(1-x) =4860.
解得:x =0.1. x =1.9(舍去).
∴平均每次下调的百分率为 10%.
(2)方案①可优惠:4860×100×(1-0.98)=9720元
方案②可优惠:100×80=8000 元.
方案①更优惠.
18.(1)根据小亮的设计方案列方程得：
(52-x)(48-x)=2300
解得： (舍去)
∴小亮设计方案中甬道的宽度为2m.
(2)作 AI⊥CD,HJ⊥EF,垂足分别为I,J,
∵AB∥CD,∠1=60°,∴∠ADI=60°.
∵BC∥AD,∴四边形 ADCB为平行四边形.
∴BC=AD.
由(1)得x=2,∴BC=HE=2=AD.
在 Rt△ADI中,AI= .∵∠HEJ=60°,∴HJ= .
∴小颖设计方案中四块绿地的总面积为：
巅峰突破
19.(1)设x秒后,△PBQ的面积等于 4cm ,此时AP=xcm,
BP=(5-x) cm,BQ=2xcm.
整理得： 解得：
当x=4时,2x=8>7,此时Q点越过C点,不符合要求.
∴1秒后△PBQ的面积等于4cm .
(2)在 Rt△BPQ中,BP +BQ =25.
即( 整理得：
解得： 舍去)
∴2秒后 PQ的长度等于5cm.
(3)由(1)得: 整理得： 易判断此方程无实数根.
∴△PQB的面积不能等于7cm .
20.(1)∵AD⊥BC,△AEB是由△ADB折叠所得,
∴∠1=∠3,∠E=∠ADB=90°,BE=BD, AE=AD.
又∵△AFC 是由△ADC 折叠所得,
∴∠2=∠4.∠F=∠ADC=90°. FC=CD,AF=AD.
∴AE=AF.
又∵∠1+∠2=45°,∴∠3+∠4=45°.∴∠EAF=90°.
∴四边形 AEMF 是正方形.
(2)设正方形 AEMF的边长为x,根据题意知:BE=BD,CF=CD.
∴BM=x-1; CM=x-2.
在 Rt△BMC中,由勾股定理得:
∴(x-1) +(x-2) =9即x -3x-2=0.
解得： (舍)

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