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圆的综合 专题探究
一、技巧提炼
圆的综合题“包罗万象”，所有初中学过的几何图形、函数图像、点线图形的运动等均可以综合在内，解题时应结合各种图形的性质特征，从特殊图形入手，运用分类讨论思想、数形结合思想等思想方法解题.本讲包括以下三个方面.
(一)圆与动态问题的综合
这部分主要包括：由点在圆上的运动而产生的函数图像或函数关系，由直线的运动而产生的线圆位置关系，由圆的运动而产生的线圆位置关系. 其中综合圆的各种定理(如垂径定理、圆周角定理、切线的性质及判定定理等)及中位线定理、勾股、相似等知识点.
(二)圆与函数的综合
包括圆与一次函数、反比例函数、二次函数的综合.
(三)辅助圆及四点共圆
“辅助圆”的方法就是根据题目中的条件，依据圆的定义构造圆，从而解决问题，通常有以下几种情况：
1.平面上有几个点到同一个点距离相等，可构造辅助圆.
2.平面上某动点到某定点的距离相等，可构造辅助圆.
3.构造三角形的外接圆解决问题.
“四点共圆”在解题时应用广泛、灵活多变，甚至有时是其他方法所无法替代的，备受各级各类竞赛(或考试)命题者的青睐.下面给出几个常用的判断四点共圆的依据和方法：
1.四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.
2.四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.
3.线段向同侧所张的角相等，那么角的顶点和线段的端点共圆.
4.到同一个点距离相等的四个点共圆.(注：上述定理1、2、3解题运用时需先证明)
(以下附图说明辅助圆及四点共圆的部分运用)
若平面上点 A、B、C到点 E 的距离相等。即 AE=BE=CE,则A、B、C 三点在以 E为圆心、EA 为半径的圆上 若平面上 A、B、C、D 四个点 满足∠ABC=∠ADC=90°,则 A、B、C、D在以AC 中点 E 为圆心、EA 为半径的圆上(可证 EA=EB=EC=ED) 若平面上A、B、C、D 四个点 满 足∠ABC=∠ACD=90°,则 A、B、C、D在以AD 中点E 为圆心、EA长为半径的圆上(可证 EA=EB=EC=ED) 若平面上A、B、C、D四个点满足∠B+∠D=180°或∠A+∠BCD=180°或∠A=∠DCE,则 A、B、C、D 四个点 在 同一个圆上 若平面上A、B、C、D 四个点满足∠A=∠D 或∠B=∠C,则 A、B、C、D四个点在同一个圆上
2.如下图所示，在 中, ，以点 O为圆心，6 为半径的优弧MN分别交OA、OB 于点 M、N.
(1)点 P 在右半弧上( 是锐角)，将OP 绕点O逆时针旋转 得 求证：
(2)点 T 在左半弧上,若 AT 与弧相切,求点 T 到 OA 的距离.
(3)设点 Q 在优弧MN 上,当 的面积最大时，直接写出 的度数.
3.如下图所示,已知⊙O的半径为6cm,射线 PM 经过点O,( ,射线 PN 与⊙O相切于点 Q. A、B 两点同时从点 P 出发，点 A 以 5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点 B 以 的速度沿射线PN方向运动.设运动时间为 t秒.
(1)求 PQ的长.
(2)当t为何值时,直线AB 与⊙O相切
4.如下左图所示，正方形ABCD 的边长为2，点 M 是 BC 的中点，P 是线段MC 上的一个动点(不与M、C重合),以 AB为直径作⊙O,过点 P 作⊙O的切线,交 AD 于点F,切点为 E.
(1)求证:
(2)设 ，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.
(3)延长 DC、FP交于点G，连接OE 并延长交直线DC 于点 H(如下右图所示)，问是否存在点 P，使 (E、F、O与E、H、G为对应点),如果存在,试求(2)中x 和y的值,如果不存在,请说明理由.
5.如下图所示，直线 分别与y轴、x轴相交于点A、B，且. 一个圆心在坐标原点，半径为1的圆，以0.8 个单位/秒的速度向 y 轴正方向运动.设此动圆圆心离开坐标原点的时间为t (秒).
(1)求直线 AB 的解析式.
(2)如下左图所示，t为何值时，动圆与直线相切
(3)如下右图所示，若在圆开始运动的同时，一动点P 从B 点出发，沿BA方向以1个单位/秒的速度运动，设t秒时点P 到动圆圆心C 的距离为s，求s与t的关系式.
(4)在(3)中，动点 P 自刚接触圆面起，经过多长时间后离开了圆面
6.对于平面直角坐标系xOy中的点P 和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得 ,则称 P 为⊙C的关联点.
已知点
(1)当⊙O的半径为1时,
①在点 D、E、F中,⊙O的关联点是 ;
②过点 F 作直线l 交 y 轴正半轴于点 G，使 若直线 l上的点P(m,n)是⊙O的关联点，求 m的取值范围.
(2)若线段 EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围.
(二)圆与函数的综合
7.如下图所示，在平面直角坐标系xOy中，一动直线l从y轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，直线l与直线. 相交于点P，以OP 为半径的⊙P与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点 B.设直线l的运动时间为t秒.
(1)填空:当。 时,⊙P的半径为 ,OA=_.
(2)若点 C 是坐标平面内一点，且以点 O、P、C、B 为顶点的四边形为平行四边形.
①请你直接写出所有符合条件的点 C的坐标(用含 t的代数式表示) ；
②当点 C在直线. 上方时,过 A、B、C三点的⊙Q与y轴的另一个交点为点D,连接 DC、DA,试判断 的形状，并说明理由.
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8如下左图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P 是反比例函数 图像上任意一点，以 P 为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B.
(1)求证:线段 AB为⊙P的直径.
(2)求 的面积.
(3)如下右图所示，Q是反比例函数 图像上异于点 P 的另一点，以Q为圆心，QO 为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D.求证：
9.如下左图所示，抛物线 与x轴相交于点. ，与 y轴相交于点C， 为 的外接圆，交抛物线于另一点 D.
(1)求抛物线的解析式.
(2)求 的值和 的半径.
(3)如下右图所示,抛物线的顶点为 P,连接 BP、CP、BD,M 为弦 BD 中点,若点 N 在坐标平面内,满足 ，请写出所有符合条件的 N点的坐标.
(三)辅助圆及四点共圆
10.在△ABC中,BA=BC,∠BAC=α,M是AC 的中点,P 是线段BM 上的动点,将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 2α得到线段 PQ.
(1)若α=60°且点 P 与点M 重合(如下左图所示)，线段 CQ 的延长线交射线 BM 于点 D，请补全图形，并写出∠CDB的度数.
(2)在右下图中，点 P 不与点B、M重合，线段CQ的延长线与射线BM 交于点 D，猜想∠CDB 的大小(用含α的代数式表示)，并加以证明.
(3)对于适当大小的α，当点 P 在线段 BM 上运动到某一位置(不与点 B、M重合)时，能使得线段 CQ的延长线与射线BM 交于点D，且 PQ=QD，请直接写出α的范围.
11.阅读下面材料：
小红遇到这样一个问题,如下左图所示,在△ABC中,AD⊥BC,BD=4,DC=6,且∠BAC=45°,求线段 AD的长.
小红是这样想的：作△ABC的外接圆⊙O，如上中图所示，利用同弧所对圆周角和圆心角的关系，可以知道∠BOC=90°,然后过O点作OE⊥BC于点 E,作 OF⊥AD 于点 F,在 Rt△BOC中可以求出⊙O半径及OE,在 Rt△AOF 中可以求出AF,最后利用AD=AF+DF得以解决此题.
请你回答上边中间图中线段 AD 的长为 .
参考小红思考问题的方法，解决下列问题：
如上右图所示,在△ABC中,AD⊥BC,BD=4,DC=6,且∠BAC=30°,则线段 AD的长为 .
12.已知:A、B、C不在同一直线上.
(1)若点 A、B、C均在半径为R的⊙O上,
①如下左图所示，当 时,R=1,求∠BOC 的度数和BC 的长度;
②如下中图所示，当∠A为锐角时，求证：
(2)若定长线段BC的两个端点分别在. 的两边AM、AN(B、C均与点 A 不重合)滑动,如下右图所示，当∠ 2 时,分别作1 ，交点为点 P ，试探索：在整个滑动过程中，P、A两点的距离是否保持不变 请说明理由.
13.如下图所示,在梯形 ABCD 中, ,K、M分别在 AD、BC上, 求证：
1.(1) A (2) A (3) A (4) B
2.(1)如下图所示.
∴∠AOP=∠BOP'.
又∵OA=OB,OP=OP',∴△AOP≌△BOP'.
∴AP=BP'.
(2)连接OT,过点 T作 TH⊥OA 于点H,
∵AT与MN相切,∴∠ATO=90°,
即
解得： 即为所求距离.
(3)10°或170°.
【注：当OQ⊥OA时，△AOQ 面积最大，且左右两半弧上各存在一点】
3.(1) 连接OQ.
∵PN与⊙O相切于点Q,∴OQ⊥PN,即∠OQP=90°.
(2) 过点O作OC⊥AB.垂足为C.
∵点A的运动速度为5cm/s,点B 的运动速度为4cm/s,运动时间为ts.∴PA=5t,PB=4t.
∵∠P=∠P,∴△PAB∽△POQ.
∴∠PBA=∠PQO=90°.
∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°,
∴四边形OCBQ为矩形.∴BQ=OC.
∵⊙O的半径为6,
∴BQ=OC=6时,直线AB与⊙O相切.
①当AB运动到如下左图所示的位置.
BQ=PQ-PB=8-4t.
由 BQ=6,得8-4t=6,解得t=0.5.
②当AB运动到如下右图所示的位置.
BQ=PB-PQ=4t-8.
由 BQ=6,得4t-8=6,解得t=3.5.
所以,当t为0.5s或3.5s时直线AB与⊙O相切.
4.(1)证明:连接OE
FE、FA是⊙O的两条切线,∴∠FAO=∠FEO=90°FO=FO,OA=EO,∴Rt△FAO≌Rt△FEO.
∴∠AOF=∠ABE,∴OF∥BE.
(2)过 F作 FQ⊥BC于点Q.
∴PQ=BP-BQ=x-y,PF=EF+EP=FA+BP=x+y在 Rt△PFQ中,
化简得
(3)存在这样的 P 点
∵∠EOF=∠AOF,∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF
当∠EFO=∠EHG=2∠EOF 时,即∠EOF=30°时, Rt△EFO∽Rt△EHG.
此时Rt△AFO中. ∴当 时.△EFO∽△EHG
5.(1) 由图可知k<0,直线AB与坐标轴的交点A(0,-k)、B(3.0),∵AB=5.∴k=-4,
∴直线AB的解析式为
(2) 设t秒时圆与直线AB 相切,
此时圆心为C ，切点为 D ，如下左图所示，可能出现两种情况,连接C D ,C D
由△AC D ∽△ABO,得
解得
同理由△AC D ∽△ABO,得
解得
∴当 秒或 秒时，圆与直线AB 相切.
(3)如上右图所示.①当t=0时,s=3;
②当0则
即
③当t=5时,s=0.
④当t>5 时,设动圆圆心为 C ,动点 P 在 P 处,连接 C P .
由②同理可知
又当t=0或5时,②中s=3或0,
则综上所述:当0≤t≤5时.
当t>5时.
(4)当动点 P与圆面刚接触时或刚离开时，s=1，
由 代入得 由 代入得t
动点 P 自刚接触圆面起，经过 秒后离开了圆面.
6.(1)①D、E;
②由题意可知，若 P点要刚好是⊙C 的关联点，
需要点 P到⊙C的两条切线 PA 和PB 之间所夹的角为60°,由下图可知∠APB=60°,则∠CPB=30°.
连接BC,则
∴若 P点为⊙C的关联点，则需点 P到圆心的距离d 满足0≤d≤2r;
由上述证明可知，考虑临界点位置的P点，如下图所示，
点 P 到原点的距离 OP=2×1=2.
过点 O 作 OH⊥GF,垂足为 H,
∴∠OGF=60°.
∴∠OPH=60°,
易得点 P 与点 G 重合,过点 P 作 P M⊥x轴于点M.易得
从而若点 P为⊙O的关联点，则 P 点必在线段P P 上，∴0≤m≤ ;
(2)若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段 EF的中点；考虑临界情况，如下图所示。
即恰好 E、F 点为⊙K 的关联时，则 此时,r=1.
故若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径r的取值范围为r≥1.
7.(1)/2. OA=2. OB=2;
(2)①符合条件的点 C有3个，如下图所示，分别为 C (t，3t)、C (-t,t)、C (t,-t);
②△DAC 是等腰直角三角形.理由如下：
当点C在第一象限时，如下图所示，连接 DA、DC、PA、AC,过C作CE⊥y轴于E点.
由①可知,点C的坐标为(t,3t),由点 P 坐标为(t,t),点A坐标为(2t.0),点 B 坐标为(0.2t),可知 OA=OB=2t.△OAB是等腰直角三角形,又PO=PB,进而可得△OPB也是等腰直角三角形,则∠POB=∠PBO=45°.
∵∠AOB=90°,
∴AB为⊙P的直径。
∴A、P、B三点共线,
又∵BC∥OP,
∴∠CBE=∠POB=45°,
∴∠ABC=180°-∠CBE-∠PBO=90°.
∴AC为⊙Q的直径。
∴∠CDA=90°.
在⊙O中,∵∠DBA=45°.∴∠DCA=45°
∴△DAC是等腰直角三角形.
当点C在第二象限时，如下图所示，同上可证△DAC 也是等腰直角三角形.
综上所述，当点C在直线y=x上方时，△DAC必是等腰直角三角形.
8.(1)∵∠AOB=90°,且∠AOB为⊙P的圆周角.
∴ 线段AB为⊙P的直径.
(2)如下左图所示，过点 P 分别作x轴、y轴的垂线，垂足为 F、E.易得四边形 PEOF 为矩形.
设点 P坐标为(x,y),则PE·PF=xy=12.
又PA=PB=PO,∴BE=EO. OF=FA,于是 PE=OF= 2OE·OF=2PE·PF=2xy=24.
(3)由(2)可知BO·OA=2OE·2OF=4xy=48.
如下右图所示，过点 Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为H、G,同理,DO·OC=2GO·2OH=4QG·QH=4×12=48.∴DO·OC=BO·OA.
9.(1)∵抛物线 与x轴相交于点A(-3,0), 解得a=1. b=4,
∴抛物线的解析式为
(2)由(1)知，抛物线解析式为
∵令x=0,得y=3,∴C(0,3),
∴OC=OA=3,则△AOC为等腰直角三角形,
在 Rt△BOC 中,由勾股定理得:
如下左图所示,连接O B、O C.
由圆周角定理得:∠BO C=2∠BAC=90°,
∴△BO C为等腰直角三角形，
∴⊙O 的半径
(3)抛物线
∴顶点 P坐标为(-2,-1),对称轴为x= -2.
又∵A(-3,0),B(-1,0),可知点A、B 关于对称轴x=2对称.如下右图所示，由圆及抛物线的对称性可知：点 D、点 C(0,3)关于对称轴对称,∴D(-4,3).
又∵点M为BD中点.
在△BPC中,B(-1,0),P(-2,-1),C(0,3),
由两点间的距离公式得：
民 解得：
设 N(x，y)，由两点间的距离公式可得：
解之得，
∴点 N 的坐标为 或
10.(1)补全图形，如右图所示；
(2)猜想:
证明：方法一：
如下图所示,连接AD、PC.
∵BA=BC,M是AC的中点,∴BM⊥AC.
∵点 D,P在直线BM 上,
∴PA=PC,DA=DC.
又∵DP为公共边，
∴△ADP≌△CDP.
∴∠DAP=∠DCP,
∠ADP=∠CDP.
又∵PA=PQ,
∴PQ=PC.
∴∠DCP=∠PQC.
∴∠DAP=∠PQC.
∵∠PQC+∠DQP=180°,
∴∠DAP+∠DQP=180°.
∴在四边形 APQD 中,∠ADQ+∠APQ=180°.
∵∠APQ=2α.
方法二:如下图所示,连接 PC,易证 PA=PC=PQ,于是以点P为圆心.
以 PA长为半径作⊙P,则点 A、C、P都在⊙P上,
,又∠DMC=90°,
(3)α的范围是
11.(1) 12 (提示：作△ABC的外接圆，之后模仿中间图的做法)
12.(1) ①∵∠A=45°∴∠BOC=90°
由勾股定理可知
②证明：连接 BO并延长，交圆于点 E，连接EC.
可知EC⊥BC(直径所对的圆周角为 90°)
且∠E=∠BAC,故
(2)保持不变.
如下图所示,连接AP,取AP中点O,连接CO、BO,
∵∠ACP=∠ABP=90°.
∴CO=BO=AO=PO,于是,以O为圆心,以AO长为半径作⊙O.
则点A、B、P、C四点都在⊙O上,
∵∠BAC=60°.∴∠BOC=120°.
又CO=BO,BC=2,可求得
∴ P、A 两点的距离在滑动过程中保持不变，值为
13.如右图所示.连接KM
∵∠DAM=∠CBK.
∴A、B、M、K 四点共圆.
∴∠AKB=∠AMB.
∠CMK=∠BAD.
∵AB∥CD.
∴∠BAD+∠ADC=180°.
∴∠CMK+∠ADC=180°.
∴C、D、K、M四点共圆.
∴∠CKD=∠CMD.
∴∠DMA=∠CKB.

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