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一元二次方程根的判别式 专项练习
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一元二次方程根的判别式 会用方程的根的判别式判别方程根的情况 ★★
能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围 ★★★
二、核心纲要
1.一元二次方程根的判别式的定义
一元二次方程 ，当系数a、b、c满足条件 时有实数根.这里 4ac叫做一元二次方程根的判别式.
2.根与判别式的关系
设一元二次方程为 其根的判别式为 则
①△>0 方程 有两个不相等的实数根
②△=0 方程 有两个相等的实数根
③△<0 方程 没有实数根.
注: 方程有实数根.
(2)当 时，方程有两个相等的实数根，不能说方程只有一个实数根.
(3)若a，c同号，则方程有两个不相等的实数根.
3.一元二次方程的根的判别式的应用
一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：
(1)运用判别式，判定方程实数根的个数.
(2)利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围.
(3)通过判别式，证明与方程相关的代数问题.
(4)借助判别式，解决最值问题.
本节重点讲解：一个概念，一个关系，一类应用
三、全能突破
基础演练
1.对于任意实数k，关于x的方程. 的根的情况为( ).
A.有两个相等的实数根 B.没有实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定
2.(1)已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实根，求 k 的取值范围 .
(2)关于x的方程 有实根，求k的取值范围 .
3.不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：
(1)x -5x+9=0;(2)16x +9=24x;(3)x -4x-3=0;(4)ax +bx=0(a,b为常数，
4.已知关于x的方程 当m为何非负整数时，
(1)方程只有一个实数根.
(2)方程有两个相等的实根.
(3)方程有两个不相等的实根.
5.已知关于x的方程 有两个相等的实数根，且a、b为实数，求3a+2b的值.
能力提升
6.若关于x的方程 只有一个实数根，那么关于x的方程(
A.没有实数根 B.有两个不同的实数根
C.有两个相等的实数根 D.实数根的个数不能确定
7.已知关于x的方程 有实根，则k的非负整数值是 .
8.三角形两边的长是3 和 4，第三边的长是方程 的根，则该三角形的周长为 .
9.关于x的方程
(1)求证：方程有两个不相等的实数根.
(2)若方程的一个根是 ，求另一个根及k值.
10.已知：关于x的方程 求证：m取何实数时，方程总有实数根.
11.已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，求 的值.
12.已知关于 x的方程 有两个不相等的实数根，化简：|1- m|
13.已知a、b、c分别是△ABC的三边,其中a=1,c=4,且关于x的方程 有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状.
14.已知：a、b、c分别是△ABC的三边长，当m>0时，关于x的一元二次方程
有两个相等的实数根，求证： 是直角三角形.
15.已知:a、b、c分别是△ABC的三边长,求证:方程 没有实数根.
16.已知关于x的二次方程 与 求证：当 时，这两个方程中至少有一个方程有实数根.
17.已知关于x的方程 其中a、b为实数.
(1)若此方程有一个根为2a(a<0)，判断a与b的大小关系并说明理由.
(2)若对于任何实数a，此方程都有实数根，求 b的取值范围.
18.已知a>0,b>a+c,判断关于x的方程 的根的情况，并给出必要的说明.
19.(1)已知b<0,关于x的一元二次方程( 的根的情况是( ).
A.有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 有两个实数根
(2)已知关于x的一元二次方程( 有两个实数根，则m的取值范围是( ).
B. m≥0 C. m≥1
20.已知关于x的方程 下列说法正确的是( ).
A.当k=0时，方程无实数根 B.当k=1时，方程有一个实数根
C.当k=-1时，方程有两个相等的实数根 D.当k≠0时，方程总有两个不相等的实数根
21.已知一元二次方程
(1)求证：方程有两个不相等的实数根.
(2)若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边 BC 的长为5.当 是等腰三角形时，求k的值.
巅峰突破
22.对于实数u,v,定义一种运算“*”为:u*v=uv+v.若关于x的方程. 有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是 .
23.如果关于x的方程(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)=0(其中a，b，c均为正数)有两个相等的实数根，证明：以a，b，c为长的线段能够组成一个正三角形.
且k≠0 (2)k≥0
3.(1)△=-11<0,无实数根;(2)△=0,有两个相等的实数根；
(3)△=28>0,有两个不相等的实数根
(4)∵a≠0∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零.
∵无论b取任何数，b 均为非负数，∴△≥0，故方程有两个实数根.
4.(1)m=2.(2)m=3.(3)m=1.
有两个相等的实数根.∴△=0,即(
∴(a+b) +2(b-1) =0.∴a+b=0. b-1=0.
∴b=1,a=-1,因此3a+2b=-1.
能力提升
6. C 7.1.0 8.12
无论 k取何值,k ≥0.所以k +8>0,即△>0,∴方程 有两个不相等的实数根.
(2)设 的另一个根为x，则
解得
的另一个根为 ,k的值为1.
10.当m=0时,原方程化为-3x-3=0,解得x=-1.
∴当m=0，原方程有实数根.
当m≠0时，原方程为关于m的一元二次方程。
∵△=[-3(m-1)] -4m(2m-3)=m -6m+9
∴原方程有两个实数根.
综上所述，m取任何实数时，方程总有实数根.
11.∵ax +bx+1=0(a≠0)有两个相等的实数根。
即b -4a=0.
12.∵△>0.∴m>2.∴1-m<0. m-2>0.
.
13.∵方程 有两个相等的实数根，
∴△=(-4) -4b=0.∴b=4.
∵c=4.∴b=c=4.∴△ABC为等腰三角形.
14.方程可化为 此方程有两个相等的实数根，故
由勾股定理可知，故△ABC为直角三角形.
1
=(a+b+c)(b+c-a)(b-c+a)(b-c-a)
∵a+b+c>0,b+c-a>0,b-c+a>0,b-c-a<0
故方程无实数根.
16.设这两个方程的判别式分别为△ 、△ ，则 p -4(q +q ).
∴△ ≥0与△ ≥0中至少有一个成立，则这两个方程中至少有一个有实数根.
17.(1)∵方程 有一个根为2a.
整理，得
即a∵对于任何实数a，此方程都有实数根。
∴对于任何实数a，都有 即
∴对于任何实数a，都有
当 时 有最小亻值 ∴b的取值范围是
18.(1)当c>0时,a>0,b>a+c从而b >(a+c) ,b -(a+c) >0,b -4ac-(a-c) >0.∴b -4ac>(a-c) ≥0，即△>0，原方程必有两个不相等实数根；
(2)当c=0时,由a>0. b>a+c=a,得b>0, ac=0.
△>0;
(3)当c<0时,由a>0,得ac<0,△=b -4ac>0.
综上所述，原方程总有两个不相等的实数根.
中考链接
19.(1)C (2)B 20. C
21.(1)∵一元二次方程为
△=[-(2k+1)] -4(k +k)=1>0,∴此方程有两个不相等的实数根.
(2)∵△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根,由(1)知,AB≠AC,△ABC第三边 BC 的长为5,且△ABC是等腰三角形。
∴必然有AB=5或AC=5,即x=5是原方程的一个解.将x=5代入方程.x -(2k+1)x+k +k=0,
解得k=4或k=5.
当k=4时，原方程为
以5.5.4为边长能构成等腰三角形；
当k=5时，原方程为
以5.5.6为边长能构成等腰三角形；
∴k的值为4或5.
巅峰突破
22. a>0或a<-1
由 得
依题意有
解得:a>0或a<-1.
23.原方程可变形为：
∵方程有两个相等的实数根，
∴△=[2(a+b+c)] -12(ab+bc+ca)=0.
整理得:2[(a-b) +(b-c) +(c-a) ]=0
又∵a，b，c是正数，∴以a，b，c为长的线段组成的三角形是正三角形.

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