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一元二次方程的综合 专项练习
一、课标导航
课标内容 课标要求 目标层次
一元二次方程的综合 能利用根与系数的关系求解一元二次方程的综合问题 ★★
能用配方法、公式法、因式分解和恒等变形来求解一元二次方程的公共根和整数根问题 ★★★
能根据根系关系构造一元二次方程，从而将其他较复杂的代数问题转化为一元二次方程来处理 ★★★
二、核心纲要
1.一元二次方程根与系数的关系(又叫韦达定理)
(1)一元二次方程 ,a,b,c是常数)存在两根 则
(2)利用根系关系可以解决如下常见问题：
①确定方程中系数或参数的值.
②不解方程，进行代数式整体求值.
③不解方程，判断方程根的符号特征.
④韦达定理的逆定理可以用来构造一元二次方程.
2.一元二次方程的公共根
解决一元二次方程的公共根问题的基本步骤：
(1)设公共根为α，把α代入两个一元二次方程.
(2)求出公共根或公共根的有关表达式.
(3)把求出的公共根代入原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关系式.
3.一元二次方程的整数根
(1)如果一元二次方程 (a,b,c是常数， 有整数根，那么需要同时满足以下条件：
为完全平方数；
是 2a[的整数倍.
另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a、b、c均为有理数).
(2)解决一元二次方程整数根问题的常用方法
①若 是完全平方数，则直接解方程，根据根的情况讨论参数的值.
②若 不是完全平方数，参数有范围，可以根据 确定参数的具体取值范围，进而确定参数的整数值，代入验证求解.
③若 不是完全平方数，但有完全平方项，且参数也没有范围，则假设 是完全平方数，利用平方差公式和整数的性质进行解题.
4.构造一元二次方程
通常有三种构造方式：
(1)通过根的定义来构造一元二次方程.
(2)通过韦达定理的逆定理来构造一元二次方程.
(3)对于多字母变量的情形，通常先选主元，再构造一元二次方程.
本节重点讲解：一个关系(根与系数的关系)，一个构造(一元二次方程的构造)，两种根(公共根、整数根).
三、全能突破
基础演练
1.若一元二次方程 有两个根x ,x ,则
2.若方程 的一个根为 则另一个根为 ，a的值为 .
3.若一个一元二次方程的两个根分别是 Rt△ABC的两条直角边，且S△ABC=3,请写出一个符合题意的一元二次方程为 .
4.已知方程 有一个公共根，则a= .
5.已知一个一元二次方程的两根为 1 和 3，则这个方程为 .
6.当m是什么整数时，关于x的一元二次方程 与 的根都是整数.
能力提升
7.若一元二次方程 有两个根x ,x ,则 ,.x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+5x_{1}= \underline { \quad \quad \quad }.
8.已知方程 的两根为x ,x ,x 是x 的2倍,则m= .
9.已知m,n为实数,且 求 的值.
10.已知：关于x的一元二次方程 (m为实数)
(1)若方程有两个不相等的实数根，求 m的取值范围.
(2)求证：无论 m为何值，方程总有一个固定的根.
(3)若m为整数，且方程的两个根均为正整数，求m的值.
11.已知方程 有两个不相等的正整数根，求 m的值.
12.关于x的方程 至少有一个整数根，且a是整数，求a的值.
13.已知关于x的一元二次方程
(1)若方程①有一个正实根c,且2ac+b<0,求b的取值范围.
(2)当a=1时，方程①与关于x的方程 ②有一个相同的非零实根，求 的值.
14.已知关于x的两个一元二次方程：
方程①: 方程②:x +(2k+1)x-2k-3=0.
(1)若方程①和②中只有一个方程有实数根，请 说明此时哪个方 程没有实数 根，并化简
(2)若方程①和②有一个公共根a，求代数式( 的值.
15.如果方程 的两个根是x ，x ，那么 请根据以上结论，解决下列问题：
(1)已知关于x的方程. 求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数.
(2)已知a,b,c满足a+b+c=0, abc=16,求正数c的最小值.
16.在△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C 所对的边,我们称关于x的一元二次方程 为“△ABC的☆方程”.
根据规定解答下列问题：
(1)“△ABC 的☆方程” 的根的情况是 (填序号).
①有两个相等的实数根 ②有两个不相等的实数根 ③没有实数根
(2)若 是“△ABC 的☆方程” 的一个根，其中a，b，c均为整数，且( 求方程的另一个根.
17.如图21-4-1 所示,四边形 ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形,a,b,c是 和 的三边长，则知 这时我们把形如 的方程称为关于x的“勾系一元二次方程”.请解决下列问题：
(1)构造一个“勾系一元二次方程”： .
(2)证明：关于x的“勾系一元二次方程 必有实数根.
(3)若x=-1 是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形 ACDE 的周长是 求 的面积.
18.设x ,x 是方程. 的两个实数根，则 的值为( ).
A.5 B.-5 C.1 D.-1
19.已知实数分别满足 且a≠b,则 的值为( ).
A.7 B.-7 C.11 D.-11
20.已知关于x的一元二次方程. 有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)若 k为正整数，且该方程的根都是整数，求 k的值.
巅峰突破
21.已知关于x的方程( 的根都是整数，那么符合条件的整数a有 个.
22.已知实数x,y满足 则 的值为 .
基础演练
3.答案不唯一，如：
本题答案不唯一.
6.由题意可知，方程 的判别式
方程 的判别式为
故 又m为整数,m≠0,故 m=-1或m=1
当m=1时，两个方程分别为0.满足题意：
当m=-1时，两个方程分别为x +4x-4=0、x +4x+3=0,不合题意.故 m=1.
能力提升
7.-1;21;0 8.2
9.整理 得
(1)当m=n时,原式=2.
(2)当m≠n时，m，n可看做是一元二次方程 =0.的两根.
∴原式
综上可得，值为2或
10.(1)由题意,得
∴m≠3且m≠0.
(2)∵(x-1)(mx+3-2m)=0,
∴关于x的一元二次方程有固定根x=1.
(3)由(2)可知: 或-1或3.
11.∵方程有正整数根， 定是完全平方数.
设 (k为正整数),
即:(m+2+k)(m+2-k)=8
∵m+2+k≥m+2-k,且奇偶性相同。
或
解得 或
当m=-5时，原方程为 两根分别为x =2,x =3.
当m=1时，原方程为 两根分别为 -1.不合题意舍去.
∴m=-5
12.当a=0时,原方程变成-6x-2=0,无整数根.
当a≠0时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根， 为完全平方数，从而9-4a是完全平方数.令 是正奇数，
且n≠3(否则a=0),所以 由求根公式得
所以
要使x 为整数,而 n为正奇数,只能 n=1,从而 a=2.要使x 为整数,即3-n是4 的因数,n可取1.5.7,从而a=2,-4,-10.
综上所述,a的值为2、-4、-10.
13.(1)∵c为方程的一个正实数根(c>0).
∵c>0,∴ac+2b+1=0,即ac=-2b-1.
∵2ac+b<0,∴2(-2b-1)+b<0.解得
又ac>0(由a>0,c>0).∴-2b-1>0.解得
(2)当a=1时,此时方程①为
设方程①与方程②的相同非零实数根为m.
④-③得3m +2bm=0.整理,得m(3m+2b)=0.
∵m≠0,∴3m+2b=0.解得
把 代入方程③得
即
当8b =9c时.
14.(1)方程①得 方程②得
+4>0.因此无论k为何值时，方程②总有实数根.
∵方程①、②只有一个方程有实数根，
∴此时方程①没有实数根.
∴k +6k+8<0.即(k+2)(k+4)<0.
∵(k+2)(k+4)<0,∴原式
(2)∵a是方程①和②的公共根,
∴原式=(3+k)a +(4k+5)a-2k
.
15.(1)设关于x的方程 的两根为x ，x ,则有:
∴所求方程的两根为
∴所求方程为 即.nx +mx+1=0(n≠0).
(2)∵a+b+c=0. abc=16且c>0,
∴a、b是一元二次方程 的两个根，
化简得：
又∵此方程必有实数根，∴此方程的△≥0.
即
又“ ·正数c的最小值为4.
16.(1)②.
是“△ABC的☆方程' 的一个根
∵c>0,∴ac=16-4b.
∵ac-4b<0.∴16-4b-4b<0.
∴b>2.又∵ac>0,∴16-4b>0.∴b<4.
综上所述.2∵a、b、c均为整数,且a、b、c为△ABC 的三条边,
∴b=3. ∴ac=16-12=4.
∴当a=1时,c=4;当a=4时,c=1;当a=2时,c=2.
∵三角形两边之和大于第三边。
∴a=2. c=2.
∴“△ABC的☆方程”为
且c=2,∴另一个根为x=-2.
17.(1)例如: 只要a、b、c满足 即可
∴“勾系一元二次方程”必有实数根。
(3)∵x=-1是“勾系一元二次方程” 的一个根。
又∵四边形 ACDE的周长是(6/2,
中考链接
18. B 19. A
20.(1)∵一元二次方程 有两个不相等的实数根,∴△=2 -4(2k-4)>0. ∴k< / .
(2)∵k为正整数,由(1)可得:k=1.2.
①当k=1时,方程为 方程无整数根；
②当k=2时,方程为x +2x=0.方程的两个根为x =
综上所述. k的值为2.
巅峰突破
21.5
22.7

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