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二次函数的应用 专项练习
一、课标导航
课标内容 课标要求 目标层次
二次函数的应用 能通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式 ★★
能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识综合的问题 ★★★
二、核心纲要
1.建立二次函数模型解决实际问题
利用二次函数模型解决实际问题的一般步骤：
(1)设变量：找出问题中的常量和变量，并用x、y分别表示自变量和因变量.
(2)列函数关系式：找出符合题意的等量关系，并用含x、y的式子表示等量关系，得出二次函数关系式.
(3)求值：根据二次函数解析式，求出特定条件下x或y的值.
(4)检验：检验由函数关系式所得的结果是否与实际情况相符，判断后作出取舍.
(5)作答.
2.实际问题与二次函数
(1)利用二次函数求实际问题中的最值的方法：
①将实际问题中两个变量用二次函数表示；
②将二次函数写成 形式，求出顶点坐标；
③求实际问题中的最值(注意自变量的取值范围，有时最值可能不在顶点处取得，有可能在端点处取得).
(2)有些物体具有抛物线形状，用二次函数解决此类问题的方法：
①合理建立平面直角坐标系；
②合理设对应的二次函数关系式，利用待定系数法求出二次函数的关系式；
③利用函数的知识解决实际问题.
本节重点讲解：一个应用(二次函数的应用)
三、全能突破
基础演练
1青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛.在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线 的一部分(如图22-3-1 所示)，其中出球点 B 离地面O点的距离是 1m，球落地点A 到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是( ).
2.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图22-3-2 所示，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 (单位：m)的一部分，则水喷出的最大高度是( ).
A.1m B.2m C.3m D.4m
3.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，如图22-3-3 所示，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为 由此可知铅球推出的最大高度是 m，最远距离是 m.
4.小汽车刹车距离s(m)与速度 v(km/h)之间的函数关系式为 一辆小汽车速度为100km/h,在前方 80m处停放一辆故障车，此时刹车 有危险(填“会”或“不会”).
5.某种火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式 表示.经过 s，火箭达到它的最高点.
6.图22-3-4(a)是抛物线形拱桥，当水面在 n时，拱顶离水面2m，水面宽4m.若水面下降1m，则水面宽度将增加多少米(图22-3-4(b)是备用图)
7.某汽车租赁公司拥有20辆汽车.据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元.设公司每日租出x辆车时，日收益为y元.(日收益=日租金收入-平均每日各项支出)
(1)公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为 元(用含x的代数式表示).
(2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大 最大是多少元
(3)当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏
能力提升
8.图22-3-5 所示是一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为 小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面 OC，当小强骑自行车行驶 10秒时和26 秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面 OC 共需 秒.
9.在函数中，我们规定：当自变量增加一个单位时，因变量的增加量称为函数的平均变化率.例如,对于函数y=3x+1,当自变量 x增加1时,因变量y=3(x+1)+1=3x+4,较之前增加3,故函数 y=3x+1的平均变化率为 3.
(1)①列车已行驶的路程s(km)与行驶的时间t(h)的函数关系式是 s=300t，该函数的平均变化率是 ；其蕴含的实际意义是 .
②飞机着陆后滑行的距离y(m)与滑行的时间x(s)的函数关系式是 求该函数的平均变化率.
(2)通过比较(1)中不同函数的平均变化率，你有什么发现.
10.有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m
(1)在如图22-3-6 所示的平面直角坐标系中，求出该抛物线的解析式.
(2)在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，试求出用d表示h的函数关系式.
(3)设正常水位时桥下的水深为 2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于 18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行
11.某市政府大力扶持大学生创业.李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价 x(元)之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500.
(1)设李明每月获得利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润
(2)如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元
(3)根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于 2000元，那么他每月的成本最少需要多少元(成本=进价×销售量)
12. X 市与W 市之间的城际铁路正在紧张有序地建设中，在建成通车前，进行了社会需求调查，得到一列火车一天往返次数 m与该列车每次拖挂车厢节数n的部分数据如下：
车厢节数n 4 7 10
往返次数 m 16 10 4
(1)请你根据上表数据,在三个函数模型:①y=kx+b(k,b为常数,k≠0);
(k为常数,k≠0); (a,b,c为常数，a≠0)中，选取一个合适的函数模型，求出m关于n的函数关系式是m= (不写n的范围).
(2)结合你求出的函数，探究一列火车每次挂多少节车厢，一天往返多少次时，一天的设计运营人数 Q最多(每节车厢载客量设定为常数 p).
13.如图22-3-7 所示，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O 点打出一球向球洞A 点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度 12m时，球移动的水平距离为9m.已知山坡 OA 与水平方向OC 的夹角为30°,O、A 两点相距8 m.
(1)求出点 A 的坐标及直线OA 的解析式.
(2)求出球的飞行路线所在抛物线的解析式.
(3)判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A 点 .
14.如图22-3-8 所示，在边长为24cm的正方形纸片 ABCD 上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒(A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点).已知E、F 在AB 边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x(cm).
(1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V.
(2)某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)面积S 最大，试问x应取何值
15.“城市发展 交通先行”，成都市今年在中心城区启动了缓堵保畅的二环路高架桥快速通道建设工程，建成后将大大提升二环路的通行能力.研究表明，某种情况下，高架桥上的车流速度 V(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数，且当0(1)求当28(2)若车流速度V 不低于50千米/时，求当车流密度 x为多少时，车流量 P(单位：辆/时)达到最大，并求出最大值.
(注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车流密度)
16.如图22-3-10 所示，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分 ACB 和矩形的三边 AE、ED、DB 组成,已知河底 ED 是水平的, 16m,AE=8m,抛物线的顶点C 到 ED 距离是 11m,以 ED 所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为 y轴建立平面直角坐标系，
(1)求抛物线的解析式.
(2)已知从某时刻开始的 40h内，水面与河底 ED 的距离h(单位：m)随时间 t(单位：h)的变化满足函数关系 且当水面到顶点 C 的距离不大于 5m时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需禁止船只通行多少小时
17.如图22-3-11 所示,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2m 的 A 处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式 已知球网与O点的水平距离为9m，高度为 2.43m，球场的边界距O点的水平距离为 18m.
(1)当 时，求 y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围).
(2)当h=2.6时，球能否越过球网 球会不会出界 请说明理由.
(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求 h的取值范围.
18.某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是 20元.调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230 件，而销售单价每上涨1 元，月销售量就减少 10 件，但每件玩具售价不能高于40元. 设每件玩具的销售单价上涨了x元时(x为正整数)，月销售利润为 y元.
(1)求 y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围.
(2)每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元
(3)每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大 最大的月利润是多少
19.已知在. 中，边 BC 的长与BC 边上的高的和为20.
(1)写出 的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长.
(2)当 BC 多长时, 的面积最大 最大面积是多少
(3)当 面积最大时，是否存在其周长最小的情形 如果存在，请说明理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明.
巅峰突破
20.知识迁移:当a>0且x>0时,因为 所以 从而 当x 时取等号).记函数 由上述结论可知：当 时，该函数有最小值为
直接应用：已知函数 与函数 则当 时, 取得最小值为 .
变形应用：已知函数 与函数 求 的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值.
实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为 0.001.设该汽车一次运输的路程为xkm，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低 最低是多少元
基础演练
1. A 2. D 3.3:10 4.会 5.15
6.建立下图所示平面直角坐标系，由题意得：A(2，-2).
设解析式为
∴解析式为
当y=-3时,则有:
∴x=± .∴CD=2 . CD-AB=2 -4.
答：水面宽度将增加(
7.(1)1400-50x;
(2)根据题意得出:y=x(1400-50x)-4800
=-50(x-14) +5000.
当x=14时,在0≤x≤20范围内,y有最大值5000.
∴当每日租出 14 辆时，租赁公司日收益最大，最大值为5000元.
(3)要使租赁公司日收益不盈也不亏，即 y=0. 即 50 解得:x =24,x =4.
∵x=24不合题意,舍去.
∴当每日租出4辆时，租赁公司日收益不盈也不亏。
能力提升
8.36
9.(1)①300;列车的速度.
②该函数的变化率为：
(2)一次函数的变化率是常量，二次函数的变化率是变量.
(2)设水位上升hm时，水面与抛物线交于点 则
(3)当d=18时,h=0.76.0.76+2=2.76.
∴当水深超过2.76m时会影响过往船只在桥下顺利航行。
11.(1)由题意,得:w=(x-20)·y=(x-20)·(-10x+
答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润.
(2)由题意,得: 解得:x =
答：李明想要每月获得 2000元的利润，销售单价应定为30元或40元.
(3)∵a=-10<0,∴抛物线开口向下.∴当30≤x≤40时,v≥2000.∵x≤32,∴当30≤x≤32时,w≥2000.
设成本为 P(元),由题意,得:P=20(--10x+500)=-200x+10000.
∵k=-200<0,∴P随x的增大而减小.∴当x = 32时,
答：想要每月获得的利润不低于 2000 元，每月的成本最少为3600元.
12.(1)m=-2n+24;
∵--2p<0,∴Q有最大值.
∴当 时，Q取最大值.
此时,m=-2n+24=-2×6+24=12.
∴一列火车每次挂6节车厢，一天往返12次时，一天的设计运营人数最多.
13.(1)在 Rt△AOC中,∵∠AOC=30°,OA=8/3,
∴AC=4 ,OC=12.
∴点A的坐标为(12,4 ).
设 OA 的解析式为y=kx,把点 A(12.4 )的坐标代入得: ∴OA的解析式为
(2)∵顶点 B的坐标是(9,12),点O的坐标是(0,0),
∴设抛物线的解析式为y=a(x-9) +12. 把点O的坐标代入得:0=a×(0-9) +12,解得
∴抛物线的解析式为
(3)∵当x=12时, 小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A 点.
14.(1)根据题意，可知这个正方体的底面边长a= x,EF=
∴x+2x+x=24.解得:x=6.则a=6 .
(2)设包装盒的底面边长为 acm,高为 hcm,则a= x,h
∵015.(1)当 28(2)根据题意，得
当0可见，当车流密度x为88辆/千米时，车流量 P 最大，为4400辆/时.
(2) 解得
由h=-1+ (0≤t≤40)图像变化趋势可知,当3≤t≤35时，水面到顶点 C 的距离不大于 5 米，需禁止船只通行，
禁止船只通行时间为35-3=32(时)
中考链接
(2)当x=9时,y=2.45>2.43,∴球能越过网.
∵当y=0时,即 解得
(舍去).
∵6+2 /39>18,∴球会出界.
(3)把x=0,y=2,代入到:y=a(x-6) +h得 当x=9时. 当x=18时.
由①、②解得 ∴:若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围为
18.(1)依题意得 y=(30+x-20)(230-10x)=-10x +130x+2300
自变量x的取值范围是：0(2)当.y=2520时,得-10x +130x+2300=2520,
解得x =2,x =11(不合题意,舍去).
当x=2时,30+x=32.
∴每件玩具的售价定为 32 元时，月销 售 利润恰为2520元.
(3)y=-10x +130x+2300=-10(x-6.5) +2722.5∵a=-10<0∴当x=6.5时,y有最大值为2722.5.
∵0∴当x=6时,30+x=36,y=2720,当x=7时,30+x=37,y=2720.
∴每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润.最大的月利润是2720 元.
19.(1)依题意得:
解方程 得:
∴当△ABC面积为48时,BC的长为12或8.
(2)由(1)得:
∴当x=10,即BC=10时,△ABC的面积最大,最大面积是50;
(3)△ABC的周长存在最小的情形，理由如下：
由(2)可知△ABC的面积最大时,BC=10,BC 边上的高也为10.如右图所示。
过点 A 作直线 l 平行于BC.作点 B关于直线l的对称点 B'.
连接B'C 交直线l于点A',再连接A'B,AB',
则由对称性得：
A'B'=A'B,AB'=AB,
∴A'B+A'C=A'B'+A'C=B'C.
当点A 不在线段B'C 上时，则由三角形三边关系可得：
AB+AC+BC=AB'+AC+BC>B'C+BC,
当点 A 在线段B'C 上时,即点 A 与A'重合,这时AB+AC+BC=A'B'+A'C+BC=B'C+BC,
因此当点A与A'重合时，△ABC的周长最小；
这时由作法可知:BB'=20,
∴最小周长为10 +10.
巅峰突破
20.直接应用:1;2.
变形应用：
有最小值：
当 即x=1时取得该最小值.
实际应用：设该汽车平均每千米的运输成本为 y元，则
∴当 时
该汽车平均每千米的运输成本y最低，最低成本为 0.001 元.

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