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二次函数与距离、角度的综合 专题探究
一、技巧提炼
1.最短路径问题
问题 作法 原理
已知直线 l 及点 A、B,在直线l 上作点 P,使AP+BP 最小 将点 A 对称到点 A′,连接 A'B,与l 的交点即为点 P AP+BP=A'B 两点之间，线段最短
分别在直线l 、l 上作点 A、B,使 PA+AB+BP 最小 将点 P 分别关于直线 l 、l 对称到点 P 、P , 连接 P P 与两直线交 点即为 A、B PA+AB+BP=P P 两点之间，线段最短
分别在直线l 、l 上作点 A、B,使 PA+AB+BQ 最小 将点 P、Q 分别关于直线l 、l 对称到点 P 、Q ,连接 P Q 与两直线交点即为A、B PA+AB+BQ=P Q 两点之间，线段最短
分别在直线l 、l 上作点 B、A,使 PA+AB+BQ最小 将点 P、Q 分别关于直线l 、l 对称到点 P 、Q ,连 接 P Q 与两直线交点即为A、B PA+AB+BQ=P Q 两点之间，线段最短
已知直线l及A、B 两点,在 l上求作点 P、Q.使线段 PQ=d,并且使 AP+PQ+QB 最小 将点 A 向右平移至点A′,使AA'=d,再将 A'关于 l 对称到A",连接A"B,与l的1 交点即为点 Q,将 Q向左平移定长 d 即为点 P AP+PQ+QB=A"B+d 两点之间，线段最短
已知直线l ∥l ,且距离为 d,分别在 l 、l 上作点 P、Q且 PQ⊥l ,使 AP+PQ+QB 最小 将点 A 向下平移 d 个单位长度得到A'，连接A'B,与l 的交点即为Q,过 Q 作 l 的垂线与l 的交点即为点 P AP+PQ+QB =A'B+d 两点之间，线段最短
在直线l上求作一点 P,使|BP-AP|:①最小；②最大 ①作线段 AB的中垂线与 直 线 l 的 交 点 即为 P; ②将点 A 关于直线l 对称到点 A',连接 BA'并延长与直线l 的交点即为点 P ①线段中垂线上的点到线段两个端点的距离相等； ②|BP-AP|=BA'
分别在直线l 、l 上求作一点 A、B,使 PA+AB最小 过点 P 作直线l 的垂线,垂足为 B,与 l 的交点即为 A PA+AB=PB垂线段最短
2.角度问题
(1)角度相等
由角等构造相似三角形 (锐)角等则其三角函数值相等 构造辅助圆 由特殊位置构造等腰三角形、平行线等
(2)角度和差
求∠AOB+∠BOC;求∠AOC-∠BOC 将OB 关于OC 对称到OB′,∠AOB′即为所求
(3)特殊角 45°
构造等腰直角三角形 ABC,可得 △ACF≌△CBE 构造正方形中的半角模型，利用旋转及其结论BC= BF + CD 解 决问题 构造等腰直角三角形AEF 中的半角模型，利用旋转及其结论 BC = BE + CF 解决问题 构造以 45°角为圆周角的辅助圆⊙D，利用∠D=90°解决问题 若tanα= / , tanβ= / , 则α+β=45°
注：以上模型及结论均需构造并证明.
二、全能突破
(一)二次函数与距离问题的综合
1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线 经过A(2,0)、B(4,0)两点,直线 交 y轴于点C,且过点 D(8,m).
(1)求抛物线的解析式.
(2)在x轴上找一点 P,使CP+DP的值最小,求出点 P 的坐标.
(3)将抛物线 左右平移，记平移后点 A 的对应点为A'，点 B 的对应点为B'，当四边形 的周长最小时，求平移后抛物线的解析式及此时四边形 A'B'DC 周长的最小值.
(4)设抛物线的顶点为 Q，过点C作x轴的平行线l，点 M在直线l上，且MN⊥x轴，垂足为 N，若 DM+MN+NQ最小,直接写出此时点 M、N的坐标.
2.如下图所示，在平面直角坐标系xOy中，二次函数 的图像与x轴交于 B(3,0)两点, 顶点为 C.
(1)求此二次函数的解析式.
(2)点 D 为点 C 关于x 轴的对称点,过点 A 作直线 交 BD 于点 E,过点 B 作直线 交直线l于K 点.问：在四边形 ABKD 的内部是否存在点P，使得它到四边形 ABKD四边的距离都相等，若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
(3)在(2)的条件下,若 M、N 分别为直线AD 和直线l上的两个动点,连接 DN、NM、MK,求 的最小值.
(4)设抛物线交 y轴于点R，若点 K 在抛物线对称轴上，当 的值最大时，直接写出此时点 K的坐标.
3.如下图所示，已知抛物线 经过点 A(1,3)和点 B(2,1).
(1)求此抛物线解析式.
(2)点C、D分别是x轴和y轴上的动点，求四边形 ABCD 周长的最小值.
(3)过点B作x轴的垂线，垂足为 E 点.点 P 从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达 F点，再沿 FE 到达E 点，若 P 点在对称轴上的运动速度是它在直线 FE 上运动速度的 倍，试确定点 F的位置，使得点 P 按照上述要求到达E 点所用的时间最短(要求：简述确定 F 点位置的方法，但不要求证明).
4.抛物线 与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,已知A(-1,0),C(0,3).
(1)求抛物线解析式.
(2)点 P 为线段BC上任意一点，过点 P 作x轴的垂线交抛物线于点D，求线段DP 长度的最大值及此时点 D 的坐标.
(3)点 Q 为抛物线上一动点，且点 Q 到直线 BC 的距离等于 ,求点 Q 的坐标.
(二)二次函数与角度问题的综合
5.在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与x轴交于A、B两点(点A 在点B 的左侧)，与y轴交于点 C,点 B 的坐标为(3,0),将直线 沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过 B、C 两点.
(1)求直线 BC 及抛物线的解析式.
(2)设抛物线的顶点为 D，点 P 在抛物线的对称轴上，若( .分别求点 P 的坐标.
(3) 连接 CD,求 与 两角和的度数.
(4)已知点 点 K 是 y 轴右侧的抛物线图像上的一个动点，请直接写出锐角 时，点 K 的横坐标. 的取值范围.
6.如下图所示，已知抛物线 与x轴交于点A(-2,0)、B(8,0),与 y轴交于点( 直线 与抛物线交于点 D、E(D在E 的左侧)，与抛物线的对称轴交于点 F.
(1) 求抛物线的解析式.
(2) 当 时，求 的大小.
(3)过G(3，3)作x轴的平行线l，点 H 在直线l上且到抛物线对称轴的距离为4，设点 K 在直线l上，请直接写出使得 的点 K 的坐标.
7.如下图所示，抛物线 经过A(-1,0)、C(0,4)两点,与x轴交于另一点B.
(1)求抛物线的解析式.
(2)已知点 在第一象限的抛物线上，求点 D 关于直线BC 对称的点的坐标.
(3)在(2)的条件下,连接BD,点 P 为 y 轴上一点,且 求点 P 的坐标.
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8.如下左图所示，平面直角坐标系xOy中，抛物线 与x轴交于A、B两点,点 C是AB 中点,CD⊥AB且CD=AB.直线 BE与y轴平行,点 F 是射线BE 上的一个动点,连接AD、AF、DF.
(1)若点 F 的坐标为(
①求此抛物线的解析式；
②点 P 是此抛物线上一个动点，点 Q在此抛物线的对称轴上，以点A、F、P、Q为顶点构成的四边形是平行四边形，请直接写出点 Q的坐标.
(2)若2b+c=-2,b=-2-t,且AB 的长为kt,其中t>0.如下右图所示,当∠DAF=45°时,求 k的值和∠DFA的正切值.
9.如下左图所示,点 P 是直线l:y=-2x-2上的点,过点 P 的另一条直线m交抛物线y 于 A、B 两点.
(1)若直线 m的解析式为 求 A、B两点坐标.
(2)①若点 P 的坐标为(-2,t),当PA=AB时,请直接写出点 A 的坐标;
②试证明：对于直线l上任意给定的一点 P，在抛物线上都能找到点 A，使得 PA=AB 成立.
(3)如下右图所示,设直线l交 y轴于点C,若△AOB 的外心在边 AB 上,且∠BPC=∠OCP,求点 P的坐标.
1.(1) 抛物线的解析式是
(2) 依题意,得 C(0,2),D(8,6)
作点 C(0,2)关于x轴的对称点C'(0,-2)
直线C'D 的解析式为y=x-2，与x轴的交点即为P点，∴P点坐标为(2.0)
(3)∵AB=2,
∴将点 C 向右平移2个单位得 C (2,2),作点 C 关于x轴的对称点C ,C 点的坐标为(2,-2),由点 C (2,-2)、D(8.6)得直线C D 的解析式为
直线C D与x轴的交点即为 B′点，可求 因此
∴ 当四边形 A'B'DC周长最小时，抛物线解析式为
即
∴四边形 A'B'DC 的周长最小值为2+4/5+10=12+4 .
(4) M(4,2);N(4,0)
2.(1)二次函数解析式为
(2) 可求点C的坐标为((1.-2 )
∴ 点 D 的坐标为(1.2 ).
可求直线AD的解析式为
由题意可求直线 BK 的解析式为
∵直线l的解析式为
∴ 点 K 的坐标为((5,2/3).
易求AB=BK=KD=DA=4.
∴四边形 ABKD是菱形.
∵菱形的中心到四边的距离相等。
∴点P与点 E重合时，即是满足题意的点，坐标为(2. ).
(3) 易证点 D、B 关于直线AK 对称,
∴ DN + MN 的 最 小 值是MB.
如右图所示,过 K 作KF⊥x轴于F 点.
过点 K 作直线AD的对称点P.连接 KP.交直线 AD 于点Q.
∴KP⊥AD.
∵AK 是 ∠DAB 的 角 平分线.
∴MB+MK的最小值是BP.
即 BP 的长是DN+NM+MK的最小值.
∵BK∥AD,∴∠BKP=90°.
在 Rt△BKP中,由勾股定理得 BP=8.
∴DN+NM+MK 的最小值为8.
(4)K(1.-3/3)
3.(1)抛物线解析式为
(2)点 A(1.3)关于y轴的对称点A'的坐标是(-1.3).
点 B(2,1)关于x轴的对称点B'的坐标是(2,-1).
由对称性可知
'由勾股定理可求
∴四边形 ABCD 周长的最小值是
(3)设 P 点在 EF 上的速度为v,则在 AF上的速度为 v.P 点在 EF 上运动的时间为t，在 AF 上运行的时间为t ， 则
要求 最小，只须求 最小即可.
故以 AF 为斜边作等腰直角三角形AMF，即∠AFM= 求EF+FM最小即可.
E为定点,∠AFM=45°为定角,当M、F、E三点共线时EF+FM最小.∴∠HFE=45°. F(1.1).
4.(1)解析式为
(2)令y=0,则 解得
∴B(3.0),又C(0.3)
∴直线BC解析式为y=-x+3.
设点 P 横坐标为x,则 P(x,-x+3).
即
∵0≤x≤3,∴当 时，线段 PD的最大值为 ，此时
(3)如下图所示，将直线BC平移至l ，l 的位置，分别交y轴于点 E、F,过点 C作CH⊥l 于点 H,
依题意得 又OC=OB,∴∠OCB=45°.
的解析式为
解得
同理 的解析式为
解得
5.(1)∵y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后经过 y轴上的点C.∴C(0.3),又 B(3.0).
∴直线BC的解析式为y=-x+3.
∵抛物线 过点B、C.
解得
∴抛物线的解析式为
(2)由 可得 D(2.-1),A(1.0).
∴OB=3. OC=3. OA=1. AB=2.
可得△OBC 是等腰直角三角形.
①解法一：如右图所示，设抛物线对称轴与x轴交于点F.
过点 A 作AH⊥BC于点H.
∴∠AHB=90°.
可得BH=AH=/ ,
CH=2/2.
在△AHC与△AFP中,
∠AHC=∠AFP=90°.
∠ACH=∠APF.
解得 PF=2.
∵点 P 在抛物线的对称轴上，
∴点 P的坐标为(2,2)或(2,-2).
解法二:证明△ABC∽△ADP,求出 DP 长即可得出 P 点坐标；
解法三:作△ABC 的外 接圆,由∠APD=∠ACB,得∠APB=2∠ACB,所以点 P 即为圆心.
②如下图所示，作△ABC的外接圆⊙E，设⊙E与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点 P ，点 P 关于x轴的对称点为点 P ，点 P 、点 P 均为所求点.
可知圆心 E必在AB 边的垂直平分线即直线x=2上.
也在 BC边的垂直平分线即直线y=x上.
∴ 点 E的坐标为E(2.2).
由勾股定理得
∴点 P 的坐标为
由对称性得点 P 的坐标为
∴符合题意的点 P的坐标为
(3)解法一：如下图所示，作点 A(1，0)关于 y轴的对称点A',则A'(-1.0).
连接A'C,A'D,
可得
由勾股定理可得( 又
∴△A'DC 是等腰直角三角形,∠CA'D=90°.
∴∠OCA+∠OCD=45°.
即∠OCA 与∠OCD 两角和的度数为45°.
解法二:连接 BD,由△CBD∽△COA可得∠BCD=∠OCA.
∵∠OCB=45°,∴∠OCA与∠OCD 两角和的度数为45°.
(4)2(2)解法一：由(1)可得抛物线的对称轴为直线x=3.
∵m=2,∴ 直线的解析式为y=x+2.
∵直线 y=x+2 与抛物线交于点 D、E，与抛物线的对称轴交于点 F.
∴ F、D两点的坐标分别为F(3.5)、D(-2,0).
设抛物线对称轴与x轴的交点为M.
可得CM=FM=MD=5.
∴ F、D、C三点在以M为圆心，半径为5的圆上.
解法二:设CF交x轴于点N,可求 N点坐标,由△ANF∽△CDF 可得∠ACF=∠NDF=45°;
解法三:CF 过点P(2.2),连接 DP,可证△APC为等腰直角三角形,∴∠DCF=45°;
解法四：设DF交y轴于点Q.由
可得∠ACQ+∠FCQ=45°.
(3) K (-3.3). K (9.3)
7.(1)抛物线的解析式为
(2)∵点 D(m,m+1)在抛物线上。
即 1或m=3.
∵点 D在第一象限.∴点 D的坐标为(3.4).
由(1)知OC=OB,∴∠CBA=45°.
设点 D 关于直线BC 的对称点为点 E.
∵C(0,4),∴CD∥AB.且CD=3.
∴∠ECB=∠DCB=45°.
∴E点在y轴上,且CE=CD=3.
∴OE=1.∴E(0.1).
即点 D关于直线BC 对称的点的坐标为(0.1).
(3)方法一：如下图所示。作 DF⊥BC 于F,设点 P的坐标为(0,n).
由(1)有:OB=OC=4.
∴∠OBC=45°.
∵∠DBP=45°,
∴∠CBD=∠PBA.
∵C(0.4),D(3.4).
∴CD∥OB且CD=3.
∴P点坐标为((0. )
方法二：如右图所示.过点D 作 BD 的垂线交直线PB 于点Q.
过点 D 作 DH⊥x轴于H.过 Q 点 作 QG⊥DH于G.
∵∠PBD=45°.
∴QD=DB.
由△QDG≌△DBH,可得Q(-1.3).
∴直线 BP的解析式为
∴点P的坐标为((0. ).
方法三：如下左图所示，与方法二类似，作等腰 Rt△DQB后，构造阴影所示的全等三角形亦可得 Q(-1.3)
方法四：如下右图所示，构造正方形中的半角模型，由阴影全等可得 PD=DK+PO.设 P(0. m),在△CDP 中.
解得
8.(1)①∵直线 BE与y轴平行.
∴B( .0).∠FBA=90°,BF=1.
在 Rt△FAB 中,. ∴点A的坐标为
∴抛物线的解析式为
②点Q的坐标为
(2)∵2b+c=-2,b=-2-t,∴c=2t+2.
由 解得
∵t>0,∴A(2.0),B(2t+2.0).∴AB=2t+2-2=2t,即k=2.
方法一:过点 D作 DG∥x轴交BE于点G,AH∥BE交直线 DG于点 H,延长DH 至点M,使 HM=BF.
∵DG∥x轴,λH∥BE,∴四边形ABGH是平行四边形.
∵∠ABF=90°,∴四边形ABGH是矩形.
同理四边形 CBGD是矩形.
∴AH=GB=CD=AB=GH=2t.
∵∠HAB=90°,∠DAF=45°,∴∠1+∠2=45°.
∴△AFB≌△AMH.
∴∠1=∠3,AF=AM,∠4=∠M.∴∠3+∠2=45°.
∴△AFD≌△AMD.
∴∠DFA=∠M,FD=MD.∴∠DFA=∠4.
∵C是AB的中点,∴DG=CB=HD=t.
设 BF=x,则GF=2t-x,FD=MD=t+x.
在 Rt△DGF 中,DF =DG +GF , ∴(t+x) =r +(2t-x) ,解得
方法二:过点 D 作 DM⊥AF 于M(如下图所示).
由∠NAC=∠NDM.
∴tan∠NAC=tan∠NDM. ∴NC=DM.
∵CD=AB=2t,∴AC=t,AD=/ t,DM=AM=// ,.
设 CN=x,则
在 Rt△DNM中,
解得
∵EB∥y轴,∴EB⊥x轴.∵CD⊥AB,∴CD∥EB.
②如下左图所示，过点 P、B分别作过点 A 且平行于x轴的直线的垂线，垂足分别为 G、H.
设 P(a,-2a-2),A(m,m ).
∵PA=AB,∴△PAG≌△BAH.
∴AG=AH,PG=BH,∴B(2m-a,2m +2a+2)
将点 B坐标代入抛物线
得
∴无论a为何值时，关于 m的方程总有两个不等的实数根，即对于任意给定的点 P，抛物线上总能找到两个满足条件的点 A.
(3)设直线m:y=kx+b(k≠0)交y轴于点 D,设 A(m,m ),B(n. n ).
如下右图所示，过 A、B两点分别作 AG、BH 垂直x轴于G 、H ,
∵△AOB 的外心在AB 上,∴∠AOB=90°.
由△AGO∽△OHB,得
∴mn=-1.
联立 得 依题意，得m. n是方程 的两根.
∴mn=-b.∴b=1.即 D(0.1).
∵∠BPC=∠OCP.
∴DP=DC=3.
设 P(a,-2a-2),过点 P作 PQ⊥y轴于点Q.
在 Rt△PDQ中.
即a +(-2a-2-1) =3 .
∴a =0(舍去)、

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