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图形的旋转和中心对称 专项练习
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课标内容 课标要求 目标层次
图形的旋转 了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角相等 ★
能按要求作出简单的平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角 ★★
中心对称 会识别中心对称图形
二、核心纲要
1.旋转的定义及其有关概念
在平面内，将一个图形绕一个定点 O 沿某个方向转动一个角度，就叫做图形的旋转，定点O称为旋转中心，转动的角称为旋转角；如右图所示，线段AB绕点O 顺时针转动 得到 A与 B 与 是对应点，点O就是旋转中心， 是旋转角.
注：旋转的三要素：(1)旋转中心；(2)旋转方向；(3)旋转角.
2.旋转的性质
(1)旋转前后的图形全等；即对应线段相等，对应角相等.
(2)对应点到旋转中心的距离相等.
(3)任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角.
3.旋转作图
旋转作图的步骤：(1)明确旋转中心、旋转方向和旋转角.
(2)找出原图形中的各顶点在新图形中的对应点的位置.
(3)按原图形中各顶点的排列规律，将这些对应点连成一个新的图形.
(4)写出结论.
4.旋转对称图形
把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角(旋转角大于( 小于
5.中心对称和中心对称图形
(1)中心对称的定义：如果把一个图形绕着某一点旋转 后能与另一个图形完全重合，则这两个图形成中心对称，这个点是对称中心. 这两个图形的对应点叫做关于对称中心的对称点.
(2)中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形是全等形.
②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
③关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或者在同一条直线上)且相等.
(3)中心对称图形的定义：如果把一个图形绕着某一点旋转 后能与自身重合，则这个图形叫做中心对称图形.
(4)中心对称和中心对称图形的联系和区别
①区别：中心对称是指两个全等图形之间的对称关系，而中心对称图形是指一个图形两部分的对称关系.
②联系：都是把图形旋转 如果把中心对称的两个图形看作一个整体，那么这个图形就是中心对称图形；如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看作两个图形，那么这两个图形就成中心对称.
6.关于原点对称的点的坐标:P(x,y)关于原点对称P′(-x,-y)
本节重点讲解：一个作图，两个性质，四个定义(旋转、旋转对称图形、中心对称和中心对称图形).
三、全能突破
基础演练
1.下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ).
2.如图23-1-1 所示,两个边长相等的正方形 ABCD 和EFGH,正方形 EFGH 的顶点 E 固定在正方形ABCD 的对称中心位置，正方形 EFGH 绕点E 顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为 S，旋转的角度为θ，S 与θ的函数关系的大致图像是( ).
3.平面直角坐标系中，O为坐标原点，点 A 的坐标为( ,1),将OA 绕原点按逆时针方向旋转 30°得 OB,则点 B 关于原点的对称点的坐标为( ).
A.(1, ) D.(2,0)
4.如图23-1-2所示,点 D 是等边 内一点，若 绕点A 逆时针旋转后能与 重合，则旋转了 度.
5.如图23-1-3 所示,在△ABC中,∠C=30°,将△ABC绕点A 顺时针旋转60°得到△ADE,AE 与BC 交于点 F,则, ，直线 CB与DE 所夹锐角的度数为 .
6.如图23-1-4 所示,在△ABC中,. .将△ABC 绕点C 逆时针旋转至△A'B'C,使得点 A'恰好落在 AB 上,连接 BB',则 BB'的长度为 .
7.如图23-1-5 所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，△OAB 的顶点都在格点上，请将△OAB 绕点 C 顺时针旋转 90°,画出旋转后的△OA'B'.
8.如图 23-1-6 所示,在 Rt△ABC中,∠ABC=90°,点 D 在 BC 的延长线上,且 BD=AB,过 B 作 BE⊥AC,与 BD的垂线DE 交于点E,
(1)求证:△ABC≌△BDE.
(2)△BDE可由△ABC旋转得到，利用尺规作出旋转中心 O(保留作图痕迹，不写作法).
能力提升
9.如图23-1-7 所示,OA⊥OB,等腰直角三角形CDE 的腰CD 在OB 上,∠ECD=45°,将三角形 CDE 绕点 C 逆时针旋转 75°,点 E 的对应点 N 恰好落在OA 上,则 的值为( ).
A. B. C.
10.如图23-1-8 所示,点P 是正方形ABCD 边AB 上一点(不与A、B重合),连接PD 并将线段 PD 绕点P 顺时针旋转 90°,得线段 PE,连接 BE,则∠CBE 等于( ).
A.75° B.60° C.45° D.30°
11.如图23-1-9 所示,E、F 分别是正方形ABCD 的边 BC、CD上的点, ,连接AE、BF.将 绕正方形的对角线的交点O按顺时针方向旋转到△BCF，则旋转角是( ).
A.45° B.120° C.60° D.90°
12.如图23-1-10 所示,在正方形ABCD 外取一点E,连接AE、BE、DE.过点A 作AE 的垂线交DE 于点P.若AE=AP=1,PB= .下列结论:①△APD≌△AEB;②点 B 到直线 AE 的距离为 ;③EB⊥ED;④S△APD+S△APB=1+ ;⑤S正方形ABCD=4+ 其中正确结论的序号是( )..
A.①③④ B.①②⑤ C.③④⑤ D.①③⑤
13.如图23-1-11 所示,在 Rt△ABC中,AB=AC,点 D 为 BC 中点.∠MDN=90°,∠MDN 绕点 D 旋转,DM、DN 分别与边AB、AC交于E、F两点.下列结论:(③S四边形AEDF=AD·EF,④AD与EF 可能互相平分,其中正确结论的个数是( ).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
14.如图23-1-12 所示,在△ABC中,AB=BC,将△ABC 绕点 B 顺时针旋转α,得到△A BC ,A B 交AC 于点 E,A C 分别交 AC、BC于点 D、F,下列结论:①∠CDF=α,②A E=CF,③DF=FC,④AD=CE,⑤A F=CE.其中正确的是 (写出正确结论的序号).
15.如图23-1-13 所示,在平面直角坐标系中,点A在x轴上,△ABO是直角三角形,∠ABO=90°,点B 的坐标为(-1,2),将△ABO绕原点O顺时针旋转90°,得到△A B O,则点 B 关于原点的对称点坐标为 .
16.如图23-1-14 所示,已知正方形 ABCD, 点 E 在 BC 边上, 将△DCE 绕某点G 旋转得到△CBF,点F 恰好在AB 边上.
(1)请画出旋转中心G(保留画图痕迹) ，并连接GF、GE.
(2) 若正方形的边长为2a, 当CE= 时,S 当CE= 时,
17.如图23-1-15(a)所示,已知∠ABC=90°,△ABE 是等边三角形,点P 为射线BC 上任意一点(点 P 与点 B 不重合),连接AP,将线段 AP绕点A 逆时针旋转 60°得到线段 AQ,连接 QE 并延长交射线 BC于点F.
(1)如图 23-1-15(b),当 BP=BA时,∠EBF= °,猜想∠QFC= °.
(2)如图 23-1-15(a),当点 P 为射线 BC 上任意一点时,猜想∠QFC的度数,并加以证明.
(3)已知线段. ，设 BP=x，点 Q到射线BC的距离为y，求 y关于x的函数关系式.
18.已知:在△AOB 与△COD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=90°.
(1)如图23-1-16(a)所示,点C、D 分别在边 OA、OB 上,连接 AD、BC,点 M 为线段 BC 的中点,连接OM，则线段 AD 与OM 之间的数量关系是 ，位置关系是 .
(2)如图23-1-16(b)所示,将图 23-1-16(a)中的△COD 绕点 O 逆时针旋转,旋转角为( .连接AD、BC，点M 为线段BC 的中点，连接OM.请你判断(1)中的两个结论是否仍然成立.若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
(3)如图23-1-16(c)所示,将图 23-1-16(a)中的 △COD 绕点O 逆时针旋转到使. 的一边OD恰好与△AOB 的边OA 在同一条直线上时，点C 落在OB 上，点 M 为线段BC 的中点.请你判断
(1)中线段 AD与OM 之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明.
中考链接
19.(北京)下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ).
20.(江西南昌)如图23-1-17 所示,正方形ABCD 与正三角形AEF 的顶点A 重合,将△AEF 绕顶点 A 旋转,在旋转过程中,当 BE=DF 时,∠BAE的大小可以是 .
21.(湖南怀化)如图23-1-18(a)所示,四边形 ABCD 是边长为3/2的正方形,长方形 AEFG 的宽 长 将长方形 AEFG 绕点A 顺时针旋转 15°得到长方形 AMNH(如图 23-1-18(b)所示),这时 BD 与MN 相交于点O.
(1)求∠DOM 的度数.
(2)在图23-1-18(b)所示中,求 D、N 两点间的距离.
(3)若把长方形 AMNH 绕点A 再顺时针旋转 15°得到长方形 ARTZ,请问此时点 B 在矩形ARTZ 的内部、外部、还是边上 并说明理由.
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巅峰突破
22.如图23-1-19 所示,在 Rt△ABC中,已知 点 D 在边 BC 上,. 把1 绕着点 D 逆时针旋转 后，如果点 B 恰好落在初始. 的边上，那么m= .
23.如图23-1-20所示,已知正方形 OABC在平面直角坐标系xOy中,点A、C分别在x轴、y轴的正1半轴上，点O在坐标原点.等腰直角三角板 OEF的直角顶点O在原点，E、F 分别在OA、OC 上，且 将三角板 OEF 绕O点逆时针旋转至. 的位置，连接
(1)求证:
(2)若三角板OEF 绕O点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得( .若存在，请求出此时E点的坐标；若不存在，请说明理由.
基础演练
1. C 2. B 3. B 4.60 5.90;60° 6. 7.略
8.(1)证明:在 Rt△ABC中.
∵∠ABC=90°,∴∠ABE+∠DBE=90°.
∵BE⊥AC,∴∠ABE+∠A=90°.
∴∠A=∠DBE.
∵DE是BD 的垂线,∴∠D=90°.
∵∠A=∠DBE,AB=BD,∠ABC=∠D,
∴△ABC≌△BDE.
(2)作法一：如下左图所示，点O就是所求的旋转中心.作法二：如下右图所示，点 O 就是所求的旋转中心.
能力提升
9. C 10. C 11. D 12. D 13. C
14.①②⑤ 15.(-2,-1)
16.(1)参考下图:
或
17.(1)∠EBF= 30°.∠QFC=60°.
(2)∠QFC=60°.不妨设 BP> AB.如下图所示
∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP,∠EAQ=
∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP,∴∠BAP=∠EAQ.
在△ABP 和△AEQ中,∵AB=AE,∠BAP=∠EAQ,
AP=AQ.∴△ABP≌△AEQ.
∴∠AEQ=∠ABP=90°.∴∠BEF=180°-∠AEQ-
(3)在下图中,过点 F 作FG⊥BE于点G.
∵△ABE是等边三角形.
,由(1)得∠EBF=30°.
在 Rt△BGF中,
∵△ABP≌△AEQ.∴QE=BP=x.
∴QF=QE+EF=x+2.
过点 Q作QH⊥BC,垂足为 H,在 Rt△QHF 中,y=QH
即y关于x的函数关系式是：
18.(1)线段AD与OM 之间的数量关系是AD =2OM,位置关系是AD⊥OM.
(2)(1)中的两个结论仍然成立.
证明：如右图所示，延长 BO 到 F，使FO=BO.连接CF.
∵M为BC中点,O为BF 中点,
∴MO为△BCF的中位线.
∴FC=2OM.
∵∠AOB =∠AOF=∠COD=90°,
∴∠AOD =∠FOC.
∵AO=FO,CO=DO.
∴△AOD≌△FOC.
∴FC=AD. ∴AD=2OM.
∵MO为△BCF 的中位线,∴MO∥CF.
∴∠MOB =∠F.
又∵△AOD≌△FOC,∴∠DAO=∠F.
∵∠MOB+∠AOM=90°,∴∠DAO+∠AOM=90°.
即AD⊥OM.
(3)(1)中线段 AD 与OM 之间的数量关系没有发生变化.
证明:如下图,延长 DC 交 AB 于点 E,连接 ME,过点 E作EN⊥AD于点N.
∵OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=90°,
∴∠A=∠D=∠B=∠BCE=∠DCO=45°.
∴AE=DE,BE=CE,∠AED=90°.
∴DN=AN. ∴AD=2NE.
∵M为BC的中点,∴EM⊥BC.∴四边形 ONEM 是矩形.∴NE=OM.∴AD=2OM.
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19. A 20.15°或165°
21.(1)如下左图所示,设 AB 与 MN 相交于点 K,根据题意得:∠BAM=15°.∵四边形 AMNH 是矩形,∴∠M=90°.∴∠AKM=90°-∠BAM=75°.∴∠BKO=∠AKM=75°.∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABD=45°.
∴∠DOM=∠BKO+∠ABD=75°+45°=120°.
(2)连接AN,交 BD于I,连接DN。
∴AN=7.∴AN=2NH=7.∴∠HAN=30°.
由旋转的性质:∠DAH=15°.∴∠DAN=45°.
∵∠DAC=45°,∴A、C、N共线.
∵四边形ABCD是正方形,∴BD⊥AC.
在 Rt△DIN 中,.
(3)点 B在矩形ARTZ 的外部.理由如下:
如下右图所示，根据题意得：
在 Rt△ARK 中,AK =RK +AR ,
∴点 B 在矩形ARTZ 的外部.
巅峰突破
22.80°和120°
23.(1)∵四边形 OABC为正方形,∴OC=OA,∠AOC=90°.∵三角板 OEF 是等腰直角三角形..
.即∠AOE =∠COF .
(2)存在.
①如下图所示，当(
∴∠CF O=90°.又∠AE O=∠CF O.
过点 E 做 E G⊥OA于点G,在 Rt△AOE 中.
∴E (1, ).
②如下图所示,当△EOF 旋转至△E OF 位置时,同样有 OE ∥CF ,此时点 E 的坐标为((1,- ).

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