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与圆有关的位置关系 专项练习
一、课标导航
课标内容 课标要求 目标层次
点与圆的位置关系 了解点与圆的位置关系 ★
直线与圆的位置关系 了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关 系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念 ★
能判定直线与圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线与圆的位置关系解决简单问题 ★★
能解决与切线有关的问题 ★★★
圆与圆的位置关系 了解圆与圆的位置关系 ★
二、核心纲要
1.点与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点 P 到圆心O 的距离为d，则点与圆的位置关系如下表：
位置关系 图形 性质及判定
点在圆外 d>r 点 P 在⊙O的外部
点在圆上 d=r 点 P 在⊙O的圆周上
点在圆内 d2.确定圆的条件
(1)圆的确定
确定一个圆有两个基本条件：①圆心(定点)，确定圆的位置；②半径(定长)，确定圆的大小.
(2)过已知点作圆
①经过点A 的圆：以点A 以外的任意一点O 为圆心，以OA 的长为半径，即可作出过点A 的圆，这样的圆有无数个.
②经过两点 A、B 的圆：以线段AB 中垂线上任意一点O 为圆心，以 OA 的长为半径，即可作出过点A、B的圆，这样的圆也有无数个.
③过三点的圆：若三点 A、B、C 共线时，过三点的圆不存在；若三点 A、B、C 不共线时，圆心是线段AB 与BC 的中垂线的交点，而这个交点O 是唯一存在的，这样的圆有唯一一个.
④过n(n≥4)个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心.
(3)定理：不在同一直线上的三点确定一个圆.
注：①“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；
②“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”.
(4)三角形的外接圆
①经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
②三角形的外心的性质
(j)三角形的外心是指此三角形外接圆的圆心，它是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；
()三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合；
()锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆的半径的等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.
3.直线和圆的位置关系
(1)设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表所示：
位置关系 图形 定义 性质及判定
相离 直线与圆没有公共点 d>r 直线l与⊙O相离
相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点 d=r 直线l与⊙O 相切
相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线，公共点叫做交点 d(2)直线和圆的位置关系还可以如下表所示：
直线和圆的位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2 1 0
圆心到直线的距离d与半径r的关系 dr
公共点名称 交点 切点 _-
直线名称 割线 切线
4.切线的性质及判定
(1)切线的性质
定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
(2)切线的判定
①定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.
②距离法：圆心到直线的距离等于圆的半径，这条直线是圆的切线.
③定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
(3)切线长
①定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
②定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
5.三角形内切圆
(1)定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.
(2)多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形.
6.圆和圆的位置关系
设⊙O 、⊙O 的半径分别为R、r(其中 R>r)，两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表所示：
位置关系 图形 定义 性质及判定
外离 两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部 d>R+r 两圆外离
外切 两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部 d=R+r 两圆外切
相交 两个圆有两个公共点 R-r内切 两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部 d=R-r 两圆内切
内含 两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例 0≤d本节重点讲解：本节重点讲解：三个位置关系、三个定理(切线的判定和性质定理、切线长定理).
三、全能突破
基础演练
1.平面内一点 P 到⊙O上一点的最大距离为5，最小距离为1，则⊙O的半径为( ).
A.2 B.3 C.4 D.3 或2
2.两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB 与小圆相切，则弦 AB 的长为( ) cm.
A.3 B.4 C.6 D.8
3. AB 是⊙O的弦,BC与⊙O 相切于点B,连接OA 、OB.若∠A=20°,则∠ABC 等于( ).
A.20° B.70° C.110° D.70°或 110°
4.已知⊙O 的半径为5，直线 l和点 O 的距离为d，若直线l与⊙O 有公共点，则 d 的取值范围是 .
5.半径分别为3cm和4cm的两圆内切，这两圆的圆心距为 cm.
6.在 Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则△ABC外接圆半径的长为 .
7.已知矩形 ABCD的边AB=3,AD=4,如图24-2-1所示.
(1)以 A 为圆心,4 为半径作⊙A,则 B、C、D 与⊙A的位置关系如何
(2)若以点 A 为圆心作⊙A，使 B、C、D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是多少
8.如图24-2-2所示,已知CD是△ABC中AB 边上的高,以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F,点G是AD 的中点.求证:GE 是⊙O的切线.
9.如图24-2-3 所示,点 O在 的平分线上，⊙O与 PA 相切于点C.
(1)求证:直线 PB与⊙O 相切.
(2) PO的延长线与⊙O交于点E,若⊙O的半径为3, ,求弦CE的长.
10.如图24-2-4所示,AB 是半圆的直径,O为圆心,AD、BD 是半圆的弦,且
(1)判断直线 PD是否为⊙O的切线，并说明理由.
(2)如果∠BDE=60°,PD= ,求 PA的长.
能力提升
11.已知⊙O的半径为8cm，直线l上有一点 B到圆心O的距离等于8cm，则直线 l和⊙O的位置关系是( ).
A.相离 B. 相切 C. 相交 D.相交或相切
12.如图24-2-5 所示,已知A、B两点的坐标分别为(2,0)、(0,2),⊙C的圆心坐标为(-1,0),半径为1.若 D 是⊙C上的一个动点,线段 DA 与y 轴交于点 E,则△ABE 面积的最小值是( ).
A.2 B.1
13.△ABC内接于⊙O,AB=AC,BC=6,点O到 BC 的距离为4,则 AB= .
14.在 Rt△ABC中,AC=3,BC=4,若以点 C 为圆心,R 为半径作与斜边AB 只有一个公共点的圆,则 R的取值范围是 .
15.如图24-2-6所示,平面直角坐标系中,⊙O半径长为1,点 P(a,0) ,⊙P 的半径为2,把⊙P 向左平移,当⊙P 与⊙O相切时,a的值为 .
16.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，2)，⊙A的半径是2，⊙P 的半径是1，满足与⊙A及x轴都相切的⊙P有 个.
17.如图24-2-7(a)所示,AB 是⊙O的直径,AC 是弦,直线 EF 和⊙O相切于点C,AD⊥EF,垂足为 D.
(1)求证:∠CAD=∠BAC.
(2)如图24-2-7(b)所示,若把直线 EF 向上移动,使得 EF 与⊙O相交于G,C两点(点C 在点G 的右侧)，连接AC、AG，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与∠CAD 相等的角 若存在，找出一个这样的角，并证明；若不存在，说明理由.
18.如图24-2-8 所示,直角梯形 ABCD中, 且AD+BC=CD.
(1)以 CD为直径作⊙O,求证:AB与⊙O相切.
(2)以 AB为直径作⊙O′,求证:CD与⊙O′相切.
19.如图24-2-9 所示,已知直线l与⊙O 相离,OA⊥l于点 A,OA=5,OA 与⊙O 相交于点P,AB 与⊙O相切于点B,BP 的延长线交直线l于点 C.
(1)试判断线段 AB与AC的数量关系，并说明理由.
(2)若 求⊙O的半径.
(3)若在⊙O上存在点Q，使△QAC 是以AC 为底边的等腰三角形，求⊙O 的半径r的取值范围.
中考链接
20.(广西玉林)如图24-2-10所示,Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边 AB、BC分别相切于点D、E,过劣弧DE(不包括端点D,E)上任一点 P 作⊙O的切线MN 与AB,BC分别交于点M,N,若⊙O的半径为r,则 Rt△MBN的周长为( ).
A. r C.2r
21.(江苏泰州)如图24-2-11 所示,⊙O的半径为4cm,直线l与⊙O相交于A, B两点, P为直线l上一动点，以1cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点.设PO=d cm，则d的取值范围为 .
22.(连云港)如图24-2-12 所示,圆周角∠BAC=55°,分别过B、C两点作⊙O的切线,两切线相交于点 P,则∠BPC= °.
23.(浙江丽水)如图24-2-13 所示,AB 为⊙O的直径,EF 切⊙O 于点 D,过点 B 作 于点 H,交⊙O于点 C,连接 BD.
(1)求证:BD平分∠ABH;
(2)如果AB=12,BC=8,求圆心O到BC的距离.
巅峰突破
24.在平面直角坐标系中,直线y=kx+b(k为常数且k≠0)分别交x轴、y轴于点A、B,⊙O半径为 个单位长度.
(1)如图24-2-14(a),若点 A 在x轴正半轴上,点 B 在 y 轴正半轴上,且OA=OB.
①求 k 的值;
②若b=4,点 P 为直线y=kx+b上的动点,过点 P 作⊙O的切线 PC、PD,切点分别为 C、D,当 PC⊥PD时,求点 P 的坐标.
(2)若 直线 y=kx+b将圆周分成两段弧长之比为1:2,求b的值(图24-2-14(b)供选用).
基础演练
1. D 2. C 3. D 4.0≤d≤5 5.1 6.5
7.(1) 点 B 在⊙A内,点 D在⊙A上,点 C在⊙A外;(2)38.如右图所示,连接OE,DE.
∵CD是⊙O的直径,∴∠AED=∠CED=90°.
∵G是AD的中点,
∵OE=OD,∴∠3=∠4.∠1+∠3=∠2+∠4.即∠OEG=∠ODG.
∵CD⊥AB,∴∠ODG=90°.
∴∠OEG=90°.∴GE是⊙O的切线.
9.(1)过点 O作OD⊥PB于点D,连接OC.
∵PA切⊙O于点C,∴OC⊥PA.
又∵点O在∠APB的平分线上,∴OC=OD.
∴PB与⊙O相切.
(2)过点 C作CF⊥OP 于点 F.
在 Rt△PCO中,.
∵OC·PC=OP·CF=2S△rco.∴CF= .
在 Rt△COF中,
10.(1)PD是⊙O的切线.
连接OD,∵OB=OD,∴∠ODB=∠PBD.
又∵∠PDA=∠PBD.∴∠PDA=∠ODB.
又∵AB是半圆的直径,∴∠ADB=90°.
即∠ADO+∠ODB=90°. ∴∠ADO+∠PDA=90°.
即OD⊥PD.∴PD是⊙O的切线.
(2)∵∠BDE=60°,∠ODE=90°,∠ADB=90°,
∴∠ODB=30°,∠ADO=60°.
∵OA=OD,∴△AOD是等边三角形.
∴∠POD=60°.∴∠P=∠PDA=30°.
在 Rt△PDO中,设 (不合题意,舍去).∴PA=1.
能力提升
11. D 12. C 13. /10或
14. R=2.4 或317.(1)连接OC,则 OC⊥EF,且OC=OA,
∴∠OCA=∠OAC.
∵AD⊥EF,∴OC∥AD.∴∠OCA=∠CAD,
∴∠CAD=∠OAC.即∠CAD=∠BAC.
(2)与∠CAD 相等的角是∠BAG.
连接 BG.
∵四边形 ACGB是⊙O的内接四边形，
∴∠ABG+∠ACG=180°.
∵D、C、G共线,∴∠ACD+∠ACG=180°.
∴∠ACD=∠ABG.
∵AB是⊙O的直径,∴∠AGB=90°.
∴∠BAG+∠ABG=90°.
∵AD⊥EF,∴∠CAD+∠ACD=90°.
∴∠CAD=∠BAG.
18.(1) 取CD、AB的中点O、G,∴OG∥AD∥BC,
∴AB 与⊙O 相切.
(2)取AB 的中点O',连接 DO'并延长交CB 延长线于F,易证△AO'D≌△BO'F,
∴AD=BF,∴CF=AD+BC=CD.
∴∠CDF=∠CFD=∠O'DA.
过O'作OH⊥CD于 H,易知(
∴CD与⊙O'相切.
19.(1)AB=AC; 连接OB,则OB⊥AB,
∴∠CBA+∠OBP=90°,又∵OP=OB,
∴∠OBP=∠OPB,又∵∠OPB=∠CPA,OA⊥l,
∴∠PCA+∠CPA=90°,∴∠PCA=∠CBA,
∴AB=AC
(2)设⊙O的圆半径为r,则OP=OB=r,PA=5-r;
(3)如下图所示,作线段 AC 的垂直平分线 MN,作 OE⊥MN.
则
又∵⊙O要与直线MN 交点
又∵⊙O与直线l相离,∴r<5.
∴⊙O的半径r的取值范围为
中考链接
20. C 21. d>5 或 2≤d<322.70
23.(1)如右图所示,连接OD.∵EF是⊙O的切线,
∴OD⊥EF.
又∵BH⊥EF,∴OD∥BH.
∴∠ODB=∠DBH.
而 OD=OB,∴∠ODB=∠OBD.
∴∠OBD=∠DBH.∴BD平分∠ABH.
(2)过点O作OG⊥BC于点G,则BG=CG=4,
在 Rt△OBG中,(
巅峰突破
24.(1)①根据题意得:B的坐标为(0. b).
∴OA=OB=b.∴A的坐标为(b.0).
代入y=kx+b得k=-1.
②如下图所示，过 P作x轴的垂线，垂足为 F，连接OD.
∵PC、PD是⊙O的两条切线,∠CPD=90°,
∵∠PDO=90°,∠POD=∠OPD=45°,
∴OD=PD= ,OP= / .
∵点 P在直线y=-x+4上,设 P(m,-m+4),
则OF=m,PF=-m+4.
解得m =1,m =3,
∴P的坐标为(1.3)或(3.1)
(2)设直线y=kx+b交⊙O于点 D、E.
∴A(2b.0),B(0,b).
在 Rt△AOB 中,OB +OA =AB .
如下图所示,过点 O 作 OC⊥AB,连接 OE,由题意得∠DOE=120°.
在 Rt△DOC 中,
∴OB·OA=AB·OC=2S△AOB.
或

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