资源简介

6.2.1排列 导学案
学习目标
1.理解排列、排列数的概念.
2.能利用计数原理推导排列数公式，并掌握排列数公式及其变形，能运用排列数公式熟练地进行相关计算.
3.能熟练地运用排列知识解决一些有关排列的实际问题.
4.通过实例，体验数学知识的形成与发展，学会分析问题、解决问题的方式，培养解决实际问题的能力.
重点难点
1.重点：
（1）理解排列的定义及排列数的计算；
（2）将具体问题抽象为将元素排成一列的问题,解决问题并归纳出共同特点，进而得到排列的概念;
（3）在运用排列解决实际问题时，将实际问题抽象成排列问题.
2.难点：
（1）将实际问题中的具体对象抽象为元素，得到排列的定义；
（2）运用排列解决计算问题.
课前预习 自主梳理
知识点一　排列的定义
排列:一般地,从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素,并按照 一定顺序 排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
知识点二　排列相同的条件
两个排列相同的充要条件：
（1）两个排列的 元素 完全相同．
（2）元素的排列 顺序 也相同．
（1）排列中“一定顺序”的含义是什么
（2）排列定义中的两个要素是什么
3.排列中元素所满足的两个特性
（1）无重复性:从n个不同元素中取出m（m≤n）个不同的元素,否则不是排列问题.
（2）有序性:安排这m个元素时是有顺序的,有序的就是排列,无序的不是排列.检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置,看结果是否发生变化,有变化就是有顺序,无变化就是无顺序.
（1）每一个排列中元素的位置是确定的吗
（2）同一个排列中,同一个元素能重复出现吗
自主检测
1．判断正误，正确的写“正确”，错误的写“错误”．
（1）123与321是相同的排列．( )
（2）同一个排列中，同一个元素不能重复出现．( )
（3）在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．( )
（4）从4个不同元素中任取3个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．( )
2．，，，，五名学生按任意次序站成一排，其中和不相邻，则不同的排法种数为（ ）
A．72 B．36 C．18 D．64
3．下列问题是排列问题的是（ ）
A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？
B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？
C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？
D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？
4．6个停车位置,有3辆汽车需要停放,若要使3个空位连在一起,则停放的方法种数为(　　)
A． B． C． D．
5．名男同学、名女学生和位老师站成一排拍照合影，要求位老师必须站正中间，队伍左右两端不能同时是一男学生与一女学生，则总共有（ ）种排法．
A． B． C． D．
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
1.复习两个计数原理
问题1从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法
根据分步乘法计数原理，不同的选法种数为．
追问：你能列举出各种不同的选法吗？
这6种不同的选法如图6.2-1所示．
追问：如果把上面问题中被选出的对象叫做元素，那么你会表述问题1吗？
如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，那么问题可叙述为：
从3个不同的元素a，b，c中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法
追问：你能用元素列出所有不同的排列吗？
所有不同的排列是
ab，ac，ba，bc，cb，ca．
不同的排列方法种数为
．
问题1中的“顺序”是什么？
环节二 观察分析，感知概念
问题2从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数
显然，从4个数字中，每次取出3个，按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，就得到一个三位数．因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数．
可以分三个步骤来解决这个问题：
第1步，确定百位上的数字，从1，2，3，4这4个数字中任取1个，有4种方法；
第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法；
第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法．
根据分步乘法计数原理，从1，2，3，4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，不同的排法种数为
．
因而共可得到24个不同的三位数，
追问：你能用树状图列出所有不同的三位数吗？
由此可写出所有的三位数：
123，124，132，134，142，143，
213，214，231，234，241，243，
312，314，321，324，341，342，
412，413，421，423，431，432．
同样，问题2可以归结为：
从4个不同的元素中任意取出3个，并按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法
所有不同的排列是
不同的排列方法种数为
问题2中的“顺序”是什么？
环节三 抽象概括，形成概念
问题3：上述问题1，2的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？
问题1和问题2都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排成一列的方法数．
一般地，从个不同元素中取出个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列(arrangement)．
追问：如何判断两个排列是否相同？
根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同．例如，在问题1中，“甲乙”与“甲丙”的元素不完全相同，它们是不同的排列；“甲乙”与“乙甲”虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．又如，在问题2中，123与134的元素不完全相同，它们是不同的排列；123与132虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．
环节四 辨析理解，深化概念
例1某省中学生足球赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛
追问：如何利用计数原理求出比赛的场数？
环节五 概念应用，巩固内化
例2（1）一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法
（2）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法
环节六 归纳总结,反思提升
1.用以下问题引导学生归纳总结：
（1）如何抽象出排列的定义？
（2）如何判断一个计数问题是否是排列问题？
（3）如何列举所有的排列？
（1）排列的定义：顺序性．
（2）“树形图”法列举排列．
（3）排列的简单应用．
2.在解决问题时，用到了哪些数学思想？
设计意图：通过问题引导学生回顾总结本节课学习的内容，让学生加深对新知的理解.
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：第16 17页练习第1,2,3题.
备用练习
6．旅游体验师小李受某网站邀请，决定在甲 乙 丙 丁这四个景区进行体验式旅游已知他不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则他可选的旅游路线的条数为（ ）
A．24 B．18 C．16 D．10
7．在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲、乙、丙、丁四位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙、丁必须排在一起，则四位专家的不同发言顺序共有（ ）
A．12种 B．8种 C．6种 D．4种
8．从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共有（ ）
A．60种 B．80种 C．100种 D．120种
9．随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有3个完全相同的“冰墩墩”，甲、乙、丙、丁、戊5位运动员要与这3个“冰墩墩”站成一排拍照留念，则有且只有2个“冰墩墩”相邻的排队方法数为（ ）．
A．3600 B．1440 C．720 D．480
10．一排个座位坐了个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）．
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1． 错误 正确 错误 错误
【分析】根据排列的定义逐一判断即可.
【详解】（1）根据排列的定义可得123与321是不相同的排列，故错误；
（2）根据排列的定义可知，同一个排列中，同一个元素不能重复出现，故正确；
（3）根据排列的定义知，在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列发生变化，故错误；
（4）从4个不同元素中任取3个元素，还要按一定的顺序排成一列才是排列，故错误.
故答案为：错误；正确；错误；错误.
2．A
【分析】先将其余三人全排列，利用插空法求解.
【详解】解：先将其余三人全排列，共有种情况，
再将和插空，共有种情况，
所以共有种情况，
故选：A.
3．B
【分析】排列问题是与顺序问题有关的问题，只有B选项涉及顺序，由此可得结果.
【详解】对于A，名同学中选取名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误；
对于B，个人互相通信，涉及到顺序问题，是排列问题，B正确；
对于C，个点中任取点，不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误；
对于D，个数字中任取个，根据乘法交换律知结果不涉及顺序，不是排列问题，D错误.
故选：B.
4．D
【分析】将3个空位看成一个整体，与原有的3辆汽车全排列即可．
【详解】将3个空位看成一个整体，问题转化为4个元素全排列问题，即.
【点睛】相邻元素捆绑法：就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个大元素．
5．C
【分析】先把6个学生按要求排列，要求两端都是男生或都是女生，再从中间空位中插入两个老师，根据分步计数原理求得结果．
【详解】解：根据题意，先把6个学生排列；
①若两端都是男生，则有种排法，
②若两端都是女生，则有种排法，
再从中间空位中插入两个老师，有种排法．
根据分步计数原理，满足条件的排列共有种排法，
故选：C．
6．D
【分析】小李可选的旅游路线分两种情况：① 最后去甲景区旅游，可的路线有条；② 不最后去甲景区旅游，可选路线有条.
【详解】解：小李可选的旅游路线分两种情况：① 最后去甲景区旅游，则可选的路线有条；② 不最后去甲景区旅游，则可选的路线有条.
所以小李可选的旅游路线的条数为.
故选：D.
7．C
【分析】先排甲，再将丙、丁捆绑在一起当一个元素排，再排乙.
【详解】当甲排在第一位时，共有种发言顺序，
当甲排在第二位时，共有种发言顺序，
所以一共有种不同的发言顺序.
故选：C.
8．D
【分析】利用排列的定义直接列式求解.
【详解】从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共（种）．
故选:D．
9．A
【分析】根据题意，由“捆绑法”与“插空法”，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为3个“冰墩墩”完全相同，将其中两个“冰墩墩”捆绑，记为元素，另外一个“冰墩墩”记为元素，
先将甲、乙、丙、丁、戊5位运动员全排列，即，
然后将元素插入这五位运动员所形成的空中，即，
则不同的排法种数为.
故选：A
10．C
【分析】由已知，现将每一个家庭内部成员进行排列，每个家庭为种排法，那么三个家庭则是种排法，然后再对三组家庭整体进行排序，即种排法，最后组合在一起即可.
【详解】有已知题意可知，
先将每一个家庭的内部成员进行去排列，共有种排法，
将每个三口之家看成一个元素，三个整体元素进行排列，共有种排法，
所以不同的坐法种数为．
故选：．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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