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6.2.2 排列数 导学案
学习目标
1．能在排列基础上给出排列数的定义和表示，并能区别排列与排列数.
2．通过利用计数原理分析和解决具体的排列问题，得到排列数公式，并能利用公式求具体 问题的排列数
重点难点
重点：排列数公式.
难点：排列数公式的应用.
课前预习 自主梳理
知识点一　排列数的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 不同排列的个数 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示.
思考　排列与排列数相同吗？
答案　排列数是元素排列的个数，两者显然不同．
知识点二　排列数公式及全排列
1．排列数公式的两种形式
（1）A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.
（2）A＝.
2．全排列
将n个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示，于是n个元素的全排列数公式可以写成：A＝n! ，另外规定，0！＝1.
3.排列数及排列数公式
排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 不同排列 的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数
排列数表示法
全排列 n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，且=n(n-1)(n-2)×…×3×2×1
阶乘 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示
排列数公式 乘积式 =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=
阶乘式 =
性质 = n! ，0!=1
备注 n，m∈N*，m≤n
（1）“得到从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列”的含义是什么
提示:“得到从n个不同元素中取出m个元素的一个排列”，包含两个方面:①从n个不同元素中取出m个元素;②按照一定顺序排列.
（2）排列与排列数有何不同
提示:排列与排列数是两个不同的概念，“排列”是指从n个不同元素中取出m个元素按照一定顺序排成一列，是一种排法;“排列数”是指从n个不同元素中取出m个元素所得不同排列的个数，是一个数，用表示.
自主检测
1．判断正误，正确的写“正确”，错误的写“错误”．
（1）由于排列数的阶乘式是一个分式，所以其化简的结果不一定是整数.( )
（2）在排列的问题中，总体中的元素可以有重复.( )
（3）用1，2，3这三个数字组成无重复数字的三位数123与321是不相同的排列.( )
（4）若，则.( )
2．如果，那么，分别为（ ）
A．15，10 B．15，9 C．15，6 D．16，10
3．等于（ ）
A． B． C． D．
4．某铁路所有车站共发行132种普通客票，则这段铁路共有车站数是
A．8 B．12 C．16 D．24
5．，则m等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
问题1：在6.2.1节问题1、问题2中，我们是根据计数原理和列举数数的方式得到排列的个数.但随着元素个数的增加，这样的方法就越来越烦琐了.是否有计算排列个数的公式，从而能便捷地求出排列的个数？
前面给出了排列的定义，下面探究计算排列个数的公式．
我们把从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示．
符号中的A是英文arrangement（排列）的第一个字母．
师:请你分别算出上一节问题1、问题2的排列数，并用排列数符号表示.
例如，前面问题1是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数，表示为．已经算得
．
问题2是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，表示为．已经算得
．
师:请你思考一下，排列数的符号与计算结果之间有什么联系？
环节二 观察分析，感知概念
问题2：从n个不同元素中取出m个元素的排列数是多少？
追问（1）：我们已经知道，6.2.1节问题1的排列数，问题2的排列数，那么如何 求排列数
可以先从特殊情况开始探究，例如求排列数．根据前面的求解经验，可以这样考虑：
假定有排好顺序的两个空位，如图6.2-3所示，从n个不同元素中取出2个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就得到一个排列；反之，任何一种排列总可以由这种填法得到．因此，所有不同填法的种数就是排列数．
现在来计算有多少种填法．完成“填空”这件事可以分为两个步骤完成：
第1步，填第1个位置的元素，可以从这个不同元素中任选1个，有种选法；
第2步，填第2个位置的元素，可以从剩下的个元素中任选1个，有种选法．
根据分步乘法计数原理，2个空位的填法种数为
．
追问（2）：如何求排列数
同理，求排列数可以按依次填3个空位来考虑，有
．
追问(3)：你能类比求排列数和的方法，求排列数吗？
一般地，求排列数可以按依次填个空位来考虑：
假定有排好顺序的个空位，如图6.2-4所示，从个不同元素中取出个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就对应一个排列．因此，所有不同填法的种数就是排列数．
填空可以分为个步骤完成：
第1步，从个不同元素中任选1个填在第1位，有种选法；
第2步，从剩下的个元素中任选1个填在第2位，有种选法；
第3步，从剩下的个元素中任选1个填在第3位，有种选法；
……
第步，从剩下的个元素中任选1个填在第位，有种选法．
根据分步乘法计数原理，个空位的填法种数为
．
这样，我们就得到公式
这里，，并且．这个公式叫做排列数公式．
环节三 抽象概括，形成概念
你能说一下排列数公式的特点吗？
问题3：上述排列数公式有什么特点？使用公式需要注意什么？
根据排列数公式，我们就能方便地计算出从n个不同元素中取出个元素的所有排列的个数．例如，
，
．
特别地，我们把个不同的元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列．
这时，排列数公式中，即有
．
也就是说，将个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到的连乘积．正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示．于是，个元素的全排列数公式可以写成
另外，我们规定，．
环节四 辨析理解 深化概念
例3 计算：（1）；（2）；（3）；（4）．
思考
由例3可以看到，；，即．观察这两个结果，从中你发现它们的共性了吗
追问：观察这两个结果，从中发现它们的共性了吗？能否将它进行推广？
事实上，
因此，排列数公式还可以写成
．
环节五 概念应用，巩固内化
例4用0～9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数
对于例4这类计数问题，从不同的角度就有不同的解题方法．解法1根据百位数字不能是0的要求，按分步乘法计数原理完成从10个数中取出3个数组成没有重复数字的三位数这件事；解法2是以0是否出现以及出现的位置为标准，按分类加法计数原理完成这件事；解法3是一种间接法，先求出从10个数中取出3个数的排列数，然后减去其中百位是0的排列数(不是三位数的个数)，就得到没有重复数字的三位数的个数．
从上述问题的解答过程可以看到，引入排列的概念，归纳出排列数公式，我们就能便捷地求解“从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数”这类特殊的计数问题．
环节六 归纳总结，反思提升
1.本节课学习的概念有哪些？
（1）排列数、排列数公式．
（2）全排列、阶乘、0！＝1.
（3）排列数的应用：排队问题(相邻、不相邻、定序等问题)．
2.教师引导学生回顾本节课学习的主要内容，并让学生回答下列问题：
（1）排列与排列数是两个不同的概念，这两个概念有什么不同？
（2）排列数公式是如何推导的？推导过程体现了什么样的数学思想与方法？
（3）如何应用排列与排列数公式分析解决问题？
3.在解决问题时，用到了哪些数学思想？
方法归纳：直接法、优先法、捆绑法、插空法、除阶乘法、间接法．
4．常见误区：忽视A中“n，m∈N*”这个条件．
环节七 目标检测，作业布置
教材第20页练习第3题，教材第26页习题6.2第1， 8题.
备用练习
6．若，则（ ）
A．1 B．6 C．7 D．8
7．（ ）
A． B． C． D．
8．用0，1，2，3，4可以组成的无重复数字的能被3整除的三位数的个数是（　　）
A．20 B．24 C．36 D．48
9．计算：（1）；
（2）.
10．7名学生站成一排，若甲、乙相邻，但都不和丙相邻，则不同的排法种数是（　　）
A．480 B．960 C．720 D．360
11．5人站成一排照相，甲不站在两端的站法有（ ）
A．24种 B．72种 C．96种 D．120种
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1． 错误 错误 正确 错误
【分析】根据排列数的定义，性质和意义一一判断即可.
【详解】(1) ×.排列数是从若干个元素中取出若干个元素的排列的个数,所以排列数一定是整数.
(2)×.在排列问题中总体内元素不能重复.
(3)√.根据排列的定义可以判断123与321是不同的排列.
(4)×.在中m表示连乘因数的个数,所以.
2．C
【分析】由排列数的计算公式，可得解
【详解】∵，∴，.
故答案为：C
3．B
【分析】根据排列数的算法，即可求解.
【详解】解：，
故选：B
4．B
【详解】设共有 个车站，在个车站中，每个车站之间都有2种车票，相当于从个元素中拿出 个进行排列，共有 ， ，故选B.
5．B
【分析】利用排列数公式列方程求解即可.
【详解】，而，
所以，即.
故选：B
6．D
【分析】根据排列数公式，将已知条件展开，即可得出答案.
【详解】由已知，.
因为，
.
则由可得，，
整理可得，解得.
故选：D.
7．C
【分析】利用排列数的定义直接求得.
【详解】由排列数的定义可得：
故选：C
8．A
【分析】能被3整除的三位数的数字组成为012，024，123，234四种情况，分别写出排列数，最后相加得结果．
【详解】因为能被3整除的三位数的数字组成为012，024，123，234四种情况，
所以对应排列数分别为，
因此满足条件的三位数一共有个．
故选：A．
9．（1）12；（2）466.
【分析】（1）由排列数公式化简后再解方程可得；
（2）由组合数性质求得的范围，求得，再利用组合性质变形后计算．
【详解】（1）由，得，且，解得；
（2）由题意，，解得．
∴.
【点睛】本题考查排列数公式和组合数公式，掌握排列数和组合数性质是解题关键．在组合数中一定要注意上标不大于下标．
10．B
【分析】先将甲、乙捆绑，看作一个元素，然后对甲、乙、丙之外的4名学生全排列，最后结合插空法进行排列计算，即可求解；
【详解】先将甲、乙捆绑，看作一个元素，有种排法，
然后将除甲、乙、丙之外的4名学生全排列，有种不同的排法，
再将甲、乙、丙插入5个空中的两个，有种不同的排法，
因此，一共有种不同排法.
故选：B.
11．B
【分析】先排出甲的位置:甲不站在两端,有种；再排剩余的4人有.由分步计数原理可得出答案.
【详解】5人站成一排照相，甲不站在两端,只能站3个位置，
因此有种站法.
故选：B.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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