资源简介

6.2.3 组合 导学案
学习目标
1. 理解组合、组合数的概念及组合和排列之间的区别与联系；
2. 能利用计数原理推导组合数公式，并熟练掌握组合数公式及组合数的性质，能运用组合数的性质化简、计算、证明；
3. 能运用排列数公式、组合数公式和计数原理解决一些简单的应用问题，提高数学应用能力和分析问题、解决问题的能力.
重点难点
1.重点：双曲线的定义及双曲线的标准方程
2.难点：运用双曲线的定义及标准方程解决相关问题
课前预习 自主梳理
知识点一　组合及组合数的定义
1．组合
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合数
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．
知识点二　排列与组合的关系
相同点 两者都是从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素
不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序
关系 组合数C与排列数A间存在的关系 A＝CA
知识点三　组合数公式
组合数 公式 乘积 形式 C＝， 其中m，n∈N*，并且m≤n
阶乘 形式 C＝
规定：C＝1.
知识点四　组合数的性质
性质1：C＝C.
性质2：C＝C＋C.
自主检测
1．判断正误，正确的写正确，错误的写错误．
（1）从3，5，7，11中任取两个数相除属于组合问题.( )
（2）由于组合数的两个公式都是分式，所以结果不一定是整数.( )
（3）区别组合与排列的关键是看问题元素是否与顺序有关.( )
（4）从三个不同元素中任取两个元素作为一组是组合问题．( )
（5）“”“”与“”是三种不同的组合．( )
（6）组合数.( )
（7）两个组合相同，则其对应的元素一定相同．( )
2．甲、乙两名同学从生物、地理、政治、化学中各选两门进行学习，若甲、乙不能同时选生物，则甲、乙总的选法种数有（ ）
A． B． C． D．
3．小王同学家3楼与4楼之间有8个台阶，已知小王一步可走一个或两个台阶，那么他从3楼到4楼不同的走法总数为（ ）
A．28种 B．32种 C．34种 D．40种
4．从甲乙等名同学中随机选名参加社区服务工作，则甲乙不同时入选有（ ）种情况
A． B． C． D．
5．以下四个问题，属于组合问题的是（ ）
A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列
B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
问题1. 从甲乙丙三名同学中选两名去参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题与6.2.1节问题一有什么联系与区别？
师生活动：
教师提出问题，学生思考辨析、讨论交流.
让学生充分讨论交流后，找几名代表分享讨论结果.
本节问题1中的所有选法有3种情况：甲乙，甲丙，乙 丙.选法与顺序无关.
6.2.1节问题1中的所有选法有6种情况：甲乙，乙甲， 甲丙，丙甲，乙丙，丙乙.选法与顺序有关.
设计意图：通过对这两个问题的辨析，让学生理解这 两类问题的本质区别，为引入组合的概念奠定基础.
分析：在6.2.1节问题1的6种选法中，存在“甲上午、乙下午”和“乙上午、甲下午”2种不同顺序的选法，我们可以将它看成是先选出甲、乙2名同学，然后再分配上午和下午而得到的．同样，先选出甲、丙或乙、丙，再分配上午和下午也都各有2种方法．而从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，就只需考虑将选出的2名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序．于是，在6.2.1节问题1的6种选法中，将选出的2名同学作为一组的选法就只有如下3种情况：．
甲乙，甲丙，乙丙．
将具体背景舍去，上述问题可以概括为：
从3个不同元素中取出2个元素作为一组，一共有多少个不同的组
这就是我们要研究的问题．
师生活动：可以根据学生的具体情况，选择下列合适的问题引导学生对问题1进行分析：
（1）问题1中要完成的“一件事情”是什么？比较6. 2. 1节问题1与本节问题1中要完成的 “一件事情”，它们有什么异同？
（2）列出问题1的各种不同选法，与6. 2.1节问题1的选法相比，它们有什么不同？是否与顺序有关？
设计意图：既检测了分析解决排列问题的情况，又在排列问题的基础上引出组合问题，为抽 象得到组合的概念作准备.
环节二 观察分析，感知概念
问题2：6.2.1节中的问题1可归结为“从3个不同的 元素中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多 少种不同的排列方法 ”类似地，应该如何表述本节问题 1呢？
师生活动：如果学生作上述归纳有困难，可引导他们思考下列问题：
（1）在6. 2.1节中，把问题1归结为“从3个不同的元素中任意取出2个，并按一定的顺序 排成一列，共有多少种不同的排列方法 ”类似地，应该如何表述本节问题1呢？
（2）在6. 2.1节中，把问题1和问题2推广为一般形式“从个不同元素中取出个元素，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法 ”类似地，应该如何将本节问题1推广到一般情形呢？
在问题2的基础上，给出组合的定义：
设计意图：通过类比排列定义的得出过程，归纳得出 组合的定义，让学生体会类比与归纳在抽象数学概念中的 作用，提升学生的数学抽象核心素养.
环节三 抽象概括，形成概念
组合的相关概念
1.组合:一般地，从个不同元素中取出个元素作为一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合（combination）．
2.相同组合:两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的.
设计意图：类比排列概念的形成，从特殊到一般得出组合的概念.
问题3：你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗？
师生活动：可引导学生结合下列具体问题进行思考：
（1）列出6. 2.1节问题1中相同元素的排列，这样的排列共有几组？
（2）对比本节问题1与6. 2. 1节问题1，它们所取的元素是否相同？它们与顺序是否有关 本节问题1的组合个数与6. 2.1节问题1的排列数有何关系？
（3）“从〃个不同元素中取出加个元素的组合”与“从〃个不同元素中取出相个元素的排列”的联系与区别分别是什么？
（1）共同点:两者都是从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素.
（2）不同点:排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关.
师生活动：教师引导学生根据排列、组合的定义，抓住是否有“顺 序”这个关键点解决问题.
环节四 辨析理解，深化概念
从排列与组合的定义可以知道，两者都是从个不同元素中取出个元素，这是它们的共同点．但排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关．只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的；而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的．例如，在上述探究问题中，“甲乙”与“乙甲”的元素完全相同，但元素的排列顺序不同，因此它们是相同的组合，但不是相同的排列．由此，以“元素相同”为标准分类，就可以建立起排列和组合之间的对应关系，如图6.2-7所示．
由此，6.2.1节问题1的6个排列可以分成每组有2个不同排列的3个组，也就是上面探究问题的3个组合．
思考：校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆．下面的问题是排列问题，还是组合问题
（1）从中选3辆，有多少种不同的方法
（2）从中选3辆给3位同学，有多少种不同的方法
（1）与顺序无关，是组合问题；
（2）选出3辆给3位同学是有顺序的，是排列问题.
师生活动：教师引导学生根据排列、组合的定义，抓住是否有“顺序”这个关键解决问题. 在教学中，还可以让学生举出不同的具体实例，并说明这些例子是否属于组合问题，通过这些实 例增强对组合的认识.
设计意图：通过分析、比较组合与排列的实例，以及利用概念判断是排列问题还是组合问 题，厘清排列与组合的联系和区别，让学生利用排列与 组合的定义进行辨析，加深对这两个概念的理解，进一步明确组合的概念，提升学 生的数学建模核心素养.
环节五 概念应用，巩固内化
例5平面内有A，B，C，D共4个点
（1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条
（2）以其中2个点为端点的线段共有多少条
分析：（1）确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑它们的顺序，是排列问题；
（2）确定一条线段，只需确定两个端点，而不需考虑它们的顺序，是组合问题．
解：（1）一条有向线段的两个端点要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段的条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为．
这12条有向线段分别为．
（2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有如下6条：．
师生活动：教师要引导学生判断是排列问题还是组合问题，关键是下面两个问题：
（1）要完成的“一件事情”是什么？
（2）完成的“一件事情”是否与“顺序”有关？
设计意图：通过分析和解决具体的排列与组合问题，帮助学生理解组合的概念.
问题4：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同” 为标准分类，你能建立起例5（1）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？
进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？
设计意图：让学生区分有向线段与线段这两个概念， 进一步辨析排列与组合的概念，加深对排列与组合概念的 理解与认识.
环节六 归纳总结，反思提升
1.教师引导学生回顾本节课所学知识，并让学生结合实 例说明：
（1）如何判断一个计数问题是排列问题还是组合问题？
（2）如何求一个组合问题的所有组合个数？组合个数与排列个数的关系是什么？
2.知识清单：
（1）组合与组合数的定义．
（2）排列与组合的区别与联系．
（3）用列举法写组合．
设计意图：通过两个问题的设计，让学生回顾本节课 学习的内容，提升学生归纳总结的能力.
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：教科书第26页习题6.2第4，7题.
备用练习
6．某人上班从家到单位的路上途经6个红绿灯路口，遇到4次绿灯，2次红灯，则2次红灯不相邻的情况有多少种（ ）
A．5 B．10 C．15 D．30
7．将4个不加区分的红球和2个不加区分的黄球随机排一行，则2个黄球不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（ ）
A．90 B．120 C．210 D．216
9．将4个6和2个8随机排成一行，则2个8不相邻的情况有（ ）
A．480种 B．240种 C．15种 D．10种
10．现安排编号分别为1，2，3，4的四位抗疫志愿者去做三项不同的工作，若每项工作都需安排志愿者，每位志愿者恰好安排一项工作，且编号为相邻整数的志愿者不能被安排做同一项工作，则不同的安排方法数为（ ）
A．36 B．24 C．18 D．12
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1． 错误 错误 正确 正确 错误 正确 正确
【分析】根据题意，由排列数与组合数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】（1）由于两个数相除与顺序有关，所以是排列问题，故错误；
（2）表示从个元素中取个元素的情况种数，故一定是正整数，故错误；
（3）组合与排列不同之处是组合选出的元素没有顺序而排列有顺序，故正确；
（4）由于从三个元素中取两个元素与顺序无关，所以是组合问题，故正确；
（5）由于组合与顺序无关，所以“”“”与“”是一种情况，故错误；
（6）由组合数的计算可得，故正确；
（7）两个组合相同的充要条件就是其中元素完全相同，一一对应，故正确；
故答案为：错误，错误，正确，正确，错误，正确，正确
2．A
【分析】分别求出甲选生物和甲不选生物时，甲、乙的选法种数，然后利用加法计数原理即可.
【详解】当甲选生物，乙不选生物时，甲、乙的选法有种；
当甲不选生物，乙随便选，甲、乙的选法有种，
则甲、乙总的选法有种．
故选：.
3．C
【分析】分五种情况：8，7，6，5，4步走完楼梯，每一种情况的方法数都求出来再相加即可．
【详解】①8步走完楼梯，走8步走一个台阶，有1种；
②7步走完楼梯，走1步两个台阶6步一个台阶，有种；
③6步走完楼梯，走2步两个台阶4步一个台阶，有种；
④5步走完楼梯，走3步两个台阶2步一个台阶，有种；
⑤4步走完楼梯，走4步两个台阶，有1种，
共计34种．
故选：C．
4．C
【分析】利用组合数的运算和间接法求解即可.
【详解】若随机选3名，则有种情况，其中甲乙同时入选有种情况，
甲乙不同时入选有种情况.
故选：C.
5．C
【分析】根据组合的定义即可得到答案.
【详解】只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题，而A,B,D均与顺序有关.
故选：C.
6．B
【分析】利用插空法即得.
【详解】因为2次红灯不相邻，
所以在4次绿灯所形成的5个空插入红灯共有种.
故选：B.
7．C
【分析】根据插空法和古典概型的概率公式可求出结果.
【详解】将4个不加区分的红球和2个不加区分的黄球随机排一行，共有种，
其中2个黄球不相邻的有种，
所以所求事件的概率为.
故选：C
8．C
【分析】根据题意：分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上；第二类，有2人站在同一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，算出每类的站法数，然后再利用分类计数原理求解.
【详解】因为甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，且每级台阶最多站2人，
所以分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上，共有：种站法；
第二类，有2人站在同一台阶上，剩余1人独自站在一个台阶上，共有：种站法；
所以每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置的不同的站法总数是.
故选：C
【点睛】本题主要考查排列组合的应用以及分类计数原理的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.
9．D
【分析】将2个8插空放入不相邻的5个空位，即可得解.
【详解】解：将2个8插空放入不相邻的5个空位（4个6之间有5个空位）中有方法，
故2个8不相邻的情况有种.
故选：D
10．C
【分析】先按照要求将志愿者分为3组，再分配到三项工作，最后由分步计数原理求解即可.
【详解】先将四位志愿者分为2人、1人、1人共3组，有1号和3号一组；2号和4号一组；1号和4号一组共3种情况；
再将3组志愿者分配到三项工作有种；
按照分步乘法计数原理，共有种.
故选：C.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑