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6.2.4组合数 导学案
学习目标
1.能利用计数原理推导组合数公式.
2.能解决有限制条件的组合问题.
3.通过研究组合数公式及解决有限制条件的组合问题，提升逻辑推理及数学运算素养.
重点难点
1. 重点：组合数公式.
2. 难点：推导和应用组合数公式.
课前预习 自主梳理
1．组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号表示．
2．组合数公式
组合数公式可以由排列数公式表示，注意公式的结构
．
规定C＝1.
自主检测
1．判断正误，正确的打“正确”，错误的打“错误”．
（1）.( )
（2）.( )
（3）“从3个不同元素中取出2个元素合成一组”，叫做“从3个不同元素中取出2个元素的组合数”．( )
2．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．（ ）
A． B． C． D．
4．5名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排2名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种 B．90种 C．60种 D．30种
5．将个不同的球放入个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同放法共有种
A． B． C． D．
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
问题1：在上一节中,我们通过列举数数的方式得到各问 题的所有组合个数，但随着元素个数的增加，这样的方法就越 来越烦琐了.是否能像排列数公式一样，也找到计算组合个数 的公式，从而可以便捷地求出所有组合的个数？
问题2从集合中取出3个元素组成三元子集，共有哪些不同的子集？
引导语在问题1中，我们通过列举数数的方式得到各问题的组合个数，但随着元素个数的增加，这种方法越来越繁琐了.能否像排列一样，也能找到计算组合个数的公式，从而能便捷得求出组合个数？
组合数与组合数公式
类比排列数，我们引进组合数概念：
1.组合数的定义：从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．
符号中的C是英文combination(组合)的第一个字母．组合数还可以用符号表示.
【设计意图】结合已解决的具体问题，类比排列数给出组合数的定义和表示，并与相似的组合概念做对比，引入组合数公式.
例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数表示为，从4个不同元素中取出3个元素的组合数表示为．
师：你能辨析组合与组合数这两个概念吗？
生：组合与组合数是两个不同的概念，组合数是组合 的个数.
【设计意图】学生自己获得组合数的定义与组合数的符号 表示，并用组合数的符号表示上一节的问题中涉及的组合数. 让学生学以致用，为下面学习和推导组合数公式作铺垫.
问题3：前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数来求组合数呢
环节二 观察分析，感知概念
前面，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的两个排列不同”，以“元素相同”为标准，建立了排列和组合之间的对应关系，并求得了从3个不同元素中取出2个元素的组合数．
追问（1）求从4个不同的元素中取出3个元素的排列数和组合数.
运用同样的方法，我们来求从4个不同元素中取出3个元素的组合数．设这4个元素为a，b，c，d，那么从中取出3个元素的排列数，以“元素相同”为标准将这24个排列分组，一共有4组，如图6.2-8所示，因此组合数．
观察图6.2-8，也可以这样理解求“从4个元素中取出3个元素的排列数”：
第1步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有种不同的取法；
第2步，将取出的3个元素作全排列，共有种不同的排法．
于是，根据分步乘法计数原理，有，即．
环节三 抽象概括，形成概念
追问（2）将求的方法推广为一般形式，如何求组合数？
师生活动：求“从个不同元素中任取个元素的排列数”，可以由以下两步得到：
第1步：从个不同元素中任取个元素作为一组，共有种不同的取法；
第2步：将取出的个元素作全排列，共有种不同的排法.
根据分布乘法计数原理，有，因此，
同样地，求“从个元素中取出个元素的排列数”，可以看作由以下两个步骤得到：
第1步，从个不同元素中取出个元素作为一组，共有种不同的取法；
第2步，将取出的个元素作全排列，共有种不同的排法．
根据分步乘法计数原理，有 ．
因此，，
这里，并且，这个公式叫做组合数公式．
因为，
环节四 辨析理解，深化概念
追问（3）：由的公式，你能得到的公式吗？
【师生活动】
所以，上面的组合数公式还可以写成.
另外，我们规定．
问题3：上述组合数公式有什么特点？使用公式需要注意什么？
例6 计算：（1）；（2）；（3）；（4）．
【师生活动】在完成例6的过程中，可以向学生提出下列问题：
（1）比较用不同形式的组合数公式和结论求上述各题，你对公式和结论的选择有什么想法？
（2）分别观察例中(1)与(2),(3)与(4)的结果，你有什么发现和猜想？
【设计意图】通过利用公式求组合数，以把握公式的结构，加深对公式的理解.
解：根据组合数公式，可得
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
思考：观察例的（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现 （1）与（2）分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法
1.公式(m,n∈N*,且m≤n),一般用于求值计算.
2.公式(m,n∈N*,且m≤n),一般用于化简证明.在具体选择公式时,要根据题目特点正确选择.
3.根据题目特点合理选用组合数的两个性质,能起到简化运算的作用,需熟练掌握.
环节五 概念应用，巩固内化
例7在100件产品中，有98件合格品，2件次品、从这100件产品中任意抽出3件．
（1）有多少种不同的抽法
（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种
（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种
【师生活动】在完成例7的过程中，可以向学生提出下列问题：
（1）这是一个排列问题还是组合问题？
（2）应该根据什么计数原理解决问题？
（3）能否对同一问题给出不同的方法？
（4）能否归纳求组合问题的一般方法？
【设计意图】通过应用公式解决问题，及时巩固组合数公式，形成解决组合问题的一般方法.
分析：（1）从100件产品中任意抽出3件，不需考虑顺序，因此这是一个组合问题；
（2）可以先从2件次品中抽出1件，再从98件合格品中抽出2件，因此可以看作是一个分步完成的组合问题；
（3）从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品的情况，因此可以看作是一个分类完成的组合问题．
解：（1）所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以抽法种数为
；
（2）从2件次品中抽出1件的抽法有种，从98件合格品中抽出2件的抽法有种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为
．
从2件次品中抽出1件的抽法数可以是吗
（3）方法1：（直接法） 从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为
．
方法2：（间接法）抽出的件中至少有件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即
．
当和取较小数值时，可以通过手算得出和．当和取较大数值时，可以使用信息技术工具，以使计算更快捷和准确．许多信息技术工具都有计算排列数和组合数的内部构造函数，输入和的值后，便可以直接得到结果．
追问你能总结一下解决组合问题的思路和方法吗？
【师生活动】引导学生梳理解决组合问题的一般思路——先分类，后分步；对于含有“至少”、“至多”等关键词的问题，可以使用直接法或间接法，通过分析两种方法的计算复杂度进行选择.
演示：当和较小时，可以通过手算得出.当和较大时，可以利用Excel等计算工具计算组合数.
组合问题的基本解法
（1）判断是否为组合问题;
（2）是否分类或分步;
（3）根据组合的相关知识进行求解.
环节六 归纳总结,反思提升
1.教师引导学生回顾本节课学习的主要内容，并让学生回答下列问题：
（1）提出一个组合问题，并结合问题说明组合与组合数的区别.
（2）组合数公式是如何推导的？
（3）如何解决组合问题？应用组合数公式时需要注意什么？
2.组合数的公式
3.组合数的性质
，
4.解决组合问题
“先分类，后分步” 直接法 间接法
5.发展能力
提高分析问题、解决问题的能力，发展数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：教材第26 27页习题6.2第2,10,12,13,15,16题.
备用练习
6．在“3+1+2”模式的新高考方案中，“3”是指语文、数学、外语三科为必考科目，“1”指在物理和历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理中任选两科，某学生根据自身的特点，决定按以下方法选课：①外语可选英语或日语，②若选历史，则政治和地理至多选一科，③物理和日语最多只能选一个，则这个同学可能的选课方式共有（ ）
A．6种 B．11种 C．12种 D．16种
7．我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类，《周礼·春宫》中记载，中国古典乐器一般按“八音”分类，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.现从“金、石、土、匏、丝”中任取三音，则三音来自两种不同类型乐器的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．现将甲乙丙丁四个人全部安排到市 市 市三个地区工作，要求每个地区都有人去，则甲乙两个人至少有一人到市工作的安排种数为（ ）
A．12 B．14 C．18 D．22
9．在一次抗洪救灾中，甲、乙、丙、丁4名党员被安排到A，B，C三个村，参与抗洪救灾任务，每个村至少安排1名党员，且甲不能安排到A村，则不同的分配方案种数为（ ）
A．12 B．14 C．24 D．28
10．某省示范性高中安排6名高级教师到甲、乙、丙三所中学进行支教，每所学校至少安排1人，则不同的分配方案有（　　）
A．150种 B．180种 C．270种 D．540种
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1． 错误 正确 错误
【分析】利用组合数公式计算判断（1）；利用组合数性质判断（2）；利用组合的意义判断（3）.
【详解】（1），（1）错误；
（2），（2）正确；
（3）“从3个不同元素中取出2个元素合成一组”，叫做“从3个不同元素中取出2个元素的一个组合”，（3）错误.
故答案为：错误；正确；错误
2．B
【分析】根据排列数和组合数的计算方法直接求解即可.
【详解】.
故选：B.
3．B
【分析】根据组合数公式即可求得答案.
【详解】由题意，.
故选：B．
4．D
【分析】根据分步计数原理和组合数的运算公式，即可求解.
【详解】由题意，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排2名，
则不同的安排方法共有种.
故选：D.
5．C
【详解】第一步：先从4个盒子中选一个盒子准备装两个球，有4种选法；第二步：从5个球里选出两个球放在刚才的盒子里，有种选法；第三步：把剩下的3个球全排列，有种排法，由乘法分步原理得不同方法共有种，故选C.
6．D
【分析】利用分类相加、分步相乘的计数原理进行讨论即可.
【详解】第一类：三门主科选语文、数学、日语时，此时不能选物理，只能选历史，且政治和地理至多选一门，即政治地理不能同时选，即种方式.
第二类：三门主科选择语文、数学、英语时，若选历史，则跟第一类同理种方式；若选物理，则化学、生物、政治、地理中任选两科无限制，即.
综上所述，所以选择方式为种方式.
故选：D
7．B
【分析】首先求出从五音中任取三音的取法种数，然后求出三音来自两种不同类型乐器的取法种数，最后利用古典概型的概率计算公式求解即可.
【详解】由题意可得，从“金、石、土、匏、丝”中任取三音，共有种不同的取法，
三音来自两种不同类型乐器的取法共有（种），
故所求概率.
故选：B.
【点睛】方法点睛：古典概型中基本事件个数的探求方法：
（1）列举法；（2）树状图法，适用于较为复杂的问题中的基本事件的探求；
（3）列表法，适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化；
（4）排列组合法，适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
8．D
【分析】分三种情况，结合排列组合知识进行求解出每种情况下的安排种数，相加即可.
【详解】若甲乙两人中的1人到市工作，有种选择，其余3人到另外两个地方工作，先将3人分为两组，再进行排列，有安排种数，故有种；
若甲乙两人中的1人到市工作，有种选择，丙丁中一人到市工作，有种选择，其余2人到另外两个地方工作，有种选择，故安排种数有种；
若安排甲乙2人都到市工作，其余丙丁2人到另外两个地方工作，安排种数有种，
故总共有12+8+2=22种.
故选：D
9．C
【分析】根据甲分在2人组，1人组分类讨论，再由排列组合及分类加法计数原理、分步乘法计数原理求解即可.
【详解】因为4名党员被安排到A，B，C三个村，每个村至少安排1名党员,
所以必须有2人一组，
分两类，第一类，甲在两人组，取1人与甲一组有种，分配到村，有种安排方法，其余2人分配到剩余2个村有种，由分步乘法计数原理可得种；
第二类，甲在1人组，先分配到B，C其中一个村，有种安排方法，再把剩余的人分成两组有种，分配到剩余2个村，有种分配方法，由分步乘法计数原理可得种，
根据分类加法计数原理可得，
故选：C
10．D
【分析】分类讨论人数的分配情况，结合分堆法和分类加法计数原理运算求解.
【详解】将6人分成3组，可以是1，1，4，也可以是1，2，3，也可以是2，2，2，
第一类，若分成1，1，4，有种安排方法；
第二类，若分成1，2，3，有种安排方法；
第三类，若分成2，2，2，有种安排方法；
根据分类加法计数原理，共有种不同的分配方案.
故选：D.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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