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7.2 离散型随机变量及其分布列 导学案
学习目标
（1）理解随机变量的意义．
（2）掌握离散型随机变量的概念．
（3）理解取有限值的离散型随机变量的分布列及两点分布的概念及表示．
（4）掌握离散型随机变量的分布列的性质．
（5）会求某些简单的离散型随机变量的分布列(含两点分布)．
重点难点
1.教学重点：离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的分布列的求法．
2.教学难点：学生在理解离散型随机变量及其分布列的概念基础上，结合实际问题写出随机变量的取值以及随机试验的结果，并求某些简单的离散型随机变量的分布列．
课前预习 自主梳理
知识点一 离散型随机变量的分布列
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和
（1）离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为 x1，x2，…，xn ，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称为分布列．
（2）可以用表格来表示X的分布列，如下表
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
还可以用图形表示，如下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X的概率分布图．
知识点二 离散型随机变量的分布列的性质
（1）pi≥0，i＝1，2，…，n；
（2） p1＋p2＋…＋pn＝1.
知识点三 两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，
定义，如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示
X 0 1
P 1－p p
我们称X服从两点分布或0－1分布．
自主检测
1．判断正误，正确的画“正确”，错误的画“错误”．
（1）在离散型随机变量分布列中随机变量的每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( )
（2）在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．( )
（3）在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.( )
（4）离散型随机变量的取值是任意的实数．( )
（5）随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( )
（6）离散型随机变量是指某一区间内的任意值．( )
（7）手机电池的使用寿命X是离散型随机变量．( )
（8）一只大熊猫一年内的体重是离散型随机变量.( )
2．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个球，下列选项中可以用随机变量表示的是（ ）．
A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球
C．取到白球的个数 D．取到球的个数
3．设随机变量X等可能取值1，2，3，…n，如果，那么（ ）
A． B． C． D．不确定
4．已知随机变量X的分布列如下表：
X 1 2 3 4
P m
则实数m的值为（ ）.
A． B． C． D．
5．袋中有2个黑球、6个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（ ）
A．取到的球的个数
B．取到红球的个数
C．至少取到1个红球
D．至少取到1个红球的概率
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
问题1 （复习随机变量与函数的概念）请同学们思考一下，随机试验的样本空间与实数集之间能否建立某种对应关系呢？
求随机事件的概率时，我们往往需要为随机试验建立样本空间，并会涉及样本点和随机事件的表示问题．类似函数在数集与数集之间建立对应关系，如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应，将不仅可以为一些随机事件的表示带来方便，而且能更好地利用数学工具研究随机试验．
探究1．有些随机试验的样本空间与数值有关系，我们可以直接与实数建立关系．
有些随机试验的样本点与数值有关系，我们可以直接与实数建立对应关系．例如，掷一枚骰子，用实数表示“掷出的点数为”；又如，掷两枚骰子，样本空间为，用表示“两枚骰子的点数之和”，样本点就与实数对应．
有些随机试验的样本点与数值没有直接关系，我们可以根据问题的需要为每个样本点指定一个数值．例如，随机抽取一件产品，有“抽到次品”和“抽到正品”两种可能结果，它们与数值无关．如果“抽到次品”用1表示，“抽到正品”用0表示，即定义
那么这个试验的样本点与实数就建立了对应关系．
类似地，掷一枚硬币，可将试验结果“正面朝上”用1表示，“反面朝上”用0表示；随机调查学生的体育综合测试成绩，可将等级成绩优、良、中等、及格、不及格分别赋值5，4，3，2，1；等等．
对于任何一个随机试验，总可以把它的每个样本点与一个实数对应．即通过引入一个取值依赖于样本点的变量X，来刻画样本点和实数的对应关系，实现样本点的数量化．因为在随机试验中样本点的出现具有随机性，所以变量X的取值也具有随机性．
【设计意图】通过具体的问题情境，引发学生思考积极参与互动，说出自己见解．从而建立离散型随机变量的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养．
环节二 观察分析，感知概念
探究2：考察下列随机试验及其引入的变量：
试验1：从100个电子元件（至少含3个以上次品）中随机抽取三个进行检验，变量X表示三个元件中的次品数；
试验2：抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y表示需要的抛掷次数．
这两个随机试验的样本空间各是什么？各个样本点与变量的值是如何对应的？变量X，Y有哪些共同的特征？
【设计意图】让学生亲身经历了从特殊到一般，获得离散型随机变量概念的过程．发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养．
对于试验1，如果用0表示“元件为合格品”，1表示“元件为次品”，用0和1构成的长度为3的字符串表示样本点，则样本空间
．
各样本点与变量的值的对应关系如图7.2-1所示．
对于试验2，如果用表示“正面朝上”，表示“反面朝上”，例如用表示第3次才出现“正面朝上”，则样本空间
，
包含无穷多个样本点．各样本点与变量的值的对应关系如图7.2-2所示．
追问 两个试验中变量X，Y 有哪些共同的特征
【设计意图】通过与函数概念的比较，让学生深化对随机变量的理解．发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养．
环节三 抽象概括，形成概念
在上面两个随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应．变量X，Y有如下共同点：
（1）取值依赖于样本点；
（2）所有可能取值是明确的．
一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量（random variable）．试验1中随机变量的可能取值为0，1，2，3，共有4个值；试验2中随机变量的可能取值为1，2，3，…，有无限个取值，但可以一一列举出来．像这样，可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量（discrete random variable）．通常用大写英文字母表示随机变量，例如；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如．
随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫（也翻译为契贝晓夫）（Chebyshev，1821-1894）在19世纪中叶建立和提倡使用的．
不难发现，随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点相当于函数定义中的自变量，而样本空间相当于函数的定义域，不同之处在于不一定是数集．随机变量的取值随着试验结果的变化而变化，这使我们可以比较方便地表示一些随机事件．
现实生活中，离散型随机变量的例子有很多．
例如，某射击运动员射击一次可能命中的环数X，它的可能取值为0，1，2，…，10；某网页在24 h内被浏览的次数Y，它的可能取值为0，1，2，……；等等
现实生活中还有大量不是离散型随机变量的例子．例如，种子含水量的测量误差X1；某品牌电视机的使用寿命X2；测量某一个零件的长度产生的测量误差X3．这些都是可能取值充满了某个区间、不能一一列举的随机变量．本节我们只研究取有限个值的离散型随机变量．
你能再举出一些离散型随机变量和不是离散型的随机变量的例子吗？
问题5 请大家进一步思考，在实际问题中对于每一个随机变量的值，对应的概率是多少吗？
探究3.抛掷一枚骰子，所得的点数X有哪些值？取每个值的概率是多少？
根据问题引入合适的随机变量，有利于我们简洁地表示所关心的随机事件，并利用数学工具研究随机试验中的概率问题．例如，掷一枚质地均匀的骰子，表示掷出的点数，则事件“掷出点”可以表示为
，事件“掷出的点数不大于2”可以表示为，事件“掷出偶数点”可以表示为，等等．由掷出各种点数的等可能性，可得
．
这一规律可以用表7.2-1表示．
表7.2-1
1 2 3 4 5 6
【设计意图】通过例题引出离散型随机变量的分布列的概念及性质.
【师生活动】 探究离散型随机变量的表示方法和性质.
环节四 辨析理解 深化概念
一般地，设离散型随机变量的可能取值为，我们称取每一个值的概率
为的概率分布列（list of probabllity distribution），简称分布列．
与函数的表示法类似，离散型随机变量的分布列也可以用表格表示（表7.2-2），还可以用图形表示．例如，图7.2-3直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X的概率分布图．
表7.2-2
……
……
根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质：
（1）；
（2）．
利用分布列和概率的性质，可以计算由离散型随机变量表示的事件的概率．例如，在掷骰子试验中，由概率的加法公式，得事件“掷出的点数不大于2”的概率为．
类似地，事件“掷出偶数点”的概率为
．
【设计意图】通过例题引出离散型随机变量的分布列的概念及性质.
【师生活动】 探究离散型随机变量的表示方法和性质.
环节五 概念应用，巩固内化
例1 一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义X ，
追问 本题中离散型随机变量的分布列有什么特殊性？
【设计意图】通过例题引出对两点分布的概念的理解.
解：根据的定义，“抽到次品”，“抽到正品”，的分布列为
，．
对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”，定义
如果，则，那么的分布列如表7.2-3所示．
表7.2-3
0 1
我们称X服从两点分布（two-point distribution）或0-1分布．实际上，X为在一次试验中成功（事件A发生）的次数（0或1）．像购买的彩券是否中奖，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，都可以用两点分布来描述．
例2 某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如表7.2-4所示．
表7.2-4
等级 不及格 及格 中等 良 优
分数 1 2 3 4 5
人数 20 50 60 40 30
从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数的分布列，以及．
解：由题意知，是一个离散型随机变量，其可能取值为1，2，3，4，5，且
“不及格”，“及格”，“中等”，“良”，
“优”．根据古典概型的知识，可得的分布列，如表7.2-5所示．
表7.2-5
1 2 3 4 5
．
例3 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台．如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列．
解：设挑选的2台电脑中品牌的台数为X，则X的可能取值为0，1，2．根据古典概型的知识，可得X的分布列为
，，．
用表格表示X的分布列，如表7.2-6所示．
表7.2-6
0 1 2
环节六 归纳总结，反思提升
（1）通过类比函数的定义引入随机变量的定义，对你有什么启发？
（2）为什么要研究离散型随机变量的分布列？离散型随机变量的分布列有什么作用？
（3）根据本节课所列举的例题，归纳求离散型随机变量分布列的一般步骤.
（4）离散型随机变量的分布列的性质在求随机事件概率的过程中起到什么作用？
【设计意图】通过问题设计，让学生梳理本节课所学的 内容及主要数学思想方法，引发学生深度思考.
环节七 目标检测，作业布置
完成：1.教材第60页练习第3，4题.
2.教材第61页习题7.2第4，5，6题.
备用练习
6．已知离散型随机变量的分布列，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图是某市10月份1日至14日的空气污染指数折线图，空气污染指数为0~50，空气质量级别为一级；空气污染指数为51~100，空气质量级别为二级；空气污染指数为101~150，空气质量级别为三级．某人随机选择10月份的1日至13日中的某一天到达该市，并停留2天．设X是此人停留期间空气质量级别不超过二级的天数，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知随机变量X的分布列如下表所示则的值等于
X 1 2 3 4 5
P 0.1 0.2 b 0.2 0.1
A．1 B．2 C．3 D．4
9．随机变量ξ的分布列如下：
其中，则等于（ ）
A． B．
C． D．
10．设随机变量的概率分布列为：
X 1 2 3 4
P m
则（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1． 错误 错误 正确 错误 正确 错误 错误 错误
【分析】利用离散型随机变量的意义，逐一判断各个命题即可得解.
【详解】（1）在离散型随机变量分布列中随机变量的每一个可能值对应的概率是区间上的某个值，（1）错误；
（2）在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和，（2）错误；
（3）在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1，（3）正确；
（4）离散型随机变量的取值是明确可知的，取值为有限个或可以一一列举出来，（4）错误；
（5）随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个，（5）正确；
（6）离散型随机变量可以一一列举出来，不是区间内的任意值，（6）错误；
（7）手机电池的使用寿命X的取值是某一区间内的任意非负实数，不能一一列举出，不是离散型随机变量，（7）错误；
（8）一只大熊猫一年内的体重是某一区间内的任意正实数，不能一一列举出，不是离散型随机变量，（8）错误.
故答案为：错误；错误；正确；错误；正确；错误；错误；错误
2．C
【分析】由随机变量的含义可知.
【详解】选项A，B是随机事件；选项D是定值2；选项C可能的取值为0，1，2，可以用随机变量表示．
故选：C．
3．C
【分析】根据随机变量的性质即可求解.
【详解】由于随机变量X等可能取值1，2，3，…n，所以，
由，所以，
故选：C
4．C
【分析】根据每个随机变量取值的概率之和为1即可得到答案.
【详解】由离散型随机变量分布列的性质可知：,
解得，
故选C.
5．B
【分析】根据随机变量的定义判断
【详解】A的取值不具有随机性，C是一个事件而非随机变量，D中概率值是一个定值而非随机变量，只有B满足要求
故选：B
6．A
【分析】根据分布列求得a的值，确定符合题意的X的值，结合，即可求得答案.
【详解】由已知离散型随机变量的分布列，
则，
由可得或，
故,
故选：A
7．C
【分析】由题知X的取值范围为，再计算即得.
【详解】由题意知，X的取值范围为，空气质量级别不超过二级的为10月份的1日、2日、3日、7日、12日、13日、14日，，
即要连续两天的空气质量级别不超过二级，所以此人应在10月份的1日、2日、12日、13日中的某一天到达该市，所以．
故选：C．
8．A
【分析】先求得进而求得，再利用运算性质求解
【详解】由题得，
所以
所以.
故选A
【点睛】本题主要考查分布列的性质和期望的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.若(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量， ，.
9．D
【分析】利用离散型随机变量的分布列中各概率之和为可求.
【详解】，且，
解得，
.
故选：D.
10．C
【分析】根据对立事件的概率公式求解即可.
【详解】依题意，，即事件的对立事件是的事件，
所以.
故选：C
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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