资源简介

7.3.2离散型随机变量的方差 导学案
学习目标
1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.
2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.
3.掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．
重点难点
1.重点：离散型随机变量的方差、标准差的概念及其应用.
2.难点：利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题.
课前预习 自主梳理
知识点一　离散型随机变量的方差、标准差
正确求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值
设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2 ，…，(xn－E(X))2 ，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，我们称
D(X)＝(x1－E(X))2 p1 ＋(x2－E(X))2 p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ (xi－E(X))2pi
为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)．
知识点二　离散型随机变量方差的性质
(1)设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)．
(2)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．
（3）D(c)＝0(其中c为常数)．
自主检测
1．判断正误，正确的填“正确”，错误的填“错误”．
（1）离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( )
（2）若a是常数，则. ( )
（3）离散型随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．( )
（4） 若a，b为常数，则.( )
（5）离散型随机变量的方差与标准差的单位是相同的. ( )
（多选）
2．（多选）下列说法中错误的是（ ）
A．离散型随机变量的均值反映了取值的概率的平均值
B．离散型随机变量的方差反映了取值的平均水平
C．离散型随机变量的均值反映了取值的平均水平
D．离散型随机变量的方差反映了取值的概率的平均值
3．已知，则（ ）
A．2 B． C． D．
4．随机变量的分布列是
1 2
若，则（ ）
A．1 B．4 C． D．
5．已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经统计，甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下：
时间/分钟 10~20 20~30 30~40 40~50
甲的频率 0.1 0.4 0.2 0.3
乙的频率 0 0.3 0.6 0.1
某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用表示甲、乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则的数学期望和方差分别是（ ）
A． B．
C． D．
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
引导语：离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律.但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便.
例如，要比较不同班级某次考试成绩，通常会比较平均成绩;要比较两名射箭运动员的射箭水平，一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性.
因此，类似于研究一组数据的均值和方差，我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差，它们统称为随机变量的数字特征.
随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”．因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小．所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征．
【设计意图】通过谈话，引入课题.
探究1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛．根据以往的成绩记录，甲、乙两名
同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如表7.3-6和表7.3-7所示．
表7.3-6 表7.3-7
X 6 7 8 9 10 Y 6 7 8 9 10
P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
如何评价这两名同学的射击水平？
【师生活动】教师提出探究问题，引导学生分析.
师：能不能用我们上一节课学习的均值分析这一问题？同学们尝试一下.
学生运算求解，求出甲、乙两名同学击中目标靶的环数的均值.
通过计算可得，，．
因为两个均值相等，所以根据均值不能区分这两名同学的射击水平．
追问1：平均水平相同，是不是这两名同学的射击水平就没有差距呢？我们还能不能从其他角度进一步考察这两名同学的射击水平呢？
评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度．图7.3-2和图7.3-3分别是X和Y的概率分布图，比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定．
追问2：从图中你能发现什么？
发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定.
追问3：上面的结论我们是通过观察概率分布图直观得到的，怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度？
【设计意图】通过具体的问题情境，让学生积极思考、参与互动，从而引入离散型随机变量的方差的概念，发展学生的逻辑推理、数学运算和数学抽象核心素养.通过问题1、问题2，为引入离散型随机变量的方差的概念作准备.
环节二 观察分析，感知概念
设离散型随机变量X的分布列如表7.3-8所示．
表7.3-8
…
…
考虑所有可能取值与的偏差的平方，，……，．因为取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量取值与其均值的偏离程度．我们称
为随机变量的方差（variance），有时也记为，并称为随机变量的标准差（standard deviation），记为．
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散．
教师提问：我们知道，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的.一个自然的想法是，随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢？
学生讨论，得出：可以用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度.
【设计意图】让学生经历离散型随机变量的方差概念的建构过程，进一步体会从特殊到一般的思想，培养学生归纳、类比等合情推理的能力，提升数学抽象、逻辑推理等核心素养.
环节三 抽象概括，形成概念
现在，可以用两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画他们射击成绩的稳定性．由方差和标准差的定义，两名同学射击成绩的方差和标准差分别为
，；
，．
因为（等价地，），所以随机变量的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定．
在方差的计算中，利用下面的结论经常可以使计算简化．
．
【设计意图】让学生利用方差和标准差的定义求解探究1提出的问题，学以致用，提高学生的应用意识.
问题3：方差的计算可以简化吗？
教师提出问题，先让学生思考，再出示简化的结果.
方差描述随机变量取值的离散程度，了解方差的性质，除了简化计算外，还有助于更好地理解其本质．
探究：离散型随机变量加上一个常数，方差会有怎样的变化？离散型随机变量乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？
【设计意图】有助于学生更好地理解方差的本质.
探究2：离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样变化？离散型随机变量X乘一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？
【师生活动】教师提出问题，让学生充分思考、讨论、交流.在此基础上，找几名学生代表分享讨论交流的结果.
学生发言后，教师进行评价指导，最后共同得出结论.
环节四 辨析理解 深化概念
离散型随机变量加上一个常数，仅仅使的值产生一个平移，不改变与其均值的离散程度，方差保持不变，即
而离散型随机变量乘以一个常数，其方差变为原方差的倍，即
一般地，可以证明下面的结论成立：
【设计意图】类比均值的性质，推导得出方差的性质.根据学生的情况，教师可以引导学生用方差的定义证明这一结论，提高学生的逻辑推理核心素养.
环节五 概念应用，巩固内化
例5 拋掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数的方差．
解：随机变量的分布列为
．
因为
，．
所以
．
【设计意图】通过例题，提升对概念精细化的理解.让学生掌握方差的算法，发展学生的逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算核心素养.
例6 投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表7.3-9和表7.3-10所示．
表7.3-9股票A收益的分布列 表7.3-10股票B收益的分布列
收益X/元 -1 0 2 收益Y/元 0 1 2
概率 0.1 0.3 0.6 概率 0.3 0.4 0.3
（1）投资哪种股票的期望收益大？
（2）投资哪种股票的风险较高？
【师生活动】教师提问：你能用我们所学的知识分析、解决这一生活中的实际问题吗？
教师可以引导分析第(2)问，我们如何衡量投资风险的高低？
分析：股票投资收益是随机变量，期望收益就是随机变量的均值．投资风险是指收益的不确定性，在两种股票期望收益相差不大的情况下，可以用收益的方差来度量它们的投资风险高低，方差越大风险越高，方差越小风险越低．
解：（1）股票A和股票B投资收益的期望分别为
，．
因为，所以投资股票A的期望收益较大．
（2）股票A和股票B投资收益的方差分别为
，．
因为和相差不大，且，所以投资股票A比投资股票B的风险高．
在实际中，可以选择适当的比例投资两种股票，使期望收益最大或风险最小．
随机变量的方差是一个重要的数字特征，它刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度，或者说反映随机变量取值的离散程度．在不同的实际问题背景中，方差可以有不同的解释．例如，如果随机变量是某项技能的测试成绩，那么方差的大小反映了技能的稳定性；如果随机变量是加工某种产品的误差，那么方差的大小反映了加工的精度；如果随机变量是风险投资的收益，那么方差的大小反映了投资风险的高低；等等．
【设计意图】例6是综合利用均值和方差比较投资两种股票收益的问题，目的是使学生了解在实际问题中均值和方差的意义.在这个问题中，均值表示平均收益，方差表示风险(不确定性).在教学中，可以提供更多不同背景的实际问题，帮助学生了解均值、方差的意义.师生共同归纳总结利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤：
(1)比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高.
在均值相等或接近的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定.
(3)下结论.依据均值和方差给出结论.
环节六 归纳总结，反思提升
1.离散型随机变量的方差是如何定义的？我们是如何得出随机变量方差公式的？
2.在计算离散型随机变量的方差时，我们如何选择公式简化运算？
3.如何利用方差和标准差分析、解决生活中的实际问题？
【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力.
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：教材第70页练习第1 3题.
备用练习
6．已知随机变量X的分布列如图所示，若Y＝3X＋2，则（ ）
X 0 1
P
A． B．2 C． D．4
7．若随机变量的分布列如下表所示，则（ ）
0 1
A． B． C． D．
8．某高科技公司所有雇员的工资情况如下表所示．
年薪（万元） 135 95 80 70 60 52 40 31
人数 1 1 2 1 3 4 1 12
该公司雇员年薪的标准差约为（ ）
A．24.5（万元） B．25.5（万元） C．26.5（万元） D．27.5（万元）
9．已知随机变量的分布列如下表，则下列方差值最大的是（ ）
0 1
A． B． C． D．
10．若随机变量X的分布列为P(X＝m)＝，P(X＝n)＝a，若E(X)＝2，则D(X)的最小值等于（ ）
A．0 B．1
C．4 D．2
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1． 错误 正确 正确 错误 错误
【分析】利用随机变量方差、标准差的意义，方差的性质依次判断各个命题即得.
【详解】（1）离散型随机变量的方差越大，随机变量波动越大，越不稳定，（1）错误；
（2）若a是常数，则，（2）正确；
（3）离散型随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，（3）正确；
（4）若a，b为常数，则，即，（4）错误；
（5）离散型随机变量的方差与标准差的单位不相同，（5）错误.
故答案为：错误；正确；正确；错误；错误
2．ABD
【分析】由均值和方差的定义，均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，即可判断A、C是否正确；方差反映了随机变量取值的集中分散情况，即可判断B、D是否正确；即可得答案．
【详解】离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，故C正确，A错误；
离散型随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，故B、D错误.
故选：ABD．
3．C
【分析】直接根据方差的运算性质即可得结果.
【详解】．
故选：C.
4．D
【分析】根据以及求得，进而求得.
【详解】依题意①，
，整理得②，
由①②解得，且.
所以.
故选：D
5．D
【分析】设事件表示甲在规定的时间内到达，表示乙在规定的时间内到达，由题求出事件的概率，分析的值 ，求出对应值的概率，然后求出数学期望及方差即可.
【详解】设事件表示甲在规定的时间内到达，表示乙在规定的时间内到达，，相互独立，
，
，
，
．
故选：D.
6．B
【分析】首先计算，再根据方差公式，即可求解.
【详解】由分布列可知，，
则，
，所以.
故选：B
7．D
【分析】由概率分布列的性质求得q的值，进而利用分布列求得期望，再计算方差即可.
【详解】由已知得解得或(舍),
随机变量的分布列为
0 1
∴,
,
故选：D.
8．B
【分析】先求出年薪的平均数，然后由方差的计算公式求出年薪的方差，再求解标准差即可．
【详解】年薪的平均数为万元，
所以该公司雇员年薪的方差约为，
所以该公司雇员年薪的标准差约为（万元）．
故选：B
9．B
【分析】由已知可得，即可根据方差公式分别计算求解.
【详解】由分布列的性质得，得，
可得，
，
则，，
，.
综上，的值最大.
故选：B.
10．A
【分析】由分布列的性质求出，进而根据期望的概念得到m＝6－2n，然后结合方差的概念得到D(X)，进而可以求出结果.
【详解】由分布列的性质，得，.
∵E(X)＝2，∴.∴m＝6－2n.
∴D(X)＝
∴n＝2时，D(X)取最小值0.
故选：A.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑