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2024年柳州市初中学业水平考试模拟试卷
数学
（考试时间：120分钟 满分：120分）
注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效；不能使用计算器；考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题（每题3分，共36分）
1. 的相反数是（　　）
A. B. 2024 C. D.
2. 下列图形中具有稳定性的图形是（ ）
A. B.
C D.
3. 如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“点”字一面的相对面上的字是（ ）
A. 青 B. 春 C. 梦 D. 想
4. 描述柳州市某一周内每天最高气温变化趋势，最合适的统计图是（ ）
A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 频数分布直方图．
5. 如图，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
6. 把不等式的解集在数轴上表示出来，则正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 下列汽车标志中，是中心对称图形的是（ ）
A B. C. D.
8. 如图，直线a，b被直线c所截，若，，则的度数是（ ）
A. 70° B. 100° C. 110° D. 120°
9. 把多项式分解因式得（ ）
A. B.
C. D.
10. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
11. 若二次函数的部分图象如图所示，则关于的方程的解为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
12. 如图，在中，，，是的中点，连接，过点作交于点，若的面积为6，则的面积为（ ）
A. 144 B. 150 C. 288 D. 72
二、填空题（每小题2分，共12分．）
13. 如果某天的温度上升了记作，那么温度下降记作______．
14. 某校举办“清廉校园建设”演讲比赛，评分办法采用5位评委现场打分，5位评委给某位选手打分分别是：9.8，9.7，9.6，9.5，9.5．则这组数据的中位数为______．
15. 如图，点，，在上，，则的度数是______．
16. 如图，有一斜坡，此斜坡的坡面长，斜坡的坡角是，若，则坡顶离地面的高度为______．
17. 如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，分别交，于点，．则的长为______．
18. 如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个全等的直角三角形，拼成如图2的四边形ABCD（相邻纸片之间不重处，无缝隙）．若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a，b，则________．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：
20 解方程组：．
21. 如图，点，，，在同一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）求证：．
22. 某市开展党史知识竞赛活动，某单位决定从报名的，，三名优秀党员中通过抽签的方式确定两名优秀党员参加．将三名优秀党员的名字分别写在3张完全相同不透明卡片的正面，把这3张卡片背面朝上，洗匀后放在桌上，先从中随机抽取1张卡片，记下名字后，再从剩下的2张卡片中随机抽取1张，记下名字．
（1）第一次从3张卡片中随机抽取1张卡片，优秀党员被选中的概率是______；
（2）请用列表或画树状图的方法，求出，两名优秀党员被选中的概率．
23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，点的坐标为，与轴交于点，点为抛物线的顶点
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求的面积
24. 如图，内接于，是直径，与相切于点，交的延长线于点，为的中点，连接、．
（1）求证：是的切线；
（2）已知，，求．
25. 综合与实践
【问题情景】某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
【实践探究】（1）求部分双曲线的函数表达式；
【问题解决】（2）参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由．
26. 综合与实践
小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小明继续利用上述结论进行探究．
【提出问题】
如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，， 则 又∵， ∴__________， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， ∴点，在点，，所确定的上 ∴点，，，四点在同一个圆上．
【反思归纳】（1）上述探究过程中的横线上填的内容是__________；
【拓展延伸】（2）如图3，在中，，，将绕点逆时针旋转得，连接交于点，连接、．小明发现，在旋转过程中，永远等于，不会发生改变．
①根据，利用四点共圆的思想，试证明；
②在（1）的条件下，当为直角三角形，且时，直接写出的长．2024年柳州市初中学业水平考试模拟试卷
数学
（考试时间：120分钟 满分：120分）
注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效；不能使用计算器；考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题（每题3分，共36分）
1. 的相反数是（　　）
A. B. 2024 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可．
【详解】解：的相反数是2024，
故选：B．
2. 下列图形中具有稳定性的图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了三角形的稳定性，注意根据三角形的稳定性进行判断．
【详解】解：∵三角形具有稳定性，五边形，四边形，六边形不具有稳定性，
∴具有稳定性的是A选项中的图形，
故选：A．
3. 如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“点”字一面的相对面上的字是（ ）
A. 青 B. 春 C. 梦 D. 想
【答案】D
【解析】
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【详解】这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“点”与“想”相对，面“亮”与面“春”相对，“青”与面“梦”相对．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方体的展开图得知识，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
4. 描述柳州市某一周内每天最高气温的变化趋势，最合适的统计图是（ ）
A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 频数分布直方图．
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了统计图，解题关键是掌握各种统计图表的特点，性质以及适用条件．折线统计图反映的是数据增减变化的情况，一周内的气温增高、降低变化情况表示出来，折线统计图比较合适．
【详解】解：根据题意柳州市某一周内每天最高气温的变化趋势，折线统计图比较合适．
故选：B．
5. 如图，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形外角性质，根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和进行求解即可．
【详解】解；∵，，
∴，
故选：C．
6. 把不等式的解集在数轴上表示出来，则正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再表示在数轴上即可．
【详解】解：，
移项得，
合并同类项得，
把未知数系数化为得，
表示在数轴上如下：
故选：B．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的一般步骤．
7. 下列汽车标志中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A．是中心对称图形，故本选项正确；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
8. 如图，直线a，b被直线c所截，若，，则的度数是（ ）
A. 70° B. 100° C. 110° D. 120°
【答案】C
【解析】
【分析】由已知条件，可得，由平角的性质可得代入计算即可得出答案．
【详解】解：如图，
，
，
，
．
故选：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质进行求解是解决本题的关键．
9. 把多项式分解因式得（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式，直接利用平方差公式分解因式即可得到答案．
【详解】解：，
故选：A．
10. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“现在拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：依题意，得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
11. 若二次函数的部分图象如图所示，则关于的方程的解为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】先利用抛物线对称性写出抛物线与轴的一个交点坐标为，然后根据抛物线与轴的交点问题可得到关于的方程的解．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为，
所以抛物线与轴的一个交点坐标为，
即或时，函数值，
所以关于的方程的解为，．
故选：．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
12. 如图，在中，，，是的中点，连接，过点作交于点，若的面积为6，则的面积为（ ）
A. 144 B. 150 C. 288 D. 72
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，过点E作于F，先求出，设，则，利用勾股定理求出的长，证明，求出，进而得到，则．
【详解】解：如图所示，过点E作于F，
∵在中，，，
∴，
设，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
二、填空题（每小题2分，共12分．）
13. 如果某天的温度上升了记作，那么温度下降记作______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，据此求解即可．
【详解】解：如果某天的温度上升了记作，那么温度下降记作，
故答案为：．
14. 某校举办“清廉校园建设”演讲比赛，评分办法采用5位评委现场打分，5位评委给某位选手打分分别是：9.8，9.7，9.6，9.5，9.5．则这组数据的中位数为______．
【答案】9.6
【解析】
【分析】本题考查了中位数，理解中位数的定义是解题关键，根据中位数的定义“将一组数据按大小顺序排序，如果数据的个数是奇数，则位于最中间位置的数据为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数为这组数据的中位数”求解即可．
【详解】解：将原数据按从小到大排序得： 9.5，9.5，9.6，9.7，9.8，
这组数据的中位数为9.6，
故答案为：9.6．
15. 如图，点，，在上，，则的度数是______．
【答案】60
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据同圆中同弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半进行求解即可．
【详解】解：∵点，，在上，，
∴，
故答案为：60．
16. 如图，有一斜坡，此斜坡的坡面长，斜坡的坡角是，若，则坡顶离地面的高度为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正弦三角函数，熟练掌握正弦三角函数为角的对边比邻边是解题的关键．由正弦三角函数定义即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
17. 如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，分别交，于点，．则的长为______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图和定义，根据题意可得垂直平分，则，证明，即可得到．
【详解】解：由作图方法可知，垂直平分，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
18. 如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个全等的直角三角形，拼成如图2的四边形ABCD（相邻纸片之间不重处，无缝隙）．若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a，b，则________．
【答案】25
【解析】
【分析】由菱形的性质可得四边形ABCD是正方形，可得AD2=13=a2+b2，中间空白处的四边形EFGH也是正方形，可得（b-a）2=1，求出2ab=12，即可求解．
【详解】解：由题意得：四边形ABCD和四边形EFGH是正方形，
∵正方形ABCD的面积为13，
∴AD2=13=a2+b2①，
∵中间空白处的四边形EFGH的面积为1，
∴（b-a）2=1，
∴a2-2ab+b2=1②，
①-②得：2ab=12，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=13+12=25，
故答案为：25．
【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，完全平方公式等知识，掌握菱形的性质，求出2ab=12是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，先计算乘方，再去绝对值和计算乘法，最后计算加减法即可得到答案．
【详解】解：原式
．
20. 解方程组：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组，消除y，求出x再代入其中一个方程求出y即可得到答案．
【详解】解：得：，
解得：，
将代入②得：，
解得：，
所以原方程组的解是．
21. 如图，点，，，在同一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定；
（1）先由平行线的性质得到，再利用即可证明；
（2）由全等三角形的性质得到，则由同位角相等，两直线平行即可得到．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
又∵，，
∴；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∴．
22. 某市开展党史知识竞赛活动，某单位决定从报名的，，三名优秀党员中通过抽签的方式确定两名优秀党员参加．将三名优秀党员的名字分别写在3张完全相同不透明卡片的正面，把这3张卡片背面朝上，洗匀后放在桌上，先从中随机抽取1张卡片，记下名字后，再从剩下的2张卡片中随机抽取1张，记下名字．
（1）第一次从3张卡片中随机抽取1张卡片，优秀党员被选中的概率是______；
（2）请用列表或画树状图的方法，求出，两名优秀党员被选中的概率．
【答案】（1）
（2）画树状图及列表见解析，
【解析】
【分析】本题考查了概率，解题关键熟练掌握概率公式及列表法和画树状图法求概率．
（1）根据概率公式“如果在一次试验中，有种等可能的结果，事件包含其中种结果，则事件发生的概率”，求解即可；
（2）利用列表或画树状图的方法，列举出所有结果，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：第一次从3张卡片中随机抽取1张卡片有3种等可能的结果，选中可能的结果有1种，
第一次从3张卡片中随机抽取1张卡片，优秀党员被选中的概率是．
【小问2详解】
解：（方法一）画树状图如下：
从以上树状图可知，总共有6种等可能的结果．
其中，两名优秀党员被选中的可能性有2种，
∴；
（方法二）列表如下：
第一次 第二次
从上表可知，总共有6种等可能的结果．
其中、两名优秀党员被选中的可能性有2种，
∴，
答：，两名优秀党员被选中的概率是．
23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，点的坐标为，与轴交于点，点为抛物线的顶点
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求的面积
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点A和点D坐标，再根据解析求解即可．
【小问1详解】
解：将，代入得，
解得
∴二次函数的解析式为：；
【小问2详解】
解：将配方得顶点式
∴顶点，
在中，当时，解得或，
∴，
∴，
∴．
24. 如图，内接于，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，为的中点，连接、．
（1）求证：是的切线；
（2）已知，，求．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，由圆周角定理可得，由直角三角形的性质可得，可得，由切线的性质可得可证即可证明结论；
（2）通过证明，可得，可求的帐，由三角形中位线定理可求解．
【小问1详解】
解：如图，连接．
，
．
是直径，
，
，
为的中点，
，
，
与相切于点，
，
，
，
，
，
又为半径，
是的切线
【小问2详解】
，，
，
，
，
，
．
为的中点，为中点，
，
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、圆的有关知识、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知点，利用相似三角形的性质求出的长是本题的关键．
25. 综合与实践
【问题情景】某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
【实践探究】（1）求部分双曲线的函数表达式；
【问题解决】（2）参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由．
【答案】（1）；（2）第二天早上不能驾车出行，见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求出反比例函数解析．
（1）先用待定系数法求出正比例函数解析式，然后求出，从而得出，再求出反比例函数解析式即可；
（2）求出当时，，然后进行判断即可．
【详解】解：（1）依题意，设的解析式为，将点代入得：，
解得：，
，
当时，，即，
∴，
设双曲线的解析式为，将点代入得：，
；
（2）由得，当时，，
从晚上到第二天早上时间间距为13小时，
，
第二天早上不能驾车出行．
26. 综合与实践
小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小明继续利用上述结论进行探究．
【提出问题】
如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2，作经过点，，，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，， 则 又∵， ∴__________， ∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， ∴点，在点，，所确定的上 ∴点，，，四点在同一个圆上．
【反思归纳】（1）上述探究过程中的横线上填的内容是__________；
【拓展延伸】（2）如图3，在中，，，将绕点逆时针旋转得，连接交于点，连接、．小明发现，在旋转过程中，永远等于，不会发生改变．
①根据，利用四点共圆的思想，试证明；
②在（1）的条件下，当为直角三角形，且时，直接写出的长．
【答案】（1）；（2）①证明见解析；②或
【解析】
【分析】（1）根据已给推论过程证明即可；
（2）①根据旋转的性质，证明，②分当时，当时，根据四点共圆、圆周角定理证明和相似，得到相应线段的长，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，，
则，
又∵，
∴，
∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆），
∴点，在点，，所确定的上，
∴点，，，四点在同一个圆上，
故答案为：；
（2）①证明：∵在中，，
图3
∴，
∵，
∴，
∴，，，四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵旋转得，
∴，
∴，
∵，
∴；
②如图，当时，
图4
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，，
∴，
∴；
如图中，当时，
过作交于，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了直角所对的弦是直径，圆内接四边形对角互补，确定圆的条件，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．

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