资源简介

中考特色题型专练之新定义
几何篇
题型一、与三角形结合
1．问题背景
定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是，则称这两个三角形是关于这条底边的互补三角形．如图1，四边形中，是一条对角线，，且，则与是关于的互补三角形．
(1)初步思考：如图2，在中，，D、E为外两点，，为等边三角形．则关于的互补三角形是______，并说明理由．
(2)实践应用：如图3，在长方形中，．点E在边上，点F在边上，若与是关于互补三角形，试求的长．
(3)思维探究：如图4，在长方形中，．点E是线段上的动点，点P是平面内一点，与是关于的互补三角形，直线与直线交于点F．在点E运动过程中，线段与线段的长度是否会相等？若相等，请直接写出的长；若不相等，请说明理由．
2．定义：用一条直线截三角形的两边，若所截得的四边形对角互补，则称该直线为三角形第三条边的“幸福线”．如图1，为的截线，截得四边形，若，则称为边的“幸福线”．
(1)已知为边的“幸福线”，，，，求的长；
(2)如图2，若内接于，为弧的中点，、分别为、边的“幸福线"，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，，如图3过点作的“幸福线”交于点，当四边形面积最大时，求的正切值．
3．【概念认识】
定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点．
如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点．
【概念运用】
（1）如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，，两点均在格点上，线段上的8个格点中，是，两点的勾股点的有　　个．
（2）如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点．
【拓展提升】
（3）如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当是任意两个顶点的强勾股点时，直接写出的长．
题型二、与四边形结合
1．在平面直角坐标系中，将中心为的正方形记作正方形，对于正方形和点（不与重合）给出如下定义：若正方形的边上存在点，使得直线与以为半径的相切于点，则称点为正方形的“伴随切点”．
(1)如图，正方形T的顶点分别为点O，．
①在点中，正方形的“伴随切点”是_______；
②若直线上存在正方形的“伴随切点”，求b的取值范围；
(2)已知点，正方形的边长为．若存在正方形的两个“伴随切点”，，使得为等边三角形，直接写出的取值范围．
2．定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

【概念理解】如图②，在四边形中，如果，，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由．
【性质探究】如图①，垂美四边形两组对边与之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．
【问题解决】如图③，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接．若，，则直接写出的值．
3．对于平面直角坐标系中的点P和矩形M．给出如下定义：若矩形M各边分别与坐标轴平行，且在矩形M上存在一点Q，使得P、Q两点间距离小于1，则称P为矩形M的“近距点”．

(1)如图，若矩形对角线交点与坐标原点O重合，且顶点．
①在点中，矩形的“近距点”是______；
②点P在直线上，若P为矩形的“近距点”，求点P横坐标m的取值范围；
(2)将（1）中的矩形沿着x轴平移得到矩形，矩形对角线交点为，直线与x轴、y轴分别交于点E、F．若线段上的所有点都是矩形的“近距点”，真接写出n的取值范围．
题型三、与圆结合
1．在平面直角坐标系xOy中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等和点．已知点．
备用图
(1)在，，中，点P的等和点有________；
(2)点A在直线上，若点P的等和点也是点A的等和点，求点A的坐标；
(3)已知点和线段MN，对于所有满足的点C，线段MN上总存在线段PC上每个点的等和点．若MN的最小值为5，直接写出b的值．
2．对于平面直角坐标系中的图形M，N和点P．给出如下定义：如果图形M，N上分别存在点E，F，使得点E，F关于点P中心对称，那么称点P为图形M，N的关联点．特别地，当E，P，F三点重合时，点P也为其关联点．已知点，．
(1)在点，，中，点C的坐标为______时，点O为线段，点C的关联点；
(2)的圆心为，半径为1．若点O为，线段的关联点，求d的取值范围；
(3)的半径为3，若点为，线段的关联点，直接写出t的取值范围．
3．定义：在平面直角坐标系中，对于内的一点，若在外存在点，使得，则称点为的“内二分点”．
(1)当的半径为时，
①在，，，四个点中，是的“内二分点”的是；
②已知一次函数在第一象限的图像上的所有的点都是的“内二分点”，求的取值范围；
(2)已知点，，，的半径为，若线段上存在的“内二分点”，直接写出的取值范围．
题型四、与相似结合
1．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的乘积等于这个点到这边所对顶点连线段的平方，则称这个点为这个三角形该边的“好点”．如图1，在中，点D是边上的一点，连接，若，则称点D是中边的“好点”．
(1)如图1，在中，，若点D是边的“好点”，且，则线段的长是______；
(2)如图2，是的外接圆，点E在边上，连接并延长，交于点D，连接、、，若点E是中边的“好点”，，求证：是的直径；
(3)在（2）的条件下，点P是上一点，连接交于点Q，连接、，若，，，求PQ的长．
2．定义：若三角形有两个内角的差为90°，则这样的三角形叫做“准直角三角形”．
(1)若是“准直角三角形”，，，则___________°；
(2)如图1，中，，，．若D是AC上的一点，，请判断是否为准直角三角形，并说明理由；
(3)如图2，在四边形中，，，，，且是“准直角三角形“，求的面积．
3．定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形．
（1）请你写出一个你学过的特殊四边形中是圆美四边形的图形的名称__________；
（2）如图1，在等腰中，，经过点A、B的⊙O交边于点D，交于点E，连结．若四边形为圆美四边形，求的值；
（3）如图2，在中，经过A、B的⊙O交边于点D，交于点E，连结，交于点F．若在四边形的内部存在一点P．使得，连结交于点G，连结，若，．
①求证：四边形为圆美四边形；
②若，，，求的最小值．
题型五、与三角函数结合
1．定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形．
(1)请在特殊四边形中找出一个圆美四边形，该四边形的名称是；
(2)如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，经过点A、B的⊙O交AC边于点D，交BC于点E，连接DE，若四边形ABED为圆美四边形，则的值是
(3)如图2，在△ABC中，经过点A、B的⊙O交AC边于点D，交BC于点E，连接AE、BD交于点F，若在四边形ABED的内部存在一点P，使得∠PBC=∠ADP=α，连接PE交BD于点G，连接PA，若PA⊥PD，PB⊥PE．
①试说明：四边形ABED为圆美四边形；
②若，，，求DE的最小值．
2．定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．
（1）若△ABC是“近直角三角形”，∠B＞90°，∠C＝50°，则∠A＝　度；
（2）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．若BD是∠ABC的平分线，
①求证：△BDC是“近直角三角形”；
②在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△BCE也是“近直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为AC边上一点，以BD为直径的圆交BC于点E，连结AE交BD于点F，若△BCD为“近直角三角形”，且AB＝5，AF＝3，求tan∠C的值．
3．定义：在一个三角形中，若存在两条边x和y，使得y＝x2，则称此三角形为“平方三角形”，x称为平方边．
（1）“若等边三角形为平方三角形，则面积为是　　命题；“有一个角为30°且有一条直角边为2的直角三角形是平方三角形”是　　命题；（填“真”或“假”）
（2）若a，b，c是平方三角形的三条边，平方边a＝2，若三角形中存在一个角为60°，求c的值；
（3）如图，在△ABC中，D是BC上一点．
①若∠CAD＝∠B，CD＝1，求证，△ABC是平方三角形；
②若∠C＝90°，BD＝1，AC＝m，CD＝n，求tan∠DAB．（用含m，n的代数式表示）
代数篇
题型一、与代数式结合
1．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．
[解决问题]
(1)已知29是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______；
(2)若可配方成（m、n为常数），则______；
[探究问题]
(3)已知，则______；
(4)已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
[拓展结论]
(5)已知实数x、y满足，求的最值．
2．阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题：
【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
【实例剖析1】已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，
当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．
如：；．
【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：
(1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________；
(2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个；
(3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
(4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？
3．定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字比十位数字大，那么称这个两位数为“慧泉数”将一个“慧泉数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字后得到新的两位数为，新两位数与原两位数的和为，其和与的商为：，所以．
根据以上定义，回答下列问题：
(1)______；
(2)若，求；
(3)如果一个“慧泉数”的十位数字是，另一个“慧泉数”的个位数字是，且满足，求、的值．
题型二、与方程结合
1．定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”．
(1)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，则_________．
(2)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数d的值．
(3)已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为__________．（请直接写出答案）
2．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，则把分别以为横坐标和纵坐标得到的点，称为该一元二次方程的“友好点”．
(1)若方程为，则该方程的“友好点”P的坐标为．
(2)若关于x的一元二次方程的“友好点”为P，过点P向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．
(3)是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的“友好点”P始终在函数的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由．
3．我们定义：形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．
例如为十字分式方程，可化为，∴，．
再如为十字分式方程，可化为．∴，．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)若为十字分式方程，则______，______．
(2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值．
(3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值．
题型三、与不等式结合
1．现对x，y定义一种新的运算：，(其中均不为0)，举例：．
(1)若；
①求的值．
②若关于的不等式组恰好有2个整数解，求的取值范围．
(2)若对任意实数都成立，则应满足什么样的关系式？
2．深化理解：
新定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；
反之，当为非负整数时，如果，则．
例如：，，，，…
试解决下列问题：
(1)填空：①________，________（为圆周率），________；
②如果，求实数的取值范围；
(2)若关于的不等式组的整数解恰有4个，求的取值范围；
(3)求满足的所有非负实数的值．
3．我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．
例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”
(1)已知①，②，③，试判断方程解是否为它与它们中某个不等式的“梦想解”；
(2)若关于x，y的二元一次方程组的解是不等式组的梦想解，且m为整数，求m的值．
(3)若关于x的方程的解是关于x的不等式组的“梦想解”，且此时不等式组有7个整数解，试求m的取值范围．
函数篇
题型一、与一次函数结合
1．在平面直角坐标系中，已知点．对于点给出如下定义：若点关于直线的对称点为点，点与点关于直线对称，则称点是点关于点的“对应点”．

(1)已知点，点，点是点关于点的“对应点”，
①如图1，当时，点的坐标为______；
②若的长度不超过4，求的取值范围；
(2)已知点在直线上，如图2，直线与轴，轴分别交于点，对于线段上（包括端点）任意一点，若以1为半径的上总存在一点，使得点关于点的“对应点”在轴的负半轴上，直接写出符合条件的的值．
2．在平面直角坐标系中，对于线段，直线l和图形W给出如下定义：线段关于直线l的对称线段为分别是M，N的对应点），若与均在图形W内部（包括边界），则称图形W为线段关于直线l的“对称封闭图形”．如图，点．
概念理解：
(1)线段关于y轴的对称线段点坐标是______；
(2)已知图形：以线段为边的等边三角形，：以O为对角线交点且边长为2的正方形，在中，线段关于y轴的“对称封闭图形”是______；
应用拓展：
(3)以O为对角线交点的正方形的边长为4，各边与坐标轴平行，若正方形是线段关于直线的“对称封闭图形”，求b的取值范围．
3．结合已经学过的“距离”我们知道：点到直线的“距离”是直线外一点和直线上各点连接的所有线段中最短的线段（即垂线段）的长度．类似的我们给出两个图形M、N的“距离”定义：如果点P为图形M上的任意一点，点Q为图形N上的任意一点，且P、Q两点的“距离”有最小值，那么称这个最小值为图形M，N的“距离”，记为特别地，当图形M，N有公共点时，图形M，N的“距离”．

(1)如图1，在平面直角坐标系中，，若，，，则_________， _________；
(2)如图2，已知的三个顶点的坐标分别为，，，将一次函数的图象记为L．
①若，且，求k的值；
②若，求k的取值范围．
题型二、与反比例函数结合
1．在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足．
(1)求的值；
(2)如图，过点分别作平行于轴，轴的直线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为（含边界），
当时，区域的整点个数为；
直线过一个定点，若点为此定点，直线上方（不包含直线）的区域记为，直线下方（不包含直线）的区域记为，当与的整点个数之差不超过时，请求出的取值范围．
2．中国象棋棋盘上双方的分界处也称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻军对垒的分界线，数学中为了对两个图形进行分界，在平面直角坐标系中，对“楚河汉界线”给出如下定义：点P是图形上的任意一点，点Q是图形上的任意一点，若存在直线L：满足且，则称直线L：是图形与的“楚河汉界线”．例如：如图1，直线l：是函数的图象与正方形的一条“楚河汉界线”．

(1)在直线①，②，③，④中，是图1函数的图象与正方形的“楚河汉界线”的有___________（填序号）：
(2)如图2，第一象限的等腰直角的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D的坐标是，与的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式；
(3)正方形的一边在y轴上，其他三边都在y轴的右侧，点M是此正方形的中心，若存在直线是函数的图象与正方形的“楚河汉界线”，求t的取值范围．
3．定义：平面直角坐标系中，若点M绕点N顺时针旋转，恰好落在函数图象W上，则称点M是点N关于函数图象W的“直旋点”．例如，点是原点O关于函数图象的一个“直旋点”．

(1)在①，②，③三点中，是原点O关于一次函数图象的“直旋点”的有 ___________（填序号）；
(2)点是点关于反比例函数图象的“直旋点”，求k的值；
(3)如图1，点在反比例函数图象上，点B是在反比例函数图象上点A右侧的一点，若点B是点A关于函数的“直旋点”，求点B的坐标．
题型三、与二次函数结合
1．在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y1，y2，恒有点和点关于点成中心对称（此三个点可以重合），则称这两个函数互为“友好函数”．例如：和互为“友好函数”．
(1)判断：①和；②和；③和，其中互为“友好函数”的是______（填序号）．
(2)若函数y=2x-4的“友好函数”与反比例函数的图象在第一象限内有两个交点C和D．
①求的取值范围；
②若的面积为，求的值．
(3)若三个不同的点均在二次函数（a，b，c为常数，且）的“友好函数”的图象上，且满足，若存在常数w，使得恒成立，求w的取值范围．
2．定义：若一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图像的“等值点”．例如，点是函数的图像的“等值点”．
(1)请判断函数的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
(2)设函数，的图像的“等值点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为时，求的值；
(3)已知函数（为常数）有两个“等值点”．存在函数（异于），若对于任意的自变量，都有点与点到点的距离相等；当时，都有成立，请结合图像求的取值范围．
3．【概念学习】在平面直角坐标系中，对于已知的点和图形，给出如下定义：如果图形上存在一点，使得当时，，则称点为图形的一个“垂近点”．
(1)【初步理解】若图形为线段，，，在点、、、中，是线段的“垂近点”的为________；
(2)【知识应用】若图形为以坐标原点为圆心，2为半径的圆，直线与轴交于点、与轴交于点，如果线段上的点都是的“垂近点”，求的取值范围；
(3)若图形为抛物线，以点为中心，半径为的四边形，轴，轴，如果正四边形上存在“垂近点”，直接写出的取值范围．中考特色题型专练之新定义
几何篇
题型一、与三角形结合
1．问题背景
定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是，则称这两个三角形是关于这条底边的互补三角形．如图1，四边形中，是一条对角线，，且，则与是关于的互补三角形．
(1)初步思考：如图2，在中，，D、E为外两点，，为等边三角形．则关于的互补三角形是______，并说明理由．
(2)实践应用：如图3，在长方形中，．点E在边上，点F在边上，若与是关于互补三角形，试求的长．
(3)思维探究：如图4，在长方形中，．点E是线段上的动点，点P是平面内一点，与是关于的互补三角形，直线与直线交于点F．在点E运动过程中，线段与线段的长度是否会相等？若相等，请直接写出的长；若不相等，请说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)3
(3)或2或或18
【分析】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
（1）根据互补三角形的定义即可判断；
（2）根据互补三角形可得，设，则，利用勾股定理求解即可；
（3）分四种情形：如图4-1中，当时，如图4-2中，当时，此时点F与D重合，如图4-3中，当时，如图4-4中，当时，F与点D重合，分别求解即可解决问题．
【详解】（1）解：如图2，
是等边三角形，
关于的互补三角形是；
故答案为：；
（2）与是关于互补三角形，
在长方形中，，
∴，
，
，
设，则，
，解得：，
；
（3）如图，当时，设，连接，
，
在中，
，，
，
，
解得：
；
如图：当时，此时当F与点D重合，
可得：；
如图，当时，设，
同法可得，
在中，则有
，
解得：
；
如图：当时，此时当F与点D重合，
此时，
综上所述，满足条件的的值为或2或或18．
2．定义：用一条直线截三角形的两边，若所截得的四边形对角互补，则称该直线为三角形第三条边的“幸福线”．如图1，为的截线，截得四边形，若，则称为边的“幸福线”．
(1)已知为边的“幸福线”，，，，求的长；
(2)如图2，若内接于，为弧的中点，、分别为、边的“幸福线"，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，，如图3过点作的“幸福线”交于点，当四边形面积最大时，求的正切值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先根据“幸福线”的定义，得，根据角的等量代换，得，证明，即可作答．
（2）先根据“幸福线”的定义，得，结合，，以及角的等量代换，即可得；
（3）先由圆周角定理，得，且，再由勾股定理，得，设，则，因为，列式，得，，代入得，记，当时，有最小值，此时有最大值，根据相似三角形的性质列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵为边的“幸福线”
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴，
即：
∴
（2）解：连接，记与交于点，
∵为的“幸福线”
∴
又∵
∴
又∵，
∴
∴
∴
即：
（3）解：连接交于点，
∵为中点
∴，且
∴，
∴
∴
设，则
由（2）知：
又∵
∴，
其相似比为
同理：，其相似比为
，其相似比为
∴，
∴，
记
易知当时，有最小值，此时有最大值
∴当时，四边形面积最大
又∵
∴，
即：
∴，
同理：，此时、重合
记边的高为，作于点
则，即：
又由知：，
即：，∴，
在中，
则
∴
连接，在中，
则
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理、求直角三角函数的正切值、勾股定理、二次函数与几何综合，难度大，综合性强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
3．【概念认识】
定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点．
如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点．
【概念运用】
（1）如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，，两点均在格点上，线段上的8个格点中，是，两点的勾股点的有　　个．
（2）如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点．
【拓展提升】
（3）如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当是任意两个顶点的强勾股点时，直接写出的长．
【答案】（1）4；（2）证明见解析；（3）2，，，8．
【分析】（1）根据新定义“勾股点”可得出答案；
（2）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，则可得出结论；
（3）由新定义“强勾股点”画出图形，根据勾股定理可得出答案．
【详解】（1）解：如图，
，，，四点与，能构成四个直角三角形，
图中，两点的勾股点的有4个，
故答案为：4；
（2）证明：．
，
在中，由勾股定理得：，
．
在中，由勾股定理得：，
．
在中，，
又，
，
由勾股定理逆定理得：是直角三角形，
点是，两点的强勾股点；
（3）解：若点是，两个顶点的强勾股点时，且点在内，如图，
为的中点，，
，
，
，
；
若点是，两个顶点的强勾股点时，如图，
，
，
；
若点是，两个顶点的强勾股点时，如图，
，，
，
设，
，
，
，
；
若点是，两个顶点的强勾股点时，且点在外，如图，
为的中点，
，
．
综上所述，的长为2，，，8．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理的应用，新定义“强勾股点”，直角三角形斜边中线的性质等知识；解题关键是对新定义概念的性质运用，并注意运用分类讨论的思想．
题型二、与四边形结合
1．在平面直角坐标系中，将中心为的正方形记作正方形，对于正方形和点（不与重合）给出如下定义：若正方形的边上存在点，使得直线与以为半径的相切于点，则称点为正方形的“伴随切点”．
(1)如图，正方形T的顶点分别为点O，．
①在点中，正方形的“伴随切点”是_______；
②若直线上存在正方形的“伴随切点”，求b的取值范围；
(2)已知点，正方形的边长为．若存在正方形的两个“伴随切点”，，使得为等边三角形，直接写出的取值范围．
【答案】(1)①；②或
(2)或
【分析】（1）①根据新定义，即可求解；
②分，时，分别讨论，设直线与坐标轴分别交于点，作交轴于点，过点作于点，则，根据，即可得出的范围；
（2）依题意，，进而得出，即，解一元二次方程，结合图形，即可求解．
【详解】（1）解：①正方形的顶点分别为点，，，
∴，
则正方形的边长为，对角线长为
∴，
∵，即到的距离为，
而到的距离小于，
∴在点，，中，正方形的“伴随切点”是，
故答案为：．
②解：由①可得，
如图所示，当时
设直线与坐标轴分别交于点，作交轴于点，过点作于点
∴，，
∵，
∴
∴
当时，
∴
解得：或（舍去）
当时，则，解得：，
∵
∴
当时，如图所示，过点作于点，
∵，
∴
∴
当时，
∴
解得：
当时，则，
解得：，
∴；
综上所述，或；
（2）解：∵点，正方形的边长为．
∴
`
∴，当点在上时取得等于号，
∵为等边三角形，为正方形的中心，则
∴
∴，则
∴
∵，即
∴当，解得：或
当，
解得：或
∴的解集为：或．
∴或．
【点睛】本题考查了新定义，相似三角形的性质与判定，切线的性质，正方形的性质，勾股定理，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键．
2．定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

【概念理解】如图②，在四边形中，如果，，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由．
【性质探究】如图①，垂美四边形两组对边与之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．
【问题解决】如图③，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接．若，，则直接写出的值．
【答案】[概念理解]：四边形是垂美四边形．理由见解析；[性质探究]：，理由见解析；[问题解决]：
【分析】[概念理解]：根据垂直平分线的判定定理证明即可；
[性质探究]：根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
[问题解决]：根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可．
【详解】解：[概念理解]：四边形是垂美四边形．理由如下：
，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
直线是线段的垂直平分线，
，即四边形是垂美四边形；
[性质探究]：．理由如下：
如图2，已知四边形中，，垂足为，

，
，
由勾股定理得，，
，
；
[问题解决]：连接、，如图3所示：

，
，即，
在和中，
，
，
，又，
，即，
四边形是垂美四边形，
由（2）得，，
，，
，，，
，
；
故答案为：．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
3．对于平面直角坐标系中的点P和矩形M．给出如下定义：若矩形M各边分别与坐标轴平行，且在矩形M上存在一点Q，使得P、Q两点间距离小于1，则称P为矩形M的“近距点”．

(1)如图，若矩形对角线交点与坐标原点O重合，且顶点．
①在点中，矩形的“近距点”是______；
②点P在直线上，若P为矩形的“近距点”，求点P横坐标m的取值范围；
(2)将（1）中的矩形沿着x轴平移得到矩形，矩形对角线交点为，直线与x轴、y轴分别交于点E、F．若线段上的所有点都是矩形的“近距点”，真接写出n的取值范围．
【答案】(1)①；②或
(2)
【分析】（1）①分别计算各点与矩形各边的最小距离，从而根据定义得出结果；②在上取点P，点P在矩形的内部时，作于Q，计算当时，的长，从而求得临界时点P的横坐标，当点P在矩形的外部时，时，此时点P的横坐标，从而得出m的范围，根据对称性求得点P在第三象限时m的范围；
（2）先求得，当时，轴，设交x轴于点R，此时，，可求得；当C'在y轴上时，当在y轴上时，设交x轴于点V，同理，进一步得出结果．
【详解】（1）解：∵矩形对角线交点与坐标原点O重合，且顶点，
∴，
①∵在矩形M上存在一点Q，使得P、Q两点间距离小于1，
∴即在M上至少找到一点到P的距离小于1．
当时，P到M上最小距离为，成立，
∴为近距点．
当时，最小距离为，不成立，
∴不是近距点．
当时，最小距离为，不成立，
∴不是近距点．
故答案为：P1．
②如图1，在上取点P，作于点Q，

当时，
∵点P在直线上，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴或；
（2）解：如图2，

∵直线与x轴、y轴分别交于点E、F．
∴点，
∴，
由（1）得：，
∴，
∴，
当时，轴，设交x轴于点R，此时，，
∴，
∴，
∴点，
当在y轴上时，设交x轴于点V，
同理，∴，
综上所述，．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，直观观察和数形结合．
题型三、与圆结合
1．在平面直角坐标系xOy中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等和点．已知点．
备用图
(1)在，，中，点P的等和点有________；
(2)点A在直线上，若点P的等和点也是点A的等和点，求点A的坐标；
(3)已知点和线段MN，对于所有满足的点C，线段MN上总存在线段PC上每个点的等和点．若MN的最小值为5，直接写出b的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）根据定义判断即可；
（2）设点的等和点为，则，设，则点的等和点为，则，即可求；
（3）由题意可得点的等和点在直线上，点的等和点在直线上，设直线与轴的交点为，再由，可得点在以为圆心，半径为1的圆上，则点的等和点是两条直线之间的区域，以为圆心，1为半径作圆，过点作的垂线交圆与点，交直线于点，由的最小值为5，可得最小值为4，在中，，可求，同理当点在轴左侧时，
【详解】（1），则，
是点的等和点；
，则，
不是点的等和点；
，则，
是点的等和点；
故答案为：，；
（2）设点的等和点为，
，
设，则点的等和点为，
，
，
；
（3），
点的等和点在直线上，
，
点的等和点在直线上，
设直线与轴的交点为，
，
点在以为圆心，半径为1的圆上，
点的等和点是两条直线之间的区域，
如图，以为圆心，1为半径作圆，过点作的垂线交圆与点，交直线于点，
的最小值为5，
最小值为4，
在中，，
，
，
同理当点在轴左侧时，
或．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解新定义，将所求问题与圆相结合是解题的关键．
2．对于平面直角坐标系中的图形M，N和点P．给出如下定义：如果图形M，N上分别存在点E，F，使得点E，F关于点P中心对称，那么称点P为图形M，N的关联点．特别地，当E，P，F三点重合时，点P也为其关联点．已知点，．
(1)在点，，中，点C的坐标为______时，点O为线段，点C的关联点；
(2)的圆心为，半径为1．若点O为，线段的关联点，求d的取值范围；
(3)的半径为3，若点为，线段的关联点，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）求出线段关于点O的对称线段的表达式，满足条件的点C在线段上，即可求解；
（2）线段与线段关于点O对称，当与线段有交点时，满足条件，设与线段相切于点F，连接，，根据切线的性质可逐步求得点D的坐标，再分析当过点和点时，分别求出d的值，即可求出d的取值范围；
（3）点，关于的对称点为，，当与直线相切时，可证明点M不可能在线段上，即与直线不相切，当过点和过点两种情况时，分别求出t的值，即可求出出t的取值范围．
【详解】（1）点，关于原点O的对称点为，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
线段的解析式为，
当时，，
在点，，中，在线段上，
点C的坐标为，时，点O为线段，点C的关联点；
故答案为：．
（2）线段与线段关于点O对称，
当与线段有交点时，满足条件，
如图2，设与线段相切于点F，连接，，此时点在线段的右边，
则，，
∵，
，
，
，
当过点时，，
，
，
当过点时，，
或，
的取值范围是；
（3）点，关于的对称点为，，
当与直线相切时，设切点为M，连结，
，，
，
，
此时或，不可能在线段上，
即与直线不相切，
当过点时，，
，
解得，；
当过点时，，
，
解得，；
综上所述，满足条件的t的取值范围为或．
【点睛】本题属于圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，圆的切线的性质，勾股定理，中心对称图形的性质，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决问题．
3．定义：在平面直角坐标系中，对于内的一点，若在外存在点，使得，则称点为的“内二分点”．
(1)当的半径为时，
①在，，，四个点中，是的“内二分点”的是；
②已知一次函数在第一象限的图像上的所有的点都是的“内二分点”，求的取值范围；
(2)已知点，，，的半径为，若线段上存在的“内二分点”，直接写出的取值范围．
【答案】(1)①，；②
(2)或．
【分析】（1）①根据圆的“内二分点”即可判断；②由当时，，可得一次函数的图像过定点，根据题意可得，当一次函数的图像与轴的交点也是与轴的交点时，；当一次函数的图像与半径为1的相切时，可得，由此即可求解；
（2）画出图形，找到“临界点”，列出不等式组即可求解．
【详解】（1）解：①，的半径为，
但此时在圆上，不合题意，故不是的“内二分点”，
，，，
，，在圆上，
，是的“内二分点”；
②当时，，
一次函数的图像过定点，
若，则在第一象限是一条射线（不含端点），上不可能所有的点都是的“内二分点”，故，
如图当一次函数的图像与轴的交点也是与轴的交点时，，
当一次函数的图像与半径为1的相切于点时，
则，而，，
∴，
∴，
∴，
∴直线与轴的交点坐标为，代入，
可得，
的取值范围是；
（2）①当从点左侧沿轴正方向移动时，线段上存在点为的“内二分点”，如图，
则满足，，
且，
解得：，且，，
结合图形可得，线段上存在点为的“内二分点”，；
②当移动到点的右侧时，线段上存在点为的“内二分点”，如图，
则满足，，
且，
解得：或，且，
结合图形可得，线段上存在点为的“内二分点”，；
综上所述，若线段上存在点为的“内二分点”，则或．
【点睛】本题是一个新定义问题，涉及直线与圆的位置关系，一次函数的图像，解直角三角形的计算，解不等式组等知识，解题的关键是数形结合．理解“内二分点”的定义，找到“临界点”，题目难度较大．
题型四、与相似结合
1．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的乘积等于这个点到这边所对顶点连线段的平方，则称这个点为这个三角形该边的“好点”．如图1，在中，点D是边上的一点，连接，若，则称点D是中边的“好点”．
(1)如图1，在中，，若点D是边的“好点”，且，则线段的长是______；
(2)如图2，是的外接圆，点E在边上，连接并延长，交于点D，连接、、，若点E是中边的“好点”，，求证：是的直径；
(3)在（2）的条件下，点P是上一点，连接交于点Q，连接、，若，，，求的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，圆周角定理
（1）根据“好点”定义可得出，然后代入数据即可求解；
（2）根据“好点”定义可得出，证明可得出，则，由垂径定理可得进而得出，最后根据的圆周角所对的弦是直径即可得证；
（3）由（2）知：，利用三角形中位线定理求出，在中利用勾股定理得出，则可求出，延长交于H，由垂径定理得出，由线段垂直平分线的判定得出，利用等腰三角形的性质可得，证明，得出，过点O作于M，过点Q作于N，求出，证明，得出，设，则，，，代入可得出关于x的方程，然后求解即可．
【详解】（1）解：∵点D是边的“好点”，
∴，
又，，
∴，
∴（负数舍去）
（2）证明：∵点E是中边的“好点”，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的直径；
（3）解：由（2）知：，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，即，
解得（负值舍去），
∴，，
∴，
延长交于H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，即，
过点O作于M，过点Q作于N，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，即，
设，则，，
在中，，
∵，
∴，
化简得，
∴，
∴，（舍去），
∴，
∴．
2．定义：若三角形有两个内角的差为90°，则这样的三角形叫做“准直角三角形”．
(1)若是“准直角三角形”，，，则___________°；
(2)如图1，中，，，．若D是AC上的一点，，请判断是否为准直角三角形，并说明理由；
(3)如图2，在四边形中，，，，，且是“准直角三角形“，求的面积．
【答案】(1)
(2)是准直角三角形，理由见解析
(3)48或24
【分析】（1）分和，两种情况，进行讨论求解；
（2）勾股定理求出的长，进而求出的长，过点作于点，利用三角函数，求出的长，推出，得到，利用外角的性质，推出，即可得出结论；
（3）过点C作于F，，交的延长线于E，易证，得到，，分和，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵是“准直角三角形”，，，
①当时，则：，
∴（不合题意，舍去）；
②当时，则：，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：是准直角三角形，理由如下：
∵中，，，，
∴，，，
∵，
∴，
过点作于点，则：，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是准直角三角形；
（3）解：如图，过点C作于F，，交的延长线于E，
设，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
当时，
∵，
∴，
过点作于点，则：，
∴
设，则，
∴，
∴，
∴；
当，
又：，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，
∴．
综上所述：的面积为48或24．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，外角的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质；本题的综合性强，理解并掌握准直角三角形的定义，是解题的关键。
3．定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形．
（1）请你写出一个你学过的特殊四边形中是圆美四边形的图形的名称__________；
（2）如图1，在等腰中，，经过点A、B的⊙O交边于点D，交于点E，连结．若四边形为圆美四边形，求的值；
（3）如图2，在中，经过A、B的⊙O交边于点D，交于点E，连结，交于点F．若在四边形的内部存在一点P．使得，连结交于点G，连结，若，．
①求证：四边形为圆美四边形；
②若，，，求的最小值．
【答案】（1）正方形；（2）；（3）①见解析，②的最小值为
【分析】（1）根据圆美四边形的定义直接得出结论；
（2）先判断出∠BED＝∠CED＝90°，再根据圆美四边形的定义和等腰直角三角形的性质解答即可；
（3）①先判断出△APD∽△EPB，得出，进而判断出△APE∽△DPB，得出∠AEP＝∠DBP，即可得出结论；
②先判断出AD2+BE2＝AB2+DE2，证，进而得出，设，，，，列出函数关系式即可得出结论．
【详解】解：（1）正方形内接与圆，且对角线互相垂直；
故答案为：正方形
（2）连结，，∵等腰中，，
∴为⊙O的直径，，，
∴，
∴，
∵四边形为圆美四边形，∴，
∴弧=弧，
∴，
∴，
∴
（3）①∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
即
∴，
∴，
又∵，，
∴即，
∴，
又∵A，B，E，D在同一个圆上，
∴四边形为圆美四边形．
②∵，∴，
∴，
∵A，B，E，D在同一个圆上，
∴，
∵，
∴，
∴
设，，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵
∴当时，y2取到最小值32，的最小值为．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了新定义，圆美四边形的定义的理解和应用，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，二次函数的性质，熟练运用相似三角形的判定进行推理证明是解本题的关键．
题型五、与三角函数结合
1．定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形．
(1)请在特殊四边形中找出一个圆美四边形，该四边形的名称是；
(2)如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，经过点A、B的⊙O交AC边于点D，交BC于点E，连接DE，若四边形ABED为圆美四边形，则的值是
(3)如图2，在△ABC中，经过点A、B的⊙O交AC边于点D，交BC于点E，连接AE、BD交于点F，若在四边形ABED的内部存在一点P，使得∠PBC=∠ADP=α，连接PE交BD于点G，连接PA，若PA⊥PD，PB⊥PE．
①试说明：四边形ABED为圆美四边形；
②若，，，求DE的最小值．
【答案】(1)正方形
(2)
(3)①见解析；②
【分析】（1）根据圆美四边形的定义即可直接得出结论；
（2）先判断出∠BED=∠CED=90°，得出∠ABD=∠CAE，即有AC=()AD，即可得解；
（3）①先判断出△APD∽△EPB，得出，进而判断出△APE∽△DPB，得出∠AEP=∠DBP，即可得出结论；
②先判断出，再证△CDE∽△CBA，进而得出，设PA=x，DE=y，即可得出关于x、y的等式，即可求出最终结果．
【详解】（1）根据圆美四边形的定义可知，正方形是圆美四边形，
故答案为：正方形；
（2）连接BD、AE，如图，
∵∠BAC=90°，
∴BD是⊙O的直径，
∴∠BED=∠CED=90°，
∵四边形ABED为圆美四边形，
∴BD⊥AE，
∴∠ABD+∠BAE=90°，
∵∠CAE+∠BAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
∴，
∴AD=DE，
∴在等腰Rt△CDE中，CD=DE，
∴CD=AD，
∴AC=(+1)AD，
∵AB=AC，AD=DE，
∴；
（3）①∵，，
∴，
∵，
∴∽，
∴，
∴，
∵，
即，
∴∽，
∴，
又∵，，
∴，即，
∴，
又∵A，B，E，D在同一个圆上，
∴四边形ABED为圆美四边形；
②∵BD⊥AE，
∴，，
∴，
∵ A，B，E，D在同一个圆上，，
∴∠CDE=∠CBA，
∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CBA，
∴，
又∵PA+PE=8，
设PA=x，DE=y，则PE=8-x，AB==，
∵，∠APD=∠BPE=90°，
∴在Rt△APD中，，
∴PD=，
则利用勾股定理可得AD=，
同理在Rt△PBE中可求得：BE=，
根据，
得：，
即有
∴当x=4时，y取最小值，最小值为，
即DE的最小值为：．
【点睛】此题考查的是圆的综合题，主要考查了新定义圆美四边形的定义的理解和运用，相似三角形的判定与性质，勾股定理，判断出△CDE∽△CBA是解答本题的关键．
2．定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．
（1）若△ABC是“近直角三角形”，∠B＞90°，∠C＝50°，则∠A＝　度；
（2）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．若BD是∠ABC的平分线，
①求证：△BDC是“近直角三角形”；
②在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△BCE也是“近直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为AC边上一点，以BD为直径的圆交BC于点E，连结AE交BD于点F，若△BCD为“近直角三角形”，且AB＝5，AF＝3，求tan∠C的值．
【答案】（1）20；（2）①见解析；②存在，CE＝；（3）tan∠C的值为或．
【分析】（1）∠B不可能是α或β，当∠A＝α时，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，则β＝20°；
（2）①如图1，设∠＝ABD∠DBC＝β，∠C＝α，则α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；
②∠ABE＝∠C，则△ABC∽△AEB，即,即，解得：AE=，即可求解.
（3）①如图2所示，当∠ABD＝∠DBC＝β时，设BH＝x，则HE＝5﹣x，则AH2＝AE2﹣HE2＝AB2﹣HB2，即52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2，解得：x＝，即可求解；
②如图3所示，当∠ABD＝∠C＝β时，AF∶EF＝AG∶GE＝2∶3，则DE＝2k，则AG＝3k＝R（圆的半径）＝BG，点H是BE的中点，则GH＝DE＝k，在△BGH中，BH＝＝2k，在△ABH中，AB＝5，BH＝2k，AH＝AG+HG＝4k，由勾股定理得：25＝8k2+16k2，解得：k＝，即可求解.
【详解】解：（1）∠B不可能是α或β，
当∠A＝α时，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；
故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，则β＝20°，
故答案为20；
（2）①如图1，设∠＝ABD∠DBC＝β，∠C＝α，
则α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；
②存在，理由：
在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△BCE是“近直角三角形”，
AB＝3，AC＝4，则BC＝5，
则∠ABE＝∠C，则△ABC∽△AEB，
即，即，解得：AE＝，
则CE＝4﹣＝；
（3）①如图2所示，当∠ABD＝∠DBC＝β时，
则AE⊥BF，则AF＝FE＝3，则AE＝6，
AB＝BE＝5，
过点A作AH⊥BC于点H，
设BH＝x，则HE＝5﹣x，
则AH2＝AE2﹣HE2＝AB2﹣HB2，即52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2，解得：x＝；
cos∠ABE＝＝＝cos2β，则tan2β＝，
则tanα＝；
②如图3所示，当∠ABD＝∠C＝β时，
过点A作AH⊥BE交BE于点H，交BD于点G，则点G是圆的圆心（BE的中垂线与直径的交点），
∵∠AEB＝∠DAE+∠C＝α+β＝∠ABC，故AE＝AB＝5，则EF＝AE﹣AF＝5﹣3＝2，
∵DE⊥BC，AH⊥BC，
∴ED∥AH，则AF∶EF＝AG∶GE＝2∶3，
则DE＝2k，则AG＝3k＝R（圆的半径）＝BG，点H是BE的中点，则GH＝DE＝k，
在△BGH中，BH＝＝2k，
在△ABH中，AB＝5，BH＝2k，AH＝AG+HG＝4k，
由勾股定理得：25＝8k2+16k2，解得：k＝；
在△ABD中，AB＝5，BD＝6k＝，
则cos∠ABD＝cosβ＝＝＝cosC，
则tanC＝；
综上，tan∠C的值为或．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数值等知识. 属于圆的综合题，解决本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来.
3．定义：在一个三角形中，若存在两条边x和y，使得y＝x2，则称此三角形为“平方三角形”，x称为平方边．
（1）“若等边三角形为平方三角形，则面积为是　　命题；“有一个角为30°且有一条直角边为2的直角三角形是平方三角形”是　　命题；（填“真”或“假”）
（2）若a，b，c是平方三角形的三条边，平方边a＝2，若三角形中存在一个角为60°，求c的值；
（3）如图，在△ABC中，D是BC上一点．
①若∠CAD＝∠B，CD＝1，求证，△ABC是平方三角形；
②若∠C＝90°，BD＝1，AC＝m，CD＝n，求tan∠DAB．（用含m，n的代数式表示）
【答案】（1）真，假；（2）c的长为4或1+；(3)①见解析；②tan∠DAB＝
【分析】（1）①根据平方三角形的定义，求出等边三角形的边长即可判断．②分两种情形分别判断即可．
（2）为a，b，c是平方三角形的三条边，平方边a＝2，三角形中存在一个角为60°，只有∠B或∠C＝60°，∠A不可能为60°，不妨设∠B＝60°，BC＝2，分两种情形：如图1中，①当c＝a2时．②如图2中，当b＝a2＝4时，作CH⊥AB于H．求出AB即可．
（3）①证明△CAD∽△CBA，利用相似三角形的性质即可解决问题．
②如图4中，作DH⊥AB于H．利用相似三角形的性质求出DH，AH即可解决问题．
【详解】解：（1）∵等边三角形为平方三角形，
∴根据平方三角形的定义可知：等边三角形的边长为1，
∴等边三角形的面积＝，
∴①是真命题．
当直角三角形中，30°所对的直角边为2时，斜边为4，满足平方三角形的定义，
当直角三角形中，和30°相邻的直角边是2时，不是平方三角形，
故②是假命题，
故答案为真，假．
（2）因为a，b，c是平方三角形的三条边，平方边a＝2，三角形中存在一个角为60°，
只有∠B或∠C＝60°，∠A不可能为60°，不妨设∠B＝60°，BC＝2，
如图1中，①当c＝a2时，∵a＝2，
∴c＝22＝4．
如图2中，当b＝a2＝4时，作CH⊥AB于H．
在Rt△BCH中，∵∠B＝60°，∠CHB＝90°，BC＝2，
∴BH＝BC＝1，CH＝BH＝，
在Rt△ACH中，AH＝＝，
∴c＝AB＝BH+AH＝1+，
综上所述，c的长为4或1+．
（3）①如图3中，
∵∠C＝∠C，∠CAD＝∠B，
∴△CAD∽△CBA，
∴＝，
∴AC2＝CD CB，
∵CD＝1，
∴AC2＝BC，
∴△ABC是平方三角形．
②如图4中，作DH⊥AB于H．
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝m，BC＝CD+BD＝1+n，
∴AB＝，
∵DH⊥AB，
∴∠DHB＝90°，
∵∠B＝∠B，∠DHB＝∠C＝90°，
∴△BHD∽△BCA，
∴，
∴，
∴DH＝，BH＝，
∴AH＝﹣，
∴tan∠DAB＝＝＝．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的定义、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
代数篇
题型一、与代数式结合
1．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．
[解决问题]
(1)已知29是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______；
(2)若可配方成（m、n为常数），则______；
[探究问题]
(3)已知，则______；
(4)已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
[拓展结论]
(5)已知实数x、y满足，求的最值．
【答案】(1)；
(2)
(3)
(4)
(5)最大值为：；
【分析】（1）根据“完美数”可得答案；
（2）利用完全平方公式可得，从而可得答案；
（3）利用完全平方公式把左边分组分解因式，再利用非负数的性质可得答案；
（4）利用完全平方公式可得，再利用新定义可得答案；
（5）由条件可得，代入计算可得：，再结合非负数的性质可得最大值．
【详解】（1）解：；
（2）；
∴，，
∴；
（3）∵，
∴
∴，
∴，，
解得：，，
∴；
（4）
，
当为完美数时，
∴，
解得：．
（5）∵，
∴，
∴
，
∵，
∴；
∴的最大值为：．
【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，完全平方公式的应用，利用完全平方公式分解因式，熟练的掌握完全平方公式的特点与性质是解本题的关键．
2．阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题：
【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．
【实例剖析1】已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，
当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．
如：；．
【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：
(1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________；
(2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个；
(3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
(4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？
【答案】(1)3，6
(2)真分式，，4
(3)当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米
(4)当时，分式取到最大值，最大值为
【分析】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键．
（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可；
（2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值；
（3）设这个矩形的长为x米，则宽=面积÷长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据：
求解；
（4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；．
【详解】（1）解：令，则有，
得，
当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6；
故答案为：3，6；
（2）解：根据新定义分式是真分式，
，
x为整数，且为整数，
或或或，
解得：或或或，
则满足条件的整数x的值有4个，
故答案为：真分式，，4；
（3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米，
根据题意得：
由上述性质知：∵，
∴，
此时，，
∴，
答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米；
（4）解：
，
，
，
当且当时，即时，式子有最小值为4，
当时，分式取到最大值，最大值为．
3．定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字比十位数字大，那么称这个两位数为“慧泉数”将一个“慧泉数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字后得到新的两位数为，新两位数与原两位数的和为，其和与的商为：，所以．
根据以上定义，回答下列问题：
(1)______；
(2)若，求；
(3)如果一个“慧泉数”的十位数字是，另一个“慧泉数”的个位数字是，且满足，求、的值．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】本题考查列代数式，一元一次方程和一元一次不等式的应用，根据定义列得方程及不等式求解是解题的关键．
（1）根据定义列式计算即可；
（2）设的个位数字为，则其十位数字为，根据定义列得方程，解方程求得值后代入中计算，从而得出答案；
（3）结合已知条件，根据定义求得，后列得不等式，再结合且为整数确定的值，分别代入，中计算后即可求得答案．
【详解】（1）解：由题意可得，
故答案为：；
（2）解：设的个位数字为，则其十位数字为，
，
，解得：，则，
；
（3）解：一个“慧泉数”的十位数字是，另一个“慧泉数”的个位数字是，
数的个位数字是，数的十位数字是，
，，
，
，解得：，
且为整数，
且为整数，
，则，，即，．
题型二、与方程结合
1．定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”．
(1)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，则_________．
(2)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数d的值．
(3)已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为__________．（请直接写出答案）
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】此题考查的是一元一次方程的应用；
（1）根据“反对方程”的定义直接可得答案；
（2）根据方程与其“反对方程”的解都是整数求解；
（3）由题意得，互为“反对方程”的两个方程的解互为倒数，然后利用整体思想求解；
能够正确理解“反对方程”的概念是解决此题关键．
【详解】（1）解：由题可知，与方程，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，
与方程互为“反对方程”，
，
故答案为：2；
（2）变形为
由题意可知：方程的“反对方程”为：
解，得，
解，得，
与的解都是整数，
与都是整数，且为整数，
∴当时，与都是整数；
故整数d的值为；
（3）∵关于x的一元一次方程的解为，
的解为，
由题意得，互为“反对方程”的两个方程的解互为倒数，
的解为，
将变形为，
∴关于y的一元一次方程的解为．
故答案为：．
2．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，则把分别以为横坐标和纵坐标得到的点，称为该一元二次方程的“友好点”．
(1)若方程为，则该方程的“友好点”P的坐标为．
(2)若关于x的一元二次方程的“友好点”为P，过点P向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．
(3)是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的“友好点”P始终在函数的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】本题属于一次函数综合题，考查一次函数的图象及性质，点P为该一元二次方程的“友好点”的定义，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的图象及性质，学会用分类讨论的思想解决问题．
（1）解方程后，根据定义即可求P点坐标；
（2）求出方程的解为或，再分情况讨论：当时，此时；当时，此时，当时，；再由题意分别求出m的值即可；
（3）由直线经过定点，则方程的友好点P为，即可求．
【详解】（1）解：解方程得，，
∴该方程的“友好点”P的坐标为，
故答案为：；
（2）的解为或，
当时，，
此时，
由题意可得，
解得；
当时，，
此时，
∴，
∴；
当时，，
此时，
解得；综上所述：m的值为或；
（3）存在b，c满足条件，理由如下：
∵，
∴直线经过定点，
∴方程的友好点为，
∴方程为
∴．
3．我们定义：形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．
例如为十字分式方程，可化为，∴，．
再如为十字分式方程，可化为．∴，．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)若为十字分式方程，则______，______．
(2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值．
(3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)2022
【分析】（1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义作答即可；
（2）先根据十字分式方程的定义求出，再化简得，最后代入计算求解即可；
（3）先根据十字分式方程的定义以及、、的取值范围求出，，即，，然后代入求解即可．
【详解】（1）解：方程是十字分式方程，可化为，
，
故答案为：，．
（2）解：十字分式方程的两个解分别为，，
，
∵，
∴原式．
（3）解：方程是十字分式方程，可化为，
∴，，
∵，，
∴，，即，，
代入得，，
∴的值为2022．
【点睛】本题考查了新定义运算，利用完全平方公式求值、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键．
题型三、与不等式结合
1．现对x，y定义一种新的运算：，(其中均不为0)，举例：．
(1)若；
①求的值．
②若关于的不等式组恰好有2个整数解，求的取值范围．
(2)若对任意实数都成立，则应满足什么样的关系式？
【答案】(1)①；②；
(2)
【分析】（1）①由新定义运算的含义可得，再解方程组即可得到答案；②由结合不等式组可得，可得：，结合此时恰好有2个正整数解，可得，再解不等式组即可；
（2）由，可得，结合题意可得，从而可得答案.
【详解】（1）解：①∵，，
∴，即，
解得：，
②∵由①得：，
∴，
，
∴即，
解得：，
∵此时恰好有2个正整数解，
∴，
解得：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵对任意实数都成立，
∴，
∴；
【点睛】本题考查的是新定义运算，二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法，因式分解的应用，本题难度大，对学生要求高.
2．深化理解：
新定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；
反之，当为非负整数时，如果，则．
例如：，，，，…
试解决下列问题：
(1)填空：①________，________（为圆周率），________；
②如果，求实数的取值范围；
(2)若关于的不等式组的整数解恰有4个，求的取值范围；
(3)求满足的所有非负实数的值．
【答案】(1)①7，3，4；②
(2)；
(3)，，，．
【分析】（1）①利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，进而得出相关的值；②利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，进而得出x的取值范围；
（2）首先将看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出a的取值范围；
（3）利用，为整数，设，k为整数，则，得出关于k的不等关系求出即可．
【详解】（1）解：①由题意可得：
，（为圆周率），
∵，
∴；
故答案为：7，3，4；
②∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：解不等式组得：，
由不等式组整数解恰有4个得，，
故；
（3）解：∵，为整数，
设，k为整数，则，
∴，
∴，，
∴，
∴，1，2，3，
则，，，．
【点睛】此题主要考查了新定义以及一元一次不等式的应用，根据题意正确理解的意义是解题关键．
3．我们定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．
例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”
(1)已知①，②，③，试判断方程解是否为它与它们中某个不等式的“梦想解”；
(2)若关于x，y的二元一次方程组的解是不等式组的梦想解，且m为整数，求m的值．
(3)若关于x的方程的解是关于x的不等式组的“梦想解”，且此时不等式组有7个整数解，试求m的取值范围．
【答案】(1)③
(2)14或15
(3)
【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，即可判断；
（2）先求出方程组的解和不等式组的解集，根据题意得出，解不等式组即可；
（3）先求出不等式组的解集，不等式组有7个整数解，即可得出，然后解方程得：，，根据“梦想解”的定义得出，即可得出．
【详解】（1）解方程得，
解①得：，故方程不是①的“梦想解”；
解②得：，故方程不是②“梦想解”；
解③得：，故方程是③的“梦想解”；
故答案为：③
（2）解方程
得：
∴
∵解是不等式组的梦想解
∴
∴
m为整数，
∴m为14或15；
（3）解不等式组得：，
不等式组的整数解有7个，
令整数的值为，，，，，，
则有：，．
故，
且，
，
，
，
，
解方程得：，
方程是关于的不等式组的“梦想解”，
，
解得，
综上的取值范围是．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式（组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“关联方程”是解题的关键．
函数篇
题型一、与一次函数结合
1．在平面直角坐标系中，已知点．对于点给出如下定义：若点关于直线的对称点为点，点与点关于直线对称，则称点是点关于点的“对应点”．

(1)已知点，点，点是点关于点的“对应点”，
①如图1，当时，点的坐标为______；
②若的长度不超过4，求的取值范围；
(2)已知点在直线上，如图2，直线与轴，轴分别交于点，对于线段上（包括端点）任意一点，若以1为半径的上总存在一点，使得点关于点的“对应点”在轴的负半轴上，直接写出符合条件的的值．
【答案】(1)①；②或
(2)
【分析】（1）①根据题意得出关于的对称点为，为关于轴（）的对称点即；
②先得出，勾股定理得出，进而根据，即可求解；
（2）依题意得出，又直线的解析式可得，直线与轴的夹角为，同理可得与轴的夹角为，根据当点与点重合时，与相切，符合题意，当与点重合时，的长度最大，此时能与轴的负半轴相切，则当在上运动时，与轴的负半轴相交，即可得出．
【详解】（1）解：①当时，则
∵，则关于的对称点为，
∴为关于轴（）的对称点即，
故答案为：．

②若的长度不超过4，求的取值范围
解：∵，则
∴
∴
∵即
∴
∴或

（2）解：∵点在直线上，
∴，
∵点关于点的“对应点”在轴的负半轴上，
∴
∵直线与轴，轴分别交于点，
当时，，当时，
∴，
∴
∴
∴，则，
∴直线与轴的夹角为，
同理可得与轴的夹角为，
如图所示，当点与点重合时，关于的对称点，关于的对称点为，

∵，
∴
∴直线的解析式为，
∴当点与点重合时，与相切，

则是等边三角形，关于对称，
与和轴的正半轴相切，
与轴的负半轴以及相切，
又∵是线段上的点，当与点重合时，的长度最大，此时能与轴的负半轴相切，则当在上运动时，与轴的负半轴相交，
即当时，以1为半径的上总存在一点，使得点关于点的“对应点”在轴的负半轴上．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，坐标与图形，勾股定理，直线与圆的位置关系，解直角三角形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键
2．在平面直角坐标系中，对于线段，直线l和图形W给出如下定义：线段关于直线l的对称线段为分别是M，N的对应点），若与均在图形W内部（包括边界），则称图形W为线段关于直线l的“对称封闭图形”．如图，点．
概念理解：
(1)线段关于y轴的对称线段点坐标是______；
(2)已知图形：以线段为边的等边三角形，：以O为对角线交点且边长为2的正方形，在中，线段关于y轴的“对称封闭图形”是______；
应用拓展：
(3)以O为对角线交点的正方形的边长为4，各边与坐标轴平行，若正方形是线段关于直线的“对称封闭图形”，求b的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题是一次函数综合题，考查了等腰直角三角形性质，轴对称性质，新定义等知识，解决问题的关键是几何直观能力．
（1）根据轴对称的性质即可求解；
（2）作出图形，观察得出结果；
（3）作出点P关于的对称点，须使其对称点在正方形的边上时，是临界值，进而求得结果．
【详解】（1）∵点，线段关于y轴的对称线段，
∴，
故答案为：；
（2）如图1，
关于y轴对称的线段是，由图可得：
和在正方形内，不在等边三角形内，
∴线段关于y轴的“对称封闭图形”为，
故答案为：；
（3）如图2，
由图可得：点P关于对称点在正方形的边上，点P关于的对称点在正方形的边上，
∴
3．结合已经学过的“距离”我们知道：点到直线的“距离”是直线外一点和直线上各点连接的所有线段中最短的线段（即垂线段）的长度．类似的我们给出两个图形M、N的“距离”定义：如果点P为图形M上的任意一点，点Q为图形N上的任意一点，且P、Q两点的“距离”有最小值，那么称这个最小值为图形M，N的“距离”，记为特别地，当图形M，N有公共点时，图形M，N的“距离”．

(1)如图1，在平面直角坐标系中，，若，，，则_________， _________；
(2)如图2，已知的三个顶点的坐标分别为，，，将一次函数的图象记为L．
①若，且，求k的值；
②若，求k的取值范围．
【答案】(1)，
(2)①；②或
【分析】（1）由距离定义得，作于点，即可求解；
（2）①设图象与轴交于，与轴交于，作于点，
由点的坐标可求，由距离的定义得，由勾股定理得，从而可求，即可求解；②图象经过点或点时，分别求出的值，结合一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：，，
，，
，
如图，作于点，

，
，
，
，
故答案：，；
（2）解：①如图，设图象与轴交于，与轴交于，作于点．

当，则，
，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：；
②图象经过点或点时，
图象与只有一个交点，
符合，
当图象经过点时，
将代入得：
，
解得，
当图象经过点时，
将代入得：
，
解得：，
当或时，图象与有两个交点，满足，
的取值范围为或．
【点睛】本题考查了新定义，待定系数法，直角三角形的特征，等腰三角形的判定及性质，勾股定理等；理解新定义，能根据新定义将“距离”求的值是解题的关键．
题型二、与反比例函数结合
1．在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足．
(1)求的值；
(2)如图，过点分别作平行于轴，轴的直线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为（含边界），
当时，区域的整点个数为；
直线过一个定点，若点为此定点，直线上方（不包含直线）的区域记为，直线下方（不包含直线）的区域记为，当与的整点个数之差不超过时，请求出的取值范围．
【答案】(1)；
(2)①，②．
【分析】（）根据点在的图象上，可求出的值；
（）标出区域，再统计区域内的整数点即可；
过定点即表示与的取值无关，则有的系数等于，便可解决问题，利用图象，求出区域内的所有整数点，再分类讨论即可；
本题考查反比例函数的性质，正确理解题目中所给出的新定义，结合图形合理的分析是解题的关键．
【详解】（1）∵双曲线经过点，
∴，
即的值为；
（2）当时，由图可知，
上的整点有个，
上的整点有个，
双曲线上段的整点有个，
区域内部的整点有个，
又点，，都被算了次，
所以区域的整点个数为：，
故答案为：；
由题知，，
则不论为何值，时，即直线过定点，
∴，
如图所示，当时，区域内的整点共有个，
又被分成的区域和的整点个数之差不超过，
则当直线经过点时，的整点个数是，的整点个数是，满足要求，
此时，得，
当直线过点时，的整点个数是，的整点个数是，不满足要求，故当点在直线上方时，即可，
此时，得，
故的取值范围是：．
2．中国象棋棋盘上双方的分界处也称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻军对垒的分界线，数学中为了对两个图形进行分界，在平面直角坐标系中，对“楚河汉界线”给出如下定义：点P是图形上的任意一点，点Q是图形上的任意一点，若存在直线L：满足且，则称直线L：是图形与的“楚河汉界线”．例如：如图1，直线l：是函数的图象与正方形的一条“楚河汉界线”．

(1)在直线①，②，③，④中，是图1函数的图象与正方形的“楚河汉界线”的有___________（填序号）：
(2)如图2，第一象限的等腰直角的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D的坐标是，与的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式；
(3)正方形的一边在y轴上，其他三边都在y轴的右侧，点M是此正方形的中心，若存在直线是函数的图象与正方形的“楚河汉界线”，求t的取值范围．
【答案】(1)①、④
(2)
(3)或
【分析】（1）根据定义，结合图象，可判断出与双曲线及正方形有一个公共点的直线为，没有公共点的直线为，根据“楚河汉界线”定义，即可解答；
（2）先作出以原点O为圆心且经过的顶点D的圆，再过点D作的切线，求出该直线的解析式即可；
（3）先由抛物线与直线组成方程组，则该方程组有唯一一组解，再考虑直线与正方形有唯一公共点的情形，数形结合，分类讨论，求出t的取值范围．
【详解】（1）如图所示，

从图中可知与双曲线及正方形没有公共点，
与双曲线及正方形只有一个公共点，
、不在双曲线及正方形之间，
根据“楚河汉界线”定义可知，直线、是双曲线及正方形的“楚河汉界线”，
故答案为①、④；
（2）如图1，连接，以O为圆心，长为半径作，作轴于点G，过点D作的切线，则，
∵D的坐标是，
∴，
∴直线是与的“楚河汉界线”，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴设直线的解析式为，
则，解得，
∴与的“楚河汉界线”的表达式是；
（3）由得，
∵直线与抛物线有唯一公共点，
∴，
∴，解得；，
∴此时的“楚河汉界线”为，
当正方形在“楚河汉界线”上方时，如图：

∵是此正方形的中心，
∴顶点，
∵顶点不能在直线下方，
∴，即，
当正方形在“楚河汉界线”下方时，如图：

对于函数，当时，；当时，，
∴直线恰好经过点和点，
对于直线，当时，，
由不能在直线上方，
，即，
综上所述，或．
【点睛】此题是二次函数综合题，考查一次函数、正方形的性质、一次函数的应用、二元二次方程组．一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
3．定义：平面直角坐标系中，若点M绕点N顺时针旋转，恰好落在函数图象W上，则称点M是点N关于函数图象W的“直旋点”．例如，点是原点O关于函数图象的一个“直旋点”．

(1)在①，②，③三点中，是原点O关于一次函数图象的“直旋点”的有 ___________（填序号）；
(2)点是点关于反比例函数图象的“直旋点”，求k的值；
(3)如图1，点在反比例函数图象上，点B是在反比例函数图象上点A右侧的一点，若点B是点A关于函数的“直旋点”，求点B的坐标．
【答案】(1)③
(2)
(3)点B的坐标为
【分析】（1）根据“直旋点”的定义进行判断即可；
（2）设点M绕点N顺时针旋转的对应点为，过点M作轴于点A，过点作轴于点B，证明，得出，，即可得出的坐标为，求出k的值即可；
（3）设点B绕点A顺时针旋转的对应点为点C，连接，，过点A作x轴的平行线，过点B作于点E，过点C作于点E，求出反比例函数解析式为，设点B的坐标为，得出，，证明，得出，，求出点C的坐标为：，根据点C在函数图象上，得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：①点绕原点顺时针旋转的对应点为，把代入得：，
∴不在函数的图象上，
∴不是原点O关于一次函数图象的“直旋点”；
②绕原点顺时针旋转的对应点为，把代入得：，
∴不在函数的图象上，
∴不是原点O关于一次函数图象的“直旋点”；
③绕原点顺时针旋转的对应点为，把代入得：，
∴在函数的图象上，
∴是原点O关于一次函数图象的“直旋点”；
综上分析可知，是原点O关于一次函数图象的“直旋点”的有③．
故答案为：③．
（2）解：设点M绕点N顺时针旋转的对应点为，过点M作轴于点A，过点作轴于点B，如图所示：

∵，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据旋转可知，，
∴，
∴，，
∴，
∴的坐标为，
把代入得：．
（3）解：设点B绕点A顺时针旋转的对应点为点C，连接，，过点A作x轴的平行线，过点B作于点E，过点C作于点E，如图所示：

∵点在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵点B在函数图象上，
∴设点B的坐标为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
根据旋转可知，，
∴，
∴，，
∴点C的坐标为：，
∵点C在函数图象上，
∴，
解得：，（舍去），
∴点B的坐标为．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，求反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，作出相应的辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法．
题型三、与二次函数结合
1．在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y1，y2，恒有点和点关于点成中心对称（此三个点可以重合），则称这两个函数互为“友好函数”．例如：和互为“友好函数”．
(1)判断：①和；②和；③和，其中互为“友好函数”的是______（填序号）．
(2)若函数y=2x-4的“友好函数”与反比例函数的图象在第一象限内有两个交点C和D．
①求的取值范围；
②若的面积为，求的值．
(3)若三个不同的点均在二次函数（a，b，c为常数，且）的“友好函数”的图象上，且满足，若存在常数w，使得恒成立，求w的取值范围．
【答案】(1)①②
(2)①；②
(3)
【分析】（1）根据“友好函数”的定义逐个判断即可；
（2）①求出函数的“友好函数”解析式为，由方程有两个不相等的实数根，且两根均为正数，可得且，即可解得答案；
②记直线与坐标轴的交点为，，则，，设，的横坐标分别为，，知，，根据，可得，结合，，可得的值为；
（3）由得的“友好函数”解析式为，根据，，，，可得，而抛物线对称轴为直线，即，故，可得：，设，即可得，又恒成立，解得．
【详解】（1）图象上的点和图象上的点关于成中心对称，
∴和是“友好函数”；
图象上的点和图象上的点关于成中心对称，
∴和是“友好函数”；
图象上的点和图象上的点不关于成中心对称，
∴和不是“友好函数”；
∴互为“友好函数”的是①②，
故答案为：①②；
（2）①根据“友好函数”的定义得：，
∴，
∴，即函数的“友好函数”解析式为，
∵反比例函数的图象与直线在第一象限内有两个交点，
∴方程有两个不相等的实数根，且两根均为正数，
整理得：，
∴且，
解得：；
②如图，设C，D的坐标分别为
∴是方程的两根，
∴，且
故
（3）由得：，
∴的“友好函数”解析式为，
∵在函数的上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点的纵坐标相等，
∴抛物线对称轴为直线，即，
解得:，
设，
当时，；
当时，；
∵恒成立，
∴w≥-1，
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及新定义，三角形面积，函数与方程的关系等知识，解题的关键是读懂新定义，列出相关的方程和不等式解决问题．
2．定义：若一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图像的“等值点”．例如，点是函数的图像的“等值点”．
(1)请判断函数的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
(2)设函数，的图像的“等值点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为时，求的值；
(3)已知函数（为常数）有两个“等值点”．存在函数（异于），若对于任意的自变量，都有点与点到点的距离相等；当时，都有成立，请结合图像求的取值范围．
【答案】(1)存在；或
(2)或
(3)或
【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；
（2）先根据“等值点”的定义求出函数的图像上有两个“等值点”，可得，同理求出，根据的面积为可得，求解即可；
（3）先根据函数有两个“等值点”，利用根的判别式可初步确定的取值范围，依据抛物线性质和图像可得开口向上，对称轴为直线，顶点，且图像恒过点，当，图像的随着的增大而增大，最大值比最小值大，根据对称性确定抛物线的解析式，再分析抛物线的图像和性质；然后根据，两点的位置进行分类讨论即可．
【详解】（1）解：在中，令，
解得：，，
∴函数的图像上有两个“等值点”，坐标为或．
（2）在函数中，令，
解得：或（不符合题意，舍去）
∴，
在函数中，令，
解得：，
∴，
∵轴，
∴，
∵的面积为，
∴，
整理，得：，
当时，解得：，，
当时，即，
∵，
∴方程没有实数根，
综上所述，的值为或．
（3）设，，设函数的顶点为，
∵函数（为常数）有两个“等值点”，
∴令，即，
∴，
解得：或，
由函数知：图像开口向上，对称轴为直线，顶点，且图像恒过点，当，图像的随着的增大而增大，
当，取最大值，
当时，取最小值，
最大值比最小值大；
∵点与点到点的距离相等，即点与点关于点对称，
∴，
∴，
∴，
配方，得：，
∴该图像为抛物线，开口向下，对称轴为直线，顶点，且图像恒过点，当，图像的随着的增大而增大，
当，取最大值，
当，取最小值，即过点，
最大值比最小值大，
情况：当在点的下方，此时点在点上方，即，如图1，2所示，
∴，
解得：或，

情况2：当点与点重合，即两个函数恰好都经过，，如图3，4所示，
把代入，得：，
解得：或，
由图可知，当或时，，不符合题意，舍去，

情况3：当点在点的上方，如图5，6所示，
可得，
此时点在点下方，即，不符合题意，舍去，
综上所述，的取值范围为：或．

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了一次函数，二次函数与新定义“等值点”的综合运用，一元二次方程根的判别式，二次函数图像和性质，对称的性质，数形结合思想和分类讨论．能够画出函数图像的草图是解题的关键．
3．【概念学习】在平面直角坐标系中，对于已知的点和图形，给出如下定义：如果图形上存在一点，使得当时，，则称点为图形的一个“垂近点”．
(1)【初步理解】若图形为线段，，，在点、、、中，是线段的“垂近点”的为________；
(2)【知识应用】若图形为以坐标原点为圆心，2为半径的圆，直线与轴交于点、与轴交于点，如果线段上的点都是的“垂近点”，求的取值范围；
(3)若图形为抛物线，以点为中心，半径为的四边形，轴，轴，如果正四边形上存在“垂近点”，直接写出的取值范围．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)或时，正方形上存在抛物线的“垂近点”．
【分析】（1）依据“垂近点”的定义，进行判断即可，注意满足时，即可；
（2）线段上任意一点都是的“垂近点”，可知线段在是圆的弦，得到，解不等式即可；
（3）点是正方形的中心，可得正方形的边长为2，表示出，，，，设正方形上点是抛物线的“垂近点”，抛物线上存在点，使得当时，，当点在轴右侧时，，如图1，当点与点重合时，，，如图2，当点与点重合时，，，解方程可得时，正方形上存在抛物线的“垂近点”；当点在轴的左侧时，，如图3，当点与点重合时，，，如图4，当点与点重合时，，，解方程可得时，正方形上存在抛物线的“垂近点”．
【详解】（1）当时，，不是线段的“垂近点”，
当时，，是线段的“垂近点”，
当时，，是线段的“垂近点”，
不是线段的“垂近点”，
故答案为：，；
（2）∵线段上任意一点都是的“垂近点”，
∴线段在是圆的弦，
∵圆的半径是2，
∴；
∴；
（3）∵点是正方形的中心，可得正方形的边长为2，
∴，，，，
设正方形上点是抛物线的“垂近点”，抛物线上存在点，使得当时，，
当点在轴右侧时，，
如图1，当点与点重合时，，
∴
解得或（舍），
如图2，当点与点重合时，，
∴，解得或（舍），
∴时，正方形上存在抛物线的“垂近点”；
当点在轴的左侧时，，
如图3，当点与点重合时，，
∴M，
解得或（舍），
如图4，当点与点重合时，，
∴，解得或（舍），
∴时，正方形上存在抛物线的“垂近点”；
综上所述：或时，正方形上存在抛物线的“垂近点”．
【点睛】本题考查了新定义“垂近点”的理解，函数图像上点的特点；理解新定义、掌握函数图像上点的特点是解题的关键．

展开更多......

收起↑