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⒍ 怎样证明两线段相等与两角相等
【重点解读】
证明两线段相等或两角相等是中考命题中常见的一种题型，主要考查学生的分析问题能力、逻辑思维能力与推理能力，其综合证明难度有所降低，但增加了探索的思维过程. 解决此类问题的关键是：正确运用所学几何概念、公理、定理、性质、判定，正确添加辅助线，进行几何证明的叙述.
⒈ 怎样证明两线段相等
证明两线段相等的常用方法和涉及的定理、性质有：
⑴ 三角形①两线段在同一三角形中，通常证明等角对等边；
②证明三角形全等：全等三角形的对应边相等，全等形包括平移型、旋转型、翻折型；
③等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边；
④线段中垂线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；
⑤角平分线性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等；
⑥过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边；
⑵ 证特殊四边形①平行四边形的对边相等、对角线互相平分；
②矩形的对角线相等，菱形的四条边都相等；
③等腰梯形两腰相等，两条对角线相等；
⑶ 圆①同圆或等圆的半径相等；
②圆的轴对称性（垂径定理及其推论）：垂直于弦的直径平分这条弦；
平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦；
③圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等；
④从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；
⑷ 等量代换：若a=b，b=c，则a=c；
等式性质：若a=b，则a－c=b－c；若，则a=b.
此外，也有通过计算证明两线段相等，有些条件下可以利用面积法、相似线段成比
例的性质等证明线段相等.
⒉ 怎样证明两角相等
证明两角相等的方法和涉及的定理、性质有：
⑴ 同角（或等角）的余角、补角相等；
⑵ 证明两直线平行，同位角、内错角相等；
⑶ 到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上；
⑷ 全等三角形、相似三角形的对应角相等；
⑸ 同一三角形中，等边对等角，等腰三角形三线合一；
⑹ 平行四边形的对角相等；等腰梯形同一底上的两个角相等；
⑺ 同圆中，同弧或等弧所对的圆周角、圆心角相等；
⑻ 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；
⑼ 从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角；
⑽ 圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角；
⑾ 通过计算证明两角相等；
⑿ 等量代换，等式性质.
【典题精析】
例1已知：如图，分别延长菱形ABCD的边AB、AD到点E、F，使得BE＝DF，
连结EC、FC．求证：EC＝FC．
分析一 要证明EC＝FC，
可通过证明△BCE≌△DCF，条件为边角边
证明一 ∵菱形ABCD，∴BC=DC，∠ABC=∠ADC，
∴∠CBE=∠CDF (等角的补角相等)
又∵BE＝DF，
∴△BCE≌△DCF，
∴EC＝FC.
分析二 连结AC，证明△ACE≌△ACF，条件也为边角边
证明二 连结AC，∵菱形ABCD，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC，（菱形的对角线平分一组对角）
∵BE=DF ∴AE=AF（等式性质），又AC=AC
∴△ACE≌△ACF，EC＝FC.
通过证三角形全等来证明两线段（或两角）相等是常用的方法，关键是根据已知条件及图形找到对应的三角形和满足全等的条件，图形有的翻折全等，有的旋转全等，有的平移全等，有的是三者的综合形式，该问题是翻折型全等.
例2已知：AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB
于点D，E是AB上一点，直线CE与⊙O交于点F，连结AF，与直线CD交于点G.
求证：⑴∠ACD=∠F；⑵AC2=AG·AF.
分析 要证明∠ACD=∠F，可通过角之间的转化，
已知中AB是⊙O的直径是关键的条件，
连结BC，得∠ACB=90°，
∠ACD=∠B（直角三角形母子三角形中的对应角相等），
∠F=∠B，（同弧所对的圆周角相等）.
证明：⑴连结BC，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角），
即∠ACD+∠DCB=90°
∵CD⊥AB ∴∠DCB+∠B=90°，∴∠ACD=∠B（同角的余角相等）
∵∠F=∠B，∴∠ACD=∠F（等量代换）.
⑵略
证明线段相等或角相等时，如果没有三角形全等，我们常找与它们都相关或都有联
系的线段或角作为桥梁，实现线段之间的转化或角之间的转化，从而证明它们的等量关系. 直角三角形的母子三角形中相等的角、成比例的线段要熟悉.
例3已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A的切线与CD的延长线交于E，
且∠ADE=∠BDC. ⑴求证：△ABC为等腰三角形；
⑵若AE=6，BC=12，CD=5，求AD的长.
分析 条件∠ADE=∠BDC的转化：
∠ADE=∠ABC，（圆的内接四边形的外角等于内对角）
∠BDC =∠BAC（同弧所对的圆周角相等），
可得∠ABC=∠BAC，△ABC为等腰三角形.
证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADE=∠ABC，
∵∠BDC =∠BAC，又∵∠ADE=∠BDC
∴∠ABC=∠BAC ∴CA=CB（等角对等边）
即△ABC为等腰三角形 .
例4已知：如图，正△ABC的边长为a, D为AC边上的一个动点，延长AB至E
使BE=CD，连结DE，交BC于点P.
⑴ 求证：DP=PE；
⑵ 若D为AC的中点，求BP的长.（略）
分析 要证明DP=PE，DP、PE不在同一三角形中，
考虑证三角形全等，但两线段居于的三角形不全等，
故考虑添加辅助线——平行线，构筑全等的三角形.
⑴ 证明：过点D作DF∥AB，交BC于F
∵△ABC为正三角形 ∴∠CDF=∠A=60°
∴△CDF为正三角形，DF=CD
又BE=CD，∴BE=DF 又DF∥AB，∴ ∠PEB=∠PDF
在△DFP和△EBP中，有：∠PEB=∠PDF，∠BPE=∠FPD，BE=FD
∴△DFP≌△EBP，
∴DP=PE.
添加辅助线是几何证明和计算中常用的方法，通常有作平行线、作垂线、连结两点、延长线段相交等，正确添加辅助线是解决问题的关键.
该问题中添加平行线有多种方法，可以自所证线段的各分点处作平行线，如：过点D作DF∥BC，过点E作EF∥AC等.
思考：若将条件正△ABC改为等腰△ABC，AB=AC，结论DP=PE是否仍成立？
若将条件正△ABC改为等腰△ABC，CA=CB，结论DP=PE是否仍成立？
例5已知：△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE，G是垂足，
求证：⑴G是CE的中点；⑵∠B=2∠BCE.
分析：⑴已知中多垂直和中线条件，
可联想直角三角形斜边上的中线性质；
要证明G是CE的中点，结合已知条件DG⊥CE，
符合等腰三角形三线合一中的两个条件，
故连结DE，证明△DCE是等腰三角形，由DG⊥CE，
可得G是CE的中点.
⑵由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，BE=DE，∠B转化为∠EDB.
证明：⑴连结DE，
∵∠ADB=90°，E是AB的中点，
∴DE=AE=BE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
又∵DC=BE，∴DC=DE，
又∵DG⊥CE，
∴G是CE中点（等腰三角形底边上的高平分底边）.
⑵∵DE=DC，∴∠DCE=∠DEC（等边对等角），
∴∠EDB=∠DEC+∠DCE=2∠BCE（三角形的外角等于两不相邻内角的和），
又∵DE=BE，∴∠B=∠EDB，∴∠B=2∠BCE
直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，其特殊性质有：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；等腰三角形三线合一的性质通常有以下变形形式：已知等腰和高、已知顶角平分线和高、已知等腰和底边中线. 特殊三角形与线段和角的相等、线段和角的倍半关系有着密切关系.
例6如图，⊙O的内接△ABC的外角∠ACE的平分线交⊙O于点D，DF⊥AC，垂足为F，DE⊥BC，垂足为E，给出下列4个结论：
①CE=CF；②∠ACB=∠EDF；③DE是⊙O的切线；④=；
其中一定成立的是（ ）
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D . ①②④
分析 ①可证得△CDF≌△CDE，得CE=CF成立；
②∠ACB和∠EDF（无直接关系，找相关的角）：∠ACB与∠ACE邻角互补，∠EDF也和∠ACE互补(四边形的内角和360°)，同角的补角相等，即∠ACB=∠EDF；
④所对的圆周角为∠DCA，所对的圆周角为∠DAB，∵∠DAB=∠DCE（四边形的外角等于不相邻的内角），又∠DCA=∠DCE ，∴∠DCA=∠DCE，
=，故选D.
一般的，证明线段相等或角相等，可根据条件寻找三角形，证三角形全等；无三角形全等时，可找与之相关连的线段或角，探索等量关系；证明弧相等，可以转化为证明弧所对的圆周角或圆心角相等，即转化为证明角相等的问题.
【智能巧练】
⒈ ⑴如图，△ABC中，∠B的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，则∠D与
∠A的比是________

⑵如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP＇重合. 如果AP=3，那么PP＇的长为_______.
⒉ ⑴如图，∠B、∠C的平分线交于点P，过点P作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，则( )
A. EF=EB+FC B. EF>EB+FC
C. EF⑵在Rt△ABC中，AF是斜边BC上的高线，且BD=DC=FC=1，则AC的长为（ ）
A. B. C . D.

⒉⑴ ⒉⑵
⑶在△ABC中，∠B=2∠C，则（ ）
A. 2AB=AC B. 2AB>AC C. 2AB⑷在⊙O中，如果，那么弦AB与CD的大小关系是( )
A. AB=2CD B. AB>2CD C. AB<2CD D. 不能确定
⒊ 如图，已知：平行四边形ABCD中，E是CA延长线上的点，
F是AC延长线上的点，且AE=CF
求证：⑴∠E=∠F；
⑵BE=DF
⒋ 如图，△ABC中，高BD、CE交于点F，且CG=AB，BF=AC，连接AF，
求证：AG⊥AF

第4题 第5题 第6题
⒌ Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC上任意一点，DF⊥AB，DE⊥AC，垂足分别为F、E，M为BC中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并说明之.
⒍ 如图，AB是⊙O的直径，DC切⊙O于C，AD⊥DC，垂足为D，CE⊥AB，垂足E
求证：CD=CE.
⒎ 已知：如图，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D. 延长DA交△ABC的外接圆于点F.
⑴求证：FB=FC；
⑵若，求FB的长.

第7题 第8题
⒏ 梯形ABCD中AB//CD，对角线AC、BD垂直相交于H，M是AD上的点，MH所
在直线交BC于N. 在以上前提下，试将下列设定中的两个作为题设，另一个作为结论
组成一个正确的命题，并证明这个命题. ①AD=BC ②MN⊥BC ③AM=DM
【探索创新】
⒈ 探求：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和，
并证明：距离之和是一个定值
已知：如图，AB=AC，P为BC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
探求证明：PE＋PF为定值.
分析 探索定值
由P在BC上任意性知，当P移动到顶点C时，
PE即为C到AB的距离，PF为0，
此时PE+PF等于C到AB的距离.
故作高CD，猜想PE+PF等于一腰上的高.
证明定值
截长或补短法
过点P作PG⊥CD于G，易证得矩形DEPG，
得PE=DG；同时易证△CPG≌△PCF，得PF=CG，
∴PE+PF=DG+CG=CD.
面积法
题中有多个与高有关垂直关系，又AB=AC，联想面积法
连结AP，AB·CD，AB·PE，AC·PF
∵=+，即AB·CD= AB·PE+ AC·PF
又AB=AC
∴PE＋PF= CD.
运用动点移动的方法构造特殊的图形位置，是探索定值问题常用的行之有效的方法
⒉⑴求证：等腰三角形底边延长线上的任意一点到两腰的距离之差是定值
⑵求证：等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值
【答案点击】
⒈⑴1∶2 ⑵； ⒉⑴A ⑵ ⑶B ⑷C； ⒊证明△ABE≌△CDF，或连结ED、FB，证明平行四边形EBFD； ⒋证明△CAG≌△BFA，∴∠G=∠BAF，∵∠G+∠GAE=90°，∴∠BAF+∠GAE=90°，∴AG⊥AF； ⒌△MEF是等腰Rt△，连结AM，证△AME≌△BMF ⒍ 连结AC，由DC切⊙O于C，得OC⊥DC，∵AD⊥DC，∴AD//OC，可证得AC是∠DAB的角平分线，得CD=CE ⒎⑴∵∠DAC=∠FBC，∠EAD=∠FAB=∠FCB，∵∠DAC =∠EAD，∴∠FBC=∠FCB ⑵证明△FBA∽△FDB，得FB=6 ⒏题设①② 结论③ 证明略
⒎ 怎样证明关于线段的几何等式
【重点解读】
线段的几何等式，主要涉及线段的倍分关系式、和差关系式、比例式、等积式等.
证明线段倍分关系的定理和方法有：三角形和梯形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、特殊四边形的性质等；探索、证明线段的倍分关系式，一般转化为证明线段的相等关系，采用的方法通常有折半法、加倍法、比例法. 证明线段的和差关系式，一般思路将线段加长或截短，转化为证明线段相等，利用等量代换或等式性质.
证明线段比例式的一般思路是：把比例式中涉及的四条线段放入两个三角形，如果这两个三角形相似，且所给线段是对应线段，则问题得证；如果找不到两个三角形，或者找到的三角形不相似，可考虑将四条线段中的某些线段进行等量代换，再按上述方法探求证明；如果明显没有等量线段可替换，可找中间比.
证明线段等积式的一般思路：先看等积式是否满足有关定理（射影定理、圆幂定理），如果满足，则结论成立；如果不满足，可把等积式化成比例式、或替换部分后化成比例式，再按比例式的证明方法证明.
证明过程中常用的定理和性质有：比例性质、相似三角形的判定和性质、射影定理、圆幂定理、平行线分线段成比例定理.
【典题精析】
例1已知：E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连结
AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，
连结OF，求证：AB=2OF. 分分析 题中平行四边形条件可利用平行四边形的性质，
且中点条件居多，可考虑用中位线
证明：连结BE，∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AO=CO，
∵CE=DC ∴AB∥＝CE，
∴四边形ABEC为平行四边形，
∴BF=FC，∴OF∥AB，
∴AB=2OF
线段之间的倍分关系式，常联想用中位线定理.
例2已知：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，
BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，
求证：⑴若B、C两点分别在AE的异侧，BD=DE+CE；
⑵若B、C两点分别在AE的同侧，其余条件不变，则BD与DE、CE的关系如何，证明你的猜想.

分析 ⑴一条线段等于两线段之和，这里可找到与BD相等的线段AE，
易证得△BAD≌△ACE，同时AD=CE，故BD=AE=AD+DE= CE + DE（等量代换），
问题得证.
⑵同理，易证得△BAD≌△ACE，故BD+CE=AE+AD=DE.
证明：略
例3如图，△ABC內接于圆，D是弧BC的中点，AD交BC于E，
求证：
分析 要证明这四条线段成比例，
可放入两三角形△ABD、△AEC，证三角形相似，
条件有两个：∠D=∠C，
∠BAD=∠CAD（等弧所对的圆周角相等）
证明：∵D是弧BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD
∵∠D=∠C，∴△ABD∽△AEC ∴
例4已知：如图，等腰△ABC的顶角为锐角，以腰AB为直径的圆交BC于D，
交AC于E，DF⊥AC，垂足为F
求证：
分析一把线段放入两个三角形中，
证两三角形相似
证明一 连接AD、DE，
∵AB为直径，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
在△DEF和△ADF中，∠AFD=∠DFE=90°
∠DEF=∠ABC=∠C，∠ADF=90°－∠DAC=∠C，
∴∠DEF=∠ADF，∴△DEF∽△ADF，
∴，即.
分析二 由射影定理知，转化为证明EF=FC
证明二 连结AD、DE，
∠ADC=∠DFC=90°，∠C=∠C，
∴△ADC∽△DFC，，即.
在△DEF和△DCF中，∠DFE=∠DFC=90°，
∠DEF=∠ABC=∠DCF，DF=DF，
∴△DEF≌△DCF，∴EF=FC，
∴
分析三 证明DF是切线，由切割线定理即得
证明三 连结OD，则OB=OD，∴∠ODB=∠OBD=∠ACB，∴OD∥AC，
又DF⊥AC，∴OD⊥DF，DF是⊙O的切线，∴
解题时，要充分利用已知条件，已知条件中的特殊条件更要发掘其内涵，注意条件之间的内在联系的运用.
例5已知：BC为圆O的直径，AD⊥BC垂足为D，过点B作弦BF交AD于点E
交半圆O于点F，弦AC与BF交于点H，且A为弧BF的中点.
求证：⑴AE=BE
⑵AH·BC=2AB·BE.
分析
⑴AE、BE在同一三角形中，易证等角对等边
⑵等积式中的四条线段分散在很多三角形中，
可将它们相对集中在两三角形△AFH、△BCH中，
AB转化为AF（等弧对等弦）；
系数2的思考：Rt△ABH中， AE=BE，反之易证BH=2BE
证明：⑴略，
⑵连结AF，
可证得△AFH∽△BCH，
，
又可证得AB=AF，
AE=EH=BE，BH=2BE，
∴，∴AH·BC=2AB·BE
例6如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为H，点P是上一点（点P不
与A、C两点重合），连结PC、PD、PA、AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F，下列四个结论：
⑴ ⑵∠EPC=∠APD ⑶ ⑷
正确的有_____.
分析
⑴直径AB垂直于弦CD，由圆的轴对称性得；
⑵∠EPC是圆的内接四边形的外角，∠EPC=∠ADC
∠ADC=∠APD（等弧所对的圆周角相等），∴∠EPC=∠APD；
⑶若成立，则△DAF∽△DPA，
但两三角形显然不相似（∠DAF≠∠DPA ），故⑶不成立；
⑷由圆内成比例线段知，⑷显然成立；
∴正确的有⑴、⑵、⑷.
【智能巧练】
⒈ ⑴在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E为AB的中点，F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值为_________.
⑵已知：O为△ABC内的一点，过点O作EF、GH、QP分别平行于BC、AB、CA，交AB、BC、CA于点P、E、H、Q、F、G ，
则_______.
⒉ 选择：
⑴如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连接EF交AB于H，则下列结论错误的是（ ）
A. AE⊥AF B. EF∶AF=∶1 C. D. FB∶FC=HB∶EC

第⑴题 第⑵题 第⑶题
⑵如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于E，
有如下结论:
①PA=PB+PC ②PA·PE=PB·PC ③
其中正确结论的个数有( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
⑶如图，已知⊙与⊙外切于点C，AB是两圆的外公切线，切点为A、B，分别延长AC、BC交⊙于点E，交⊙于点D，下列结论，正确的有（ ）个
①AD为⊙的直径 ②AD∥BE ③AC·BC=DC·CE ④AC·AE=BC·BD
A.1 B.2 C.3 D.4
⒊ 已知：如图，设D、E分别是△ABC外接圆的弧AB、AC的中点，弦DE交AB于点F，交AC于点G,
求证：AF·AG=DF·EG..

第3题 第4题
⒋ ⊙O的两条割线AB、AC分别交⊙O于D、B、E、C，弦DF∥AC交BC圆于G.
求证：⑴AC·FG=BC·CG;
⑵若CF=AE，求证：△ABC是等腰三角形.
⒌ ⑴如图，已知直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于F（不与B重
合），直线l交⊙O于C、D，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连结AC、AD．
求证：①∠BAD＝∠CAG；②AC·AD＝AE·AF．
⑵在问题⑴中，直线l向下平行移动，与⊙O相切，其他条件不变．
①请你画出变化后的图形，并对照图，标记字母；
②问题⑴中的两个结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
【探索创新】
已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于M，点E是上一动点.
⑴ 如图1，若DE交AB于N，交AC于F，且DE=AC，连结AD、CE，
求证：①∠CED=∠ADE ②=NF·NE
⑵ 如图2，若DE与AC的延长线交于F，且DE=AC，那么=NF·NE的结论是否成立？若成立请证明，若不成立请说明理由.

图1 图2
⑴证明：①∵DE=AC，
∴，
∴∠CED=∠ADE
②连结CN
∴CN=DN， ∠NCF=∠ADE（圆的轴对称性质）
∵∠CED=∠ADE，∠CNF=∠ENC
∴△NCE∽△NFC
∴，
∴=NF·NE
【答案点击】
⒈⑴连接DF，由菱形的轴对称性知DF=BF，要使EF+BF最小，必两点之间线段最短，DE长就是，DE=3 ⑵1 ⒉⑴ B ⑵ B ⑶ D ⒊连接AD、AE，证△ADF∽△EAG ⒋连结CF，证△ACB∽△CGF ⒌⑴①略，②连结DF，可证得△ACE∽△AFD，⑵结论仍成立.

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