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浙江省24届中考之函数综合
1．设二次函数y＝ax2+c（a，c是常数，a＜0），已知函数值y和自变量x的三对对应值如表所示，若方程ax2+c﹣m＝0的一个正实数根为5．则下列结论正确的是（　　）
x … ﹣3 2 4 …
y … 0 p q …
A．m＞p＞0 B．m＜q＜0 C．p＞m＞0 D．q＜m＜0
2．若抛物线y＝（x﹣m）（x﹣m﹣3）经过四个象限，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣3 B．﹣1＜m＜2 C．﹣3＜m＜0 D．﹣2＜m＜1
3．若ac≠0，若二次函数y1＝ax2+bx+c的图象与x轴交于两个不同点A（x1，0），B（x2，0），二次函数y2＝cx2+bx+a的图象与x轴交于两个不同点C（x3，0），D（x4，0），则（　　）
A．x1+x2+x3+x4＝1 B．x1x2x3x4＝1 C． D．
4．已知非负数a，b，c满足a+b＝2，c﹣3a＝4，设S＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（　　）
A．9 B．8 C．1 D．
5．已知抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），则m，n，x1，x2的大小关系是（　　）
A．x1＜m＜n＜x2 B．m＜x1＜x2＜n C．m＜x1＜n＜x2 D．x1＜m＜x2＜n
6．对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（　　）
A．c＜﹣3 B．﹣3＜c＜﹣2 C．﹣2＜c＜ D．c＞
7．定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整点”．抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（　　）
A．﹣1≤a＜0 B．﹣2≤a＜﹣1 C．﹣1≤a＜ D．﹣2≤a＜0
8．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a为常数，a＞0）上的两点，当t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3时，（　　）
A．若t≤1，则y1＞y2 B．若y1＞y2，则t≤﹣1
C．若t≥﹣1，则y1＜y2 D．若y1＜y2，则t≥
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA），B（0，yB），C（﹣1，yC）在该抛物线上，当y0≥0恒成立时，的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．3
10．当m≤x≤m+1时，函数y＝x2﹣4|x|+2的最大值为2，则m满足的条件为（　　）
A．﹣1＜m≤0 B．m＝﹣4或3或﹣1≤m≤0
C．m＝﹣4或﹣1＜m≤0 D．m＝﹣4或3
11．已知二次函数y＝﹣x2+2mx+1，当x＞4时，函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是 　 　．
12．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣4．
（1）若该函数图象的对称轴为直线x＝2，则m＝　 　．
（2）若该函数图象与x轴正半轴有且只有一个交点，则m的取值范围是 　 　．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（0≤x≤7）与x轴的交点坐标为（7，0），设该图象上任意两点的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），其中x1＜x2，d为x1≤x≤x2时y的最大值与最小值的差．若x2﹣x1＝6，则d的取值范围是　 　．
14．若关于x的方程x2﹣2kx+k﹣3＝0的一个实数根x1≥3，另一个实数根x2≤0，则关于x的二次函数y＝x2﹣2kx+k﹣3图象的顶点到x轴距离h的取值范围是 　 　．
15．直线l1：y＝kx+2与y轴交于点A，直线l1绕点A逆时针旋转45°得到直线l2，若直线l2与抛物线y＝x2+3x+2有唯一的公共点，则k＝　 　．
16．如图，“爱心”图案是由函数y＝﹣x2+6的部分图象与其关于直线y＝x的对称图形组成．点A是直线y＝x上方“爱心”图案上的任意一点，点B是其对称点．若，则点A的坐标是 　 　．
17．如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 　 　．
18．如图所示，一场篮球比赛中，某篮球队员甲的一次投篮命中，篮球运行轨迹为抛物线的一部分．已知篮球出手位置点A与篮筐的水平距离为5m，篮筐距地面的高度为3m，当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大，为3.6m．
（1）求篮球出手位置点A的高度．
（2）若甲在乙拦截时，突然向后后退0.2m，再投篮命中（此时乙没有反应过来，置没有移动），篮球运行轨迹的形状没有变化，且篮球越过乙时，超过其拦截高度0.08m，求篮球出手位置的高度变化．
19．某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
（3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．
20．某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg．经市场调查发现每天的销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间的函数关系如图所示．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润＝（销售价格﹣采购价格）×销售量】
21．无锡阳山是闻名遐迩的“中国水蜜桃之乡”，每年6至8月，总会吸引大批游客前来品尝，当地某商家为回馈顾客，两周内将标价为20元/千克的水蜜桃经过两次降价后变为16.2元/千克，并且两次降价的百分率相同．
（1）求水蜜桃每次降价的百分率；
（2）①从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示：
时间x/天 1≤x＜9 9≤x＜15
售价/（元/千克） 第1次降价后的价格 第2次降价后的价格
销量/千克 105﹣3x 120﹣x
储存和损耗费用/元 40+3x 3x2﹣68x+300
已知该种水果的进价为8.2元/千克，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大？②在①的条件下，问这14天中有多少天的销售利润不低于930元，请直接写出结果．
22．定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．
（1）抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线y2＝x2﹣3x+2是否围成“月牙线”？说明理由．
(2)抛物线y1＝（x﹣1）2﹣2与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与x轴有相同的交点M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B．
①求a：b：c的值．
②已知点P（x0，m）和点Q（x0，n）在“月牙线”上，m＞n，且m﹣n的值始终不大于2，求线段AB长的取值范围．
23．在平面直角坐标系中有且只有一个交点的两个函数称为“亲密函数”，这个唯一的交点称为他们的“密接点”．例如：y＝3x﹣1与y＝﹣x+3有且只有一个交点（1，2），则称这两个函数为“亲密函数”，点（1，2）称为他们的“密接点”．
（1）判断下列几组函数，是“亲密函数”的在_____内记“√”，不是“亲密函数”的在______内记“×”；
①y＝2x﹣1与y＝﹣x+2； 　 　
②与； 　 　
③y＝x2﹣x+1与y＝x． 　 　
（2）一次函数y＝kx+b与反比例函数（其中k，b为常数，k＞0是“亲密函数”，且他们的“密接点”P到原点的距离等于3，求b的值．
（3）两条直线l1与l2都是二次函数y＝x2+c的“亲密函数”，且“密接点”分别为M，N．记直线l1与l2的交点的纵坐标为m，直线MN与y轴的交点的纵坐标为n．试判断m与n的关系，并证明你的判断．
24．根据以下素材，探索完成任务
研究植物叶片的生长状况
背景素材 大自然里有许多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片可近似看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
如图，建立平面直角坐标系，发现心形叶片下部轮廓线可近似看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分，且经过原点．
心形叶片的对称轴直线y＝x+2与坐标轴交于A、B两点，直线x＝6分别交抛物线和直线AB于点E、F点，点E、E′是叶片上的一对对称点，EE′交直线AB与点G．
问题解决
任务1 确定心形叶片的形状 求抛物线的解析式及顶点D的坐标．
任务2 研究心形叶片的尺寸 求叶片此处的宽度EE′．
24届中考强基班之函综（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．设二次函数y＝ax2+c（a，c是常数，a＜0），已知函数值y和自变量x的三对对应值如表所示，若方程ax2+c﹣m＝0的一个正实数根为5．则下列结论正确的是（　　）
x … ﹣3 2 4 …
y … 0 p q …
A．m＞p＞0 B．m＜q＜0 C．p＞m＞0 D．q＜m＜0
【分析】由表格数据和函数的对称性，画出函数的大致图象即可求解．
【解答】解：由表格数据和函数的对称性，画出函数的大致图象如下：
从图象看m＜q＜0，
故选：B．
【点评】本题考查抛物线和x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的图象和性质解答．
2．若抛物线y＝（x﹣m）（x﹣m﹣3）经过四个象限，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣3 B．﹣1＜m＜2 C．﹣3＜m＜0 D．﹣2＜m＜1
【分析】抛物线y＝（x﹣m）（x﹣m﹣3）中，令y＝0，可得x1＝m，x2＝m+3，即该抛物线与x轴交点为（m，0 ）和（m+3，0），又抛物线过四个象限，故这两点必须位于原点的左右两侧，故能得出正确答案．
【解答】解：令y＝0，得 （x﹣m）（x﹣m﹣3）＝0，
解得x1＝m，x2＝m+3，
∴抛物线与x轴的两个交点为（m，0 ）和（m+3，0），
∵抛物线经过四个象限，
∴（m，0 ）和（m+3，0）分别位于原点两侧，
即 m＜0＜m+3，
∴﹣3＜m＜0，
故选：C．
【点评】本题主要考查了求抛物线与x轴交点的方法，以及根据图象性质，确定交点的位置，由此得出不等式是本题的关键．
3．已知ac≠0，若二次函数y1＝ax2+bx+c的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），二次函数y2＝cx2+bx+a的图象与x轴交于两个不同的点C（x3，0），D（x4，0），则（　　）
A．x1+x2+x3+x4＝1 B．x1x2x3x4＝1
C． D．
【分析】根据根与系数的关系得到：x1+x2＝﹣，x1 x2＝，x3+x4＝﹣，x3 x4＝，然后代入求值即可．
【解答】解：∵ac≠0，二次函数y1＝ax2+bx+c的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），二次函数y2＝cx2+bx+a的图象与x轴交于两个不同的点C（x3，0），D（x4，0），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0和cx2+bx+a＝0的根分别是：x1、x2、x3、x4．
∴x1+x2＝﹣，x1 x2＝，x3+x4＝﹣，x3 x4＝．
则：A、x1+x2+x3+x4＝﹣﹣＝﹣，所以等式x1+x2+x3+x4＝1不一定成立，不符合题意；
B、x1x2x3x4＝ ＝1，符合题意；
C、＝＝，所以等式不一定成立，不符合题意；
D、＝＝，所以等式不一定成立，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
4．已知非负数a，b，c满足a+b＝2，c﹣3a＝4，设S＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（　　）
A．9 B．8 C．1 D．
【分析】用a表示出b、c并求出a的取值范围，再代入S整理成关于a的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出m、n的值，再相减即可得解．
【解答】解：∵a+b＝2，c﹣3a＝4，
∴b＝2﹣a，c＝3a+4，
∵b，c都是非负数，
∴，
解不等式①得，a≤2，
解不等式②得，a≥﹣，
∴﹣≤a≤2，
又∵a是非负数，
∴0≤a≤2，
S＝a2+b+c＝a2+（2﹣a）+3a+4，
＝a2+2a+6，
∴对称轴为直线a＝﹣＝﹣1，
∴a＝0时，最小值n＝6，
a＝2时，最大值m＝22+2×2+6＝14，
∴m﹣n＝14﹣6＝8．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，用a表示出b、c并求出a的取值范围是解题的关键，难点在于整理出s关于a的函数关系式．
5．已知抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），则m，n，x1，x2的大小关系是（　　）
A．x1＜m＜n＜x2 B．m＜x1＜x2＜n C．m＜x1＜n＜x2 D．x1＜m＜x2＜n
【分析】设y′＝（x﹣x1）（x﹣x2），而y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1＝y′+1，即函数y′向上平移1个单位得到函数y，通过画出函数大致图象即可求解．
【解答】解：设y′＝（x﹣x1）（x﹣x2），则x1、x2是函数y′和x轴的交点的横坐标，
而y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1＝y′+1，
即函数y′向上平移1个单位得到函数y，
则两个函数的图象如图所示（省略了y轴），
从图象看，x1＜m＜n＜x2，
故选：A．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，正确理解图象的平移是本题解题的关键．
6．对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（　　）
A．c＜﹣3 B．﹣3＜c＜﹣2 C．﹣2＜c＜ D．c＞
【分析】由函数的不动点概念得出x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个实数根，由Δ＞0且x＝1时y＞0，即可求解．
【解答】解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个不相等实数根，且x1、x2都小于1，
整理，得：x2+x+c＝0，
由x2+x+c＝0有两个不相等的实数根知：Δ＞0，即1﹣4c＞0①，
令y＝x2+x+c，画出该二次函数的草图如下：
而x1、x2（设x2在x1的右侧）都小于1，即当x＝1时，y＝x2+x+c＝2+c＞0②，
联立①②并解得：﹣2＜c＜；
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于c的不等式．
7．定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整点”．抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（　　）
A．﹣1≤a＜0 B．﹣2≤a＜﹣1 C．﹣1≤a＜ D．﹣2≤a＜0
【分析】画出图象，找到该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界，利用与y交点位置可得m的取值范围．
【解答】解：抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）化为顶点式为y＝a（x﹣1）2+2，故函数的对称轴：x＝1，M和N两点关于x＝1对称，根据题意，抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是（0，0），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），
如图所示：
∵当x＝0时，y＝a+2
∴0≤a+2＜1
当x＝﹣1时，y＝4a+2＜0
即：，
解得﹣2≤a＜﹣1
故选：B．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识，利用函数图象确定与y轴交点位置是本题的关键．
8．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a为常数，a＞0）上的两点，当t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3时，（　　）
A．若t≤1，则y1＞y2 B．若y1＞y2，则t≤﹣1
C．若t≥﹣1，则y1＜y2 D．若y1＜y2，则t≥
【分析】A．当t＝1时，1＜x1＜2，3＜x2＜4，则点A、B均为对称轴的右侧，故y1＜y2，即可求解；
B．若y1＞y2，则点A、B在对称轴异侧或左侧，再分类求解；
C．当t＝﹣1时，此时，y1＞0，y2＜0，即可求解；
D．若y1＜y2，则A、B在对称轴的异侧或右侧，再分类求解．
【解答】解：由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝1，
当x＝0时，y＝1，且x1＜x2，
A．当t＝1时，1＜x1＜2，3＜x2＜4，
则点A、B均为对称轴的右侧，故y1＜y2，
故A错误，不符合题意；
B．若y1＞y2，则点A、B在对称轴异侧或左侧，
当A、B在对称轴异侧时，则1﹣t﹣1≤t+2﹣1，
解得：t≤﹣；
当A、B在对称轴左侧时，
则t+3≤1，
解得：t≤﹣2，
则t≤﹣2，
故B错误，不符合题意；
C．当t＝﹣1时，
则﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，
此时，y1＞0，y2＜0，
∴y1＞y2，
过C错误，不符合题意；
D．若y1＜y2，则A、B在对称轴的异侧或右侧，
当A、B在对称轴的右侧时，
则t≥1，
当A、B在对称轴的异侧时，
则t+2﹣1≥1﹣（t+1），
解得：t≥；
综上，t≥；
故D正确，符合题意；
故选D．
【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，确定点A、B和对称轴的位置关系是解题的难点，题目难度较大．
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA），B（0，yB），C（﹣1，yC）在该抛物线上，当y0≥0恒成立时，的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．3
【分析】利用点A（1，yA）、B（0，yB）、C（﹣1，yC）在抛物线y＝ax2+bx+c上得yA＝a+b+c，yB＝c，yC＝a﹣b+c，＝，再利用4a﹣2b+c≥0得到a+b+c≥3（b﹣a），所以≥3，从而得到的最小值．
【解答】解：点A（1，yA）、B（0，yB）、C（﹣1，yC）在抛物线y＝ax2+bx+c上，
得yA＝a+b+c，yB＝c，yC＝a﹣b+c，
＝
∵y0≥0恒成立，0＜2a＜b，
∴x0＝﹣＜﹣1，
∴4a﹣2b+c≥0，
即a+b+c≥3（b﹣a），
而b﹣a＞a＞0，
∴≥3，
即的最小值为3．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
10．当m≤x≤m+1时，函数y＝x2﹣4|x|+2的最大值为2，则m满足的条件为（　　）
A．﹣1＜m≤0 B．m＝﹣4或3或﹣1≤m≤0
C．m＝﹣4或﹣1＜m≤0 D．m＝﹣4或3
【分析】根据题意画出函数的抛物线，再分三种情况进行讨论．
【解答】解：y＝x2﹣4|x|+2＝，
当x＞0时，图象在y轴右侧，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣2），
当x＜0时，图象在y轴左侧，对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣2），
当x＝0时，y＝2，
如图所示：
①当m+1＜0时，y＝2时，x2+4x+2＝2，
解得：x＝﹣4，
∵m≤x≤m+1时，函数y＝x2﹣4|x|+2的最大值为2，
∴m＝﹣4；
②当m＞0时，y＝2时，x2﹣4x+2＝2，
解得：x＝4，
∵m≤x≤m+1时，函数y＝x2﹣4|x|+2的最大值为2，
∴m+1＝4，即m＝3，
③当原点在m和m+1之间即m+1≥0，且m≤0时，y有最大值为2，
∴﹣1≤m≤0，
综上，m＝﹣4或m＝3或﹣1≤m≤0，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的抛物线的性质，解题的关键是把二次函数写成分段函数．
二．填空题（共7小题）
11．已知二次函数y＝﹣x2+2mx+1，当x＞4时，函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是 　m≤4　．
【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当x＞4时，函数值y随x的增大而减小可知二次函数的对称轴x＝﹣≤4，故可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2mx+1中，a＝﹣1＜0，
∴此函数开口向下，
∵当x＞4时，函数值y随x的增大而减小，
∴二次函数的对称轴x＝﹣≤4，即m≤4，
故答案为：m≤4．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．
12．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣4．
（1）若该函数图象的对称轴为直线x＝2，则m＝　2　．
（2）若该函数图象与x轴正半轴有且只有一个交点，则m的取值范围是 　﹣2＜m≤2　．
【分析】（1）由抛物线对称轴的公式即可求解；
（2）由Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4）＝16＞0，得到抛物线和x轴有两个交点，进而求解．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝2＝﹣，
解得：m＝2，
故答案为：2；
（2）Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4）＝16＞0，
则抛物线和x轴有两个交点，
当x1 x2＝m2﹣4＜0且m≠﹣2时，符合题意，
解得：﹣2＜m≤2，
故答案为：﹣2＜m≤2．
【点评】本题考查的是抛物线和x轴的交点，熟悉二次函数的图象和性质是解题的关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（0≤x≤7）与x轴的交点坐标为（7，0），设该图象上任意两点的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），其中x1＜x2，d为x1≤x≤x2时y的最大值与最小值的差．若x2﹣x1＝6，则d的取值范围是 　≤d≤8　．
【分析】由题意得：x1、x2只能在对称轴的两侧，即0≤x1＜1，6≤x2≤7，即抛物线在x2处取得最小值，在顶点处取得最大值（c+），即可求解．
【解答】解：将（7，0）代入抛物线表达式得：0＝﹣49+21+c．
解得：c＝，
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝3，
∵0≤x≤7，x2﹣x1＝6，
则x1、x2只能在对称轴的两侧，
即0≤x1＜1，6≤x2≤7，
即抛物线在x2处取得最小值，在顶点处取得最大值（c+），
而x2＝6时，函数y＝c，x2＝7时，y＝0，
当x1＝0时，则x2＝6，此时，d＝c+﹣c＝，
当x1＝1时，则x2＝7，此时，d＝c+﹣0＝+c，
故≤d≤8，
故答案为：≤d≤8．
【点评】本题考查的是抛物线和x轴的交点，熟悉函数额图象和性质是解题的关键．
14．若关于x的方程x2﹣2kx+k﹣3＝0的一个实数根x1≥3，另一个实数根x2≤0，则关于x的二次函数y＝x2﹣2kx+k﹣3图象的顶点到x轴距离h的取值范围是 　≤h≤9　．
【分析】由题意得：x＝3时，y≤0，x＝0时，y≤0，可以确定k的取值范围；二次函数顶点的纵坐标为﹣k2+k﹣3，在k的取值范围内计算最值即可．
【解答】解：由题意得：x＝3时，y≤0，x＝0时，y≤0，
即，解得：≤k≤3，
二次函数y＝x2﹣2kx+k﹣3＝（x﹣k）2﹣k2+k﹣3，
顶点的y坐标为：﹣k2+k﹣3，
当≤k≤3时，﹣k2+k﹣3，在k＝时，h取得最小值，
即：当k＝时，﹣k2+k﹣3＝﹣，
即图象的顶点到x轴距离的最小值是，
当k＝3时，﹣k2+k﹣3＝﹣9，
即图象的顶点到x轴距离的最大值是9，
故≤h≤9，
故答案为：≤h≤9．
【点评】本题考查的是二次函数的综合运用，核心是通过：x＝3时，y≤0，x＝0时，y≤0，可以确定k的取值范围，此题难度适中．
15．直线l1：y＝kx+2与y轴交于点A，直线l1绕点A逆时针旋转45°得到直线l2，若直线l2与抛物线y＝x2+3x+2有唯一的公共点，则k＝　1或．　．
【分析】根据直线解析式可得l1，l2都经过点（0，2），分别讨论直线l2与y轴重合或与抛物线相切两种情况，通过添加辅助线构造全等三角形可求出直线y＝kx+2上的点坐标，进而求解．
【解答】解：由y＝kx+2，y＝x2+3x+2可得直线l2与抛物线交于点A（0，2），
①直线l2与y轴重合满足题意，则直线l1与y轴交点为45°，如图，
∵OB＝2，∠ABO＝45°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴OA＝OB＝2，
∴点B坐标为（﹣2，0），
将（﹣2，0）代入y＝kx+2得0＝﹣2k+2，
解得k＝1．
②设直线l2解析式为y＝mx+2，
令mx+2＝x2+3x+2，
Δ＝（3﹣m）2，
当m＝3时满足题意．
∴y＝3x+2，
把y＝0代入y＝3x+2得x＝﹣，
∴直线l2与x轴交点D坐标为（﹣，0），即OD＝，
作DE⊥AD交直线y＝kx+2于点E，过点E作EF⊥x轴于点F，
∵∠EAD＝45°，
∴AD＝DE，
∵∠ADO+∠EDF＝90°，∠ADO+∠DAO＝90°，
∴∠DAO＝∠EDF，
又∵∠EFD＝∠AOD＝90°，
∴△EFD≌△DOA，
∴FD＝AO＝2，EF＝DO＝，
∴OF＝FD+AO＝，
∴点E坐标为（﹣，）．
将（﹣，）代入y＝kx+2得＝﹣k+2，
解得k＝．
故答案为：1或．
【点评】本题考查二次函数与一次函数交点问题，解题关键是掌握函数与方程的关系，通过添加辅助线分类讨论求解．
16．如图，“爱心”图案是由函数y＝﹣x2+6的部分图象与其关于直线y＝x的对称图形组成．点A是直线y＝x上方“爱心”图案上的任意一点，点B是其对称点．若，则点A的坐标是 　（﹣2，2）或（1，5）　．
【分析】根据对称性，表示A、B两点的坐标，利用平面内两点间的距离公式，代入求值即可．
【解答】解：如图，
过点A作AD⊥x轴，交x轴于点E，交直线y＝x于点D，连接BD，
∵A、B关于直线y＝x对称，
设A（a，b），
∴△ABD是等腰直角三角形，四边形OEDF是正方形，
∴B（b，a），
∵，
∴，
（4）2＝（b﹣a）2+（b﹣a）2，
32＝2（b﹣a）2，
（b﹣a）2＝16，
b﹣a＝4或b﹣a＝﹣4（舍去），
∴b＝a+4，
又∵A（a，b）在y＝﹣x2+6上，
∴b＝﹣a2+6，
即a+4＝﹣a2+6，
整理得，a2+a﹣2＝0，
解得，a1＝﹣2，a2＝1，
∴当a1＝﹣2时，b＝a+4＝﹣2+4＝2，
点A的坐标为（﹣2，2）；
当a2＝1时，b＝a+4＝1+4＝5，
点A的坐标为（1，5）．
故答案为：（﹣2，2）或（1，5）．
【点评】本题考查的是二次函数的应用及对称点的表示，解题的关键是设一个点的坐标，表示对称点的坐标．两点间的距离公式要理解并熟记．
17．如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 　＜t＜1　．
【分析】根据A、B关于对称轴x＝1对称，可知x1+x2＝2，由直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点，可以求出x3的取值范围，进而求出t的范围．
【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：图象开口向上，对称轴为x＝1，
∴当x＝1时函数有最小值为2，x1+x2＝2，
由一次函数y＝﹣x+（x≥2）可知当x＝2时有最大值3，当y＝2时x＝，
∵直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3），
∴y1＝y2＝y3＝m，2＜m＜3，
∴2＜x3＜，
∴t＝＝，
∴＜t＜1．
故答案为：＜t＜1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，函数的取值范围，数形结合的数学思想，关键是利用图象的特点表示出各个变量的取值范围．
三．解答题（共7小题）
18．如图所示，一场篮球比赛中，某篮球队员甲的一次投篮命中，篮球运行轨迹为抛物线的一部分．已知篮球出手位置点A与篮筐的水平距离为5m，篮筐距地面的高度为3m，当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大，为3.6m．
（1）求篮球出手位置点A的高度．
（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起拦截，已知乙的拦截高度为3.12m，那么他能否获得成功？并说明理由．
（3）若甲在乙拦截时，突然向后后退0.2m，再投篮命中（此时乙没有反应过来，置没有移动），篮球运行轨迹的形状没有变化，且篮球越过乙时，超过其拦截高度0.08m，求篮球出手位置的高度变化．
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（2）当x＝1时，y＝﹣0.15（x﹣3）2+3.6＝﹣0.15（1﹣3）2+3.6＝3＜31.2，即可求解；
（3）由题意得，新抛物线的a＝﹣0.15，抛物线过点（5，3）、（1，3.2），求出函数表达式，进而求解．
【解答】解：（1）由题意得，抛物线的顶点为：（3，3.6），抛物线过点（5，3），
设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣3）2+3.6，
将（5，3）代入上式得：3＝a（5﹣3）2+3.6，
解得：a＝﹣0.15，
则抛物线的表达式为：y＝﹣0.15（x﹣3）2+3.6，
当x＝0时，y＝﹣0.15（0﹣3）2+3.6＝2.25，
即点A的高度为2.25m；
（2）获得成功，理由：
当x＝1时，y＝﹣0.15（x﹣3）2+3.6＝﹣0.15（1﹣3）2+3.6＝3＜3.12，
故能获得成功；
（3）由题意得，新抛物线的a＝﹣0.15，抛物线过点（5，3）、（1，3.2），
则设抛物线的表达式为：y＝﹣0.15x2+bx+c，
则，解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣0.1x2+0.85x+2.5，
当x＝﹣0.2时，y＝﹣0.1x2+0.85x+2.5＝2.324＞2.25，
故篮球出手位置的高度提高了0.074m．
【点评】本题考查了二次函数解析式的求法及其实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
19．某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
（3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．
【分析】（1）销售量＝原来的销售量﹣10×提升的价格，把相关数值代入化简即可；
（2）利润＝每件纪念品的利润×销售量，把相关数值代入后可得二次函数，根据二次函数二次项系数的符号可得抛物线的开口方向，判断出二次函数的对称轴后，与自变量的取值范围结合，可得相关定价和最大利润；
（3）让（2）中的利润﹣200得到新的利润，根据捐款后每天剩余利润不低于2200元，利用函数的性质、函数的开口方向及自变量的取值范围可得销售单价x的取值范围．
【解答】解：（1）y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740．
∴y关于x的函数关系式为：y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；
（2）w＝（x﹣40）（﹣10x+740）
＝﹣10x2+1140x﹣29600．
∴抛物线的对称轴为：x＝﹣＝57．
∵﹣10＜0，44≤x≤52，
∴当x＝52时，w有最大值，最大值为：（52﹣40）×（﹣10×52+740）＝2640；
答：纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元；
（3）∵捐款后每天剩余利润不低于2200元，
∴w﹣200≥2200．
∴﹣10x2+1140x﹣29600﹣200≥2200．
当﹣10x2+1140x﹣29600﹣200＝2200时，
﹣10x2+1140x﹣32000＝0．
x2﹣114x+3200＝0，
（x﹣50）（x﹣64）＝0．
∴x1＝50，x2＝64．
∵﹣10＜0，44≤x≤52，
∴为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，50≤x≤52．
答：为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价x的范围为：50≤x≤52．
【点评】本题考查二次函数的应用．得到销售量以及利润的关系式是解决本题的关键．应注意结合二次函数的对称轴，开口方向及自变量的取值范围确定相关函数的最值．
20．某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg．经市场调查发现每天的销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间的函数关系如图所示．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润＝（销售价格﹣采购价格）×销售量】
【分析】（1）由图象可知，分两种情况：当22≤x≤30时，当30＜x≤45时，分别利用待定系数法求解即可；
（2）设销售利润为w元，再根据销售利润＝（销售价格﹣采购价格）×销售量列出w与x的关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）当22≤x≤30时，设函数表达式为y＝kx+b，
将（22，48），（30，40）代入解析式得，，
解得，
∴函数表达式为：y＝﹣x+70；
当30＜x≤45时，设函数表达式为：y＝mx+n，
将（30，40），（45，10）代入解析式得，，
解得，
∴函数表达式为：y＝﹣2x+100，
综上，y与x的函数表达式为：y＝；
（2）设利润为w元，当22≤x≤30时，w＝（x﹣20）（﹣x+70）＝﹣x2+90x﹣1400＝﹣（x﹣45）2+625，
∵在22≤x≤30范围内，w随着x的增大而增大，
∴当x＝30时，w取得最大值为400；
当30＜x≤45时，w＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450，
当x＝35时，w取得最大值为450；
∵450＞400，
∴当销售价格为35元/kg时，利润最大为450元．
【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式以及利用增减性求出最值．
21．无锡阳山是闻名遐迩的“中国水蜜桃之乡”，每年6至8月，总会吸引大批游客前来品尝，当地某商家为回馈顾客，两周内将标价为20元/千克的水蜜桃经过两次降价后变为16.2元/千克，并且两次降价的百分率相同．
（1）求水蜜桃每次降价的百分率；
（2）①从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示：
时间x/天 1≤x＜9 9≤x＜15
售价/（元/千克） 第1次降价后的价格 第2次降价后的价格
销量/千克 105﹣3x 120﹣x
储存和损耗费用/元 40+3x 3x2﹣68x+300
已知该种水果的进价为8.2元/千克，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大？②在①的条件下，问这14天中有多少天的销售利润不低于930元，请直接写出结果．
【分析】（1）设水蜜桃每次降价的百分率为x%，根据题意可列出关于x的一元二次方程，解出 x的值即得出答案；
（2）①根据利润＝（标价﹣进价）×销量﹣储存和损耗费，即可得y（元），进而可求出y与x（1≤x＜15）之间的函数解析式，再结合一次函数和二次函数的性质求出其最值即可；
②依题意可列出关于x的不等式，结合解一元一次不等式的方法和图象法解一元二次不等式，分别求出x的解集，即可得出答案．
【解答】解：（1）设水蜜桃每次降价的百分率为x%，
依题意得，20（1﹣x%）2＝16.2，
解得：x1＝10，x2＝190（舍）．
∴水蜜桃每次降价的百分率为10%；
（2）①结合（1）得：第一次降价后的价格为20×（1﹣10%）＝18元，
∴当1≤x＜9时，y＝（18﹣8.2）（105﹣3x）﹣（40+3x）＝﹣32.4x+989．
∵k＝﹣32.4＜0，
∴y随着x的增大而减小，
∴当x＝1元时，利润最大为﹣32.4×1+989＝956.6元；
当9≤x＜15，y＝（16.2﹣8.2）（120﹣x）﹣（3x2﹣68x+300）＝﹣3x2+60x+660＝﹣3（x﹣10）2+960，
∵a＝﹣3＜0，
∴当x＝10时，利润最大为960元．
∵956.6＜960，
∴第10天利润最大，最大利润为960元．
综上可知，
；第10天利润最大，最大利润为960元；
②当1≤x＜9时，y＝﹣32.4x+989≥930，
解得：x≤，
∴此时为1天利润不低于930元；
当9≤x＜15时，y＝﹣3x2+60x+660≥930，
根据图象法可解得：，
∴，
∴此时第9﹣13天的利用不低于930元，
13﹣9+1＝5（天），
综上可知，共有1+5＝6天利润不低于930元．
【点评】本题考查一元二次方程的实际应用，一次函数和二次函数的实际应用，一元一次不等式和一元二次不等式的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式和不等式是解题关键．
22．定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．
【概念理解】
抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线y2＝x2﹣3x+2是否围成“月牙线”？说明理由．
【尝试应用】
抛物线y1＝（x﹣1）2﹣2与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与x轴有相同的交点M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B．
①求a：b：c的值．
②已知点P（x0，m）和点Q（x0，n）在“月牙线”上，m＞n，且m﹣n的值始终不大于2，求线段AB长的取值范围．
【分析】【概念理解】求出抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与x轴的交点为（1，0）和（2，0）；抛物线与x轴交点为（1，0）和（2，0），又抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线开口方向相同，即可知抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线围成“月牙线”；
【尝试应用】①求出抛物线与x轴交点为（3，0）和（﹣1，0），代入y2＝ax2+bx+c得：，解得，故a：b：c＝a：（﹣2a）：（﹣3a）＝1：（﹣2）：（﹣3）；
②由①知，y2＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，可得抛物线y2＝ax2﹣2ax﹣3a的顶点为（1，﹣4a），而抛物线的顶点为（1，﹣2），a＞，可知抛物线在抛物线y2＝ax2﹣2ax﹣3a上方；即可得m﹣n＝（x0﹣1）2﹣2﹣（﹣2ax0﹣3a）＝（﹣a）+（2a﹣1）x0+3a﹣，根据m﹣n的值始终不大于2，有≤2，即解得≤a≤1，而A（0，﹣），B（0，﹣3a）；故AB＝﹣﹣（﹣3a）＝3a﹣，从而可得线段AB长的取值范围是0＜AB≤．
【解答】解：【概念理解】抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线围成“月牙线”；理由如下：
在y1＝2（x﹣1）（x﹣2）中，令y＝0得x＝1或x＝2，
∴抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与x轴的交点为（1，0）和（2，0）；
在中，令y＝0得x＝1或x＝2，
∴抛物线与x轴交点为（1，0）和（2，0），
∴抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线与x轴有相同的交点，
又抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线开口方向相同，
∴抛物线y1＝2（x﹣1）（x﹣2）与抛物线围成“月牙线”；
【尝试应用】①在中，令y＝0得x＝3或x＝﹣1，
∴抛物线与x轴交点为（3，0）和（﹣1，0），
把（3，0）和（﹣1，0）代入y2＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴a：b：c＝a：（﹣2a）：（﹣3a）＝1：（﹣2）：（﹣3）；
∴a：b：c的值为1：（﹣2）：（﹣3）；
②由①知，y2＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴抛物线y2＝ax2﹣2ax﹣3a的顶点为（1，﹣4a），
∵抛物线的顶点为（1，﹣2），a＞，
∴﹣4a＜﹣2，
∴抛物线在抛物线y2＝ax2﹣2ax﹣3a上方；
∴m＝（x0﹣1）2﹣2，n＝﹣2ax0﹣3a，
∴m﹣n＝（x0﹣1）2﹣2﹣（﹣2ax0﹣3a）＝（﹣a）+（2a﹣1）x0+3a﹣，
∵m﹣n的值始终不大于2，
∴≤2，
整理得：2a2﹣3a+1≤0，
解得≤a≤1，
∵a＞，
∴＜a≤1；
在中，令x＝0得y＝﹣，
∴A（0，﹣），
在y2＝ax2﹣2ax﹣3a中，令x＝0得y＝﹣3a，
∴B（0，﹣3a）；
∴AB＝﹣﹣（﹣3a）＝3a﹣，
∵＜a≤1；
∴0＜3a﹣≤，
∴线段AB长的取值范围是0＜AB≤．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义，二次函数的性质等知识，解题的关键是读懂题意，理解“月牙线”的概念．
23．在平面直角坐标系中有且只有一个交点的两个函数称为“亲密函数”，这个唯一的交点称为他们的“密接点”．例如：y＝3x﹣1与y＝﹣x+3有且只有一个交点（1，2），则称这两个函数为“亲密函数”，点（1，2）称为他们的“密接点”．
（1）判断下列几组函数，是“亲密函数”的在_____内记“√”，不是“亲密函数”的在______内记“×”；
①y＝2x﹣1与y＝﹣x+2； 　√　
②与； 　×　
③y＝x2﹣x+1与y＝x． 　√　
（2）一次函数y＝kx+b与反比例函数（其中k，b为常数，k＞0是“亲密函数”，且他们的“密接点”P到原点的距离等于3，求b的值．
（3）两条直线l1与l2都是二次函数y＝x2+c的“亲密函数”，且“密接点”分别为M，N．记直线l1与l2的交点的纵坐标为m，直线MN与y轴的交点的纵坐标为n．试判断m与n的关系，并证明你的判断．
【分析】（1）根据“亲密函数”的定义即可作出判断；
（2）由一次函数y＝kx+b与反比例函数（其中k，b为常数，k＞0是“亲密函数”，可得b2﹣4k2＝0，则b＝2k或＝2k，P（﹣1，k）或（1，﹣k），根据他们的“密接点”P到原点的距离等于3求出k的值，即可得b的值．
（3）设直线l1：y＝k1x+b1，直线l2：y＝k2x+b2，由两条直线l1与l2都是二次函数y＝x2+c的“亲密函数”，且“密接点”分别为M，N．可得b1＝，M（，+c），b2＝，N（，+c），设直线MN的解析式为y＝k3x+b3，求出n＝b3＝﹣+c，求出m＝+c，即可得m+n＝2c．
【解答】解：（1）①∵y＝2x﹣1与y＝﹣x+2有且只有一个交点（1，1），
∴这两个函数是“亲密函数”，
故答案为：√；
②∵y＝与y＝没有交点，
∴这两个函数不是“亲密函数”，
故答案为：×；
③y＝x2﹣x+1与y＝x有且只有一个交点（1，1），
∴这两个函数是“亲密函数”，
故答案为：√；
（2）∵一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝﹣（其中k，b为常数，k＞0是“亲密函数”，
∴方程kx+b＝﹣有且只有一个实数根，
∴kx2+bx+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4k2＝0，
∴b＝2k或＝2k，
当b＝2k时，kx2+2kx+k＝0，解得x＝﹣1，
∴P（﹣1，k），
∵“密接点”P到原点的距离等于3，
∴＝3，解得k＝2（负值舍去），
∴b＝4；
当b＝﹣2k时，kx2﹣2kx+k＝0，解得x＝1，
∴P（1，﹣k），
∵“密接点”P到原点的距离等于3，
∴＝3，解得k＝2（负值舍去），
∴b＝﹣4；
当b＝2k时，kx2+2kx+k＝0，解得x＝﹣1，
∴P（﹣1，k），
∵“密接点”P到原点的距离等于3，
∴＝3，解得k＝2（负值舍去），
∴b＝4；
综上，b的值为4或﹣4；
（3）m+n＝2c．
证明：设直线l1：y＝k1x+b1，直线l2：y＝k2x+b2，
∵两条直线l1与l2都是二次函数y＝x2+c的“亲密函数”，且“密接点”分别为M，N．
∴k1x+b1＝x2+c，即x2﹣k1x+c﹣b1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝﹣4（c﹣b1）＝0，
∴b1＝，
∴x1＝x2＝，
∴M（，+c），
同理：b2＝，N（，+c），
设直线MN的解析式为y＝k3x+b3，
∴k3+b3＝+c①，k3+b3＝+c②，
①k1×﹣②×k2得k1b3﹣k2b3＝（k2﹣k1）+（k1﹣k1）c，
∴b3＝﹣+c，
令x＝0，则n＝b3＝﹣+c，
∵m＝k1xm+b1＝k2xm+b2，
∴xm＝＝，
∴＝，
∴m＝+c，
∴m+n＝+c+（﹣+c）＝2c．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了新定义，一次函数、反比例函数与二次函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式等知识，解题的关键是读懂“亲密函数”、“密接点”的定义，理解它们之间的关系．
24．根据以下素材，探索完成任务
研究植物叶片的生长状况
背景素材 大自然里有许多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片可近似看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
如图，建立平面直角坐标系，发现心形叶片下部轮廓线可近似看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分，且经过原点．
心形叶片的对称轴直线y＝x+2与坐标轴交于A、B两点，直线x＝6分别交抛物线和直线AB于点E、F点，点E、E′是叶片上的一对对称点，EE′交直线AB与点G．
问题解决
任务1 确定心形叶片的形状 求抛物线的解析式及顶点D的坐标．
任务2 研究心形叶片的尺寸 求叶片此处的宽度EE′．
【分析】（1）把（0，0）代入y＝mx2﹣4mx﹣20m+5求出m值即可得到抛物线解析式，配方成顶点式可得顶点坐标；
（2）分别根据解析式求出A（﹣2，0），B（0，2），F（6，8），E（6，3），根据对称性可得到△EFG是等腰直角三角形，求出EG再乘2 即可．
【解答】解：（1）把（0，0）代入y＝mx2﹣4mx﹣20m+5得：﹣20m+5＝0，
∴m＝，
∴抛物线解析式为：y＝，
∴顶点D的坐标为（2，﹣1）．
（2）∵直线AB的解析式为y＝x+2，
∴A（﹣2，0），B（0，2），
∴OA＝OB＝2，
∴∠ABO＝45°，
在y＝x+2中，当x＝6时，y＝8，
在y＝中，当x＝6时，y＝3，
∴F（6，8），E（6，3），
∴EF＝8﹣3＝5，
∵EF∥OB，
∴∠GFE＝∠ABO＝45°，
∵点E、E′是叶片上的一对对称点，
∴EE′＝2EG，EG⊥FG，
∴△EFG是等腰直角三角形，
∴EG＝＝，
∴EE′＝2EG＝5．
【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数性质和图形对称是解答本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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