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浙江省24届中考之函数综合
1．国家决定对某药品分两次降价，若设平均每次降价的百分比为x，该药品的原价为33元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系为（　　）
A．y＝66（1﹣x） B．y＝33（1﹣x）
C．y＝33（1﹣x2） D．y＝33（1﹣x）2
2．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：
x … ﹣4 ﹣2 0 2 4 …
y … m n m 1 0 …
由表可知，抛物线与x轴的一个交点的坐标是（4，0），则抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（　　）
A．（﹣4，0） B．（﹣6，0） C．（﹣8，0） D．（8，0）
3．下列表格是二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（　　）
x ﹣1.5 0 0.5 1.5
y＝ax2+bx+c ﹣1.25 ﹣2 ﹣1.25 1.75
A．﹣2＜x＜﹣1.5 B．﹣1.5＜x＜0 C．0＜x＜0.5 D．0.5＜x＜1.5
4．如图，在长为30米、宽为20米的矩形花坛中横向修建1条、纵向修建2条宽都为x米的小路（阴影部分），空白处为绿地，面积为y平方米，则绿地面积y与x之间的函数表达式为（　　）
A．y＝（30﹣2x）（20﹣x） B．y＝（30+x）（20﹣x）
C．y＝（2x﹣30）（x﹣20） D．y＝（30﹣2x）（20+2x）
5．如图，晓波家的院墙一边靠墙处，用60米长的铁栅栏围成了三个相连的养殖小院子，总面积为y平方米，为方便喂养这些不同类的动物，在各个养殖院子之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．若设AB＝x米，则y关于x的函数关系式为（　　）
A．y＝x（60﹣4x） B．y＝x（63﹣2x）
C．y＝x（60﹣2x） D．y＝x（63﹣4x）
6．如图，抛物线y＝x+2交x轴于点A，B，交y轴于点C，当△ABC纸片上的点C沿着此抛物线运动时，则△ABC纸片随之也跟着移动，设纸片上BC的中点M坐标为（m，n），在此运动过程中，n与m的关系式是（　　）
A．n＝（m﹣）2﹣ B．n＝（m﹣）2
C．n＝（m﹣）2﹣ D．n＝（m﹣）2﹣
7．若ac≠0，且二次函数y1＝ax2+bx+c的图象与x轴交于两个不同点A（x1，0），B（x2，0），二次函数y2＝cx2+bx+a的图象与x轴交于两个不同点C（x3，0），D（x4，0），则（　　）
A．x1+x2+x3+x4＝1 B．x1x2x3x4＝1
C． D．
8．已知二次函数y＝kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围　 　．
9．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点为（3，0），对称轴为直线x＝1，则当y≤0时，x的取值范围是 　 　．
10．某爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆，该爆竹点燃后离地高度h（单位：m）关于离地时间t（单位：s）的函数解析式是h＝30t﹣5t2，爆竹点燃后升空的最大高度是　 　米．
11．小宇同学周末与爸爸去钓鱼．爸爸钓到一条大鱼，鱼竿被拉弯近似可看成以A为顶点的抛物线一部分，鱼线AB长米，鱼隐约在水面上，估计鱼离鱼竿支点O有米，此时鱼竿鱼线呈一个平面，且与水平面夹角α恰好为60°，以鱼竿支点为原点，则鱼竿所在抛物线的解析式为　 　．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（0≤x≤7）与x轴的交点坐标为（7，0），设该图象上任意两点的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），其中x1＜x2，d为x1≤x≤x2时y的最大值与最小值的差．若x2﹣x1＝6，则d的取值范围是 　 　．
13．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣4．
（1）若该函数图象的对称轴为直线x＝2，则m＝　 　．
（2）若该函数图象与x轴正半轴有且只有一个交点，则m的取值范围是　 　．
14．若关于x的方程x2﹣2kx+k﹣3＝0的一个实数根x1≥3，另一个实数根x2≤0，则关于x的二次函数y＝x2﹣2kx+k﹣3图象的顶点到x轴距离h的取值范围是 　 　．
15．已知二次函数y＝x2+2（m﹣2）x﹣m+2的图象与x轴最多有一个公共点，若y＝m2﹣2tm﹣1的最小值为2，则t的值为　 　．
16．如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.5m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
（2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围．
17．如图所示，一场篮球比赛中，某篮球队员甲的一次投篮命中，篮球运行轨迹为抛物线的一部分．已知篮球出手位置点A与篮筐的水平距离为5m，篮筐距地面的高度为3m，当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大，为3.6m．
（1）求篮球出手位置点A的高度．
（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起拦截，已知乙的拦截高度为3.12m，那么他能否获得成功？并说明理由．
（3）若甲在乙拦截时，突然向后后退0.2m，再投篮命中（此时乙没有反应过来，置没有移动），篮球运行轨迹的形状没有变化，且篮球越过乙时，超过其拦截高度0.08m，求篮球出手位置的高度变化．
18．某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
（3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．
19．凫山街道的大学毕业生小张在电商城开了一家网店，进行社会实践，计划经销甲、乙两种商品．若甲商品每件利润10元，乙商品每件利润20元，则每周能卖出甲商品40件，乙商品20件．经调查，甲、乙两种商品零售单价分别每降价1元，这两种商品每周可各多销售10件．为了提高销售量，小明决定把甲、乙两种商品的零售单价都降价x元．
（1）直接写出甲、乙两种商品每周的销售量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式：y甲＝　 　，y乙＝　 　；
（2）求出小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润W（元）与降价x（元）之间的函数关系式？如果每周甲商品的销售量不低于乙商品的销售量的，那么当x定为多少元时，才能使小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润最大？
20．某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg．经市场调查发现每天的销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间的函数关系如图所示．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润＝（销售价格﹣采购价格）×销售量】
21．无锡阳山是闻名遐迩的“中国水蜜桃之乡”，每年6至8月，总会吸引大批游客前来品尝，当地某商家为回馈顾客，两周内将标价为20元/千克的水蜜桃经过两次降价后变为16.2元/千克，并且两次降价的百分率相同．
（1）求水蜜桃每次降价的百分率；
（2）①从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示：
时间x/天 1≤x＜9 9≤x＜15
售价/（元/千克） 第1次降价后的价格 第2次降价后的价格
销量/千克 105﹣3x 120﹣x
储存和损耗费用/元 40+3x 3x2﹣68x+300
已知该种水果的进价为8.2元/千克，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大？②在①的条件下，问这14天中有多少天的销售利润不低于930元，请直接写出结果．
22．已知函数，y2＝mx+n（m＞0）的图象在同一平面直角坐标系中．
（1）若函数y1的图象过点（﹣2，6），函数y2的图象过点（t，6），求t的值．
（2）求这两个函数图象的交点的横坐标．
（3）已知当p＜x＜q时，y1＜y2，求q﹣p的取值范围．
23．在平面直角坐标系中有且只有一个交点的两个函数称为“亲密函数”，这个唯一的交点称为他们的“密接点”．例如：y＝3x﹣1与y＝﹣x+3有且只有一个交点（1，2），则称这两个函数为“亲密函数”，点（1，2）称为他们的“密接点”．
（1）判断下列几组函数，是“亲密函数”的在_____内记“√”，不是“亲密函数”的在______内记“×”；
①y＝2x﹣1与y＝﹣x+2； 　 　
②与； 　 　
③y＝x2﹣x+1与y＝x． 　 　
（2）一次函数y＝kx+b与反比例函数（其中k，b为常数，k＞0是“亲密函数”，且他们的“密接点”P到原点的距离等于3，求b的值．
（3）两条直线l1与l2都是二次函数y＝x2+c的“亲密函数”，且“密接点”分别为M，N．记直线l1与l2的交点的纵坐标为m，直线MN与y轴的交点的纵坐标为n．试判断m与n的关系，并证明你的判断．
24．若二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2的图象关于点P（1，0）成中心对称图形，我们称y1与y2互为“中心对称”函数．
（1）求二次函数y＝x2+6x+3的“中心对称”函数的解析式；
（2）若二次函数y＝ax2+2ax+c（a＞0）的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式；
（3）二次函数y1＝ax2+bx+c（a＜0）的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数y2的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若AB＝2BD，且四边形AMDN为矩形，求b2﹣4ac的值．
25．根据以下素材，探索完成任务
研究植物叶片的生长状况
背景素材 大自然里有许多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片可近似看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
如图，建立平面直角坐标系，发现心形叶片下部轮廓线可近似看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分，且经过原点．
心形叶片的对称轴直线y＝x+2与坐标轴交于A、B两点，直线x＝6分别交抛物线和直线AB于点E、F点，点E、E′是叶片上的一对对称点，EE′交直线AB与点G．
问题解决
任务1 确定心形叶片的形状 求抛物线的解析式及顶点D的坐标．
任务2 研究心形叶片的尺寸 求叶片此处的宽度EE′．
24届培优班中考之函综二（应用）
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．国家决定对某药品分两次降价，若设平均每次降价的百分比为x，该药品的原价为33元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系为（　　）
A．y＝66（1﹣x） B．y＝33（1﹣x）
C．y＝33（1﹣x2） D．y＝33（1﹣x）2
【分析】原价为33，第一次降价后的价格是33×（1﹣x），第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：33×（1﹣x）×（1﹣x）＝33（1﹣x）2，则函数解析式即可求得．
【解答】解：根据题意：平均每次降价的百分比为x，该药品的原价为33元，降价后的价格为y元，
可得y与x之间的函数关系为：y＝33（1﹣x）2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．
2．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：
x … ﹣4 ﹣2 0 2 4 …
y … m n m 1 0 …
由表可知，抛物线与x轴的一个交点的坐标是（4，0），则抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（　　）
A．（﹣4，0） B．（﹣6，0） C．（﹣8，0） D．（8，0）
【分析】先观察表格可知（﹣4，m）和（0，m）是对称点，根据抛物线的对称轴为直线可求出抛物线的对称轴，再观察表格可知抛物线与x轴的一个交点为（4，0），再次代入中即可计算出另一个交点的横坐标．抛物线上纵坐标相同的两个点关于对称轴对称．抛物线的对称轴为直线，其中x1，x2就是纵坐标相同的这两个点的横坐标．
【解答】解：由表格可知抛物线过（﹣4，m）和（0，m），
∴抛物线的对称轴为．
设抛物线与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），
由表格知，其中一个交点为（4，0），设x1＝4，
由，得：
4+x2＝﹣4，
解得x2＝﹣8，
∴另一个交点为（﹣8，0），
故选：C．
【点评】本题主要考查了抛物线的对称轴．掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．下列表格是二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（　　）
x ﹣1.5 0 0.5 1.5
y＝ax2+bx+c ﹣1.25 ﹣2 ﹣1.25 1.75
A．﹣2＜x＜﹣1.5 B．﹣1.5＜x＜0 C．0＜x＜0.5 D．0.5＜x＜1.5
【分析】根据表格找到y由负变为正时，自变量的取值范围即可得到答案．
【解答】解：由表格中的数据可知，当x＝0.5时，y＝﹣1.25＜0，
当x＝1.5时，y＝1.75＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是0.5＜x＜1.5，
故选：D．
【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由负变为正时，自变量的取值范围．
4．如图，在长为30米、宽为20米的矩形花坛中横向修建1条、纵向修建2条宽都为x米的小路（阴影部分），空白处为绿地，面积为y平方米，则绿地面积y与x之间的函数表达式为（　　）
A．y＝（30﹣2x）（20﹣x） B．y＝（30+x）（20﹣x）
C．y＝（2x﹣30）（x﹣20） D．y＝（30﹣2x）（20+2x）
【分析】将图中阴影部分进行移动，可得绿地的面积是长为（30﹣2x）米，宽为（20﹣x）米的矩形的面积，以此即可求解．
【解答】解：将图中的阴影部分按如图所示进行移动，
则空白部分为矩形，长为（30﹣2x）米，宽为（20﹣x）米，
∴绿地面积y与x之间的函数表达式为y＝（30﹣2x）（20﹣x）．
故选：A．
【点评】本题主要考查根据实际问题列二次函数，将图形进行适当的处理是解题关键．
5．如图，晓波家的院墙一边靠墙处，用60米长的铁栅栏围成了三个相连的养殖小院子，总面积为y平方米，为方便喂养这些不同类的动物，在各个养殖院子之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．若设AB＝x米，则y关于x的函数关系式为（　　）
A．y＝x（60﹣4x） B．y＝x（63﹣2x）
C．y＝x（60﹣2x） D．y＝x（63﹣4x）
【分析】如图所示（见详解），设AB＝x米，则可求出BC的长，根据矩形的面积公式即可求解．
【解答】解：如图所示，
设AB＝x米，则BC＝60﹣2x﹣2（x﹣1）+1＝63﹣4x，
又小院子的总面积为y，
∴y＝x（63﹣4x），
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的运用，理解图形面积的计算方法，掌握数量关系，准确列出函数关系式是解题的关键．
6．如图，抛物线y＝x+2交x轴于点A，B，交y轴于点C，当△ABC纸片上的点C沿着此抛物线运动时，则△ABC纸片随之也跟着移动，设纸片上BC的中点M坐标为（m，n），在此运动过程中，n与m的关系式是（　　）
A．n＝（m﹣）2﹣ B．n＝（m﹣）2
C．n＝（m﹣）2﹣ D．n＝（m﹣）2﹣
【分析】先求出抛物线与x轴、y轴交点B，C的坐标，再由中点坐标公式求出M点的坐标；把抛物线的表达式配方成顶点式，通过比较点C与点M的相对位置，利用平移思想即可求出n与m的关系式．
【解答】解：∵抛物线y＝x+2交x轴于点A，B，交y轴于点C，
∴点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），
∴BC的中点M坐标为（，），即点M坐标为（2，1）．
∵点C沿着此抛物线运动，点M也随之运动，点M的运动轨迹是抛物线，且经过（2，1），（6，﹣1）
∴设抛物线的解析式为y＝x2+bx+c，
则有，解得
∴m，n满足，n＝m2﹣m+8＝（m﹣）2﹣，
故选：D．
【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移在解题中的应用，解题的基础是求出抛物线与坐标轴的交点，进而求出BC中点M的坐标．
7．已知ac≠0，若二次函数y1＝ax2+bx+c的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），二次函数y2＝cx2+bx+a的图象与x轴交于两个不同的点C（x3，0），D（x4，0），则（　　）
A．x1+x2+x3+x4＝1 B．x1x2x3x4＝1
C． D．
【分析】根据根与系数的关系得到：x1+x2＝﹣，x1 x2＝，x3+x4＝﹣，x3 x4＝，然后代入求值即可．
【解答】解：∵ac≠0，二次函数y1＝ax2+bx+c的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），二次函数y2＝cx2+bx+a的图象与x轴交于两个不同的点C（x3，0），D（x4，0），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0和cx2+bx+a＝0的根分别是：x1、x2、x3、x4．
∴x1+x2＝﹣，x1 x2＝，x3+x4＝﹣，x3 x4＝．
则：A、x1+x2+x3+x4＝﹣﹣＝﹣，所以等式x1+x2+x3+x4＝1不一定成立，不符合题意；
B、x1x2x3x4＝ ＝1，符合题意；
C、＝＝，所以等式不一定成立，不符合题意；
D、＝＝，所以等式不一定成立，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
二．填空题（共8小题）
8．已知二次函数y＝kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围　k＞﹣1且k≠0　．
【分析】由抛物线与x轴有两个不同的交点可得出一元二次方程kx2﹣6x﹣9＝0有两个不相等的解，由二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：令y＝0，则kx2﹣6x﹣9＝0．
∵二次函数y＝kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，
∴一元二次方程kx2﹣6x﹣9＝0有两个不相等的解，
∴，
解得：k＞﹣1且k≠0．
故答案为：k＞﹣1且k≠0．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点”是解题的关键．
9．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点为（3，0），对称轴为直线x＝1，则当y≤0时，x的取值范围是 　x≤﹣1或x≥3　．
【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为x＝1，则另外一个交点的坐标为（﹣1，0），进而求解．
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为x＝1，
则另外一个交点的坐标为（﹣1，0），
从图象看，当x≤﹣1或x≥3时，y≤0，
故答案为：x≤﹣1或x≥3．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
10．某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆，该爆竹点燃后离地高度h（单位：m）关于离地时间t（单位：s）的函数解析式是h＝30t﹣5t2，爆竹点燃后升空的最大高度是 　45　米．
【分析】将已知解析式化简为顶点式即可求得答案．
【解答】解：h＝30t﹣5t2＝﹣5（t2﹣6t+9）+45＝﹣5（t﹣3）2+45，
依据顶点式可知顶点坐坐标为（3，45），则最大值为45．
故答案为：45．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的顶点式．
11．小宇同学周末与爸爸去钓鱼．爸爸钓到一条大鱼，鱼竿被拉弯近似可看成以A为顶点的抛物线一部分，鱼线AB长米，鱼隐约在水面上，估计鱼离鱼竿支点O有米，此时鱼竿鱼线呈一个平面，且与水平面夹角α恰好为60°，以鱼竿支点为原点，则鱼竿所在抛物线的解析式为 　y＝﹣（x﹣3）2+6　．
【分析】根据题意和直角三角形的性质，可以求得AC和BC的长，然后即可写出点A的坐标，再根据点A为抛物线的顶点，该抛物线过点O（0，0），即可求得该抛物线的解析式．
【解答】解：由题意可得，
AB＝米，OB＝米，∠α＝60°，AC⊥OB，
∴∠CAB＝30°，
∴BC＝AB＝2米，AC＝6米，
∴OC＝OB﹣BC＝5﹣2＝3（米），
∴点A的坐标（3，6），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+6，
∵点O（0，0）在该抛物线上，
∴0＝a（0﹣3）2+6，
解得a＝﹣，
即该抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2+6，
故答案为：y＝﹣（x﹣3）2+6．
【点评】本题考查二次函数的应用、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（0≤x≤7）与x轴的交点坐标为（7，0），设该图象上任意两点的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），其中x1＜x2，d为x1≤x≤x2时y的最大值与最小值的差．若x2﹣x1＝6，则d的取值范围是 　≤d≤8　．
【分析】由题意得：x1、x2只能在对称轴的两侧，即0≤x1＜1，6≤x2≤7，即抛物线在x2处取得最小值，在顶点处取得最大值（c+），即可求解．
【解答】解：将（7，0）代入抛物线表达式得：0＝﹣49+21+c．
解得：c＝，
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝3，
∵0≤x≤7，x2﹣x1＝6，
则x1、x2只能在对称轴的两侧，
即0≤x1＜1，6≤x2≤7，
即抛物线在x2处取得最小值，在顶点处取得最大值（c+），
而x2＝6时，函数y＝c，x2＝7时，y＝0，
当x1＝0时，则x2＝6，此时，d＝c+﹣c＝，
当x1＝1时，则x2＝7，此时，d＝c+﹣0＝+c，
故≤d≤8，
故答案为：≤d≤8．
【点评】本题考查的是抛物线和x轴的交点，熟悉函数额图象和性质是解题的关键．
13．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣4．
（1）若该函数图象的对称轴为直线x＝2，则m＝　2　．
（2）若该函数图象与x轴正半轴有且只有一个交点，则m的取值范围是 　﹣2＜m≤2　．
【分析】（1）由抛物线对称轴的公式即可求解；
（2）由Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4）＝16＞0，得到抛物线和x轴有两个交点，进而求解．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝2＝﹣，
解得：m＝2，
故答案为：2；
（2）Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4）＝16＞0，
则抛物线和x轴有两个交点，
当x1 x2＝m2﹣4＜0且m≠﹣2时，符合题意，
解得：﹣2＜m≤2，
故答案为：﹣2＜m≤2．
【点评】本题考查的是抛物线和x轴的交点，熟悉二次函数的图象和性质是解题的关键．
14．若关于x的方程x2﹣2kx+k﹣3＝0的一个实数根x1≥3，另一个实数根x2≤0，则关于x的二次函数y＝x2﹣2kx+k﹣3图象的顶点到x轴距离h的取值范围是 　≤h≤9　．
【分析】由题意得：x＝3时，y≤0，x＝0时，y≤0，可以确定k的取值范围；二次函数顶点的纵坐标为﹣k2+k﹣3，在k的取值范围内计算最值即可．
【解答】解：由题意得：x＝3时，y≤0，x＝0时，y≤0，
即，解得：≤k≤3，
二次函数y＝x2﹣2kx+k﹣3＝（x﹣k）2﹣k2+k﹣3，
顶点的y坐标为：﹣k2+k﹣3，
当≤k≤3时，﹣k2+k﹣3，在k＝时，h取得最小值，
即：当k＝时，﹣k2+k﹣3＝﹣，
即图象的顶点到x轴距离的最小值是，
当k＝3时，﹣k2+k﹣3＝﹣9，
即图象的顶点到x轴距离的最大值是9，
故≤h≤9，
故答案为：≤h≤9．
【点评】本题考查的是二次函数的综合运用，核心是通过：x＝3时，y≤0，x＝0时，y≤0，可以确定k的取值范围，此题难度适中．
15．已知二次函数y＝x2+2（m﹣2）x﹣m+2的图象与x轴最多有一个公共点，若y＝m2﹣2tm﹣1的最小值为2，则t的值为 　﹣1　．
【分析】由题意得：Δ＝[2（m﹣2）]2﹣4（2﹣m）≤0，求得1≤m≤2，再分类求解即可．
【解答】解：由题意得：Δ＝[2（m﹣2）]2﹣4（2﹣m）≤0，
解得：1≤m≤2，
当t≥2时，
则m＝2时，y取得最小值，
即4﹣4t﹣1＝2，则t＝（舍去）；
当t≤1时，
则m＝1时，y取得最小值，
即1﹣2t﹣1＝2，则t＝﹣1；
当1＜t＜2时，
当m＝t时，y取得最小值，
即t2﹣2t2﹣1＝2，
方程无解，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是抛物线和x轴的交点，分类求解是本题解题的关键．
三．解答题（共10小题）
16．如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.5m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
（2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围．
【分析】（1）由顶点A（2，2）得，设y＝a（x﹣2）2+2，再根据抛物线过点（0，1.5），可得a的值，从而解决问题；
（2）由对称轴知点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标；
（3）根据EF＝0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案．
【解答】解：（1）如图1，由题意得A（2，2）是上边缘抛物线的顶点，
设y＝a（x﹣2）2+2，
又∵抛物线过点（0，1.5），
∴1.5＝4a+2，
∴a＝﹣，
∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2，
当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），
∴喷出水的最大射程OC为6m；
（2）∵对称轴为直线x＝2，
∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
∴点B的坐标为（2，0）；
（3）∵EF＝0.5，
∴点F的纵坐标为0.5，
∴0.5＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x＝2±2，
∵x＞0，
∴x＝2+2，
当x＞2时，y随x的增大而减小，
∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，
则x≤2+2，
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.5＞0.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2，
∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为2+2﹣3＝2﹣1，
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是d≥OB，
∴d的最小值为2，
综上所述，d的取值范围是2≤d≤2﹣1．
【点评】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
17．如图所示，一场篮球比赛中，某篮球队员甲的一次投篮命中，篮球运行轨迹为抛物线的一部分．已知篮球出手位置点A与篮筐的水平距离为5m，篮筐距地面的高度为3m，当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大，为3.6m．
（1）求篮球出手位置点A的高度．
（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起拦截，已知乙的拦截高度为3.12m，那么他能否获得成功？并说明理由．
（3）若甲在乙拦截时，突然向后后退0.2m，再投篮命中（此时乙没有反应过来，置没有移动），篮球运行轨迹的形状没有变化，且篮球越过乙时，超过其拦截高度0.08m，求篮球出手位置的高度变化．
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（2）当x＝1时，y＝﹣0.15（x﹣3）2+3.6＝﹣0.15（1﹣3）2+3.6＝3＜31.2，即可求解；
（3）由题意得，新抛物线的a＝﹣0.15，抛物线过点（5，3）、（1，3.2），求出函数表达式，进而求解．
【解答】解：（1）由题意得，抛物线的顶点为：（3，3.6），抛物线过点（5，3），
设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣3）2+3.6，
将（5，3）代入上式得：3＝a（5﹣3）2+3.6，
解得：a＝﹣0.15，
则抛物线的表达式为：y＝﹣0.15（x﹣3）2+3.6，
当x＝0时，y＝﹣0.15（0﹣3）2+3.6＝2.25，
即点A的高度为2.25m；
（2）获得成功，理由：
当x＝1时，y＝﹣0.15（x﹣3）2+3.6＝﹣0.15（1﹣3）2+3.6＝3＜3.12，
故能获得成功；
（3）由题意得，新抛物线的a＝﹣0.15，抛物线过点（5，3）、（1，3.2），
则设抛物线的表达式为：y＝﹣0.15x2+bx+c，
则，解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣0.1x2+0.85x+2.5，
当x＝﹣0.2时，y＝﹣0.1x2+0.85x+2.5＝2.324＞2.25，
故篮球出手位置的高度提高了0.074m．
【点评】本题考查了二次函数解析式的求法及其实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
18．某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
（3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．
【分析】（1）销售量＝原来的销售量﹣10×提升的价格，把相关数值代入化简即可；
（2）利润＝每件纪念品的利润×销售量，把相关数值代入后可得二次函数，根据二次函数二次项系数的符号可得抛物线的开口方向，判断出二次函数的对称轴后，与自变量的取值范围结合，可得相关定价和最大利润；
（3）让（2）中的利润﹣200得到新的利润，根据捐款后每天剩余利润不低于2200元，利用函数的性质、函数的开口方向及自变量的取值范围可得销售单价x的取值范围．
【解答】解：（1）y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740．
∴y关于x的函数关系式为：y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；
（2）w＝（x﹣40）（﹣10x+740）
＝﹣10x2+1140x﹣29600．
∴抛物线的对称轴为：x＝﹣＝57．
∵﹣10＜0，44≤x≤52，
∴当x＝52时，w有最大值，最大值为：（52﹣40）×（﹣10×52+740）＝2640；
答：纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元；
（3）∵捐款后每天剩余利润不低于2200元，
∴w﹣200≥2200．
∴﹣10x2+1140x﹣29600﹣200≥2200．
当﹣10x2+1140x﹣29600﹣200＝2200时，
﹣10x2+1140x﹣32000＝0．
x2﹣114x+3200＝0，
（x﹣50）（x﹣64）＝0．
∴x1＝50，x2＝64．
∵﹣10＜0，44≤x≤52，
∴为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，50≤x≤52．
答：为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价x的范围为：50≤x≤52．
【点评】本题考查二次函数的应用．得到销售量以及利润的关系式是解决本题的关键．应注意结合二次函数的对称轴，开口方向及自变量的取值范围确定相关函数的最值．
19．凫山街道的大学毕业生小张在电商城开了一家网店，进行社会实践，计划经销甲、乙两种商品．若甲商品每件利润10元，乙商品每件利润20元，则每周能卖出甲商品40件，乙商品20件．经调查，甲、乙两种商品零售单价分别每降价1元，这两种商品每周可各多销售10件．为了提高销售量，小明决定把甲、乙两种商品的零售单价都降价x元．
（1）直接写出甲、乙两种商品每周的销售量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式：y甲＝　10x+40　，y乙＝　10x+20　；
（2）求出小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润W（元）与降价x（元）之间的函数关系式？如果每周甲商品的销售量不低于乙商品的销售量的，那么当x定为多少元时，才能使小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润最大？
【分析】（1）根据题意可以列出甲、乙两种商品每周的销售量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据每周甲商品的销售量不低于乙商品的销售量的，列出不等式求出x的取值范围，根据题意列出二次函数的解析式，根据二次函数的性质求出对称轴方程，得到答案．
【解答】解：（1）由题意得，y甲＝10x+40；y乙＝10x+20；
故答案为：10x+40、10x+20；
（2）由题意得，
W＝（10﹣x）（10x+40）+（20﹣x）（10x+20）
＝﹣20x2+240x+800，
由题意得，10x+40≥（10x+20）
解得x≤2，
W＝﹣20x2+240x+800
＝﹣20（x﹣6）2+1520，
∵a＝﹣20＜0，
∴当x＜6时，W随x增大而增大，
∴当x＝2时，W的值最大．
答：当x定为2元时，才能使小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润最大．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，正确列出二次函数的关系式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
20．某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg．经市场调查发现每天的销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间的函数关系如图所示．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润＝（销售价格﹣采购价格）×销售量】
【分析】（1）由图象可知，分两种情况：当22≤x≤30时，当30＜x≤45时，分别利用待定系数法求解即可；
（2）设销售利润为w元，再根据销售利润＝（销售价格﹣采购价格）×销售量列出w与x的关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）当22≤x≤30时，设函数表达式为y＝kx+b，
将（22，48），（30，40）代入解析式得，，
解得，
∴函数表达式为：y＝﹣x+70；
当30＜x≤45时，设函数表达式为：y＝mx+n，
将（30，40），（45，10）代入解析式得，，
解得，
∴函数表达式为：y＝﹣2x+100，
综上，y与x的函数表达式为：y＝；
（2）设利润为w元，当22≤x≤30时，w＝（x﹣20）（﹣x+70）＝﹣x2+90x﹣1400＝﹣（x﹣45）2+625，
∵在22≤x≤30范围内，w随着x的增大而增大，
∴当x＝30时，w取得最大值为400；
当30＜x≤45时，w＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450，
当x＝35时，w取得最大值为450；
∵450＞400，
∴当销售价格为35元/kg时，利润最大为450元．
【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式以及利用增减性求出最值．
21．无锡阳山是闻名遐迩的“中国水蜜桃之乡”，每年6至8月，总会吸引大批游客前来品尝，当地某商家为回馈顾客，两周内将标价为20元/千克的水蜜桃经过两次降价后变为16.2元/千克，并且两次降价的百分率相同．
（1）求水蜜桃每次降价的百分率；
（2）①从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示：
时间x/天 1≤x＜9 9≤x＜15
售价/（元/千克） 第1次降价后的价格 第2次降价后的价格
销量/千克 105﹣3x 120﹣x
储存和损耗费用/元 40+3x 3x2﹣68x+300
已知该种水果的进价为8.2元/千克，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大？②在①的条件下，问这14天中有多少天的销售利润不低于930元，请直接写出结果．
【分析】（1）设水蜜桃每次降价的百分率为x%，根据题意可列出关于x的一元二次方程，解出 x的值即得出答案；
（2）①根据利润＝（标价﹣进价）×销量﹣储存和损耗费，即可得y（元），进而可求出y与x（1≤x＜15）之间的函数解析式，再结合一次函数和二次函数的性质求出其最值即可；
②依题意可列出关于x的不等式，结合解一元一次不等式的方法和图象法解一元二次不等式，分别求出x的解集，即可得出答案．
【解答】解：（1）设水蜜桃每次降价的百分率为x%，
依题意得，20（1﹣x%）2＝16.2，
解得：x1＝10，x2＝190（舍）．
∴水蜜桃每次降价的百分率为10%；
（2）①结合（1）得：第一次降价后的价格为20×（1﹣10%）＝18元，
∴当1≤x＜9时，y＝（18﹣8.2）（105﹣3x）﹣（40+3x）＝﹣32.4x+989．
∵k＝﹣32.4＜0，
∴y随着x的增大而减小，
∴当x＝1元时，利润最大为﹣32.4×1+989＝956.6元；
当9≤x＜15，y＝（16.2﹣8.2）（120﹣x）﹣（3x2﹣68x+300）＝﹣3x2+60x+660＝﹣3（x﹣10）2+960，
∵a＝﹣3＜0，
∴当x＝10时，利润最大为960元．
∵956.6＜960，
∴第10天利润最大，最大利润为960元．
综上可知，
；第10天利润最大，最大利润为960元；
②当1≤x＜9时，y＝﹣32.4x+989≥930，
解得：x≤，
∴此时为1天利润不低于930元；
当9≤x＜15时，y＝﹣3x2+60x+660≥930，
根据图象法可解得：，
∴，
∴此时第9﹣13天的利用不低于930元，
13﹣9+1＝5（天），
综上可知，共有1+5＝6天利润不低于930元．
【点评】本题考查一元二次方程的实际应用，一次函数和二次函数的实际应用，一元一次不等式和一元二次不等式的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式和不等式是解题关键．
22．已知函数，y2＝mx+n（m＞0）的图象在同一平面直角坐标系中．
（1）若函数y1的图象过点（﹣2，6），函数y2的图象过点（t，6），求t的值．
（2）求这两个函数图象的交点的横坐标．
（3）已知当p＜x＜q时，y1＜y2，求q﹣p的取值范围．
【分析】（1）将（﹣2，6）代入，将（t，6）代入y2＝mx+n，可求得t的值．
（2）令mx2+n＝mx+n，求出x的值即可．
（3）结合二次函数和一次函数的图象与性质可知，当0＜x＜1时，y1＜y2，进而可得0＜p＜q＜1，则0＜q﹣p＜1．
【解答】解：（1）将（﹣2，6）代入，将（t，6）代入y2＝mx+n，
得，
可得t＝4．
（2）令mx2+n＝mx+n，
得x2﹣x＝x（x﹣1）＝0，
解得x1＝0，x2＝1，
∴这两个函数图象的交点的横坐标为0，1．
（3）∵这两个函数图象的交点的横坐标为0，1，m＞0，
∴当0＜x＜1时，y1＜y2，
∵当p＜x＜q时，y1＜y2，
∴0＜p＜q＜1，
∴0＜q﹣p＜1．
【点评】本题考查二次函数与不等式（组），熟练掌握二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质是解答本题的关键．
23．在平面直角坐标系中有且只有一个交点的两个函数称为“亲密函数”，这个唯一的交点称为他们的“密接点”．例如：y＝3x﹣1与y＝﹣x+3有且只有一个交点（1，2），则称这两个函数为“亲密函数”，点（1，2）称为他们的“密接点”．
（1）判断下列几组函数，是“亲密函数”的在_____内记“√”，不是“亲密函数”的在______内记“×”；
①y＝2x﹣1与y＝﹣x+2； 　√　
②与； 　×　
③y＝x2﹣x+1与y＝x． 　√　
（2）一次函数y＝kx+b与反比例函数（其中k，b为常数，k＞0是“亲密函数”，且他们的“密接点”P到原点的距离等于3，求b的值．
（3）两条直线l1与l2都是二次函数y＝x2+c的“亲密函数”，且“密接点”分别为M，N．记直线l1与l2的交点的纵坐标为m，直线MN与y轴的交点的纵坐标为n．试判断m与n的关系，并证明你的判断．
【分析】（1）根据“亲密函数”的定义即可作出判断；
（2）由一次函数y＝kx+b与反比例函数（其中k，b为常数，k＞0是“亲密函数”，可得b2﹣4k2＝0，则b＝2k或＝2k，P（﹣1，k）或（1，﹣k），根据他们的“密接点”P到原点的距离等于3求出k的值，即可得b的值．
（3）设直线l1：y＝k1x+b1，直线l2：y＝k2x+b2，由两条直线l1与l2都是二次函数y＝x2+c的“亲密函数”，且“密接点”分别为M，N．可得b1＝，M（，+c），b2＝，N（，+c），设直线MN的解析式为y＝k3x+b3，求出n＝b3＝﹣+c，求出m＝+c，即可得m+n＝2c．
【解答】解：（1）①∵y＝2x﹣1与y＝﹣x+2有且只有一个交点（1，1），
∴这两个函数是“亲密函数”，
故答案为：√；
②∵y＝与y＝没有交点，
∴这两个函数不是“亲密函数”，
故答案为：×；
③y＝x2﹣x+1与y＝x有且只有一个交点（1，1），
∴这两个函数是“亲密函数”，
故答案为：√；
（2）∵一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝﹣（其中k，b为常数，k＞0是“亲密函数”，
∴方程kx+b＝﹣有且只有一个实数根，
∴kx2+bx+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4k2＝0，
∴b＝2k或＝2k，
当b＝2k时，kx2+2kx+k＝0，解得x＝﹣1，
∴P（﹣1，k），
∵“密接点”P到原点的距离等于3，
∴＝3，解得k＝2（负值舍去），
∴b＝4；
当b＝﹣2k时，kx2﹣2kx+k＝0，解得x＝1，
∴P（1，﹣k），
∵“密接点”P到原点的距离等于3，
∴＝3，解得k＝2（负值舍去），
∴b＝﹣4；
当b＝2k时，kx2+2kx+k＝0，解得x＝﹣1，
∴P（﹣1，k），
∵“密接点”P到原点的距离等于3，
∴＝3，解得k＝2（负值舍去），
∴b＝4；
综上，b的值为4或﹣4；
（3）m+n＝2c．
证明：设直线l1：y＝k1x+b1，直线l2：y＝k2x+b2，
∵两条直线l1与l2都是二次函数y＝x2+c的“亲密函数”，且“密接点”分别为M，N．
∴k1x+b1＝x2+c，即x2﹣k1x+c﹣b1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝﹣4（c﹣b1）＝0，
∴b1＝，
∴x1＝x2＝，
∴M（，+c），
同理：b2＝，N（，+c），
设直线MN的解析式为y＝k3x+b3，
∴k3+b3＝+c①，k3+b3＝+c②，
①k1×﹣②×k2得k1b3﹣k2b3＝（k2﹣k1）+（k1﹣k1）c，
∴b3＝﹣+c，
令x＝0，则n＝b3＝﹣+c，
∵m＝k1xm+b1＝k2xm+b2，
∴xm＝＝，
∴＝，
∴m＝+c，
∴m+n＝+c+（﹣+c）＝2c．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了新定义，一次函数、反比例函数与二次函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式等知识，解题的关键是读懂“亲密函数”、“密接点”的定义，理解它们之间的关系．
24．若二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2的图象关于点P（1，0）成中心对称图形，我们称y1与y2互为“中心对称”函数．
（1）求二次函数y＝x2+6x+3的“中心对称”函数的解析式；
（2）若二次函数y＝ax2+2ax+c（a＞0）的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式；
（3）二次函数y1＝ax2+bx+c（a＜0）的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数y2的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若AB＝2BD，且四边形AMDN为矩形，求b2﹣4ac的值．
【分析】（1）由新定义即可求解；
（2）求出c＝﹣7a，得到抛物线的表达式为：y＝﹣a（x﹣3）2+a﹣c＝a（x2+2x﹣7），即可求解；
（3）由MH2＝AH DH，即可求解．
【解答】解：（1）y＝x2+6x+3＝（x+3）2﹣6，
则该函数的顶点坐标为：（﹣3，﹣6），
则该顶点关于（1，0）的对称点为（5，6），
则“中心对称”函数的解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+6；
（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣1，则顶点坐标为：（﹣1，c﹣a），
则“中心对称”函数的顶点坐标为：（3，a﹣c），
则“中心对称”函数的表达式为：y＝﹣a（x﹣3）2+a﹣c，
将（﹣1，c﹣a）代入上式得：c﹣a＝﹣a（﹣1﹣3）2+a﹣c，
解得：c＝﹣7a，
则抛物线的表达式为：y＝﹣a（x﹣3）2+a﹣c＝a（x2+2x﹣7），
当时，即﹣5≤x≤2，
则抛物线在x＝﹣5时，取得最大值为2，
即a（25﹣10﹣7）＝2，
解得：a＝，
则抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣；
（3）如下图：
设点A、D的横坐标分别为：x1，x2，Δ＝b2﹣4ac，
则点M的坐标为：（﹣，），x1＝，
根据点的对称性，点D的横坐标x2＝2﹣x1，
由点A、H的坐标得，AB＝，
则BP＝1﹣，
若AB＝2BD，即＝2﹣×2，
整理得：2a+b＝2，
当四边形AMDN为矩形时，则∠AMD＝90°，设左侧抛物线的对称轴交x轴于点H，
在Rt△ADM中，tan∠MDH＝＝tan∠AMH＝，
则MH2＝AH DH，
而MH＝﹣，AH＝﹣﹣（）＝，DH＝（2﹣xA﹣xH），
则（﹣）2＝×（2﹣xA﹣xH），
整理得：＝（2b+4a+），
将2a+b＝2代入上式得：＝×（5），
解得：Δ＝20，
即b2﹣4ac＝20．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解一元二次方程、新定义、矩形的性质、解直角三角形等，综合性强，难度适中．
25．根据以下素材，探索完成任务
研究植物叶片的生长状况
背景素材 大自然里有许多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片可近似看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
如图，建立平面直角坐标系，发现心形叶片下部轮廓线可近似看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分，且经过原点．
心形叶片的对称轴直线y＝x+2与坐标轴交于A、B两点，直线x＝6分别交抛物线和直线AB于点E、F点，点E、E′是叶片上的一对对称点，EE′交直线AB与点G．
问题解决
任务1 确定心形叶片的形状 求抛物线的解析式及顶点D的坐标．
任务2 研究心形叶片的尺寸 求叶片此处的宽度EE′．
【分析】（1）把（0，0）代入y＝mx2﹣4mx﹣20m+5求出m值即可得到抛物线解析式，配方成顶点式可得顶点坐标；
（2）分别根据解析式求出A（﹣2，0），B（0，2），F（6，8），E（6，3），根据对称性可得到△EFG是等腰直角三角形，求出EG再乘2 即可．
【解答】解：（1）把（0，0）代入y＝mx2﹣4mx﹣20m+5得：﹣20m+5＝0，
∴m＝，
∴抛物线解析式为：y＝，
∴顶点D的坐标为（2，﹣1）．
（2）∵直线AB的解析式为y＝x+2，
∴A（﹣2，0），B（0，2），
∴OA＝OB＝2，
∴∠ABO＝45°，
在y＝x+2中，当x＝6时，y＝8，
在y＝中，当x＝6时，y＝3，
∴F（6，8），E（6，3），
∴EF＝8﹣3＝5，
∵EF∥OB，
∴∠GFE＝∠ABO＝45°，
∵点E、E′是叶片上的一对对称点，
∴EE′＝2EG，EG⊥FG，
∴△EFG是等腰直角三角形，
∴EG＝＝，
∴EE′＝2EG＝5．
【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数性质和图形对称是解答本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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