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概率初步
一、课标导航
课标内容 课标要求 目标层次
事件 了解不可能事件、必然事件和随机事件的含义 ★
概率 了解概率的意义；知道大量重复试验时，可以用频率估计概率 ★
会用列举法(包括列表、树状图)计算简单事件发生的概率
二、核心纲要
1.确定事件和随机事件
(1)确定事件
①必然事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件.
②不可能事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能事件.
(2)随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.
2.概率的意义与表示方法
(1)概率的意义：一般地，对于一个随机事件 A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率,记为 P(A).
(2)事件和概率的表示方法
一般地，事件用英文大写字母A、B、C、…，表示事件 A 的概率p，可记为
(3)概率的计算：一般地，如果在一次试验中，有 n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为
3.确定事件和随机事件的概率之间的关系
(1)确定事件概率
①当 A 是必然发生的事件时，
②当A 是不可能发生的事件时，
(2)确定事件和随机事件的概率之间的关系
4. 用列举法求事件的概率的常用方法
(1)穷举法：如果试验的结果较少，我们可以采用简单列举的方法，把所有可能的结果直接排列出来.
(2)列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.
(3)树状图法：当一次试验要涉及三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法.
本节重点讲解：一个计算(概率的计算)，三个方法，三个概念(确定事件、随机事件、概率).
三、全能突破
基础演练
1.下列事件中，属于确定事件的个数是( ).
(1)打开电视，正在播广告； (2)投掷一枚普通的骰子，掷得的点数小于 10；
(3)射击运动员射击一次，命中10环； (4)在一个只装有红球的袋中摸出白球.
A.0 B.1 C.2 D.3
2.在四张完全相同的卡片上，分别画有圆、菱形、等腰三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是( ).
A. B. C. D.1
3.一个不透明的盒子里有 n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有 6个黄球.每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出 n大约是( ).
A.6 B.10 C.18 D.20
4.同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率为 .
5.如下左图所示，A、B是边长为1的小正方形组成的网格的两个格点，在格点中任意放置点 C，恰好能使△ABC 的面积为1的概率是 .
6.如下右图所示，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的编号为1~7 的小正方形中任意一个涂黑，则所得图案是一个轴对称图形的概率是 .
7.在平行四边形 ABCD 中,AC、BD 是两条对角线,现从以下四个关系式 :① AB=BC,②AC=BD,③AC⊥BD，④AB⊥BC 中任取一个作为条件，即可推出平行四边形 ABCD 是菱形的概率为 .
8.三张完全相同的卡片上分别写有函数 从中随机抽取一张，则所得卡片上函数的图像在第一象限内 y随x的增大而增大的概率是 .
9.在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数字-3，-2，-1，1，2的小球，它们除数字不同外其余全部相同.现从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为a的值，再将该数字加2 作为b的值，则抛物线 的对称轴在 y轴左侧的概率是 .
10.有七张正面分别标有数字-3，-2，-1，0，1，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程 a(a-3)=0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数 的图像不经过点(1,0)的概率是 .
11.在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4 四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀.
(1)若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为多少
(2)若从中任取一球(不放回)，再从中任取一球，请用画树状图或列表格的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率.
(3)若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏方案设计对甲、乙双方公平吗 说明理由.
能力提升
12.一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m 与n的关系是( ).
A. m=3,n=5 B. m=n=4 C. m+n=4 D. m+n=8
13.在围棋盒中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是 .如果再往盒中放进 6 颗黑色棋子，取得白色棋子的概率是 ，则原来盒中有白色棋子( ).
A.8颗 B.6 颗 C.4 颗 D.2 颗
14.如下图所示,正方形 ABCD 内接于⊙O,⊙O的直径为 分米，若在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形 ABCD 内的概率是( ).
A. /π B.π/2 C. π D. π
15.箱子中装有4个只有颜色不同的球，其中2个白球，2个红球，4个人依次从箱子中任意摸出一个球，不放回，则第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率是 .
16.有四张正面分别标有数字-3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数学记为a，则使关于x的分式方程 有正整数解的概率为 .
17.甲、乙两人玩“锤子、石头、剪子、布”游戏，他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的15 张卡片，其中写有“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”的卡片张数分别为2，3，4，6.两人各随机摸出一张卡片(先摸者不放回)来比胜负，并约定：“锤子”胜“石头”和“剪子”，“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“锤子”和“石头”，同种卡片不分胜负.
(1)若甲先摸，则他摸出“石头”的概率是多少
(2)若甲先摸出了“石头”，则乙获胜的概率是多少
(3)若甲先摸，则他先摸出哪种卡片获胜的可能性最大
18.如下图所示，甲、乙两个可以自由转动的均匀的转盘，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成4个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字，同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数字为m，乙转盘中指针所指区域内的数字为 n(若指针指在边界线上时，重转一次，直到指针都指向一个区域为止).
(1)请你用画树状图或列表格的方法求出|m+n|>1的概率.
(2)直接写出点(m，n)落在函数 图像上的概率.
19.有四张卡片(背面完全相同)，分别写有数字1、2、-1、-2，把它们背面朝上洗匀后，甲同学抽取一张记下这个数字后放回洗匀，乙同学再从中抽出一张，记下这个数字，用字母b、c分别表示甲、乙两同学抽出的数字.
(1)用列表法求关于x的方程 有实数根的概率.
(2)求(1)中方程有两个相等实数根的概率.
(3)将取出的b和c 两个数代入二次函数 中，得到多少个不同形式的二次函数 并写出该二次函数的顶点在x轴上的概率为多少
(4)若将取出的b、c分别作为点A 的横坐标、纵坐标，求点 A(b，c)落在第三象限的概率.
中考链接
20.(山东聊城)我市初中毕业男生体育测试成绩有四项，其中“立定跳远”“100 米跑”“肺活量测试”为必测项目，另一项为“引体向上”和“推铅球”中选择一项测试.小亮、小明和大刚从“引体向上”和“推铅球”中选择同一个项目的概率是 .
21.(安徽)如下图所示，随机闭合开关 中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为( ).
A. B.
巅峰突破
22.将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为 a，第二次掷出的点数为 b，则使关于 x，y 的方程组 只有正数解的概率 为( ).
A. B. C.
23.把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数 的图像与x轴有两个不同交点的概率是( ).
A. B. C. D.
基础演练
1. C 2. B 3. D
4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
11.(1) .
(2)画树状图如下：
∵共有12种等可能的结果，两个球上的数字之和为偶数的有(1.3),(2.4),(3.1),(4,2)共4种情况,
∴两个球上的数字之和为偶数的概率为：
(3)∵两个球上的数字之差的绝对值为1的有(1，2)，(2，3).(2.1).(3.2).(3.4).(4.3)共6种情况,∴P(甲胜)= ,P(乙胜))= ,∴P(甲胜)=P(乙胜).
∴这种游戏方案设计对甲、乙双方都公平.
能力提升
12. D 13. C 14. A 15. 1 6.
17.(1) (2)
(3)若甲先摸，则“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”四种卡片都有可能被摸出.
若甲先摸出“锤子”，则甲获胜(即乙摸出“石头”或“剪子”)的概率为
若甲先摸出“石头”，则甲获胜(即乙摸出“剪子”)的概率为
若甲先摸出“剪子”，则甲获胜(即乙摸出“布”)的概率为
若甲先摸出“布”，则甲获胜(即乙摸出“锤子”或“石头”)的概率为- .
∴甲先摸出“锤子”获胜的可能性最大.
18.(1)画树状图如下:
所有等可能的结果有 12种，其中|m+n|>1的情况有5种。
所以|m+n|>1的概率为
(2)点(m. n)在函数 上口的概率为
19.(1)列表如下:
(1.-2) (2.-2) (-1.-2) (-2.-2)
(1.-1) (2.-1) (-1.-1) (-2.-1)
(1.2) (2.2) (-1.2) (-2.2)
(1.1) (2.1) (-1.1) (-2.1)
∴一共有 16种等可能的结果，
∵关于x的方程. 有实数解,即b -4c≥0.
∴关于x的方程. 有实数解的有(1,-1),(1.-2).(2.1).(2.-1).(2.-2).(-1.-1).(-1.-2).(-2.1).(-2.-1).(-2.-2)共10 种情况.
∴关于x的方程x +bx+c=0有实数解的概率为：
(2)由(1)可知,方程有两个相等实数根的有(-2,1),(2,
1).∴(1)中方程有两个相等实数根的概率为：
(4)由(1)可得,第三象限点的坐标有(-1.-2),(-2.-2),(-1,-1),(-2,-1),∴点 A(b,c)落在第三象限的概率为：
中考链接
20. 21. B
巅峰突破
22. D 23. C

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