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备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）
专题16 全等三角形问题
考点扫描☆聚焦中考
全等三角形问题在近几年各地中考中主要以选择题或填空题的形式考查，题目较为简单，属于低档题；考查内容主要有：全等三角形的判定、全等三角形的性质、全等三角形的判定与性质综合、角平分线的性质等；考查热点主要有：全等三角形的判定、性质和全等三角形的综合应用等
考点剖析☆典型例题
例1 （2020 淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（　　）
A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
例2（2022 成都）如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是（　　）
A．BC＝DE B．AE＝DB C．∠A＝∠DEF D．∠ABC＝∠D
例3（2023 西藏）如图，已知AB＝DE，AC＝DC，CE＝CB．求证：∠1＝∠2．
例4（2022 鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（　　）
A．2 B．2 C．4 D．4+2
考点过关☆专项突破
类型一 全等三角形的性质
1．（2021 哈尔滨）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　）
A．30° B．25° C．35° D．65°
2．（2023 成都）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为 　　．
3．（2023 北京）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论：
①a+b＜c； ②a+b＞； ③（a+b）＞c．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．（2019 上海）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是　　．
类型二 全等三角形的判定
1．（2023 甘孜州）如图，AB与CD相交于点O，AC∥BD，只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是（　　）
A．∠A＝∠D B．AO＝BO C．AC＝BO D．AB＝CD
2．（2023 凉山州）如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（　　）
A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE
3．（2022 云南）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF．若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE．你认为要添加的那个条件是（　　）
A．OD＝OE B．OE＝OF C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE
4．（2021 攀枝花）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（　　）去最省事．
A．① B．② C．③ D．①③
5．（2022 黑龙江）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请你添加一个条件 　 　，使△AOB≌△COD．
6．（2020 黑龙江）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件　 　，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．
7．（2022 百色）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°．
（1）求证：△ABC≌△CDA；
（2）求草坪造型的面积．
8．（2023 衢州）已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：
①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．
（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）．
（2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF．
类型三 全等三角形的综合
1．（2023 长春）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA'、BB'的中点，只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（　　）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D．两点之间线段最短
2．（2023 重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为 　　．
3．（2023 通辽）如图，等边三角形ABC的边长为6cm，动点P从点A出发以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交边AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧，当点D落在BC边上时，点P需移动 　　s．
4．（2023 辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC的中点，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，若AC＝4，CE＝5，则CD的长为 　　．
5．（2023 湖北）如图，△BAC，△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DEB＝∠AEF＝90°，点E在△ABC内，BE＞AE，连接DF交AE于点G，DE交AB于点H，连接CF．给出下面四个结论：①∠DBA＝∠EBC；②∠BHE＝∠EGF；③AB＝DF；④AD＝CF．其中所有正确结论的序号是 　 　．
6．（2023 呼和浩特）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，，点P为AC边上的中点，PM交AB的延长线于点M，PN交BC的延长线于点N，且PM⊥PN．若BM＝1，则△PMN的面积为（　　）
A．13 B． C．8 D．
7．（2023 大连）如图，AC＝AE，BC＝DE，BC的延长线与DE相交于点F，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD．
8．（2023 长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长．
9．（2023 苏州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF．
（1）求证：△ADE≌△ADF；
（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．
类型四 角平分线的性质
1．（2022 北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝　　．
2．（2022 黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝　　．
3．（2021 青海）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　）
A．8 B．7.5 C．15 D．无法确定
4．（2020 牡丹江）如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
5．（2023 广州）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，则点E到直线AD的距离为 　　．
6．（2020 湘潭）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为　　．
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专题16 全等三角形问题
考点扫描☆聚焦中考
全等三角形问题在近几年各地中考中主要以选择题或填空题的形式考查，题目较为简单，属于低档题；考查内容主要有：全等三角形的判定、全等三角形的性质、全等三角形的判定与性质综合、角平分线的性质等；考查热点主要有：全等三角形的判定、性质和全等三角形的综合应用等
考点剖析☆典型例题
例1 （2020 淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（　　）
A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
【答案】B
【点拨】根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解析】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
例2（2022 成都）如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是（　　）
A．BC＝DE B．AE＝DB C．∠A＝∠DEF D．∠ABC＝∠D
【答案】B
【点拨】先根据平行线的性质得到∠A＝∠D，加上AC＝DF，则可根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解析】解：∵AC∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵AC＝DF，
∴当添加∠C＝∠F时，可根据“ASA”判定△ABC≌△DEF；
当添加∠ABC＝∠DEF时，可根据“AAS”判定△ABC≌△DEF；
当添加AB＝DE时，即AE＝BD，可根据“SAS”判定△ABC≌△DEF．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
例3（2023 西藏）如图，已知AB＝DE，AC＝DC，CE＝CB．求证：∠1＝∠2．
【答案】见解析．
【点拨】先由题意可证△ABC≌△DEC，可得∠ACB＝∠DCE，再根据等式的性质即可得出结论．
【解析】证明：在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SSS），
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，
∴∠1＝∠2．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
例4（2022 鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（　　）
A．2 B．2 C．4 D．4+2
【答案】C
【点拨】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长．
【解析】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：
∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，
∴EH＝EC，
∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，
∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，
∵DE∥OB，
∴∠ADE＝30°，
∴DE＝2HE＝2EC，
∵EC＝2，
∴DE＝4，
∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，
∴∠DEO＝15°，
∴∠AOE＝∠DEO，
∴OD＝DE＝4，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，平行线的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
考点过关☆专项突破
类型一 全等三角形的性质
1．（2021 哈尔滨）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　）
A．30° B．25° C．35° D．65°
【答案】B
【点拨】由全等三角形的性质可求得∠ACD＝65°，由垂直可得∠CAF+∠ACD＝90°，进而可求解∠CAF的度数．
【解析】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∵∠BCE＝65°，
∴∠ACD＝∠BCE＝65°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF+∠ACD＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质求解∠ACD的度数是解题的关键．
2．（2023 成都）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为 　3　．
【答案】3．
【点拨】根据全等三角形的对应边相等得到EF＝BC＝8，计算即可．
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
又BC＝8，
∴EF＝8，
∵EC＝5，
∴CF＝EF﹣EC＝8﹣5＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
3．（2023 北京）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论：
①a+b＜c； ②a+b＞； ③（a+b）＞c．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【点拨】①根据直角三角形的斜边大于任一直角边即可；
②在三角形中，两边之和大于第三边，据此可解答；
③将c用a和b表示出来，再进行比较．
【解析】解：①过点D作DF∥AC，交AE于点F；过点B作BG⊥FD，交FD于点G．
∵DF∥AC，AC⊥AE，
∴DF⊥AE．
又∵BG⊥FD，
∴BG∥AE，
∴四边形ABGF为矩形．
同理可得，四边形BCDG也为矩形．
∴FD＝FG+GD＝a+b．
∴在Rt△EFD中，斜边c＞直角边a+b．
故①正确．
②∵△EAB≌△BCD，
∴AE＝BC＝b，
∴在Rt△EAB中，BE＝＝．
∵AB+AE＞BE，
∴a+b＞．
故②正确．
③∵△EAB≌△BCD，
∴∠AEB＝∠CBD，
又∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠CBD+∠ABE＝90°，
∴∠EBD＝90°．
∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠BDE＝45°，
∴BE＝＝c sin45°＝c．
∴c＝．
∵＝2（a2+2ab+b2）＝2（a2+b2）+4ab＞2（a2+b2），
∴＞，
∴＞c．
故③正确．
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的性质．虽然是选择题，但计算量不小，比较繁琐，需要细心、耐心．
4．（2019 上海）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是　　．
【答案】
【点拨】根据勾股定理求得AB＝5，由△ACD≌△C1A1D1，所以可以将A1点放在左图的C点上，C1点放在左图的A点上，D1点对应左图的D点，从而得出BC∥B1C1，根据其性质得出＝2，解得求出AD的长．
【解析】解：∵△ACD≌△C1A1D1，可以将△C1A1D1与△ACD重合，如图，
∵∠ACB＝∠A1C1B1＝90°，
∴BC∥B1C1，
∴＝，
∵AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∴＝，
解得AD＝，
∴AD的长为，
故答案为．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理的应用，平行线的性质，证得＝是解题的关键．
类型二 全等三角形的判定
1．（2023 甘孜州）如图，AB与CD相交于点O，AC∥BD，只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是（　　）
A．∠A＝∠D B．AO＝BO C．AC＝BO D．AB＝CD
【答案】B
【点拨】根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理分别分析即可．
【解析】解：A、不能证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；
B、由AC∥BD可得∠A＝∠B，∠C＝∠D，可利用AAS证明△AOC≌△BOD，故此选项符合题意；
C、不能证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；
D、不能证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
2．（2023 凉山州）如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（　　）
A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE
【答案】D
【点拨】根据BE＝CF求出BF＝CE，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
【解析】解：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE，
∴当∠A＝∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE，故A不符合题意；
当∠AFB＝∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE，故B不符合题意；
当AB＝DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE，故C不符合题意；
当AF＝DE时，无法证明△ABF≌△DCE，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
3．（2022 云南）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF．若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE．你认为要添加的那个条件是（　　）
A．OD＝OE B．OE＝OF C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE
【答案】D
【点拨】由OB平分∠AOC，得∠DOE＝∠FOE，由OE＝OE，可知∠ODE＝∠OFE，即可根据AAS得△DOE≌△FOE，可得答案．
【解析】解：∵OB平分∠AOC，
∴∠DOE＝∠FOE，
又OE＝OE，
若∠ODE＝∠OFE，则根据AAS可得△DOE≌△FOE，故选项D符合题意，
而增加OD＝OE不能得到△DOE≌△FOE，故选项A不符合题意，
增加OE＝OF不能得到△DOE≌△FOE，故选项B不符合题意，
增加∠ODE＝∠OED不能得到△DOE≌△FOE，故选项C不符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理并会应用．
4．（2021 攀枝花）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（　　）去最省事．
A．① B．② C．③ D．①③
【答案】C
【点拨】根据全等三角形的判定方法结合图形判断出带③去．
【解析】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，
所以，最省事的做法是带③去．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
5．（2022 黑龙江）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请你添加一个条件 　OB＝OD（答案不唯一）　，使△AOB≌△COD．
【答案】OB＝OD（答案不唯一）
【点拨】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
【解析】解：添加的条件是OB＝OD，
理由是：在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS），
故答案为：OB＝OD（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
6．（2020 黑龙江）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件　AB＝ED（BC＝DF或AC＝EF或AE＝CF）　，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．
【答案】AB＝ED
【点拨】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，可以是AB＝ED或BC＝DF或AC＝EF或AE＝CF，只要符合全等三角形的判定定理即可．
【解析】解：添加的条件是：AB＝ED，
理由是：∵在Rt△ABC和Rt△EDF中
，
∴Rt△ABC≌Rt△EDF（ASA），
故答案为：AB＝ED．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：两直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
7．（2022 百色）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°．
（1）求证：△ABC≌△CDA；
（2）求草坪造型的面积．
【答案】见解析
【点拨】（1）利用全等三角形的判定方法，结合三边关系得出答案；
（2）直接利用全等三角形的性质以及直角三角形中30度所对边与斜边的关系得出对应边长，进而得出答案．
【解析】（1）证明：在△ABC和△CDA中，
∵，
∴△ABC≌△CDA（SSS）；
（2）解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝2米，∠B＝30°，
∴AE＝1米，
∴S△ABC＝×3×1＝（平方米），
则S△CDA＝（平方米），
∴草坪造型的面积为：2×＝3（平方米）．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
8．（2023 衢州）已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：
①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．
（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）．
（2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF．
【答案】（1）选择的三个条件是：①②③，或者选择的三个条件是：①③④；
（2）证明见解析过程．
【点拨】（1）根据两三角形全等的判定定理，选择合适的条件即可．
（2）根据（1）中所选条件，进行证明即可．
【解析】解：（1）由题知，
选择的三个条件是：①②③；
或者选择的三个条件是：①③④．
证明：（2）当选择①②③时，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
当选择①③④时，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点睛】本题考查全等三角形的证明，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
类型三 全等三角形的综合
1．（2023 长春）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA'、BB'的中点，只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（　　）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D．两点之间线段最短
【答案】A
【点拨】根据点O为AA'、BB'的中点得出OA＝OA'，OB＝OB'，根据对顶角相等得到∠AOB＝∠A'OB'，从而证得△AOB和△A'OB'全等，于是有AB＝A'B'，问题得证．
【解析】解：∵点O为AA'、BB'的中点，
∴OA＝OA'，OB＝OB'，
由对顶角相等得∠AOB＝∠A'OB'，
在△AOB和△A'OB'中，
，
∴△AOB≌△A'OB'（SAS），
∴AB＝A'B'，
即只要量出A'B'的长度，就可以知道该零件内径AB的长度，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键．
2．（2023 重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为 　3　．
【答案】3．
【点拨】先证明△ABE≌△CAF（AAS），根据全等三角形的性质可得AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，进一步可得EF的长．
【解析】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BEA＝∠AFC＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠FAC＝90°，
∴∠FAC＝∠ABE，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AF＝BE，AE＝CF，
∵BE＝4，CF＝1，
∴AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，
∴EF＝AF﹣AE＝4﹣1＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
3．（2023 通辽）如图，等边三角形ABC的边长为6cm，动点P从点A出发以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交边AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧，当点D落在BC边上时，点P需移动 　1　s．
【答案】1．
【点拨】根据等边三角形的性质得到角与边的等量关系，从而证明△BDP≌APQ，由此得到边之间的关系，进而求解．
【解析】解：设点P需移动t秒，点D落在BC边上，如图所示．
∵三角形PQD是等边三角形，
∴∠DPQ＝60°，
∴∠BPD＝180°﹣∠APQ﹣∠DPQ＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴∠BDP＝180°﹣∠B﹣∠BPD＝180°﹣60°﹣30°＝90°．
∠AQP＝180°﹣∠APQ﹣∠A＝180°﹣90°﹣60°＝30°．
∵∠BDP＝∠APQ＝90°，DP＝PQ，∠BPD＝∠AQP＝30°，
∴△BDP≌△APQ（ASA）．
∴BP＝AB﹣AP＝6﹣2t，BD＝AP＝2t，
∵∠BPD＝30°，
∴BD＝BP，即2t＝（6﹣2t），
∴t＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题通过动点问题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定及其性质的运用．
4．（2023 辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC的中点，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，若AC＝4，CE＝5，则CD的长为 　　．
【答案】．
【点拨】由“ASA”可证△ABD≌△ECD，可得AB＝CE＝5，由勾股定理可求BC的长，即可求解．
【解析】解：∵点D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∵CE∥AB，
∴∠B＝∠DCE，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（ASA），
∴AB＝CE＝5，
∴BC＝＝3，
∴CD＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
5．（2023 湖北）如图，△BAC，△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DEB＝∠AEF＝90°，点E在△ABC内，BE＞AE，连接DF交AE于点G，DE交AB于点H，连接CF．给出下面四个结论：①∠DBA＝∠EBC；②∠BHE＝∠EGF；③AB＝DF；④AD＝CF．其中所有正确结论的序号是 　①③④　．
【答案】①③④．
【点拨】由等腰直角三角形的性质可得出∠ABC＝∠DBE＝45°，可得出①正确；证明△BEA≌△DEF（SAS），由全等三角形的性质得出AB＝DF，可得出③正确；由直角三角形的性质可判断②不正确；证明四边形DFCA为平行四边形，由平行四边形的性质可得出DA＝CF，则可得出答案．
【解析】解：∵△BAC，△DEB都是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠DBE＝45°，
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠DBE﹣∠ABE，
∴∠EBC＝∠DBA，
故①正确；
∵△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，
∴BE＝DE，AE＝EF，∠BED＝∠AEF＝90°，
∴∠BEA＝∠DEF，
∴△BEA≌△DEF（SAS），
∴AB＝DF，∠ABE＝∠EDF，∠BAE＝∠DFE．
故③正确；
∵∠BEH＝∠GEF＝90°，
∴∠ABE+∠BHE＝90°，∠EGF+∠DFE＝90°，
∵BE＞AE，
∴∠ABE≠∠AEB，
∴∠ABE≠∠DFE，
∴∠BHE≠∠EGF；
∵∠BAC＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠FAC＝45°，
又∵∠AFD+∠EFG＝45°，∠BAE＝∠DFE，
∴∠DFA＝∠FAC，
∴DF∥AC，
∵AB＝DF，AB＝AC，
∴DF＝AC，
∴四边形DFCA为平行四边形，
∴DA＝CF．
故④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△BEA≌△DEF．
6．（2023 呼和浩特）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，，点P为AC边上的中点，PM交AB的延长线于点M，PN交BC的延长线于点N，且PM⊥PN．若BM＝1，则△PMN的面积为（　　）
A．13 B． C．8 D．
【答案】D
【点拨】依据题意，连接BP，然后先证明△BMP≌△CNP，从而CN＝BP＝1，又由等腰Rt△ABC可得BC＝4，从而在Rt△MBN中可以求得MN，又MP＝NP，从而可得MN的值，进而可以得解．
【解析】解：如图连接BP．
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∵AB＝BC，点P为AC边上的中点，
∴BP⊥AC，∠CBP＝∠ABP＝∠ABC＝45°，∠BCA＝45°，BP＝CP＝AC＝2．
∴∠MBP＝∠NCP＝180°﹣45°＝135°．
∵BP⊥AC，PM⊥PN，
∴∠BPM+∠MPC＝90°，∠CPN+∠MPC＝90°．
∴∠BPM＝∠CPN．
又BP＝CP，∠MBP＝∠NCP，
∴△BMP≌△CNP（ASA）．
∴BM＝CN＝1，MP＝NP．
在Rt△BPC中，BC＝＝4．
∴在Rt△MBN中，MN＝＝＝．
又在Rt△MPN中，MP＝NP，
∴MP2+NP2＝MN2．
∴MP＝NP＝．
∴S△PMN＝MP NP＝．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
7．（2023 大连）如图，AC＝AE，BC＝DE，BC的延长线与DE相交于点F，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD．
【答案】见解析．
【点拨】由已知∠ACF+∠AED＝180°，可得到∠ACB＝∠AED，再利用SAS证明△ABC≌△ADE，从而得到AB＝AD．
【解析】证明：∵∠ACF+∠AED＝180°，∠ACF+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝∠AED，
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴AB＝AD．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，掌握SAS判定定理是解题的关键．
8．（2023 长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长．
【答案】（1）见解答；
（2）4．
【点拨】（1）利用“AAS”可证明△ABE≌△ACD；
（2）先利用全等三角形的性质得到AD＝AE＝6，再利用勾股定理计算出AC，从而得到AB的长，然后计算AB﹣AD即可．
【解析】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠ADC＝90°，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△ACD，
∴AD＝AE＝6，
在Rt△ACD中，AC＝＝＝10，
∵AB＝AC＝10，
∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
9．（2023 苏州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线．以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF．
（1）求证：△ADE≌△ADF；
（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数．
【答案】见解析
【点拨】（1）由角平分线定义得出∠BAD＝∠CAD．由作图知：AE＝AF．由SAS可证明△ADE≌△ADF；
（2）由作图知：AE＝AD．得出∠AED＝∠ADE，由等腰三角形的性质求出∠ADE＝70°，则可得出答案．
【解析】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD．
由作图知：AE＝AF．
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（SAS）；
（2）解：∵∠BAC＝80°，AD为△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠BAC＝40°，
由作图知：AE＝AD．
∴∠AED＝∠ADE，
∴∠ADE＝×（180°﹣40°）＝70°，
∵AB＝AC，AD为△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC．
∴∠BDE＝90°﹣∠ADE＝20°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
类型四 角平分线的性质
1．（2022 北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝　1　．
【答案】1
【点拨】过D点作DH⊥AC于H点，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝1，然后根据三角形面积公式计算．
【解析】解：过D点作DH⊥AC于H点，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，
∴DE＝DH＝1，
∴S△ACD＝×2×1＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2．（2022 黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝　3　．
【答案】3．
【点拨】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解．
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵AD平分∠CAB，
∴CD＝DE，
∴S△ABC＝AC CD+AB DE＝AC BC，
即×6 CD+×10 CD＝×6×8，
解得CD＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．
3．（2021 青海）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　）
A．8 B．7.5 C．15 D．无法确定
【答案】B
【点拨】过D点作DE⊥BC于E，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DA＝3，然后根据三角形面积公式计算．
【解析】解：过D点作DE⊥BC于E，如图，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，
∴DE＝DA＝3，
∴△BCD的面积＝×5×3＝7.5．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
4．（2020 牡丹江）如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
【答案】D
【点拨】作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，然后根据角平分线的性质进行判断．
【解析】解：作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
5．（2023 广州）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，则点E到直线AD的距离为 　　．
【答案】．
【点拨】过E作EH⊥AD于H，由角平分线的性质得到DE＝DF＝5，由勾股定理求出AD＝＝13，由三角形面积公式得到13EH＝12×5，因此EH＝，即可得到点E到直线AD的距离．
【解析】解：过E作EH⊥AD于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF＝5，
∵AE＝12，
∴AD＝＝13，
∵△ADE的面积＝AD EH＝AE DE，
∴13EH＝12×5，
∴EH＝，
点E到直线AD的距离为．
故答案为：．
【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，勾股定理，关键是由三角形的面积得到AD EH＝AE DE．
6．（2020 湘潭）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为　3　．
【答案】3
【点拨】根据垂线段最短可知当PM⊥OC时，PM最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案．
【解析】解：根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，
当PM⊥OC时，
又∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PD＝3，
∴PM＝PD＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．
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