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备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）
专题14 位置关系问题
考点扫描☆聚焦中考
位置关系问题在近几年中考中以选择题、填空题为主，比较简单，基本属于容易题；考查的知识点有相交线与对顶角的性质、垂线的性质、平行线的性质与判定；考查的热点有垂线的性质、平行线的性质与判定.
考点剖析☆典型例题
例1 （2023 河南）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝80°，∠2＝30°，则∠AOE的度数为（　　）
A．30° B．50° C．60° D．80°
例2（2021 北京）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°，则∠BOD的大小为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
例3（2020 河池）如图，直线a，b被直线c所截，则∠1与∠2的位置关系是（　　）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
例4（2021 铜仁市）直线AB、BC、CD、EG如图所示，∠1＝∠2＝80°，∠3＝40°，则下列结论错误的是（　　）
A．AB∥CD B．∠EBF＝40°C．∠FCG+∠3＝∠2 D．EF＞BE
例5（2022 郴州）如图，直线a∥b，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线c∥d的是（　　）
A．∠3＝∠4 B．∠1+∠5＝180° C．∠1＝∠2 D．∠1＝∠4
考点过关☆专项突破
类型一 相交线、对顶角
1．（2023 兰州）如图，直线AB与CD相交于点O，则∠BOD＝（　　）
A．40° B．50° C．55° D．60°
2．（2023 青海）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝140°，则∠AOC的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
3．（2022 苏州）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝75°，∠1＝25°，则∠2的度数是（　　）
A．25° B．30° C．40° D．50°
4．（2021 益阳）如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OC恰好平分∠EOB，则∠AOD＝　　度．
5．（2020 北京）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5
类型二 垂线的性质
1．（2023 临沂）在同一平面内，过直线l外一点P作l的垂线m，再过P作m的垂线n，则直线l与n的位置关系是（　　）
A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定
2．（2023 江西）如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC＝35°，则∠OBD的度数为（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
3．（2022 河南）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（　　）
A．26° B．36° C．44° D．54°
4．（2020 孝感）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为点O．若∠BOE＝40°，则∠AOC的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．140°
5．（2020 乐山）如图，E是直线CA上一点，∠FEA＝40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF．则∠GEB＝（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
6．（2022 泸州）如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，点B在直线b上，AB⊥AC，若∠1＝130°，则∠2的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．70°
7．（2023 金昌）如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC＝50°时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC＝（　　）
A．60° B．70° C．80° D．85°
类型三 同位角、内错角、同旁内角
1．（2022 青海）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（　　）
A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角 D．同位角、内错角、同旁内角
2．（2022 贺州）如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（　　）
A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠2与∠3 D．∠3与∠4
3．（2021 百色）如图，与∠1是内错角的是（　　）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
4．（2021 贺州）如图，下列两个角是同旁内角的是（　　）
A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠1与∠4 D．∠2与∠4
类型四 平行线的判定
1．（2022 吉林）如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据可以简单说成（　　）
A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行
2．（2020 郴州）如图，直线a，b被直线c，d所截．下列条件能判定a∥b的是（　　）
A．∠1＝∠3 B．∠2+∠4＝180° C．∠4＝∠5 D．∠1＝∠2
3．（2020 梧州）如图，已知直线a，b被直线c所截，下列条件不能判断a∥b的是（　　）
A．∠2＝∠6 B．∠2+∠3＝180° C．∠1＝∠4 D．∠5+∠6＝180°
4．（2023 苏州）如图，在正方形网格内，线段PQ的两个端点都在格点上，网格内另有A，B，C，D四个格点，下面四个结论中，正确的是（　　）
A．连接AB，则AB∥PQ B．连接BC，则BC∥PQ
C．连接BD，则BD⊥PQ D．连接AD，则AD⊥PQ
5．（2022 台州）如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（　　）
A．∠2＝90° B．∠3＝90° C．∠4＝90° D．∠5＝90°
6．（2021 兰州）将一副三角板如图摆放，则 　 　∥　 　，理由是 　 　．
7．（2021 桂林）如图，直线a，b被直线c所截，当∠1 　　∠2时，a∥b．（用“＞”，“＜”或“＝”填空）
类型五 平行线的性质
1．（2023 泸州）如图，AB∥CD，若∠D＝55°，则∠1的度数为（　　）
A．125° B．135° C．145° D．155°
2．（2023 广西）如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，∠A＝130°，那么∠B的度数是（　　）
A．160° B．150° C．140° D．130°
3．（2023 齐齐哈尔）如图，直线l1∥l2，分别与直线l交于点A，B，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝45°，则∠2的度数是（　　）
A．135° B．105° C．95° D．75°
4．（2023 东营）如图，AB∥CD，点E在线段BC上（不与点B，C重合），连接DE．若∠D＝40°，∠BED＝60°，则∠B＝（　　）
A．10° B．20° C．40° D．60°
5．（2023 陕西）如图，l∥AB，∠A＝2∠B．若∠1＝108°，则∠2的度数为（　　）
A．36° B．46° C．72° D．82°
6．（2023 山西）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为（　　）
A．45° B．50° C．55° D．60°
7．（2023 青岛）如图，直线a∥b，∠1＝63°，∠B＝45°，则∠2的度数为（　　）
A．105° B．108° C．117° D．135°
8．（2023 凉山州）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1＝45°，∠2＝120°，则∠3+∠4＝（　　）
A．165° B．155° C．105° D．90°
9．（2023 金华）如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，则∠4的度数是（　　）
A．120° B．125° C．130° D．135°
10．（2023 武汉）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE．
（1）求证：∠E＝∠ECD；
（2）若∠E＝60°，CE平分∠BCD，直接写出△BCE的形状．
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备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）
专题14 位置关系问题
考点扫描☆聚焦中考
位置关系问题在近几年中考中以选择题、填空题为主，比较简单，基本属于容易题；考查的知识点有相交线与对顶角的性质、垂线的性质、平行线的性质与判定；考查的热点有垂线的性质、平行线的性质与判定.
考点剖析☆典型例题
例1 （2023 河南）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝80°，∠2＝30°，则∠AOE的度数为（　　）
A．30° B．50° C．60° D．80°
【答案】B
【点拨】由对顶角的性质得到∠AOD＝∠1＝80°，即可求出∠AOE的度数．
【解析】解：∵∠AOD＝∠1＝80°，
∴∠AOE＝∠AOD﹣∠2＝80°﹣30°＝50°．
故选：B．
【点睛】本题考查对顶角，关键是掌握对顶角的性质：对顶角相等．
例2（2021 北京）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°，则∠BOD的大小为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】A
【点拨】根据平角的意义求出∠BOC的度数，再根据垂直的意义求出答案．
【解析】解：∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝180°﹣120°＝60°，
又∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，
故选：A．
【点睛】本题考查平角及垂直的意义，理解互相垂直的意义是解决问题的关键．
例3（2020 河池）如图，直线a，b被直线c所截，则∠1与∠2的位置关系是（　　）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
【答案】A
【点拨】根据三线八角的概念，以及同位角的定义作答即可．
【解析】解：如图所示，∠1和∠2两个角都在被截直线b和a同侧，并且在第三条直线c（截线）的同旁，故∠1和∠2是直线b、a被c所截而成的同位角．
故选：A．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义．在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角．要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点，比较它们的区别与联系．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有四对同位角，两对内错角，两对同旁内角．
例4（2021 铜仁市）直线AB、BC、CD、EG如图所示，∠1＝∠2＝80°，∠3＝40°，则下列结论错误的是（　　）
A．AB∥CD B．∠EBF＝40°C．∠FCG+∠3＝∠2 D．EF＞BE
【答案】D
【点拨】根据平行线的判定、对顶角相等及三角形的外角定理求解判断即可得解．
【解析】解：∵∠1＝∠2＝80°，
∴AB∥CD，
故A正确，不符合题意；
∵∠3＝40°，
∴∠EFB＝∠3＝40°，
∵∠1＝∠EBF+∠EFB，
∴∠EBF＝40°＝∠EFB，
∴EF＝BE，
故B正确，不符合题意；故D错误，符合题意；
∵∠2是△FCG的外角，
∴∠FCG+∠3＝∠2，
故C正确，不符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理及三角形的外角定理是解题的关键．
例5（2022 郴州）如图，直线a∥b，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线c∥d的是（　　）
A．∠3＝∠4 B．∠1+∠5＝180° C．∠1＝∠2 D．∠1＝∠4
【答案】C
【点拨】根据平行线的判定定理进行一一分析．
【解析】解：A、若∠3＝∠4时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意；
B、若∠1+∠5＝180°时，由“同旁内角互补，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意；
C、若∠1＝∠2时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定a∥b，不能判定c∥d，符合题意；
D、由a∥b推知∠4+∠5＝180°．若∠1＝∠4时，则∠1+∠5＝180°，由“同旁内角互补，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
考点过关☆专项突破
类型一 相交线、对顶角
1．（2023 兰州）如图，直线AB与CD相交于点O，则∠BOD＝（　　）
A．40° B．50° C．55° D．60°
【答案】B
【点拨】利用对顶角相等可得∠BOD＝∠AOC，由量角器度量的方法可得结论．
【解析】解：∵直线AB与CD相交于点O，
∴∠BOD＝∠AOC，
∵∠AOC＝50°，
∴∠BOD＝50°
故选：B．
【点睛】本题考查了对顶角相等和量角器的度量的方法，掌握这些知识点是解题的关键．
2．（2023 青海）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝140°，则∠AOC的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】A
【点拨】由邻补角的性质：邻补角互补，即可求解．
【解析】解：∵∠AOD+∠AOC＝180°，∠AOD＝140°，
∴∠AOC＝180°﹣∠AOD＝40°．
故选：A．
【点睛】本题考查邻补角，关键是掌握邻补角的性质．
3．（2022 苏州）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝75°，∠1＝25°，则∠2的度数是（　　）
A．25° B．30° C．40° D．50°
【答案】D
【点拨】先求出∠BOD的度数，再根据角的和差关系得结论．
【解析】解：∵∠AOC＝75°，
∴∠AOC＝∠BOD＝75°．
∵∠1＝25°，∠1+∠2＝∠BOD，
∴∠2＝∠BOD﹣∠1
＝75°﹣25°
＝50°．
故选：D．
【点睛】本题考查了角的和差关系，掌握“对顶角相等”是解决本题的关键．
4．（2021 益阳）如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OC恰好平分∠EOB，则∠AOD＝　60　度．
【答案】60．
【点拨】根据角平分线的定义得出∠AOE＝∠COE，∠COE＝∠BOC，求出∠AOE＝∠COE＝∠BOC，根据∠AOE+∠COE+∠BOC＝180°求出∠BOC，再根据对顶角相等求出答案即可．
【解析】解：∵OE是∠AOC的平分线，OC恰好平分∠EOB，
∴∠AOE＝∠COE，∠COE＝∠BOC，
∴∠AOE＝∠COE＝∠BOC，
∵∠AOE+∠COE+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOD＝∠BOC＝60°，
故答案为：60．
【点睛】本题考查了邻补角、对顶角，角平分线的定义等知识点，注意：①邻补角互补，②从角的顶点出发的一条射线，如果把这个角分成相等的两个角，那么这条射线叫这个角的平分线，③对顶角相等．
5．（2020 北京）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5
【答案】A
【点拨】根据对顶角定义和外角的性质逐个判断即可．
【解析】解：A．∵∠1和∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，
故A正确；
B．∵∠2是△AOD的外角，
∴∠2＞∠3，
故B错误；
C．∵∠1＝∠4+∠5，
故C错误；
D．∵∠2是△BOC的外角，
∴∠2＞∠5；
故D错误；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了对顶角的性质和三角形外角的性质，能熟记对顶角的性质是解此题的关键．
类型二 垂线的性质
1．（2023 临沂）在同一平面内，过直线l外一点P作l的垂线m，再过P作m的垂线n，则直线l与n的位置关系是（　　）
A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定
【答案】C
【点拨】根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，即可得出答案．
【解析】解：∵l⊥m，n⊥m，
∴l∥n．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂线和平行线，熟练掌握同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行是关键．
2．（2023 江西）如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC＝35°，则∠OBD的度数为（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【点拨】利用光的反射得∠BOD＝∠AOC＝35°，根据垂直的定义得∠ODB＝90°，再利用三角形内角和即可得出答案．
【解析】解：∵∠AOC＝35°，
∴∠BOD＝∠AOC＝35°，
∵PD⊥CD，
∴∠ODB＝90°，
∴∠OBD＝180°﹣90°﹣35°＝55°．
故选：C．
【点睛】本题考查垂线，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握垂直的定义和性质．
3．（2022 河南）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（　　）
A．26° B．36° C．44° D．54°
【答案】B
【点拨】首先利用垂直的定义得到∠COE＝90°，然后利用平角的定义即可求解．
【解析】解：∵EO⊥CD，
∴∠COE＝90°，
∵∠1+∠COE+∠2＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠COE＝180°﹣54°﹣90°＝36°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂直的定义和平角的性质计算，要注意领会由垂直得直角这一要点．
4．（2020 孝感）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为点O．若∠BOE＝40°，则∠AOC的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．140°
【答案】B
【点拨】直接利用垂直的定义结合对顶角的性质得出答案．
【解析】解：∵OE⊥CD，
∴∠EOD＝90°，
∵∠BOE＝40°，
∴∠BOD＝90°﹣40°＝50°，
∴∠AOC＝∠BOD＝50°．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了垂线以及对顶角，正确得出∠BOD的度数是解题关键．
5．（2020 乐山）如图，E是直线CA上一点，∠FEA＝40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF．则∠GEB＝（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】B
【点拨】根据平角的定义得到∠CEF＝180°﹣∠FEA＝180°﹣40°＝140°，由角平分线的定义可得，由GE⊥EF可得∠GEF＝90°，可得∠CEG＝180°﹣∠AEF﹣∠GEF＝180°﹣40°﹣90°＝50°，由∠GEB＝∠CEB﹣∠CEG可得结果．
【解析】解：∵∠FEA＝40°，GE⊥EF，
∴∠CEF＝180°﹣∠FEA＝180°﹣40°＝140°，∠CEG＝180°﹣∠AEF﹣∠GEF＝180°﹣40°﹣90°＝50°，
∵射线EB平分∠CEF，
∴，
∴∠GEB＝∠CEB﹣∠CEG＝70°﹣50°＝20°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是角平分线定义，补角的相关知识，熟练掌握角平分线的性质是解答此题的关键．
6．（2022 泸州）如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，点B在直线b上，AB⊥AC，若∠1＝130°，则∠2的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．70°
【答案】B
【点拨】首先利用平行线的性质得到∠1＝∠DAC，然后利用AB⊥AC得到∠BAC＝90°，最后利用角的和差关系求解．
【解析】解：如图所示，
∵直线a∥b，
∴∠1＝∠DAC，
∵∠1＝130°，
∴∠DAC＝130°，
又∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠2＝∠DAC﹣∠BAC＝130°﹣90°＝40°．
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确平行线的性质，求出∠DAC的度数．
7．（2023 金昌）如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC＝50°时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC＝（　　）
A．60° B．70° C．80° D．85°
【答案】B
【点拨】根据BM⊥CD，得∠CBM＝90°，所以∠ABE+∠FBM＝40°，再根据∠ABE＝∠FBM，得∠ABE＝∠FBM＝20°，即可得∠EBC＝20°+50°＝70°．
【解析】解：如图，
∵BM⊥CD，
∴∠CBM＝90°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠ABE+∠FBM＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
∵∠ABE＝∠FBM，
∴∠ABE＝∠FBM＝20°，
∴∠EBC＝20°+50°＝70°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂线和角的计算，解题的关键是熟练掌握垂线的性质等知识．
类型三 同位角、内错角、同旁内角
1．（2022 青海）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（　　）
A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、对顶角
C．对顶角、同位角、同旁内角 D．同位角、内错角、同旁内角
【答案】D
【点拨】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；
两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；
两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．
【解析】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知
第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．
故选：D．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们．
2．（2022 贺州）如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（　　）
A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠2与∠3 D．∠3与∠4
【答案】B
【点拨】同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角．
【解析】解：根据同位角、邻补角、对顶角的定义进行判断，
A、∠1和∠2是对顶角，故A错误；
B、∠1和∠3是同位角，故B正确；
C、∠2和∠3是内错角，故C错误；
D、∠3和∠4是邻补角，故D错误．
故选：B．
【点睛】解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
3．（2021 百色）如图，与∠1是内错角的是（　　）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【答案】C
【点拨】根据内错角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角找出即可．
【解析】解：根据内错角的定义，∠1的内错角是∠4．
故选：C．
【点睛】本题考查了“三线八角”问题，确定三线八角的关键是从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
4．（2021 贺州）如图，下列两个角是同旁内角的是（　　）
A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠1与∠4 D．∠2与∠4
【答案】B
【点拨】根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐个判断即可．
【解析】解：A、∠1与∠2是内错角，不是同旁内角，故本选项不符合题意；
B、∠1与∠3是同旁内角，故本选项符合题意；
C、∠1与∠4是对顶角，不是同旁内角，故本选项不符合题意；
D、∠2与∠4是同位角，不是同旁内角，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了对顶角，同位角、内错角、同旁内角的定义，能熟记同位角、内错角、同旁内角的定义的内容是解此题的关键．
类型四 平行线的判定
1．（2022 吉林）如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据可以简单说成（　　）
A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行
【答案】D
【点拨】由平行的判定求解．
【解析】解：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的判定，解题关键是掌握平行线的判定方法．
2．（2020 郴州）如图，直线a，b被直线c，d所截．下列条件能判定a∥b的是（　　）
A．∠1＝∠3 B．∠2+∠4＝180° C．∠4＝∠5 D．∠1＝∠2
【答案】D
【点拨】直接利用平行线的判定方法进而分析得出答案．
【解析】解：A、当∠1＝∠3时，c∥d，故此选项不合题意；
B、当∠2+∠4＝180°时，c∥d，故此选项不合题意；
C、当∠4＝∠5时，c∥d，故此选项不合题意；
D、当∠1＝∠2时，a∥b，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握判定方法是解题关键．
3．（2020 梧州）如图，已知直线a，b被直线c所截，下列条件不能判断a∥b的是（　　）
A．∠2＝∠6 B．∠2+∠3＝180° C．∠1＝∠4 D．∠5+∠6＝180°
【答案】D
【点拨】根据同位角相等，内错角相等，同旁内角互补来判定两直线平行
【解析】解：A，∠2和∠6是内错角，内错角相等两直线平行，能判定a∥b，不符合题意；
B，∠2+∠3＝180°，∠2和∠3是同旁内角，同旁内角互补两直线平行，能判定a∥b，不符合题意；
C，∠1＝∠4，由图可知∠1与∠2是对顶角，∴∠1＝∠2＝∠4，∠2和∠4互为同位角，能判定a∥b，不符合题意；
D，∠5+∠6＝180°，∠5和∠6是邻补角，和为180°，不能判定a∥b，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，结合平行线判定的条件是解决这道题的关键．
4．（2023 苏州）如图，在正方形网格内，线段PQ的两个端点都在格点上，网格内另有A，B，C，D四个格点，下面四个结论中，正确的是（　　）
A．连接AB，则AB∥PQ B．连接BC，则BC∥PQ
C．连接BD，则BD⊥PQ D．连接AD，则AD⊥PQ
【答案】B
【点拨】根据平行的本质是平移，将线段AB、线段BC平移至线段PQ上，若重合则平行，若不重合则不平行．延长线段DB、线段DA与线段PQ相交，观察所成的角是否为直角判定是否垂直．
【解析】解：连接AB，将点A平移到点P，即为向上平移3个单位，将点B向上平移3个单位后，点B不在PQ直线上，
∴AB与PQ不平行，选项A错误，
连接BC，将点B平移到点P，即为向上平移4个单位，再向右平移1个单位，将点C按点B方式平移后，点C在PQ直线上，
∴BC∥PQ，选项B正确，
连接BD、AD，并延长与直线PQ相交，
根据垂直的意义，BD、AD与PQ不垂直，
选项C、D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了学生在网格中的数形结合的能力，明确平行的本质是平移，将线段平移后观察是否重合从而判定是否平行是解决本题的关键．
5．（2022 台州）如图，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（　　）
A．∠2＝90° B．∠3＝90° C．∠4＝90° D．∠5＝90°
【答案】C
【点拨】根据平行线的判定逐项分析即可得到结论．
【解析】解：A．由∠2＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；
B．由∠3＝90°＝∠1，可判定两枕木平行，故该选项不符合题意；
C．∵∠1＝90°，∠4＝90°，
∴∠1＝∠4，
∴两条铁轨平行，故该选项符合题意；
D．由∠5＝90°不能判定两条铁轨平行，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解决问题的关键．
6．（2021 兰州）将一副三角板如图摆放，则 　BC　∥　ED　，理由是 　内错角相等，两直线平行　．
【答案】BC；ED；内错角相等，两直线平行．
【点拨】根据“内错角相等，两直线平行”即可得解．
【解析】解：根据题意得出，∠ACB＝90°，∠DEF＝90°，
∴∠ACB＝∠DEF，
∴BC∥ED．
故答案为：BC；ED；内错角相等，两直线平行．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．
7．（2021 桂林）如图，直线a，b被直线c所截，当∠1 　＝　∠2时，a∥b．（用“＞”，“＜”或“＝”填空）
【答案】＝
【点拨】由图形可知∠1 与∠2是同位角，只需这两个同位角相等，便可得到a∥b．
【解析】解：要使a∥b，只需∠1＝∠2．
即当∠1＝∠2时，
a∥b（同位角相等，两直线平行）．
故答案为＝．
【点睛】此题考查了平行线的判定．难度不大，注意掌握同位角、内错角、同旁内角的识别．
类型五 平行线的性质
1．（2023 泸州）如图，AB∥CD，若∠D＝55°，则∠1的度数为（　　）
A．125° B．135° C．145° D．155°
【答案】A
【点拨】设∠1的对顶角为∠2，由AB∥CD，利用“两直线平行，同旁内角互补”，可求出∠2的度数，再利用对顶角相等，即可得出∠1的度数．
【解析】解：如图，设∠1的对顶角为∠2．
∵AB∥CD，∠D＝55°，
∴∠2＝180°﹣∠D＝180°﹣55°＝125°，
∴∠1＝125°．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
2．（2023 广西）如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，∠A＝130°，那么∠B的度数是（　　）
A．160° B．150° C．140° D．130°
【答案】D
【点拨】由平行线的性质，即可得到∠B＝∠A＝130°．
【解析】解：∵公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，
∴AC∥BD，
∴∠B＝∠A＝130°．
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的性质，关键是由题意得到AC∥BD．
3．（2023 齐齐哈尔）如图，直线l1∥l2，分别与直线l交于点A，B，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝45°，则∠2的度数是（　　）
A．135° B．105° C．95° D．75°
【答案】B
【点拨】依据l1∥l2，即可得到∠1＝∠3＝45°，再根据∠4＝30°，即可得出从∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝105°．
【解析】解：如图，∵l1∥l2，
∴∠1＝∠3＝45°，
又∵∠4＝30°，
∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，角度的计算，解本题的关键是利用平行线的性质．
4．（2023 东营）如图，AB∥CD，点E在线段BC上（不与点B，C重合），连接DE．若∠D＝40°，∠BED＝60°，则∠B＝（　　）
A．10° B．20° C．40° D．60°
【答案】B
【点拨】利用平行线的性质及外角计算即可．
【解析】解：∵∠C+∠D＝∠BED＝60°，
∴∠C＝60°﹣∠D＝60°﹣40°＝20°．
又∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C＝20°．
故选：B．
【点睛】本题简单地考查了平行线的性质，知识点比较基础，一定要掌握．
5．（2023 陕西）如图，l∥AB，∠A＝2∠B．若∠1＝108°，则∠2的度数为（　　）
A．36° B．46° C．72° D．82°
【答案】A
【点拨】由对顶角相等可得∠3＝∠1＝108°，再由平行线的性质可求得∠A＝72°，∠B＝∠2，结合已知条件可求得∠B，即可求解．
【解析】解：如图，
∵∠1＝108°，
∴∠3＝∠1＝108°，
∵l∥AB，
∴∠3+∠A＝180°，∠2＝∠B，
∴∠A＝180°﹣∠3＝72°，
∵∠A＝2∠B，
∴∠B＝36°，
∴∠2＝36°．
故选：A．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
6．（2023 山西）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为（　　）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】C
【点拨】由平行线的性质求出∠OFB＝25°，由对顶角的性质得到∠POF＝∠2＝30°，由三角形外角的性质即可求出∠3的度数．
【解析】解：∵AB∥OF，
∴∠1+∠OFB＝180°，
∵∠1＝155°，
∴∠OFB＝25°，
∵∠POF＝∠2＝30°，
∴∠3＝∠POF+∠OFB＝30°+25°＝55°．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出∠OFB的度数，由对顶角的性质得到∠POF的度数，由三角形外角的性质即可解决问题．
7．（2023 青岛）如图，直线a∥b，∠1＝63°，∠B＝45°，则∠2的度数为（　　）
A．105° B．108° C．117° D．135°
【答案】B
【点拨】过点B作直线c∥a，则∠1+∠MBA＝180°，由此可得∠MBD＝72°，再证直线c∥b，则∠2+∠MBD＝180°，由此可得∠MBD的度数．
【解析】解：过点B作直线c∥a，如图所示：
∴∠1+∠MBA＝180°，
即∠1+∠MBD+∠ABD＝180°，
∵∠1＝63°，∠ABD＝45°，
∴63°+∠MBD+45°＝180°，
∴∠MBD＝72°，
∵直线a∥b，直线c∥a，
∴直线c∥b，
∴∠2+∠MBD＝180°，
∴∠MBD＝180°﹣∠2＝180°﹣72°＝108°．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，正确的作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键．
8．（2023 凉山州）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1＝45°，∠2＝120°，则∠3+∠4＝（　　）
A．165° B．155° C．105° D．90°
【答案】C
【点拨】由平行线的性质可得∠3＝∠1＝45°，∠4＝60°，从而可求解．
【解析】解：∵在水中平行的光线，在空气中也是平行的，∠1＝45°，∠2＝120°，
∴∠3＝∠1＝45°，
∵水面与杯底面平行，
∴∠4＝180°﹣∠2＝60°，
∴∠3+∠4＝105°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
9．（2023 金华）如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝50°，则∠4的度数是（　　）
A．120° B．125° C．130° D．135°
【答案】C
【点拨】由同位角相等两直线平行得到a与b平行，再由两直线平行同旁内角互补，求出∠5的度数，根据对顶角相等即可求出∠4的度数．
【解析】解：∵∠1＝∠3＝50°，
∴a∥b，
∴∠5+∠2＝180°，
∵∠2＝50°，
∴∠5＝130°，
∴∠4＝∠5＝130°．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
10．（2023 武汉）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE．
（1）求证：∠E＝∠ECD；
（2）若∠E＝60°，CE平分∠BCD，直接写出△BCE的形状．
【答案】（1）证明见解析；（2）△BCE是等边三角形，理由见解析．
【点拨】（1）由平行线的性质得到∠EAD＝∠B．而∠B＝∠D，因此∠EAD＝∠D．推出BE∥CD，得到∠E＝∠ECD．
（2）由平行线的性质，角平分线定义得到∠BCE＝60°，由三角形内角和定理得到∠B＝60°，即可推出△BCE是等边三角形．
【解析】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠B，
∵∠B＝∠D，
∴∠EAD＝∠D，
∴BE∥CD，
∴∠E＝∠ECD．
（2）解：△BCE是等边三角形，理由如下：
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠ECD，
∵EB∥CD，
∴∠ECD＝∠E＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠E﹣∠BCE＝60°，
∴∠B＝∠BCE＝∠E，
∴△BCE是等边三角形．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，等边三角形的判定，关键是由平行线的性质推出BE∥CD．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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