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备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）
专题17 等腰（等边）三角形问题
考点扫描☆聚焦中考
等腰（等边）三角形问题近几年各地中考主要以填空题或选择题考查，也有解答题出现，难度系数小，较简单，属于低档题；考查的知识点主要有：等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、线段的垂直平分线的性质；考查热点主要有：等腰三角形性质与判定、等边三角形性质与判定、线段垂直平分线的性质.
考点剖析☆典型例题
例1 （2023 宿迁）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（　　）
A．70° B．45° C．35° D．50°
例2（2020 青海）已知a，b，c为△ABC的三边长．b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|x﹣4|＝2的解，则△ABC的形状为　　三角形．
例3（2023 益阳）如图，AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点E，F，CD上有一点G且GE＝GF，∠1＝122°，求∠2的度数．
例4（2023 绵阳）如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝，则AB＝（　　）
A． B．6 C．8 D．
例5（2021 宁夏）如图，在 ABCD中，AD＝4，对角线BD＝8，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF，交对角线BD于点G，连接GA，GA恰好垂直于边AD，则GA的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
考点过关☆专项突破
类型一 等腰三角形的性质与判定
1．（2023 南京）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
2．（2023 眉山）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为（　　）
A．70° B．100° C．110° D．140°
3．（2023 内蒙古）如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，则∠2的度数为（　　）
A．32° B．58° C．74° D．75°
4．（2023 菏泽）△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
5．（2022 宁波）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点．若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为（　　）
A．2 B．3 C．2 D．4
6．（2023 重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为 　　．
7．（2023 西宁）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADB的度数是 　　．
8．（2023 山西）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，则AD的长为 　　．
9．（2022 温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：∠EBD＝∠EDB．
（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
10．（2023 烟台）如图，点C为线段AB上一点，分别以AC，BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE．在线段EC上取一点F，使EF＝AD，连接BF，DE．
（1）如图1，求证：DE＝BF；
（2）如图2，若AD＝2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长．
类型二 等边三角形的性质与判定
1．（2023 金昌）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
2．（2022 绵阳）下列关于等边三角形的描述不正确的是（　　）
A．是轴对称图形 B．对称轴的交点是其重心
C．是中心对称图形 D．绕重心顺时针旋转120°能与自身重合
3．（2022 鞍山）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（　　）
A．80° B．70° C．60° D．50°
4．（2023 滨州）已知点P是等边△ABC的边BC上的一点，若∠APC＝104°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的大小为（　　）
A．14° B．16° C．24° D．26°
5．（2019 铜仁市）如图，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°，点E、F分别在边DC、BC上，且CE＝CD，CF＝CB，则S△CEF＝（　　）
A． B． C． D．
6．（2022 张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△BOC的面积之和为（　　）
A． B． C． D．
7．（2020 台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是　　．
8．（2023 雅安）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠C＝60°，AE∥CD交BC于点E，BC＝8，AE＝6，则AB的长为 　　．
9．（2023 凉山州）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是 　　．
10．（2023 武汉）如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF相交于G，H两点．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的长是 　　．
类型三 线段垂直平分线的性质
1．（2023 青海）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是 　　．
2．（2023 丽水）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，则DC的长是 　　．
3．（2022 青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是 　　．
4．（2021 淮安）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（2022 宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（　　）
A．25 B．22 C．19 D．18
6．（2022 湖北）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：
①四边形AECF是菱形； ②∠AFB＝2∠ACB； ③AC EF＝CF CD；
④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．
其中正确结论的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（2021 河北）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（　　）
A．0 B．5 C．6 D．7
8．（2021 长沙）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE．
（1）求证：∠B＝∠ACB；
（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．
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专题17 等腰（等边）三角形问题
考点扫描☆聚焦中考
等腰（等边）三角形问题近几年各地中考主要以填空题或选择题考查，也有解答题出现，难度系数小，较简单，属于低档题；考查的知识点主要有：等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、线段的垂直平分线的性质；考查热点主要有：等腰三角形性质与判定、等边三角形性质与判定、线段垂直平分线的性质.
考点剖析☆典型例题
例1 （2023 宿迁）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（　　）
A．70° B．45° C．35° D．50°
【答案】C
【点拨】根据等腰三角形的性质进行计算，即可解答．
【解析】解：当等腰三角形的顶角为110°时，则它的底角＝＝35°，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理是解题的关键．
例2（2020 青海）已知a，b，c为△ABC的三边长．b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|x﹣4|＝2的解，则△ABC的形状为　等腰　三角形．
【答案】等腰
【点拨】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b，c的值，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而判断出其形状．
【解析】解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，
解得：b＝2，c＝3，
∵a为方程|x﹣4|＝2的解，
∴a﹣4＝±2，
解得：a＝6或2，
∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，
∴a＝6不合题意，舍去，
∴a＝2，
∴a＝b＝2，
∴△ABC是等腰三角形，
故答案为：等腰．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出a的值是解题关键．
例3（2023 益阳）如图，AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点E，F，CD上有一点G且GE＝GF，∠1＝122°，求∠2的度数．
【答案】64．
【点拨】由平行线的性质可得∠MFD的度数，再根据补角定义得∠GEF的度数，最后由三角形内角和定理可得答案．
【解析】解：∵AB∥CD，
∴∠MFD＝∠1＝122°，∠MFD＝∠AEF，∠2＝∠AEG，
∵GE＝GF，
∴∠GFE＝∠GEF＝180°﹣∠MFD＝180°﹣122°＝58°，
∴∠2＝180°﹣58°﹣58°＝64°．
【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质、平行线的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
例4（2023 绵阳）如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝，则AB＝（　　）
A． B．6 C．8 D．
【答案】C
【点拨】先由等边三角形的性质，得BD⊥AC，AD＝CD＝AC，∠ABD＝∠CBD＝30°，再根据CE＝CD，得∠E＝∠CDE，进而得∠CBD＝∠E＝30°，则BD＝DE＝4，然后在Rt△ABD中，由勾股定理求出AB即可．
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD是AC边上的中线，
∴BD⊥AC，AD＝CD＝AC，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴AB＝2AD，
∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E，
∴60°＝2∠E，
∴∠E＝30°，
∠CBD＝∠E＝30°，
∴BD＝DE＝4，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2﹣AD2＝BD2，
即（2AD）2﹣AD2＝（4）2，
解得：AD＝4，
∴AB＝2AD＝8．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
例5（2021 宁夏）如图，在 ABCD中，AD＝4，对角线BD＝8，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF，交对角线BD于点G，连接GA，GA恰好垂直于边AD，则GA的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【点拨】根据线段垂直平分线的性质得到AG＝BG，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解析】解：设BG＝x，则DG＝8﹣x，
由作图可知：EF是线段AB的垂直平分线，
∴AG＝BG＝x，
在Rt△DAG中，AD2+AG2＝DG2，即42+x2＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，即AG＝3，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质求出AG＝BG是解题的关键．
考点过关☆专项突破
类型一 等腰三角形的性质与判定
1．（2023 南京）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【点拨】根据等腰三角形的性质及三角形三边关系求解即可．
【解析】解：∵等腰三角形的腰长为3，
∴3﹣3＜等腰三角形的底长＜3+3，
即0＜等腰三角形的底长＜6，
∴6＜等腰三角形的周长＜12，
故选：B．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
2．（2023 眉山）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠ACD的度数为（　　）
A．70° B．100° C．110° D．140°
【答案】C
【点拨】根据等边对等角得到∠B＝∠ACB，利用三角形内角和定理求出∠B的度数，再根据三角形外角的性质即可求出∠ACD的度数．
【解析】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠A＝40°，
∴∠B＝∠ACB＝，
∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝40°+70°＝110°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握等腰三角形的性质：等边对等角．
3．（2023 内蒙古）如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，则∠2的度数为（　　）
A．32° B．58° C．74° D．75°
【答案】C
【点拨】由CA＝CB可得△ABC是等腰三角形，从而可求∠CBA的大小，再结合平行线的性质即可解答．
【解析】解：∵CA＝CB，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠CBA＝∠CAB＝（180°﹣32°）÷2＝74°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠CBA＝74°．
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和平行线的性质，熟练掌握性质是解题关键．
4．（2023 菏泽）△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【点拨】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由 a2+b2＝c2 的关系，可推导得到△ABC为直角三角形．
【解析】解：由题意得，
解得，
∵a2+b2＝c2，且a＝b，
∴△ABC为等腰直角三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了非负性和勾股定理的逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负 数均为0，和勾股定理逆定理．
5．（2022 宁波）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点．若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为（　　）
A．2 B．3 C．2 D．4
【答案】D
【点拨】根据三角形中位线可以求得AE的长，再根据AE＝AD，可以得到AD的长，然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD的长．
【解析】解：∵D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF＝2，
∴AE＝2DF＝4，
∵AE＝AD，
∴AD＝4，
在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，
∴BD＝AC＝AD＝4，
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本题的关键是求出AD的长．
6．（2023 重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为 　4　．
【答案】4．
【点拨】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，在Rt△ABD中，根据勾股定理即可求出AD的长．
【解析】解：∵AB＝AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝5，BC＝6，
∴BD＝CD＝3，
在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AD＝＝＝4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，涉及勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
7．（2023 西宁）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADB的度数是 　90°或50°　．
【答案】90°或50°
【点拨】首先根据等腰三角形的性质求出∠B＝∠C＝40°，然后分两种情况进行讨论：①∠ADB＝90°；②∠BAD＝90°，进而根据三角形的内角和定理求出∠ADB的度数即可．
【解析】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝40°，
∵△ABD为直角三角形，
∴有以下两种情况：
①∠ADB＝90°，
②∠BAD＝90°，
此时∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠B＝180°﹣90°﹣40°＝50°．
∴若△ABD为直角三角形，则∠ADB的度数是90°或50°．
故答案为：90°或50°．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角的定理，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角的定理是解答此题的关键；分类讨论是解答此题的难点，也是易错点之一．
8．（2023 山西）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，则AD的长为 　　．
【答案】．
【点拨】过A作AH⊥BC于H，延长AD，BC于E，根据等腰三角形的性质得出BH＝HC＝BC＝3，根据勾股定理求出AH＝＝4，证明∠CBD＝∠CED，得到DB＝DE，根据等腰三角形的性质得出CE＝BC＝6，证明CD∥AH，得到＝，求出CD＝，根据勾股定理求出DE＝＝＝，根据CD∥AH，得到＝，即＝，求出结果即可．
【解析】解：过A作AH⊥BC于H，延长AD，BC于E，如图所示：
则∠AHC＝∠AHB＝90°，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BH＝HC＝BC＝3，
∴AH＝＝4，
∵∠ADB＝∠CBD+∠CED，∠ADB＝2∠CBD，
∴∠CBD＝∠CED，
∴DB＝DE，
∵∠BCD＝90°，
∴DC⊥BE，
∴CE＝BC＝6，
∴EH＝CE+CH＝9，
∴＝，
∵DC⊥BE，AH⊥BC，
∴CD∥AH，
∴，
∴，
解得AD＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
9．（2022 温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）求证：∠EBD＝∠EDB．
（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；
（2）CD＝ED，理由见解析．
【点拨】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；
（2）利用平行线的性质可得∠ADE＝∠AED，则AD＝AE，从而有CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，可知BE＝DE，等量代换即可．
【解析】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠EBD，
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB．
（2）解：CD＝ED，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴CD＝BE，
由（1）得，∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∴CD＝ED．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键．
10．（2023 烟台）如图，点C为线段AB上一点，分别以AC，BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE．在线段EC上取一点F，使EF＝AD，连接BF，DE．
（1）如图1，求证：DE＝BF；
（2）如图2，若AD＝2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长．
【答案】（1）见解析；
（2）BE的长为2+2．
【点拨】（1）根据等腰三角形的性质得出∠A＝∠DCA，∠ECB＝∠CBE，CE＝BE，进而得出AD∥CE，得出∠ADC＝∠DCE，即可证得△DCE≌△FEB（SAS），得出DE＝BF；
（2）作GH∥CD，交CE于H，即可证得DG＝EG，GH∥BE，根据三角形中位线定理求得GH＝1，设CE＝BE＝m，则EH＝，FH＝，根据三角形相似的性质得到，解得m＝2+2．
【解析】（1）证明：∵△ACD、△BCE分别是以AC，BC为底边的等腰三角形，
∴∠A＝∠DCA，∠ECB＝∠CBE，CE＝BE，
∵∠A＝∠CBE，
∴∠A＝∠ECB，∠ADC＝∠CEB，
∴AD∥CE，
∴∠ADC＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠CEB，
∵EF＝AD，CE＝BE，
∴△DCE≌△FEB（SAS），
∴DE＝BF；
（2）解：∵∠A＝∠DCA，∠ECB＝∠CBE，CE＝BE，
∵∠DCA＝∠CBE，
∴∠A＝∠ECB，
∴DC∥BE，
作GH∥CD，交CE于H，
∵DG＝EG，GH∥CD，
∴CH＝EH，
∵AD＝2，AD＝CD，
∴CD＝2，
∴GH＝，
设CE＝BE＝m，
∴EH＝，
∵EF＝AD＝2，
∴FH＝，
∵GH∥BE，
∴△GHF∽△BEF，
∴，即，
解得m＝2+2或m＝2﹣2（舍去），
∴BE的长为2+2．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，作出辅助线构建向上三角形是解题的关键．
类型二 等边三角形的性质与判定
1．（2023 金昌）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】C
【点拨】根据等边三角形的性质可得∠ABC＝60°，根据等边三角形三线合一可得∠CBD＝30°，再根据作图可知BD＝ED，进一步可得∠DEC的度数．
【解析】解：在等边△ABC中，∠ABC＝60°，
∵BD是AC边上的高，
∴BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC＝30°，
∵BD＝ED，
∴∠DEC＝∠CBD＝30°，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
2．（2022 绵阳）下列关于等边三角形的描述不正确的是（　　）
A．是轴对称图形 B．对称轴的交点是其重心
C．是中心对称图形 D．绕重心顺时针旋转120°能与自身重合
【答案】C
【点拨】根据等边三角形的性质，轴对称图形的定义，中心对称图形的定义进行判断即可．
【解析】解：等边三角形是轴对称图形，每条边的高线所在的直线是其对称轴，
故A选项不符合题意；
三条高线的交点为等边三角形的重心，
∴对称轴的交点是其重心，
故B选项不符合题意；
等边三角形不是中心对称图形，
故C选项符合题意；
等边三角形绕重心顺时针旋转120°能与自身重合，
故D选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，轴对称图形，中心对称图形等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
3．（2022 鞍山）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（　　）
A．80° B．70° C．60° D．50°
【答案】A
【点拨】先根据等边三角形的性质得到∠A＝60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3＝80°，然后根据平行线的性质得到∠1的度数．
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠A+∠3+∠2＝180°，
∴∠3＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝80°．
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了平行线的性质．
4．（2023 滨州）已知点P是等边△ABC的边BC上的一点，若∠APC＝104°，则在以线段AP，BP，CP为边的三角形中，最小内角的大小为（　　）
A．14° B．16° C．24° D．26°
【答案】B
【点拨】过点P作PD∥AB交AC于点D，过点PE∥AC交AB于点E，四边形AEPD为平行四边形，根据平行线的性质易得△CDP为等边三角形，△BEP为等边三角形，则CP＝DP＝AE，BP＝EP，因此△AEP就是以线段AP，BP，CP为边的三角形，求出△AEP的三个内角即可求解．
【解析】解：如图，过点P作PD∥AB交AC于点D，过点PE∥AC交AB于点E，
则四边形AEPD为平行四边形，
∴DP＝AE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝∠BAC＝60°，
∵PD∥AB，
∴∠CPD＝∠B＝60°，∠CDP＝∠BAC＝60°，
∴△CDP为等边三角形，
∴CP＝DP＝CD，
∴CP＝DP＝AE，
∵PE∥AC，
∴∠BEP＝∠BAC＝60°，∠BPE＝∠C＝60°，
∴△BEP为等边三角形，
∴BP＝EP＝BE，
∴△AEP就是以线段AP，BP，CP为边的三角形，
∵∠APC＝104°，
∴∠APB＝180°﹣∠APC＝76°，
∴∠APE＝∠APB﹣∠BPE＝16°，
∠PAE＝∠APC﹣∠B＝44°，
∠AEP＝180°﹣∠BEP＝120°，
∴以线段AP，BP，CP为边的三角形的三个内角分别为16°、44°、120°，
∴最小内角的大小为16°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、三角形外角性质，根据题意正确画出图形，推理论证得到△AEP就是以线段AP，BP，CP为边的三角形是解题关键．
5．（2019 铜仁市）如图，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°，点E、F分别在边DC、BC上，且CE＝CD，CF＝CB，则S△CEF＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【点拨】根据菱形的性质以及已知数据可证得△CEF为等边三角形且边长为，代入等边三角形面积公式即可求解．
【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°
∴AB＝BC＝CD＝2，∠DCB＝60°
∵CE＝CD，CF＝CB
∴CE＝CF＝
∴△CEF为等边三角形
∴S△CEF＝＝
故选：D．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，由已知条件证明三角形CEF是等边三角形是解题的关键．
6．（2022 张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△BOC的面积之和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【点拨】将△AOB绕点B顺时针旋转60°得△CDB，连接OD，可得△BOD是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可得∠COD＝90°，从而解决问题．
【解析】解：将△AOB绕点B顺时针旋转60°得△CDB，连接OD，
∴OB＝BD，∠OBD＝60°，CD＝OA＝2，
∴△BOD是等边三角形，
∴OD＝OB＝1，
∵OD2+OC2＝12+（）2＝4，CD2＝22＝4，
∴OD2+OC2＝CD2，
∴∠DOC＝90°，
∴△AOB与△BOC的面积之和为S△BOC+S△BCD＝S△BOD+S△COD＝×12+＝，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将△AOB与△BOC的面积之和转化为S△BOC+S△BCD，是解题的关键．
7．（2020 台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是　6　．
【答案】6
【点拨】根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解．
【解析】解：∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，
∴EF＝2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
又∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．
故答案为：6．
【点睛】考查了等边三角形的性质，平行线的性质，关键是证明△DEF是等边三角形．
8．（2023 雅安）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠C＝60°，AE∥CD交BC于点E，BC＝8，AE＝6，则AB的长为 　2　．
【答案】2．
【点拨】连接AC、BD交于点O，过点E作EF⊥AC，交AC于点F，先证明△BCD是等边三角形，AC垂直平分BD，求得∠EAC＝∠ACD＝∠ACB＝30°，AE＝EC＝6，再解三角形求出AO＝AC﹣CO＝2，最后运用勾股定理求得AB即可．
【解析】解：如图：连接AC、BD交于点O，过点E作EF⊥AC，交AC于点F，
又∵BC＝DC，∠C＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC＝CD＝8，
∵AB＝AD，BC＝DC，
∴AC⊥BD，BO＝DO＝BD＝4，
∴∠ACD＝∠ACB＝∠BCD＝30°，
又∵AE∥CD，
∴∠EAC＝∠ACD＝∠ACB＝30°．
∴AE＝EC＝6，
过点E作EF⊥AC，交AC于点F，
∴CF＝CE cos30°＝6×＝3，
AF＝AE cos30°＝6×＝3，
CO＝BC cos30°＝8×＝4，
∴AC＝CF+AF＝6，
∴AO＝AC﹣CO＝6﹣4＝2．
在Rt△BOA中，AB＝＝＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质、平行线的性质、垂直平分线、勾股定理、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线成为解答本题的关键．
9．（2023 凉山州）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是 　1+　．
【答案】1+．
【点拨】取AB的中点D，连接OD及DC，根据三角形的三边关系得到OC小于等于OD+DC，只有当O、D及C共线时，OC取得最大值，最大值为OD+CD，由等边三角形的边长为2，根据D为AB中点，得到BD为1，根据三线合一得到CD垂直于AB，在直角三角形BCD中，根据勾股定理求出CD的长，在直角三角形AOB中，OD为斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD等于AB的一半，由AB的长求出OD的长，进而求出DC+OD，即为OC的最大值．
【解析】解：取AB中点D，连OD，DC，
∴OC≤OD+DC，
当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD，
∵△ABC为等边三角形，D为AB中点，
∴BD＝1，BC＝2，
∴CD＝＝，
∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，
∴OD＝AB＝1，
∴OD+CD＝1+，即OC的最大值为1+．
故答案为：1+．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，其中找出OC最大时的长为CD+OD是解本题的关键．
10．（2023 武汉）如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF相交于G，H两点．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的长是 　　．
【答案】．
【点拨】根据等边三角形的性质得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，根据折叠的性质得到△BDE≌△FDE，根据已知条件得到图形ACED的面积＝S△BDE＝S△FDE，求得S△FHG＝S△ADG+S△CHE，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵折叠△BDE得到△FDE，
∴△BDE≌△FDE，
∴S△BDE＝S△FDE，∠F＝∠B＝60°＝∠A＝∠C，
∵DE平分等边△ABC的面积，
∴图形ACED的面积＝S△BDE＝S△FDE，
∴S△FHG＝S△ADG+S△CHE，
∵∠AGD＝∠FGH，∠CHE＝∠FHG，
∴△ADG∽△FHG，△CHE∽△FHG，
∴2＝，
∴，
∴GH2＝m2+n2，
解得GH＝或GH＝﹣（不合题意舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
类型三 线段垂直平分线的性质
1．（2023 青海）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是 　13　．
【答案】13．
【点拨】根据线段垂直平分线的性质得到BD＝CD，即可求解．
【解析】解：∵DE是BC的垂直平分线．
∴BD＝CD，
∴AC＝AD+CD＝AD+BD，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AC＝5+8＝13，
故答案为：13．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
2．（2023 丽水）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，则DC的长是 　4　．
【答案】4．
【点拨】根据等腰三角形的判定定理求出AD，再根据线段垂直平分线的性质求出DC．
【解析】解：∵∠B＝∠ADB，AB＝4，
∴AD＝AB＝4，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DC＝AD＝4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
3．（2022 青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是 　40°　．
【答案】40°．
【点拨】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，从而可得∠EAC＝∠C，然后利用三角形内角和定理可得∠EAC+∠C＝80°，进行计算即可解答．
【解析】解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，
∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，
∴∠EAC＝∠C＝40°，
故答案为：40°．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
4．（2021 淮安）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【点拨】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA＝4，结合图形计算，得到答案．
【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4，
∴EB＝EA＝4，
∴BC＝EB+EC＝4+2＝6，
故选：C．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
5．（2022 宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（　　）
A．25 B．22 C．19 D．18
【答案】C
【点拨】根据题意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，从而可以求得△ABD的周长．
【解析】解：由题意可得，
MN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∵△ABD的周长是AB+BD+AD，
∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，
∵AB＝7，AC＝12，
∴AB+AC＝19，
∴△ABD的周长是19，
故选：C．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6．（2022 湖北）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：
①四边形AECF是菱形； ②∠AFB＝2∠ACB； ③AC EF＝CF CD；
④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．
其中正确结论的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【点拨】根据题意分别证明各个结论来判断即可．
【解析】解：根据题意知，EF垂直平分AC，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴AE＝AF＝CF＝CE，
即四边形AECF是菱形，
故①结论正确；
∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，
∴∠FAO＝∠ACB，
∴∠AFB＝2∠ACB，
故②结论正确；
∵S四边形AECF＝CF CD＝AC OE×2＝AC EF，
故③结论不正确；
若AF平分∠BAC，则∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，
∴AF＝2BF，
∵CF＝AF，
∴CF＝2BF，
故④结论正确；
故选：B．
【点睛】本题主要考查长方形的综合题，熟练掌握长方形的性质，基本作图，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
7．（2021 河北）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（　　）
A．0 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【点拨】由对称得OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，再根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出结果．
【解析】解：连接OP1，OP2，P1P2，
∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，
∴OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，
OP1+OP2＞P1P2，
0＜P1P2＜5.6，
故选：B．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，解本题的关键熟练掌握对称性和三角形边长的关系．
8．（2021 长沙）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE．
（1）求证：∠B＝∠ACB；
（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．
【答案】（1）见证明过程；
（2）周长为16+4，面积为22．
【点拨】（1）证明AD是BC的中垂线，即可求解；
（2）利用勾股定理分别计算出BD和AE即可求出△ABE的周长和面积．
【解析】解：（1）证明：∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AD是BC的中垂线，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB；
（2）在Rt△ADB中，BD＝＝＝3，
∴BD＝CD＝3，AC＝AB＝CE＝5，
∴BE＝2BD+CE＝2×3+5＝11，
在Rt△ADE中，AE＝＝＝4，
∴C△ABE＝AB+BE+AE＝5+11+4＝16+4，
S△ABE＝＝＝22．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、勾股定理，三角形面积的计算等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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