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备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）
专题13 线段、角度的数量关系问题
考点扫描☆聚焦中考
线段、角度的数量关系问题近几年中考中主要以选择题或填空题的形式考查，题目较为简单，属于低档题；考查内容主要有：直线或线段的性质、角的相关概念；考查热点主要有：线段的中点与线段的性质相关的计算、角的相关概念及性质。
考点剖析☆典型例题
例1 （2021 台州）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线
【答案】A
【点拨】根据线段的性质，可得答案．
【解析】解：从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，理由是两点之间线段最短，
故选：A．
【点睛】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质并应用是解题的关键．
例2（2021 包头）已知线段AB＝4，在直线AB上作线段BC，使得BC＝2，若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（　　）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或3
【答案】C
【点拨】根据题意可分为两种情况，①点C在线段AB上，可计算出AC的长，再由D是线段AC的中点，即可得出答案；②BC在线段AB的延长线上，可计算出AC的长，再由D是线段AC的中点，即可得出答案．
【解析】解：根据题意分两种情况，
①如图1，
∵AB＝4，BC＝2，
∴AC＝AB﹣BC＝2，
∵D是线段AC的中点，
∴AD＝＝；
②如图2，
∵AB＝4，BC＝2，
∴AC＝AB+BC＝6，
∵D是线段AC的中点，
∴AD＝＝×6＝3．
∴线段AD的长为1或3．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了两点之间的距离，正确理解题目并进行分情况进行计算是解决本题的关键．
例3（2023 河北）淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇淇家位于西柏坡的（　　）
A．南偏西70°方向 B．南偏东20°方向 C．北偏西20°方向 D．北偏东70°方向
【答案】D
【点拨】根据题意可得：∠ABC＝70°，AB∥CD，然后利用平行线的性质可得∠ABC＝∠DCB＝70°，从而根据方向角的定义，即可解答．
【解析】解：如图：
由题意得：∠ABC＝70°，AB∥CD，
∴∠ABC＝∠DCB＝70°，
∴淇淇家位于西柏坡的北偏东70°方向，
故选：D．
【点睛】本题考查了方向角的定义，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
例4（2022 甘肃）若∠A＝40°，则∠A的余角的大小是（　　）
A．50° B．60° C．140° D．160°
【答案】A
【点拨】根据互余两角之和为90°计算即可．
【解析】解：∵∠A＝40°，
∴∠A的余角为：90°﹣40°＝50°，
故选：A．
【点睛】本题考查的是余角的定义，如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角．
考点过关☆专项突破
类型一 线段及其数量关系
1．（2021 河北）如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段m在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（　　）
A．a B．b C．c D．d
【答案】A
【点拨】利用直尺画出遮挡的部分即可得出结论．
【解析】解：利用直尺画出图形如下：
可以看出线段a与m在一条直线上．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了线段，射线，直线，利用直尺动手画出图形是解题的关键．
2．（2022 柳州）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【点拨】应用两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．进行判定即可得出答案．
【解析】解：根据题意可得，
从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是②．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了线段的性质，熟练掌握线段的性质进行求解是解决本题的关键．
3．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边
【答案】B
【点拨】由直线公理可直接得出答案．
【解析】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释应是：两点确定一条直线．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了直线的性质，要想确定一条直线，至少要知道两点．
4．（2022 桂林）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝　4　cm．
【答案】4．
【点拨】根据中点的定义可得AB＝2AC＝4cm．
【解析】解：根据中点的定义可得：AB＝2AC＝2×2＝4cm，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查中点的定义，熟知中点的定义是解题关键．
5．（2020 凉山州）点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12cm，则线段BD的长为（　　）
A．10cm B．8cm C．10cm或8cm D．2cm或4cm
【答案】C
【点拨】根据线段中点的定义和线段三等分点的定义即可得到结论．
【解析】解：∵C是线段AB的中点，AB＝12cm，
∴AC＝BC＝AB＝×12＝6（cm），
点D是线段AC的三等分点，
①当AD＝AC时，如图，
BD＝BC+CD＝BC+AC＝6+4＝10（cm）；
②当AD＝AC时，如图，
BD＝BC+CD′＝BC+AC＝6+2＝8（cm）．
所以线段BD的长为10cm或8cm，
故选：C．
【点睛】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，分类讨论思想的运用是解题的关键．
6．（2021·内蒙古·中考真题）已知线段，在直线AB上作线段BC，使得．若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或3
【答案】C
【点拨】先分C在AB上和C在AB的延长线上两种情况，分别画出图形，然后运用中点的定义和线段的和差进行计算即可．
【解析】解：如图：当C在AB上时，AC=AB-BC=2,
∴AD=AC=1

如图：当C在AB的延长线上时，AC=AB+BC=6,
∴AD=AC=3

故选C．
【点睛】本题主要考查了线段的和差、中点的定义以及分类讨论思想，灵活运用分类讨论思想成为解答本题的关键．
7．（2021 泰州）互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（　　）
A．点A在B、C两点之间 B．点B在A、C两点之间
C．点C在A、B两点之间 D．无法确定
【答案】A
【点拨】用假设法分别计算各选项中的a值，再根据a＞0判断即可．
【解析】解：∵AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，A、B、C三点互不重合
∴a＞0，
若点A在B、C之间，
则AB+AC＝BC，
即2a+1+3a＝a+4，
解得a＝，
故A情况存在，
若点B在A、C之间，
则BC+AB＝AC，
即a+4+3a＝2a+1，
解得a＝﹣，
故B情况不存在，
若点C在A、B之间，
则BC+AC＝AB，
即a+4+2a+1＝3a，
此时无解，
故C情况不存在，
∵互不重合的A、B、C三点在同一直线上，
故选：A．
【点睛】本题主要考查两点间的距离及整式的加减，分类讨论和反证法的应用是解题的关键．
8．（2021·黑龙江大庆·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有 个交点
【答案】190
【点拨】根据题目中的交点个数，找出条直线相交最多有的交点个数公式：．
【解析】解：2条直线相交有1个交点；
3条直线相交最多有个交点；
4条直线相交最多有个交点；
5条直线相交最多有个交点；
20条直线相交最多有．
故答案为：190．
【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即条直线相交最多有．
9．（2020·内蒙古赤峰·中考真题）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动.第一次从原点O起跳，落点为A1，点A1表示的数为1；第二次从点A1起跳，落点为OA1的中点A2；第三次从A2点起跳，落点为0A2的中点A3；如此跳跃下去……最后落点为OA2019的中点A2020.则点A2020表示的数为 ．
【答案】
【点拨】先根据数轴的定义、线段中点的定义分别求出点表示的数，再归纳类推出一般规律，由此即可得．
【解析】由题意得：点表示的数为
点表示的数为
点表示的数为
点表示的数为
归纳类推得：点表示的数为（n为正整数）
则点表示的数为
故答案为：．
类型二 角的相关概念及性质
1．（2023 临沂）如图中用量角器测得∠ABC的度数是（　　）
A．50° B．80° C．130° D．150°
【答案】C
【点拨】本题根据∠ABC的位置和量角器的使用方法可得出答案．
【解析】解：根据∠ABC起始位置BA，另一条边BC可得：∠ABC＝130°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了学生量角器的使用方法，结合∠ABC的位置进行思考是解题关键．
2．（2021 百色）已知∠α＝25°30′，则它的余角为（　　）
A．25°30′ B．64°30′ C．74°30′ D．154°30′
【答案】B
【点拨】根据余角的定义，两个锐角和为90°的角互余．
【解析】解：由题意得：∠α＝25°30′，
故其余角为（90°﹣∠α）＝64°30′．
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是两个角的互余，互余的两个角的和为90°．
3．（2022 陕西）若∠A＝48°，则∠A的补角的度数为（　　）
A．42° B．52° C．132° D．142°
【答案】C
【点拨】两角相加为180°，则两角互补．
【解析】解：180°﹣48°＝132°．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了补角的定义，正确把握定义是解题关键．
4．（2020 自贡）如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是（　　）
A．50° B．70° C．130° D．160°
【答案】C
【点拨】若两个角的和等于180°，则这两个角互补．结合已知条件列方程求解．
【解析】解：设这个角是x°，根据题意，得
x＝2（180﹣x）+30，
解得：x＝130．
即这个角的度数为130°．
故选：C．
【点睛】此题考查了补角的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握互补两角之和为180°．
5．（2023 北京）如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°，则∠BOC的大小为（　　）
A．36° B．44° C．54° D．63°
【答案】C
【点拨】先求出∠COD的度数，然后根据∠BOC＝∠BOD﹣∠COD，即可得出答案．
【解析】解：∵∠AOC＝90°，∠AOD＝126°，
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝36°，
∵∠BOD＝90°，
∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD
＝90°﹣36°
＝54°．
故选：C．
【点睛】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是仔细观察图形，根据角的和差首先求出∠COD的度数．
6．（2020 通辽）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【点拨】根据余角和补角的概念、结合图形进行判断即可．
【解析】解：A．∠α与∠β互余，故本选项正确；
B．∠α＝∠β，故本选项错误；
C．∠α＝∠β，故本选项错误；
D．∠α与∠β互补，故本选项错误，
故选：A．
【点睛】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．
7．（2022 烟台）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（　　）
A．北偏东70° B．北偏东75° C．南偏西70° D．南偏西20°
【答案】A
【点拨】根据题意可得∠ABC＝75°，AD∥BE，AB＝AC，再根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝75°，从而求出∠BAC的度数，然后利用平行线的性质可得∠DAB＝∠ABE＝40°，从而求出∠DAC的度数，即可解答．
【解析】解：如图：
由题意得：
∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝40°+35°＝75°，AD∥BE，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°，
∵AD∥BE，
∴∠DAB＝∠ABE＝40°，
∴∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝40°+30°＝70°，
∴小岛C相对于小岛A的方向是北偏东70°，
故选：A．
【点睛】本题考查了方向角，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
8．（2021 兴安盟）74°19′30″＝　74.325　°．
【答案】74.325
【点拨】先将30″化成“分”，再将19.5′化成“度”即可．
【解析】解：30×（）′＝0.5′，
19′+0.5′＝19.5′，
19.5×（）°＝0.325°，
74°+0.325°＝74.325°，
故答案为：74.325．
【点睛】本题考查度、分、秒的换算，掌握度、分、秒的换算进率和换算方法是得出正确答案的前提．
9．（2020 通辽）如图，点O在直线AB上，∠AOC＝53°17′28″．则∠BOC的度数是　126°42′32″　．
【答案】126°42′32″．
【点拨】依据邻补角的定义，即可得到∠BOC的度数．
【解析】解：∵点O在直线AB上，且∠AOC＝53°17′28″，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣53°17′28″＝126°42′32″，
故答案为：126°42′32″．
【点睛】本题主要考查了邻补角的定义．解题的关键是掌握邻补角的定义：如果两个角互为邻补角，那么它们的和为180°．
10．（2023 乐山）如图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，若∠AOC＝140°，则∠BOD的度数为 　20°　．
【答案】20°．
【点拨】根据邻补角定义求得∠BOC的度数，再根据角平分线定义即可求得答案．
【解析】解：∵∠AOC＝140°，
∴∠BOC＝180°﹣140°＝40°，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠BOD＝∠BOC＝20°，
故答案为：20°．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，此为几何中基础且重要知识点，必须熟练掌握．
11．（2022 湘潭）如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，则∠AEF＝　40°　．
【答案】40°．
【点拨】根据平面镜反射的规律得到∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED，在△ODE中，根据三角形内角和定理求出∠OED的度数，即可得到∠AEF＝∠OED的度数．
【解析】解：∵一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，
∴∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED，
在△ODE中，∠OED＝180°﹣∠AOB﹣∠EDO＝180°﹣120°﹣20°＝40°，
∴∠AEF＝∠OED＝40°．
故答案为：40°．
【点睛】本题考查了角的计算，根据平面镜反射的规律得到∠EDO＝∠CDB＝20°，∠AEF＝∠OED是解题的关键．
12．（2022 益阳）如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏东56°，则这两条公路的夹角∠APB＝　90　°．
【答案】90．
【点拨】根据题意可得∠APC＝34°，∠BPC＝56°，然后进行计算即可解答．
【解析】解：如图：
由题意得：
∠APC＝34°，∠BPC＝56°，
∴∠APB＝∠APC+∠BPC＝90°，
故答案为：90．
【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．
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专题13 线段、角度的数量关系问题
考点扫描☆聚焦中考
线段、角度的数量关系问题近几年中考中主要以选择题或填空题的形式考查，题目较为简单，属于低档题；考查内容主要有：直线或线段的性质、角的相关概念；考查热点主要有：线段的中点与线段的性质相关的计算、角的相关概念及性质。
考点剖析☆典型例题
例1 （2021 台州）小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线
例2（2021 包头）已知线段AB＝4，在直线AB上作线段BC，使得BC＝2，若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（　　）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或3
例3（2023 河北）淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇淇家位于西柏坡的（　　）
A．南偏西70°方向 B．南偏东20°方向 C．北偏西20°方向 D．北偏东70°方向
例4（2022 甘肃）若∠A＝40°，则∠A的余角的大小是（　　）
A．50° B．60° C．140° D．160°
考点过关☆专项突破
类型一 线段及其数量关系
1．（2021 河北）如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段m在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（　　）
A．a B．b C．c D．d
2．（2022 柳州）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
3．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边
4．（2022 桂林）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝　　cm．
5．（2020 凉山州）点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12cm，则线段BD的长为（　　）
A．10cm B．8cm C．10cm或8cm D．2cm或4cm
6．（2021·内蒙古·中考真题）已知线段，在直线AB上作线段BC，使得．若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或3
7．（2021 泰州）互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（　　）
A．点A在B、C两点之间 B．点B在A、C两点之间
C．点C在A、B两点之间 D．无法确定
8．（2021·黑龙江大庆·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有 个交点
9．（2020·内蒙古赤峰·中考真题）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动.第一次从原点O起跳，落点为A1，点A1表示的数为1；第二次从点A1起跳，落点为OA1的中点A2；第三次从A2点起跳，落点为0A2的中点A3；如此跳跃下去……最后落点为OA2019的中点A2020.则点A2020表示的数为 ．
类型二 角的相关概念及性质
1．（2023 临沂）如图中用量角器测得∠ABC的度数是（　　）
A．50° B．80° C．130° D．150°
2．（2021 百色）已知∠α＝25°30′，则它的余角为（　　）
A．25°30′ B．64°30′ C．74°30′ D．154°30′
3．（2022 陕西）若∠A＝48°，则∠A的补角的度数为（　　）
A．42° B．52° C．132° D．142°
4．（2020 自贡）如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是（　　）
A．50° B．70° C．130° D．160°
5．（2023 北京）如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°，则∠BOC的大小为（　　）
A．36° B．44° C．54° D．63°
6．（2020 通辽）如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使∠α和∠β互余的摆放方式是（　　）
A． B． C． D．
7．（2022 烟台）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（　　）
A．北偏东70° B．北偏东75° C．南偏西70° D．南偏西20°
8．（2021 兴安盟）74°19′30″＝　　°．
9．（2020 通辽）如图，点O在直线AB上，∠AOC＝53°17′28″．则∠BOC的度数是　　．
10．（2023 乐山）如图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，若∠AOC＝140°，则∠BOD的度数为 　　．
11．（2022 湘潭）如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，则∠AEF＝　　．
12．（2022 益阳）如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏东56°，则这两条公路的夹角∠APB＝　　°．
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