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浙江省24届中考之几何综合培优版（精选全省各市中考与模拟考经典真题，易错题，压轴题，适合中等生）
1．将一个正方体截一个角，得到如图所示的几何体，则这个几何体的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
2．将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为（　　）
A． B． C． D．无法确定
3．如图，在 ABCD中，点E、F分别在CD、BC的延长线上，且满足∠ABC＝∠F．若AE∥BD，AB＝4，则EF的长为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过点D作DE∥AC，交AB于E，若AB＝5，则线段DE的长为（　　）
A．2 B． C．3 D．
5．如图，点A，B在以CD为直径的半圆上，B是的中点，连结BD，AC交于点E，若∠EDC＝25°，则∠ACD的度数是（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
6．如图已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面积为（　　）
A．4πcm2 B．6πcm2 C．9πcm2 D．12πcm2
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
8．如图，在矩形ABCD中，点M为AB的中点，将△ADM沿DM所在直线翻折压平，得到△A′DM，延长DA′与BC交于点N，若BN＝2CN，AB＝2，则四边形A′MBN的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为（　　）
A．3 B．4 C．3 D．4
10．如图，在矩形ABCD中，，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE，垂足为H，连接BH并延长，交CD于点F，DE交BF于点O．有下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE．其中正确的是（　　）
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
11．一个矩形ABCD按如图1的方式分割成三个直角三角形，把较大的两个三角形纸片按图2放置，若图2中两个阴影部分面积满足＝，则图2中，下列结论错误的是（　　）
A．AM＝CM B．DN＝3NE C．tanA＝ D．MN＝2NC
12．如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，延长DC至点E，使得CE＝BC，以DE为直径的半圆O交BC延长线于点F．欧几里得在《几何原本》中利用该图得到结论：矩形ABCD的面积等于CF的平方（即S矩形ABCD＝CF2）．现连结FO并延长交AB于点G，若OF＝2OG，则△OCF与矩形ABCD的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
13．把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值为黄金分割，比值为，它被公认为是最能引起美感的比例，如图1为世界名画蒙娜丽莎．如图2，点E是正方形ABCD的AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，以AE为边作正方形AEHF，延长EH交CD于点I，连结BF交EI于点G，连结BI，则S△BCI：S△FGH为（　　）
A．1：1 B． C． D．
14．如图所示，正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，且内接于正方形FGHI，连接DE，BE＞CE．已知正方形ABCD与正方形FGHI面积之比为，若DE∥CH，则＝（　　）
A． B． C． D．
15．如图，△ABC的边CB的延长线交EF于点D，且EF∥AB．若∠BDF＝116°，∠ACB＝66°，则∠A＝　 　°．
16．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在上，则∠CFD＝　 　度．
17．为了给同学庆祝生日，小明自己动手用扇形纸片制作了一顶圆锥形生日帽，生日帽的底面圆半径r为7cm，高h为24cm，则该扇形纸片的面积为 　 　cm2．
18．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CF⊥AD的延长线于点F．且BC＝CD＝10，AB＝21，AD＝9．则AC的长为 　 　．
19．以菱形ABCD对角线BD上的点O为圆心，OD为半径作圆，与BC相交于点E，点A，C恰好都在圆O上，若OD：OB＝2：3，圆的半径r＝4，则菱形ABCD的边长为 　 　．
20．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13．点P是线段AD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 　 　．
21．点E为正方形ABCD的边AB上一点，连接DE，AC，且DE与AC相交于点M．若＝ 则sin∠CDE＝　 　．
22．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，将△ABC绕BC的中点D顺时针旋转120°得到△A'B'C'，其中点B的运动路径为，则图中阴影部分的面积为 　 　．
23．如图，一张矩形纸片ABCD中，（m为常数）．将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在BC边上的点H处，点D的对应点为点M，CD与HM交于点P．当点H落在BC的中点时，且，则m＝　 　．
24．如图，⊙O的内接四边形ABCD，AD∥BC，⊙O的直径AE与BC交于点F，连接BD．若AE∥CD，sin∠DBC＝，EF＝2，则AE的长为 　 　．
25．如图，在△ABC中，点E、F在AC上，且AE＝CF，AD∥BC，AD＝BC．
（1）求证：△EBC≌△FDA．（2）当AE＝EB，∠DFC＝130°时，求∠ABE的度数．
26．如图所示，在△ABC中，AD是边BC上的高线，CE是边AB上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE．
（1）证明：CG＝EG． （2）若AB＝10，AD＝6，求CE的长．
27．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90o，D是AB上一点，CD＝BC，过点D作DF⊥AC于点F，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E．
（1）求证：四边形DBCE是平行四边形．（2）若BD＝6，，求DE的长．
28．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝120°，△DEF为正三角形，点E，F分别在菱形的边AB，BC上滑动，且点E、F不与点A，B，C重合，BD与EF交于点G．
（1）证明：当点E，F在边AB，BC上滑动时，总有AE＝BF．
（2）当BF＝2时，求BG的长．
29．如图，已知AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，AE与BC交于点F，∠C＝2∠EAB．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）若，CA＝12，求AF的长．
30．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，连接AD．分别过点A，点C作AE∥BC，CE∥DA，交点为E．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若∠B＝60°，AB＝6，求四边形AECD的面积．
31．四边形ABCD中，点E在边AB上，连接DE，CE．
（1）如图1，若∠A＝∠B＝∠DEC＝50°，证明：△ADE∽△BEC．
（2）如图2，若四边形ABCD为矩形，AB＝5，BC＝2，且△ADE与E、B、C为顶点的三角形相似，求AE的长．
32．如图1，已知△ABC，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC＝90°，连接DE交AB于点F．
（1）探究：AF与BF的数量关系，写出你的猜想并加以证明；
（2）如图2，若∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°，题目中的其他条件不变，（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，若∠ADB＝∠BEC＝m∠ABC，题目中的其他条件不变，使得（1）中得到的结论仍然成立，请直接写出m的值．
24届中考培优中等班几何综合（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．将一个正方体截一个角，得到如图所示的几何体，则这个几何体的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
【解答】解：从上面看可得到一个正方形，正方形里面有一条撇向的实线．
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
2．将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为（　　）
A． B． C． D．无法确定
【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A发生时涉及的图形面积÷一次试验涉及的图形面积，因为这是几何概率．
【解答】解：设正六边形边长为a，则灰色部分面积为3×＝，
白色区域面积为a×＝，
所以正六边形面积为a2，
飞镖落在白色区域的概率P＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
3．如图，在 ABCD中，点E、F分别在CD、BC的延长线上，且满足∠ABC＝∠F．若AE∥BD，AB＝4，则EF的长为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】由平行四边形的性质可得AB＝CD＝4，AB∥CD，通过证明四边形ABDE是平行四边形，可得AB＝DE＝4，由等腰三角形的判定可证CE＝EF＝8．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4，AB∥CD，
∴∠ECF＝∠ABC，
又∵∠ABC＝∠F，
∴∠F＝∠ECF，
∴EF＝CE，
∵AE∥BD，AB∥CD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE＝4，
∴CE＝8＝EF，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过点D作DE∥AC，交AB于E，若AB＝5，则线段DE的长为（　　）
A．2 B． C．3 D．
【分析】求出∠CAD＝∠BAD＝∠EDA，推出AE＝DE，求出∠ABD＝∠EDB，推出BE＝DE，求出AE＝BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∵AD⊥DB，
∴∠ADB＝90°，
∴∠EAD+∠ABD＝90°，∠ADE+∠BDE＝∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴DE＝BE，
∵AB＝5，
∴DE＝BE＝AE＝AB＝2.5，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，关键是求出DE＝BE＝AE．
5．如图，点A，B在以CD为直径的半圆上，B是的中点，连结BD，AC交于点E，若∠EDC＝25°，则∠ACD的度数是（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】连接AD，由圆周角定理得到∠DAC＝90°，∠CDE＝∠EDA＝25°，由直角三角形的性质即可求出∠ACD的度数．
【解答】解：连接AD，
∵CD是圆的直径，
∴∠DAC＝90°，
∵B是的中点，
∴∠CDE＝∠EDA＝25°，
∴∠ADC＝50°，
∴∠ACD＝90°﹣∠ADC＝40°．
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，直角三角形的性质，关键是掌握圆周角定理．
6．如图已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面积为（　　）
A．4πcm2 B．6πcm2 C．9πcm2 D．12πcm2
【分析】根据圆锥的计算公式即可求出答案．
【解答】解：由弧长公式可知：＝＝4π
∴底面圆的周长为4π，
设底面圆的半径为CD＝r，
∴4π＝2πr
∴r＝2，
∴圆锥的底面积为π×22＝4π，
故选：A．
【点评】本题考查圆锥的计算，解的关键是熟练运用圆锥的计算公式，本题属于基础题型．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【分析】利用勾股定理求得AB＝10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF＝CD．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10．
又∵CD为中线，
∴CD＝AB＝5．
∵F为DE中点，BE＝BC即点B是EC的中点，
∴BF是△CDE的中位线，则BF＝CD＝2.5．
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段CD的长度和线段BF是△CDE的中位线．
8．如图，在矩形ABCD中，点M为AB的中点，将△ADM沿DM所在直线翻折压平，得到△A′DM，延长DA′与BC交于点N，若BN＝2CN，AB＝2，则四边形A′MBN的面积为（　　）
A． B． C． D．
【分析】连接MN，根据矩形的性质得出∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD＝2，AD＝BC，则AM＝BM＝，根据折叠的性质得，AD＝A′D，AM＝A′M＝BM，∠A＝∠DA′M＝90°，利用HL证明Rt△MA′N≌Rt△MBN，根据全等三角形的性质得出A′N＝BN，S△MA′N＝S△MBN，则四边形A′MBN的面积＝2S△MBN，设CN＝x，则AD＝A′D＝3x，DN＝A′D+A′N＝5x，在Rt△DCN中，根据勾股定理求出x＝1，则BN＝2，再根据三角形面积公式求解即可．
【解答】解：如图，连接MN，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD＝2，AD＝BC，
∵点M为AB的中点，
∴AM＝BM＝，
根据折叠的性质得，AD＝A′D，AM＝A′M＝BM，∠A＝∠DA′M＝90°，
又MN＝MN，
∴Rt△MA′N≌Rt△MBN（HL），
∴A′N＝BN，S△MA′N＝S△MBN，
∴四边形A′MBN的面积＝2S△MBN，
∵BN＝2CN，
∴BN＝A′N＝2x，AD＝BC＝3CN，
设CN＝x，则AD＝A′D＝3x，
∴DN＝A′D+A′N＝5x，
在Rt△DCN中，DN2＝CD2+CN2，
∴（5x）2＝+x2，
∴x＝1（负值已舍），
∴BN＝2，
∴S△MBN＝BM BN＝××2＝，
∴四边形A′MBN的面积＝2×6＝2，
故选：B．
【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质，熟记折叠的性质并求出Rt△MA′N≌Rt△MBN是解题的关键．
9．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为（　　）
A．3 B．4 C．3 D．4
【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OM的长．
【解答】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，
由垂径定理、勾股定理得：OM＝ON＝＝3，
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠DPB＝90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°
∴四边形MONP是矩形，
∵OM＝ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴OP＝3
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线．
10．如图，在矩形ABCD中，，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE，垂足为H，连接BH并延长，交CD于点F，DE交BF于点O．有下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE．其中正确的是（　　）
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【分析】①根据角平分线的定义可得∠BAE＝∠DAE＝45°，然后利用求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE＝AB，从而得到AE＝AD，然后利用“角角边”证明△ABE和△AHD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE＝DH，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE＝∠AED＝67.5°，根据平角等于180°求出∠CED＝67.5°，从而判断出①正确；
②求出∠AHB＝67.5°，∠DHO＝∠ODH＝22.5°，然后根据等角对等边可得OE＝OD＝OH，判断出②正确；
③求出∠EBH＝∠OHD＝22.5°，∠AEB＝∠HDF＝45°，然后利用“角边角”证明△BEH和△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BH＝HF，判断出③正确；
④根据全等三角形对应边相等可得DF＝HE，然后根据HE＝AE﹣AH＝BC﹣CD，BC﹣CF＝BC﹣（CD﹣DF）＝2HE，判断出④正确．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE＝AB，
∵AD＝AB，
∴AE＝AD，
在△ABE和△AHD中，
，
∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE＝DH，
∴AB＝BE＝AH＝HD，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠CED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠AED＝∠CED，故①正确；
∵AB＝AH，
∵∠AHB＝（180°﹣45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB（对顶角相等），
∴∠OHE＝67.5°＝∠AED，
∴OE＝OH，
∵∠DHO＝90°﹣67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠DHO＝∠ODH，
∴OH＝OD，
∴OE＝OD＝OH，故②正确；
∵∠EBH＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠EBH＝∠OHD，
在△BEH和△HDF中，
，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH＝HF，HE＝DF，故③正确；
∵HE＝AE﹣AH＝BC﹣CD，
∴BC﹣CF＝BC﹣（CD﹣DF）＝BC﹣（CD﹣HE）＝（BC﹣CD）+HE＝HE+HE＝2HE．故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．
11．一个矩形ABCD按如图1的方式分割成三个直角三角形，把较大的两个三角形纸片按图2方式放置，若图2中两个阴影部分面积满足＝，则在图2中，下列结论错误的是（　　）
A．AM＝CM B．DN＝3NE C．tanA＝ D．MN＝2NC
【分析】如图2，证明∠DBE＝∠C，再由等角的余角相等可得∠A＝∠ABM，所以AM＝BM＝CM，可以判断A正确；
如图2，过点M作MP⊥DE于P，证明△ABM∽△NDM，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得＝＝＝，设PD＝3a，PE＝5a，则PN＝3a，EN＝5a﹣3a＝2a，可判断B正确；
如图1，先计算AB＝CD＝10a，由勾股定理得CE＝6a，由三角函数定义可判断C正确；
设AM＝5x，MN＝3x，则CM＝5x，可判断D错误．
【解答】解：A、如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠ACB，
如图2，∠DBE＝∠ACB，
∴BM＝CM，
∵∠A+∠C＝∠ABM+∠CBM＝90°，
∴∠A＝∠ABM，
∴AM＝BM，
∴AM＝CM，
故选项A正确，不符合题意；
B、如图2，过点M作MP⊥DE于P，
∵∠ABE＝∠DEB＝90°，
∴∠ABE+∠DEB＝180°，
∴AB∥DE，
∴△ABM∽△NDM，
∴＝（）2＝（）2＝（）2＝，
∴＝＝＝，
∵AM＝BM，
∴DM＝MN，
∴PD＝PN，
设PD＝3a，PE＝5a，则PN＝3a，EN＝5a﹣3a＝2a，
∴＝＝3，
∴DN＝3EN，
故选项B正确，不符合题意；
C、∵DE＝DN+EN＝6a+2a＝8a，DN＝6a，
∵＝，
∴AB＝CD＝10a，
如图1，Rt△DEC中，CE＝6a，
∴tan∠ECD＝＝＝，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCE，
∴tan∠BAC＝，
故选项C正确，不符合题意；
D、设AM＝5x，MN＝3x，则CM＝5x，
∴CN＝5x﹣3x＝2x，
∴＝＝，
∴MN＝CN，
故选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行线分线段成比例定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，设未知数表示各线段的长是解题的关键．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，延长DC至点E，使得CE＝BC，以DE为直径的半圆O交BC延长线于点F．欧几里得在《几何原本》中利用该图得到结论：矩形ABCD的面积等于CF的平方（即S矩形ABCD＝CF2）．现连结FO并延长交AB于点G，若OF＝2OG，则△OCF与矩形ABCD的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由矩形的性质得到OC∥BG，因此△CFO∽△BFG，推出＝＝＝，令OC＝2x，BG＝3x，FC＝2y，FB＝3y，得到BC＝CE＝y，OE＝OF＝2x+y，DC＝4x+y，由矩形ABCD的面积DC BC＝CF2，得到x＝y，由三角形、矩形面积公式，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OC∥BG，
∴△CFO∽△BFG，
∴＝＝，
∵OF＝2OG，
∴＝＝＝，
∴设OC＝2x，BG＝3x，FC＝2y，FB＝3y，
∴BC＝CE＝y，OE＝OF＝2x+y，
∴DE＝4x+2y，
∴DC＝4x+y，
∵矩形ABCD的面积DC BC＝CF2，
∴（4x+y）y＝（2y）2，
∴x＝y，
∴△OCF的面积＝OC FC＝2xy＝y2，矩形ABCD的面积＝CF2＝4y2，
∴△OCF与矩形ABCD的面积之比＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由△CFO∽△BFG，得到＝＝＝，应用矩形ABCD的面积DC BC＝CF2，即可解决问题．
13．把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值为黄金分割，比值为，它被公认为是最能引起美感的比例，如图1为世界名画蒙娜丽莎．如图2，点E是正方形ABCD的AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，以AE为边作正方形AEHF，延长EH交CD于点I，连结BF交EI于点G，连结BI，则S△BCI：S△FGH为（　　）
A．1：1 B． C． D．
【分析】根据正方形的性质得出BC＝CD＝DA＝AB，EH＝HF＝FA＝AE，FH∥AE．根据黄金分割的意义得出＝＝．由△FHG∽△BEG，得出＝，根据合比性质得出＝＝，那么GH＝HE＝AE，根据矩形的性质与判定得出IC＝BE，最后根据三角形的面积求出S△BCI：S△FGH＝．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝DA＝AB．
∵点E是正方形ABCD的AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，
∴＝＝．
∵四边形AEHF是正方形，
∴EH＝HF＝FA＝AE，FH∥AE，
∴△FHG∽△BEG，
∴＝，
∴＝＝＝＝，
∴GH＝HE＝AE，
∵∠C＝∠CBE＝∠BEI＝90°，
∴四边形BCIE是矩形，
∴IC＝BE，
∴S△BCI：S△FGH＝＝＝ ＝ ＝ ＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形、矩形的性质与判定，黄金分割的意义，比例的性质，三角形的面积，掌握黄金分割的意义是解题的关键．
14．如图所示，正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，且内接于正方形FGHI，连接DE，BE＞CE．已知正方形ABCD与正方形FGHI面积之比为，若DE∥CH，则＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】设CI＝DH＝a，CH＝b，则IH＝a+b，根据正方形ABCD与正方形FGHI面积之比为，得到＝，求出BI＝CH＝2a，作BM⊥GH交GH于点M，作NE⊥BM交BM于点P，证明出△BPE∽△ENC，设CN＝m，则IN＝BP＝a+m然后利用相似三角形的性质得到＝，然后解方程求解即可．
【解答】解：由题意可得△BIC≌△CHD，
∴设CI＝DH＝a，CH＝b，则IH＝a+b，
∵∠H＝90°，
∴CD2＝CH2+DH2＝a2+b2，
∵正方形ABCD与正方形FGHI面积之比为59，
∴＝，即＝，
∴整理得2a2﹣5ab+2b2＝0，
∴2（）2﹣5ab+2＝0，
解得＝或＝2（舍去），
∴b＝2a，
∴BI＝CH＝2a，
如图所示，作BM⊥GH交GH于点M，作NE⊥BM交BM于点P，
由题意可得，△AGD≌△DHC，
∵ED∥CH，
∴四边形BINP，ENHD是矩形，
∴PN＝BI＝2a，EN＝DH＝a，
∴PE＝PN﹣EN＝a，
∴设CN＝m，则IN＝BP＝a+m，
∵BE⊥CE，
∴∠BEP+∠CEN＝90°，
∵BP⊥PN，
∴∠BEP+∠PBE＝90°，
∴∠CEN＝∠PBE，
又∵∠BPE＝∠ENC＝90°，
∴△BPE∽△ENC，
∴＝＝，即＝，
∴整理得a2﹣am+m2＝0，
∴（）2﹣+1＝0，
∴解得＝或（舍去），
∴＝．
故选：A．
【点评】此题考查了勾股定理，全等三角形的性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
二．填空题（共10小题）
15．如图，△ABC的边CB的延长线交EF于点D，且EF∥AB．若∠BDF＝116°，∠ACB＝66°，则∠A＝　50　°．
【分析】先利用平行线的性质可得∠ABD＝∠BDF＝116°，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答．
【解答】解：∵EF∥AB，
∴∠ABD＝∠BDF＝116°，
∵∠ABD是△ABC的一个外角，
∴∠A＝∠ABD﹣∠ACB＝116°﹣66°＝50°，
故答案为：50．
【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
16．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在上，则∠CFD＝　36　度．
【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题；
【解答】解：如图，连接OC，OD．
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CFD＝∠COD＝36°，
故答案为：36．
【点评】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17．为了给同学庆祝生日，小明自己动手用扇形纸片制作了一顶圆锥形生日帽，生日帽的底面圆半径r为7cm，高h为24cm，则该扇形纸片的面积为 　175π　cm2．
【分析】先根据勾股定理求出圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面展开图是扇形，利用圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，列式计算即可．
【解答】解：∵生日帽的底面圆半径r为7cm，高h为24cm，
∴圆锥的母线长为＝25（cm）．
∵底面圆半径r为7cm，
∴底面周长＝14πcm，
∴该扇形纸片的面积为＝×14π×25＝175π（cm2）．
故答案为：175π．
【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
18．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CF⊥AD的延长线于点F．且BC＝CD＝10，AB＝21，AD＝9．则AC的长为 　17　．
【分析】根据垂直定义可得∠F＝∠CEA＝∠CEB＝90°，再利用角平分线的性质可得CF＝CE，从而利用HL证明Rt△CFD≌Rt△CEB，然后利用全等三角形的性质可得DF＝BE，从而利用HL证明Rt△AFC≌Rt△AEC，进而可得AF＝AE，再根据线段的和差关系可求出DF＝BE＝6，从而在Rt△BCE中，利用勾股定理求出CE的长，最后在Rt△AEC中，利用勾股定理求出AC的长，即可解答．
【解答】解：∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠F＝∠CEA＝∠CEB＝90°，
∵AC平分∠BAD，
∴CF＝CE，
∵CD＝BC＝10，
∴Rt△CFD≌Rt△CEB（HL），
∴DF＝BE，
∵AC＝AC，
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），
∴AF＝AE，
∴AD+DF＝AB﹣BE，
∴9+DF＝21﹣BE，
解得：DF＝BE＝6，
∴CE＝＝＝8，
在Rt△AEC中，AE＝AB﹣BE＝21﹣6＝15，
∴AC＝＝＝17，
故答案为：17．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19．以菱形ABCD对角线BD上的点O为圆心，OD为半径作圆，与BC相交于点E，点A，C恰好都在圆O上，若OD：OB＝2：3，圆的半径r＝4，则菱形ABCD的边长为 　2．
【分析】连接AC交BD于H点，连接OC，如图，利用OD：OB＝2：3计算出OB＝6，则BD＝10，再根据菱形的性质得到AC⊥BD，BH＝DH＝5，所以OH＝1，然后利用勾股定理定理，在Rt△OCH中计算出CH＝，接着在Rt△BCH中计算出BC即可．
【解答】解：连接AC交BD于H点，连接OC，如图，
∵OD：OB＝2：3，圆的半径r＝4，
∴OC＝OD＝4，OB＝6，
∴BD＝10，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，BH＝DH＝BD＝5，
∴OH＝OB﹣BH＝6﹣5＝1，
在Rt△OCH中，CH＝＝＝，
在Rt△BCH中，BC＝＝＝2，
即菱形ABCD的边长为 2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了菱形的性质和勾股定理．
20．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13．点P是线段AD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 　6.5或3．
【分析】根据勾股定理得到AB＝＝6，AD＝＝13，当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离＝6，过P作PH⊥BC于H，则PH＝6，当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离＝6，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BD+CD＝18，
∴AB＝＝6，
在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝12，CD＝5，
∴AD＝＝13，
当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离＝6，
过P作PH⊥BC于H，
则PH＝6，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥AC，
∴△DPH∽△DAC，
∴，
∴＝，
∴PD＝6.5，
∴AP＝6.5；
当⊙P与AB相切时，点P到AB的距离＝6，
过P作PG⊥AB于G，
则PG＝6，
∵AD＝BD＝13，
∴∠PAG＝∠B，
∵∠AGP＝∠C＝90°，
∴△AGP∽△BCA，
∴，
∴＝，
∴AP＝3，
∵CD＝5＜6，
∴半径为6的⊙P不与△ABC的AC边相切，
综上所述，AP的长为6.5或3，
故答案为：6.5或3．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练正确切线的性质是解题的关键．
21．点E为正方形ABCD的边AB上一点，连接DE，AC，且DE与AC相交于点M．若＝ 则sin∠CDE＝．
【分析】由△AME∽△CMD，推出＝＝，得到＝，因此＝，令AE＝x，AD＝4x，由勾股定理得到DE＝x，即可求出sin∠AED＝．由∠CDE＝∠AED，得到sin∠CDE＝sin∠AED＝．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AE∥CD，AD＝CD，
∴△AME∽△CMD，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝，
令AE＝x，AD＝4x，
DE＝＝x，
∴sin∠AED＝＝＝．
∵AE∥CD，
∴∠CDE＝∠AED，
∴sin∠CDE＝sin∠AED＝．
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正方形的性质，关键是由△AME∽△CMD，得到＝．
22．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，将△ABC绕BC的中点D顺时针旋转120°得到△A'B'C'，其中点B的运动路径为，则图中阴影部分的面积为 　3π﹣．
【分析】连接AD，求出BD的长，再由旋转可知，∠BDB'＝120°，分别求出DE＝，EC＝，再由 S阴影＝S扇形BDB'﹣（S△ABC﹣S△CDE），即可求解．
【解答】解：连接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴AD⊥BC，∠ABC＝30°，
∵AB＝2，
∴AD＝，
∴BD＝3，
∴BC＝6，
由旋转可知，∠BDB'＝120°，
∴S扇形BDB'＝＝3π，
∵∠CDE＝60°，∠ECD＝30°，
∴∠DEC＝90°，
在Rt△DEC中，DE＝，EC＝，
∴S△CDE＝×＝，S△ABC＝6×＝3，
∴S阴影＝×32﹣（3﹣）＝3π﹣，
故答案为：3π﹣．
【点评】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，扇形面积公式是解题的关键．
23．如图，一张矩形纸片ABCD中，（m为常数）．将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在BC边上的点H处，点D的对应点为点M，CD与HM交于点P．当点H落在BC的中点时，且，则m＝．
【分析】根据＝，设CP＝t，则CD＝AB＝3t，根据△CHP∽△BEH，得到BC2＝4BE t①，在Rt△BEH中，利用勾股定理得到（3t﹣BE）2＝BE2+（BC）2②，解①②即可求解．
【解答】解：∵＝，
设CP＝t，则CD＝AB＝3t，
∵点H是BC的中点，
∴CH＝BH＝BC，
∵△CHP∽△BEH，
∴＝，
即＝，
∴BC2＝4BE t①，
∵AE＝AB﹣BE，AE＝EH，CD＝AB＝3t，
∴AE＝EH＝3t﹣BE，
在Rt△BEH中，EH2＝BE2+BH2，
∴（3t﹣BE）2＝BE2+（BC）2②，
解①②得BE＝t，
∴BC2＝4BE t＝4×t＝t2，
∴BC＝t，
∴m＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，从复杂的图形中找出相似三角形是解题的关键．
24．如图，⊙O的内接四边形ABCD，AD∥BC，⊙O的直径AE与BC交于点F，连接BD．若AE∥CD，sin∠DBC＝，EF＝2，则AE的长为 　6　．
【分析】根据题意得到∠ADE＝90°，又由圆周角定理和全等三角形的判定与性质得到DE＝BD，再根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，进一步求解即可．
【解答】解：如图，连接CE，连接DE交BC于G，
∵AD∥BC，
∴＝，
∴∠DEC＝∠ADB，AB＝CD，
∵AE∥CD，
∴＝，
∴∠EDC＝∠DBA，
∴△DEC≌△BDA（AAS），
∴DE＝BD，
∵AE是直径，
∴∠ADE＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠FGE＝90°，
∵sin∠DBC＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∵AD∥BC，
∴＝＝，
∵EF＝2，
∴AE＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了圆的相关性质和平行线分线段成比例定理，熟练掌握这些结论是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
25．如图，在△ABC中，点E、F在AC上，且AE＝CF，AD∥BC，AD＝BC．
（1）求证：△EBC≌△FDA．
（2）当AE＝EB，∠DFC＝130°时，求∠ABE的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠DAF＝∠C，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据平角的定义得到∠AFD＝50°，根据全等三角形的性质得到∠BEC＝∠AFD＝50°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠C，
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝EC，
在△EBC和△FDA中，
，
∴△EBC≌△FDA（SAS）；
（2）解：∵∠DFC＝130°，
∴∠AFD＝50°，
∵△EBC≌△FDA，
∴∠BEC＝∠AFD＝50°，
∵AE＝BE，
∴∠BAE＝∠ABE，
∵∠BEC＝∠BAE+∠ABE＝50°，
∴∠ABE＝25°．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，属于基础题，中考常考题型．
26．如图所示，在△ABC中，AD是边BC上的高线，CE是边AB上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE．
（1）证明：CG＝EG．
（2）若AB＝10，AD＝6，求CE的长．
【分析】（1）连接DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出DE＝AE，由CD＝AE，等量代换得到DE＝CD，再根据等腰三角形三线合一的性质，即可得出CG＝EG；
（2）过E作EM⊥BC于M．先证明EM是△ABD的中位线，可求出EM．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出DE＝AB，由勾股定理求得DM的长，而CD＝AE＝DE，那么CM＝CD+DM，进而根据勾股定理求出CE．
【解答】（1）证明：连接DE，如图．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
又E为AB中点，
∴DE＝AE＝BE，
∵CD＝AE，
∴DE＝CD，又DG⊥EC，
∴EG＝CG；
（2）解：过E作EM⊥BC于M，如图．
∵AD⊥BC，EM⊥BC，
∴EM∥AD，
∵E为AB中点，
∴EM是△ABD的中位线，
∴EM＝AD＝3．
∵AB＝10，
∵DE＝AB＝5，
∴DM＝4，
∵CD＝AE＝DE＝5，
∴CM＝CD+DM＝9，
∴CE＝＝3．
【点评】此题考查了勾股定理，三角形中位线的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
27．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90o，D是AB上一点，CD＝BC，过点D作DF⊥AC于点F，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E．
（1）求证：四边形DBCE是平行四边形．
（2）若BD＝6，，求DE的长．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DFA＝90°，根据平行线的判定定理得到BC∥DF根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠A＝∠ACE根据平行四边形的性质得到CE＝BD＝6根据三角函数的定义得到EF＝2，设BC＝x，DF＝x﹣2，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵DF⊥AC，
∴∠DFA＝90°，
∵∠C＝90o，
∴∠DFA＝∠C，
∴BC∥DF，
∵CE∥AB，
∴四边形BDCE是平行四边形；
（2）解：∵CE∥AB，
∴∠A＝∠ACE，
∵四边形BDCE是平行四边形，
∴CE＝BD＝6，
∵，
∴，
∴EF＝2，
设CD＝DE＝BC＝x，则DF＝x﹣2，
∵CD2﹣DF2＝CE2﹣EF2，
∴x2﹣（x﹣2）2＝32，
解得x＝9，
∴DE＝9．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
28．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝120°，△DEF为正三角形，点E，F分别在菱形的边AB，BC上滑动，且点E、F不与点A，B，C重合，BD与EF交于点G．
（1）证明：当点E，F在边AB，BC上滑动时，总有AE＝BF．
（2）当BF＝2时，求BG的长．
【分析】（1）由“SAS”可证△ADE≌△BDF，可得AE＝BF；
（2）通过证明△ADE∽△BEG，可得，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴AD∥BC，AD＝AB，∠ADB＝∠CDB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD，∠A＝∠DBC＝∠ADB＝60°，
∵△DEF为正三角形，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°＝∠ADB，
∴∠ADE＝∠BDF，
∴△ADE≌△BDF（SAS），
∴AE＝BF；
（2）解：∵AB＝AD＝6，AE＝BF＝2，
∴BE＝4，
∵∠A+∠ADE＝∠DEF+∠BEF，∠A＝∠DEF＝60°，
∴∠ADE＝∠BEF，
又∵∠A＝∠ABD＝60°，
∴△ADE∽△BEG，
∴，
∴，
∴BG＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，菱形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
29．如图，已知AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，AE与BC交于点F，∠C＝2∠EAB．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）若，CA＝12，求AF的长．
【分析】（1）连接AD，通过E是弧BD的中点，∠C＝2∠EAB求证∠BAC＝90°即可求证AC是⊙O的切线；
（2）利用cosC＝，CA＝6求出CD的长，再通过求证∠EAC＝∠AFD即可推出CF＝AC＝12，再利用勾股定理即可计算出AF的长．
【解答】（1）证明：连接AD，如图所示：
∵E是的中点，
∴，
∴∠EAB＝∠EAD，
∵∠ACB＝2∠EAB，
∴∠ACB＝∠DAB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAC+∠ACB＝90°，
∴∠DAC+∠DAB＝90°，
即∠BAC＝90°，
∴AC⊥AB，
∵AB是圆的直径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ACD中，cosC＝＝，
∴CD＝×12＝8，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠DAE+∠AFD＝90°，∠EAD＝∠EAB，
∴∠EAC＝∠AFD，
∴CF＝AC＝12，
∴DF＝4，
∵AD2＝AC2﹣CD2＝122﹣82＝80，
∴AF＝＝＝4．
【点评】本题考查勾股定理，与圆有关的计算，涉及圆切线的证明，锐角三角函数等知识点，本题正确作出辅助线，熟练掌握好圆切线的判定与性质以及能熟练解直角三角形是解题的关键．
30．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，连接AD．分别过点A，点C作AE∥BC，CE∥DA，交点为E．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若∠B＝60°，AB＝6，求四边形AECD的面积．
【分析】（1）先证四边形ADCE是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得AD＝BC＝CD，即可得出结论；
（2）过点A作AF⊥BC于点F，解直角三角形求出AF即可．
【解答】（1）证明：∵AD∥EC，AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴，
∴平行四边形AECD是菱形；
（2）解：过点A作AF⊥BC于点F，则∠AFB＝90°．
∵∠B＝60°，
∴∠ACB＝30°，
在Rt△CAB中，∠BAC＝90°，
∵∠ACB＝30°，AB＝6，
∴BC＝2AB＝12，
∵D是BC的中点，
∴DC＝6，
在Rt△ABF中，，
∵，
∴，
∴菱形AECD＝CD ．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形ADCE为菱形是解题的关键．
31．四边形ABCD中，点E在边AB上，连接DE，CE．
（1）如图1，若∠A＝∠B＝∠DEC＝50°，证明：△ADE∽△BEC．
（2）如图2，若四边形ABCD为矩形，AB＝5，BC＝2，且△ADE与E、B、C为顶点的三角形相似，求AE的长．
【分析】（1）由点E在边AB上，且∠A＝∠DEC＝50°，得∠ADE＝130°﹣∠AED，∠BEC＝130°﹣∠AED，所以∠ADE＝∠BEC，又因为∠A＝∠B，所以根据“有两个角分别相等的两个三角形相似”即可证明△AED∽△BCE；
（2）分两种情况：△ADE∽△BEC或△ADE∽△BCE，设AE＝x，根据相似三角形的对应边成比例列方程求出x的值即可．
【解答】（1）证明：∵点E在边AB上，且∠A＝∠DEC＝50°，
∴∠ADE＝180°﹣50°﹣∠AED＝130°﹣∠AED，∠BEC＝180°﹣50°﹣∠AED＝130°﹣∠AED，
∴∠ADE＝∠BEC，
∵∠A＝∠B，
∴△ADE∽△BEC；
（2）如图2、如图3，
分两种情况：
设AE＝x，
∵AB＝5，AD＝BC＝2，
当△ADE∽△BEC时，
∴＝，
∴＝，
解得x1＝1，x2＝4；
△ADE∽△BCE时，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝2.5，
综上，AE的长为1或4或2.5．
【点评】此题考查相似三角形的判定与性质、同角的余角相等、矩形的性质等知识，找出图形中的相似三角形并根据已知条件证明三角形相似是解题的关键．
32．如图1，已知△ABC，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC＝90°，连接DE交AB于点F．
（1）探究：AF与BF的数量关系，写出你的猜想并加以证明；
（2）如图2，若∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°，题目中的其他条件不变，（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，若∠ADB＝∠BEC＝m∠ABC，题目中的其他条件不变，使得（1）中得到的结论仍然成立，请直接写出m的值．
【分析】（1）作DG⊥AB于G，证明△DFG≌△EFB，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）仿照（1）的证明方法证明；
（3）作DH⊥AB于H，要使得结论AF＝3BF成立，则有∠DGF＝∠EBF＝90°，可得（180°﹣m∠ABC）+∠ABC＝90°，可得m＝2．
【解答】解：（1）结论：AF＝3BF．
理由：如图1，过点D作DG⊥AB于G，则∠DGB＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，
∴AC＝CB，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴BC＝AB，
∵DA＝DB，∠ADB＝90°，
∴DG＝AG＝BG＝AB，
在Rt△BEC中，∠BEC＝90°，EB＝EC，
∴BE＝BC＝AB，
∴DG＝BE，
在△DFG和△EFB中，
，
∴△DFG≌△EFB（AAS），
∴FG＝BF，
∵AF＝3BF；
（2）猜想：AF＝3FB．
证明：如图2中，过点D作DG⊥AB于G，则∠DGB＝90°．
∵DA＝DB，∠ADB＝60°．
∴AG＝BG，△DBA是等边三角形．
∴DB＝BA．
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴AC＝AB＝BG．
在Rt△DBG和Rt△BAC中，
，
∴Rt△DBG≌Rt△BAC（HL）．
∴DG＝BC．
∵BE＝EC，∠BEC＝60°，
∴△EBC是等边三角形．
∴BC＝BE，∠CBE＝60°．
∴DG＝BE，∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°．
∵∠DFG＝∠EFB，∠DGF＝∠EBF，
在△DFG和△EFB中，
，
∴△DFG≌△EFB（AAS）．
∴GF＝BF，
故 AF＝3FB；
（3）结论：m＝2，
理由：如图3中，过点D作DG⊥AB于G，则∠DGB＝90°．
要使得结论AF＝3BF成立，则有∠DGF＝∠EBF＝90°，
∴（180°﹣m∠ABC）+∠ABC＝90°，
∴90°﹣m ∠ABC+∠ABC＝90°，
∴m＝2．
【点评】本题属于三角形综合题，考查的是等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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