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浙江省24届中考之几何综合拔尖版（精选全省各市中考及模拟考经典题型，易错题型，压轴 题型，适合尖子生）
1．如图所示，等边△ABC的顶点A在⊙O上，边AB、AC与⊙O分别交于点D、E，点F是劣弧上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF，则∠DFE的度数为（　　）
A．115° B．118° C．120° D．125°
2．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，OH⊥CD于点H．则（　　）
A．OH＝OC sin36° B．OH＝OC sin35° C．OH＝OC cos36° D．OH＝OC cos35°
3．把三个全等的三角形按如图所示摆放在圆内，点A，E，B，D四点在圆上，若∠BCD＝112°，则∠BAD的度数是（　　）
A．72° B．68° C．56° D．34°
4．如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，点F在BC上且EF＝EC，连接AE，AF，若∠ECF＝α，∠AFB＝β，则（　　）
A．β﹣α＝15° B．α+β＝135° C．2β﹣α＝90° D．2α+β＝180°
5．如图，从一个边长是10的正五边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径为（　　）
A．1 B．3 C． D．2
6．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，以点A为圆心，AD长为半径画弧分别交AB，AC于点E，F，过点E作EG⊥AC于点G，交AD于点H，若AB＝6，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，CA为直径作半圆围成两月牙形，过点C作半圆ACB的切线分别交另两个半圆于点D、E，连结AE，交半圆ACB于点F．若点F平分，DE＝10，则阴影部分的面积为（　　）
A．25 B． C．50 D．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，延长DC至点E，使得CE＝BC，以DE为直径的半圆O交BC延长线于点F．欧几里得在《几何原本》中利用该图得到结论：矩形ABCD的面积等于CF的平方（即S矩形ABCD＝CF2）．现连结FO并延长交AB于点G，若OF＝2OG，则△OCF与矩形ABCD的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
9．把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值为黄金分割，比值为，它被公认为是最能引起美感的比例，如图1为世界名画蒙娜丽莎．如图2，点E是正方形ABCD的AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，以AE为边作正方形AEHF，延长EH交CD于点I，连结BF交EI于点G，连结BI，则S△BCI：S△FGH为（　　）
A．1：1 B． C． D．
10．一个矩形ABCD按如图1的方式分割成三个直角三角形，把较大的两个三角形纸片按图2方式放置，若图2中两个阴影部分面积满足＝，则在图2中，下列结论错误的是（　　）
A．AM＝CM B．DN＝3NE C．tanA＝ D．MN＝2NC
11．如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外作正方形．连结EI交BA于点J，作JK∥AC 交lH 于点K，连结IC交JK于点L．若SAFGC：SABDE＝9：16，则的值为（　　）
A． B． C． D．
12．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边分别向外作正方形，连接EH，GH，连接EG交AB于点K，当∠EHG＝90°时，则的值为（　　）
A． B． C． D．
13．如图，⊙O的半径为4．将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O．则这条劣弧的弧长为 　 　．
14．如图，圆锥的底面半径为3cm，高为4cm，那么这个圆锥的侧面积是　 　cm2．
15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13．点P是线段AD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为　 　．
16．如图所示，⊙O过 ABCD的A，B，C三点，且交AD于点E，BC为直径，点D关于CE的对称点为D'，连接D′E，D′C，若在⊙O中弧AE的度数═40°，圆心O在D′E上，则∠BCD′＝　 　度．
17．点E为正方形ABCD的边AB上一点，连接DE，AC，且DE与AC相交于点M．若＝ 则sin∠CDE＝　 　．
18．如图将菱形ABCD的沿DF翻折，使点C落在AB边上，连结DE，EF，如果 BE＝BF，设△EBF的面积为 S1，△DFC 的面积为 S2，则∠C＝　 　，＝　 　．
19．如图，正方形ABCD的边长为2，BE平分∠DBC交DC于E，F是BC延长线上一点，且CF＝CE，BE延长线交DF于G，则BG EG的值是　 　．
20．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，将△ABC绕BC的中点D顺时针旋转120°得到△A'B'C'，其中点B的运动路径为，则图中阴影部分的面积为 　 　．
21．如图，四边形ABCD是矩形，E，F分别为BC，AB的中点，若∠BCF＝2∠EAB，则＝　 　．
22．如图，将矩形ABCD的边AD翻折到AE，使点D的对应点E在边BC上，再将边AD翻折到DF，且点A的对应点F为△ABE的内心，则＝　 　．
23．如图，已知⊙O的半径为2，所对的圆心角∠AOB＝60°，点C为的中点，点D为半径OB上一动点（D不与B重合）．将△CDB沿CD翻折得到△CDE，若点E落在半径OA、OB、围成的封闭图形的边界上，则CD的长为　 　．
24．如图，一张矩形纸片ABCD中，（m为常数）．将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在BC边上的点H处，点D的对应点为点M，CD与HM交于点P．当点H落在BC的中点时，且，则m＝　 　．
25．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设＝λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为　 　；
（2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为　 　．
26．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，E为CD上一点，tan∠EAD＝，以E为圆心，EA为半径的弧交AB于F，交BC于G，若F为弧AG的中点，则AF＝　 　，tan∠GEC＝　 　．
27．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为O，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）若AC＝4，AD＝2，cos∠ACB＝，求BC的长．
28．如图，△ABC中，AB＝AC，圆O为△ABC 的外接圆，弦BD⊥OC 于点F，交AC于点E，连结CD．
（1）求证：BE＝BC； （2）若tan∠BCA＝3，EF＝2，求AB的长．
29．四边形ABCD中，点E在边AB上，连接DE，CE．
（1）如图1，若∠A＝∠B＝∠DEC＝50°，证明：△ADE∽△BEC．
（2）如图2，若四边形ABCD为矩形，AB＝5，BC＝2，且△ADE与E、B、C为顶点的三角形相似，求AE的长．
30．如图1，已知△ABC，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC＝90°，连接DE交AB于点F．
（1）探究：AF与BF的数量关系，写出你的猜想并加以证明；
（2）如图2，若∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°，题目中的其他条件不变，（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，若∠ADB＝∠BEC＝m∠ABC，题目中的其他条件不变，使得（1）中得到的结论仍然成立，请直接写出m的值．
31．在矩形ABCD中，（k为常数），点G，F分别在边CD，AB上．
（1）如图1，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，GF⊥AE，且，求证：AE＝FG；
（2）如图2，将矩形ABCD沿GF折叠，点A恰好落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．
①探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；
②连接CP，若，若，，求CP的长．
24届强基班几何综合（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．如图所示，等边△ABC的顶点A在⊙O上，边AB、AC与⊙O分别交于点D、E，点F是劣弧上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF，则∠DFE的度数为（　　）
A．115° B．118° C．120° D．125°
【分析】根据圆的内接四边形对角互补及等边△ABC的每一个内角是60°，求出∠EFD＝120°．
【解答】解：四边形EFDA是⊙O内接四边形，
∴∠EFD+∠A＝180°，
∵等边△ABC的顶点A在⊙O上，
∴∠A＝60°，
∴∠EFD＝120°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、等边三角形的性质，掌握两个性质定理的应用是解题关键．
2．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，OH⊥CD于点H．则（　　）
A．OH＝OC sin36° B．OH＝OC sin35°
C．OH＝OC cos36° D．OH＝OC cos35°
【分析】连接OD，则OD＝OC，∠COD＝×360°＝72°，由OH⊥CD于点H，根据等腰三角形的“三线合一”得∠COH＝∠COD＝36°，则＝cos36°，所以OH＝OC cos36°，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OD，
∵点O是正五边形ABCDE的中心，
∴OD＝OC，∠COD＝×360°＝72°，
∵OH⊥CD于点H，
∴∠OHC＝90°，∠COH＝∠DOH＝∠COD＝×72°＝36°，
∵＝cos∠COH＝cos36°，
∴OH＝OC cos36°，
故选：C．
【点评】此题重点考查正多边形与圆、正多边形的中心角、等腰三角形的“三线合一”、锐角三角函数与解直角三角形等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解是的关键．
3．把三个全等的三角形按如图所示摆放在圆内，点A，E，B，D四点在圆上，若∠BCD＝112°，则∠BAD的度数是（　　）
A．72° B．68° C．56° D．34°
【分析】连接BD，结合已知条件，利用全等三角形性质易得∠AEB的度数，AB＝AD，然后利用圆内接四边形的性质及等腰三角形性质可求得∠ABD，∠ADB的度数，最后利用三角形内角和定理即可求得答案．
【解答】解：如图，连接BD，
∵△AEB≌△ACB≌△ACD，
∴∠AEB＝∠ACB＝∠ACD，AB＝AD，
∵∠BCD＝112°，
∴∠AEB＝∠ACB＝∠ACD＝＝124°，
∵四边形AEBD为圆内接四边形，
∴∠ADB＝180°﹣∠AEB＝180°﹣124°＝56°，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝56°，
∴∠BAD＝180°﹣56°﹣56°＝68°，
故选：B．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理及全等三角形的性质，连接BD构造圆内接四边形后求得∠ADB的度数是解题的关键．
4．如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，点F在BC上且EF＝EC，连接AE，AF，若∠ECF＝α，∠AFB＝β，则（　　）
A．β﹣α＝15° B．α+β＝135° C．2β﹣α＝90° D．2α+β＝180°
【分析】根据正方形的性质得到AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，根据全等三角形的性质得到AE＝CE，∠BCE＝∠BAE＝α，根据等腰三角形的性质得到∠EFC＝∠ECF＝α，求得∠AFE＝180°﹣α﹣β，根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，
∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，∠BCE＝∠BAE＝α，
∵EF＝CE，
∴∠EFC＝∠ECF＝α，
∵∠AFB＝β，
∴∠AFE＝180°﹣α﹣β，
∵∠ABF＝90°，
∴∠BAF＝90°﹣β，
∵AE＝CE，EF＝CE，
∴AE＝EF，
∴∠EAF＝∠AFE，
∴α﹣（90°﹣β）＝180°﹣α﹣β，
∴α+β＝135°，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
5．如图，从一个边长是10的正五边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径为（　　）
A．1 B．3 C． D．2
【分析】先求出正五边形的内角的度数，根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，可求出底面半径．
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BCD＝＝108°，
又∵弧BD的长为＝6π，即圆锥底面周长为6π，
设圆锥的底面半径为r，则2πr＝6π，
∴圆锥底面半径为3，
故选：B．
【点评】本题考查正多边形与圆，扇形面积，弧长及圆周长，掌握扇形面积、弧长、圆周长的计算方法是正确解决问题的关键．
6．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，以点A为圆心，AD长为半径画弧分别交AB，AC于点E，F，过点E作EG⊥AC于点G，交AD于点H，若AB＝6，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据等边三角形的性质得∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC＝6，再利用AD是BC边上的中线得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝30°，BD＝CD＝3，则AD＝3，易证得△AEF是等边三角形，H是等边三角形AEF的重心，然后根据扇形面积公式，用一个扇形的面积减去△AEF的面积可得到图中阴影部分的面积．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC＝6，
∵AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝30°，BD＝CD＝3，
∴AD＝3，
∵AE＝AF＝AD＝3，
∴△AEF是等边三角形，
∵EG⊥AC于点G，
∴EG是∠AEF的角平分线，EG＝AE＝，
∴H是△AEF的重心，
∴S△AEF＝＝＝，
∴图中阴影部分的面积＝﹣×＝﹣．
故选：A．
【点评】本题考查了扇形面积的计算：阴影面积常用的方法：直接用公式法；和差法；割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了等边三角形的性质．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，CA为直径作半圆围成两月牙形，过点C作半圆ACB的切线分别交另两个半圆于点D、E，连结AE，交半圆ACB于点F．若点F平分，DE＝10，则阴影部分的面积为（　　）
A．25 B． C．50 D．
【分析】设AB的中点为O，连结OF交AC于点H，连结BD、OC，则点O为以AB为直径的圆的圆心，由切线的性质得DE⊥OC，则∠D＝∠OCE＝∠OCD＝∠E＝90°，所以BD∥OC∥AE，则＝＝1，则CD＝CE＝DE＝5，再证明∠AOF＝∠COF＝∠BOC＝60°，由∠E＝90°，∠CAE＝∠COF＝30°，得AC＝2CE＝10，由∠ACB＝90°，∠BAC＝∠BOC＝30°，得BC＝AC tan30°＝，因为BC2+AC2＝AB2，所以BC2+AC2＝AB2＝0，即可由S阴影＝S半圆BCD+S半圆AEC﹣S半圆ACB+S△ABC，求出阴影部分的面积，得到问题的答案．
【解答】解：设AB的中点为O，连结OF交AC于点H，连结BD、OC，
∵∠ACB＝90°，
∴OC＝OA＝OB＝AB，点O为以AB为直径的圆的圆心，
∵DE与⊙O相切于点C，
∴DE⊥OC，
∵BC、AC分别为半圆的直径，DE＝10，
∴∠D＝∠OCE＝∠OCD＝∠E＝90°，
∴BD∥OC∥AE，
∴＝＝1，
∴CD＝CE＝DE＝5，
∵∠OAC＝∠OCA＝∠CAF，
∴∠BOC＝2∠OAC＝2∠CAF，
∵＝，
∴∠AOF＝∠COF＝2∠CAF，
∴∠AOF＝∠COF＝∠BOC＝×180°＝60°，
∵∠E＝90°，∠CAE＝∠COF＝30°，
∴AC＝2CE＝10，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝∠BOC＝30°，
∴BC＝AC tan30°＝10×＝，
∵BC2+AC2＝AB2，
∴BC2+AC2﹣AB2＝0，
∵S阴影＝S半圆BCD+S半圆AEC﹣S半圆ACB+S△ABC，
∴S阴影＝π×（BC）2+π×（AC）2﹣π×（AB）2+×10×＝π（BC2+AC2﹣AB2）+＝，
故选：B．
【点评】此题重点考查圆周角定理、平行线分线段成比例定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、根据转化思想求图形的面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，延长DC至点E，使得CE＝BC，以DE为直径的半圆O交BC延长线于点F．欧几里得在《几何原本》中利用该图得到结论：矩形ABCD的面积等于CF的平方（即S矩形ABCD＝CF2）．现连结FO并延长交AB于点G，若OF＝2OG，则△OCF与矩形ABCD的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由矩形的性质得到OC∥BG，因此△CFO∽△BFG，推出＝＝＝，令OC＝2x，BG＝3x，FC＝2y，FB＝3y，得到BC＝CE＝y，OE＝OF＝2x+y，DC＝4x+y，由矩形ABCD的面积DC BC＝CF2，得到x＝y，由三角形、矩形面积公式，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OC∥BG，
∴△CFO∽△BFG，
∴＝＝，
∵OF＝2OG，
∴＝＝＝，
∴设OC＝2x，BG＝3x，FC＝2y，FB＝3y，
∴BC＝CE＝y，OE＝OF＝2x+y，
∴DE＝4x+2y，
∴DC＝4x+y，
∵矩形ABCD的面积DC BC＝CF2，
∴（4x+y）y＝（2y）2，
∴x＝y，
∴△OCF的面积＝OC FC＝2xy＝y2，矩形ABCD的面积＝CF2＝4y2，
∴△OCF与矩形ABCD的面积之比＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由△CFO∽△BFG，得到＝＝＝，应用矩形ABCD的面积DC BC＝CF2，即可解决问题．
9．把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值为黄金分割，比值为，它被公认为是最能引起美感的比例，如图1为世界名画蒙娜丽莎．如图2，点E是正方形ABCD的AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，以AE为边作正方形AEHF，延长EH交CD于点I，连结BF交EI于点G，连结BI，则S△BCI：S△FGH为（　　）
A．1：1 B． C． D．
【分析】根据正方形的性质得出BC＝CD＝DA＝AB，EH＝HF＝FA＝AE，FH∥AE．根据黄金分割的意义得出＝＝．由△FHG∽△BEG，得出＝，根据合比性质得出＝＝，那么GH＝HE＝AE，根据矩形的性质与判定得出IC＝BE，最后根据三角形的面积求出S△BCI：S△FGH＝．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝DA＝AB．
∵点E是正方形ABCD的AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，
∴＝＝．
∵四边形AEHF是正方形，
∴EH＝HF＝FA＝AE，FH∥AE，
∴△FHG∽△BEG，
∴＝，
∴＝＝＝＝，
∴GH＝HE＝AE，
∵∠C＝∠CBE＝∠BEI＝90°，
∴四边形BCIE是矩形，
∴IC＝BE，
∴S△BCI：S△FGH＝＝＝ ＝ ＝ ＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形、矩形的性质与判定，黄金分割的意义，比例的性质，三角形的面积，掌握黄金分割的意义是解题的关键．
10．一个矩形ABCD按如图1的方式分割成三个直角三角形，把较大的两个三角形纸片按图2方式放置，若图2中两个阴影部分面积满足＝，则在图2中，下列结论错误的是（　　）
A．AM＝CM B．DN＝3NE C．tanA＝ D．MN＝2NC
【分析】如图2，证明∠DBE＝∠C，再由等角的余角相等可得∠A＝∠ABM，所以AM＝BM＝CM，可以判断A正确；
如图2，过点M作MP⊥DE于P，证明△ABM∽△NDM，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得＝＝＝，设PD＝3a，PE＝5a，则PN＝3a，EN＝5a﹣3a＝2a，可判断B正确；
如图1，先计算AB＝CD＝10a，由勾股定理得CE＝6a，由三角函数定义可判断C正确；
设AM＝5x，MN＝3x，则CM＝5x，可判断D错误．
【解答】解：A、如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠ACB，
如图2，∠DBE＝∠ACB，
∴BM＝CM，
∵∠A+∠C＝∠ABM+∠CBM＝90°，
∴∠A＝∠ABM，
∴AM＝BM，
∴AM＝CM，
故选项A正确，不符合题意；
B、如图2，过点M作MP⊥DE于P，
∵∠ABE＝∠DEB＝90°，
∴∠ABE+∠DEB＝180°，
∴AB∥DE，
∴△ABM∽△NDM，
∴＝（）2＝（）2＝（）2＝，
∴＝＝＝，
∵AM＝BM，
∴DM＝MN，
∴PD＝PN，
设PD＝3a，PE＝5a，则PN＝3a，EN＝5a﹣3a＝2a，
∴＝＝3，
∴DN＝3EN，
故选项B正确，不符合题意；
C、∵DE＝DN+EN＝6a+2a＝8a，DN＝6a，
∵＝，
∴AB＝CD＝10a，
如图1，Rt△DEC中，CE＝6a，
∴tan∠ECD＝＝＝，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCE，
∴tan∠BAC＝，
故选项C正确，不符合题意；
D、设AM＝5x，MN＝3x，则CM＝5x，
∴CN＝5x﹣3x＝2x，
∴＝＝，
∴MN＝CN，
故选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行线分线段成比例定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，设未知数表示各线段的长是解题的关键．
11．如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外作正方形．连结EI交BA于点J，作JK∥AC 交lH 于点K，连结IC交JK于点L．若SAFGC：SABDE＝9：16，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】延长AC，与IH的延长线交于点M，利用正方形的性质得到＝，设AC＝3k，则AB＝4k，则利用勾股定理求得BC＝5k，利用相似三角形的判定与性质求得线段CM，利用相似三角形的判定与性质得到，再利用比例的性质解答即可得出结论．
【解答】解：延长AC，与IH的延长线交于点M，如图，
∵若SAFGC：SABDE＝9：16，四边形AFGC与四边形ABDE为正方形，
∴＝，
∴设AC＝3k，则AB＝4k，
∴BC＝＝5k．
∵四边形BCHI为正方形，
∴CH＝BC＝5k．
∵∠BCH＝90°，
∴∠ACB+∠HCM＝90°，
∵∠HCM+∠M＝90°，
∴∠ACB＝∠M．
∵BAC＝∠CHM＝90°，
∴△ABC∽△HCM，
∴，
∴，
∴HM＝k，CM＝k．
∴EC＝AE+AC＝4k+3k＝7k，
∵JK∥AC
∴△ILJ∽△ICE，△ILK∽△ICM，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质勾股定理，平行线的性质，通过构造恰当的辅助线得到A型图，从而利用相似三角形的判定与性质解答是解题的关键．
12．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边分别向外作正方形，连接EH，GH，连接EG交AB于点K，当∠EHG＝90°时，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】以A为原点，以AB边所在直线为x轴建立坐标系，过E作EQ⊥x轴于Q，过H作HP⊥x轴于P，证明Rt△EAQ∽Rt△ABC∽Rt△BHP，得到E、H点、G点坐标，求得kEH、kGH，当∠EHG＝90°时，在△EHG中利用勾股定理，从而得b＝2a，再由EQ∥BC，即可得．
【解答】解：以A为原点，以AB边所在直线为x轴建立如图所示坐标系：
设AB＝c，AC＝b，BC＝a，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴a2+b2＝c2，
过E作EQ⊥x轴于Q，过H作HP⊥x轴于P，
∵四边形ACDE与四边形BCMH都是正方形，
∴∠EAC＝∠CBH＝90°，AC＝AE＝b，BC＝BH＝a，
∴∠EAQ+∠BAC＝90°，∠HBP+∠ABC＝90°，
∵∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠EAQ，∠BAC＝∠HBP，
∴Rt△EAQ∽Rt△ABC∽Rt△BHP，
∴，，
即，，
∴AQ＝，EQ＝，HP＝，BP＝，
∴AP＝AB+BP＝c+＝，
∴E（﹣，），H（，），
∵四边形BABGF是正方形，
∴AB＝BG＝FG，BG⊥x轴，
∴G（c，﹣c），
当∠EHG＝90°时，
在Rt△EHG中，由勾股定理可得：
EH2+GH2＝EG2，
∴（+）2+（﹣）2+（﹣c）2+（+c）2＝（+c）2+（﹣﹣c）2，
整理可得：（a﹣b）（2a2+b2）＝﹣ab（a+b），
∴2a3+ab2﹣2a2b﹣b3＝﹣a2b﹣ab2，
∴（a2+b2）（2a﹣b）＝0，
∵a、b是三角形的边长，
∴a＞0，b＞0，
∴a2+b2≠0，
∴2a﹣b＝0，
∴b＝2a，
∵a2+b2＝c2，
∴c2＝5a2，
∵EQ∥BC，
∴，
即，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例，理解题意是解决问题的关键．
二．填空题（共14小题）
13．如图，⊙O的半径为4．将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O．则这条劣弧的弧长为 　π　．
【分析】如图，连接OB，OA，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D．证明△OBD是等边三角形，求出∠AOB＝120°，利用弧长公式求解．
【解答】解：如图，连接OB，OA，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D．
由题意，AB垂直平分线段OD，
∴BO＝BD
∵OB＝OD，
∴OB＝BD＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
同法可证∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴的长＝＝π，
故答案为：π．
【点评】本题考查弧长公式，垂径定理，翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
14．如图，圆锥的底面半径为3cm，高为4cm，那么这个圆锥的侧面积是　15π　cm2．
【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2求出即可．
【解答】解：底面半径为3cm，高为4cm，
则底面周长＝6π，由勾股定理得，母线长＝5，
那么侧面面积＝×6π×5＝15πcm2．
故答案为：15π．
【点评】此题主要考查了圆锥的有关计算以及勾股定理，利用圆锥的侧面积公式求出是解题关键．
15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13．点P是线段AD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 　6.5或3　．
【分析】根据勾股定理得到AB＝＝6，AD＝＝13，当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离＝6，过P作PH⊥BC于H，则PH＝6，当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离＝6，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BD+CD＝18，
∴AB＝＝6，
在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝12，CD＝5，
∴AD＝＝13，
当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离＝6，
过P作PH⊥BC于H，
则PH＝6，
∵∠C＝90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥AC，
∴△DPH∽△DAC，
∴，
∴＝，
∴PD＝6.5，
∴AP＝6.5；
当⊙P与AB相切时，点P到AB的距离＝6，
过P作PG⊥AB于G，
则PG＝6，
∵AD＝BD＝13，
∴∠PAG＝∠B，
∵∠AGP＝∠C＝90°，
∴△AGP∽△BCA，
∴，
∴＝，
∴AP＝3，
∵CD＝5＜6，
∴半径为6的⊙P不与△ABC的AC边相切，
综上所述，AP的长为6.5或3，
故答案为：6.5或3．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练正确切线的性质是解题的关键．
16．如图所示，⊙O过 ABCD的A，B，C三点，且交AD于点E，BC为直径，点D关于CE的对称点为D'，连接D′E，D′C，若在⊙O中弧AE的度数═40°，圆心O在D′E上，则∠BCD′＝　15　度．
【分析】由的度数＝40°，得到∠AOE＝40°，由平行线的性质，等腰三角形的性质求出∠B＝55°，因此∠D＝55°，由轴对称的性质得到∠D′＝∠D＝55°，由三角形外角的性质求出∠BCD′＝∠COE﹣∠D′＝15°．
【解答】解：∵的度数＝40°，
∴∠AOE＝40°，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA＝×（180°﹣40°）＝70°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠D＝∠B，
∴∠AOB＝∠OAE＝70°，∠EOC＝∠AEO＝70°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB＝×（180°﹣70°）＝55°，
∴∠D＝55°，
∵点D关于CE的对称点为D'，
∴∠D′＝∠D＝55°，
∴∠BCD′＝∠COE﹣∠D′＝70°﹣55°＝15°．
故答案为：15．
【点评】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，轴对称的性质，关键是由以上知识点求出∠COE，∠D′的度数．
17．点E为正方形ABCD的边AB上一点，连接DE，AC，且DE与AC相交于点M．若＝ 则sin∠CDE＝　　．
【分析】由△AME∽△CMD，推出＝＝，得到＝，因此＝，令AE＝x，AD＝4x，由勾股定理得到DE＝x，即可求出sin∠AED＝．由∠CDE＝∠AED，得到sin∠CDE＝sin∠AED＝．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AE∥CD，AD＝CD，
∴△AME∽△CMD，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝，
令AE＝x，AD＝4x，
DE＝＝x，
∴sin∠AED＝＝＝．
∵AE∥CD，
∴∠CDE＝∠AED，
∴sin∠CDE＝sin∠AED＝．
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正方形的性质，关键是由△AME∽△CMD，得到＝．
18．如图将菱形ABCD的沿DF翻折，使点C落在AB边上，连结DE，EF，如果 BE＝BF，设△EBF的面积为 S1，△DFC 的面积为 S2，则∠C＝　72°　，＝　﹣2　．
【分析】三个等腰三角形△DAE、△DFC、△DEF全等，可得∠ADE＝∠CDF＝∠EDF，利用∠ADC+∠C＝180°求∠C；构造△FGC∽△∠DFC，求出＝，由△BEF∽△GDF求出面积比，利用等高求出，进而得到＝﹣2．
【解答】解：在DC上取一点G，使FG＝FC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠C，∠ADC+∠C＝180°，
∵BE＝BF，
∴AE＝CF，
∴△DAE≌△DFC（SAS），
∴∠ADE＝∠CDF，
由翻折得，∠CDF＝∠EDF，
∴∠ADE＝∠CDF＝∠EDF，
∵∠ADC+∠C＝180°，
∴∠ADE+∠CDF+∠EDF+∠C＝180°，
∴3∠CDF+∠C＝180°①，
∵DF＝DC，
∴∠DFC＝∠C，
∴∠DFC+∠C+∠CDF＝180°，
∴2∠C+∠CDF＝180°②，
由①②得∠C＝72°；
∵FG＝FC，
∠C＝∠FGC＝72°，
∴∠FGC＝∠DFC＝72°，
∵∠C＝∠C，
∴△FGC∽△DFC，
∴＝，
∵∠CDF＝180°﹣2∠C＝180°﹣2×72°＝36°，∠DFG＝∠FGC﹣∠CDF＝72°﹣36°＝36°，
∴∠CDF＝∠DFG，
∴GD＝GF＝FC，
∴＝，
∴FC2﹣DC2+FC DC＝0，
∴（）2+﹣1＝0，
∴＝，
∵∠BEF＝∠BFE＝∠FDG＝∠DFG＝36°，
∴△BEF∽△GDF，
∴＝＝，
∴＝（）2，
∴＝＝＝，
∴＝（）3＝﹣2，
∴＝﹣2，
故答案为：72°，﹣2．
【点评】本题在菱形下考查了顶角为36°底角为72°的等腰三角形的判定与性质，涉及了三角形全等，三角形相似的判定与性质，方程思想，关键是求出∠C，构造△FGC∽△∠DFC，求出相似比．
19．如图，正方形ABCD的边长为2，BE平分∠DBC交DC于E，F是BC延长线上一点，且CF＝CE，BE延长线交DF于G，则BG EG的值是 　4﹣2　．
【分析】由等腰三角形的判定与性质知BM是等腰三角形BDF的中垂线．根据相似三角形△BGF∽△DGE的对应边成比例、等腰三角形的性质列出比例式，即GE GB＝GD2，最后在直角△DCF中利用勾股定理来求GD2的值．
【解答】解：∵BC＝2，四边形ABCD是正方形，
∴BD＝2．
又∵BE平分∠DBC交DF于G，BG⊥DF，
∴BD＝BF（等腰三角形“三合一”的性质），DG＝FG，
∴CF＝2﹣2．
在△BGF和△DGE中，
∠GBF＝∠GDE，∠BGF＝∠DGE＝90°，
∴△BGF∽△DGE，
∴，
∴，即GE GB＝GD2，
∵DC2+FC2＝（2DG）2，即22+（2﹣2）2＝4DG2，
∴DG2＝4﹣2，即GE GB＝4﹣2．
故答案为：4﹣2．
【点评】本题综合考查了正方形、相似三角形的有关知识．等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
20．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，将△ABC绕BC的中点D顺时针旋转120°得到△A'B'C'，其中点B的运动路径为，则图中阴影部分的面积为 　3π﹣　．
【分析】连接AD，求出BD的长，再由旋转可知，∠BDB'＝120°，分别求出DE＝，EC＝，再由 S阴影＝S扇形BDB'﹣（S△ABC﹣S△CDE），即可求解．
【解答】解：连接AD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴AD⊥BC，∠ABC＝30°，
∵AB＝2，
∴AD＝，
∴BD＝3，
∴BC＝6，
由旋转可知，∠BDB'＝120°，
∴S扇形BDB'＝＝3π，
∵∠CDE＝60°，∠ECD＝30°，
∴∠DEC＝90°，
在Rt△DEC中，DE＝，EC＝，
∴S△CDE＝×＝，S△ABC＝6×＝3，
∴S阴影＝×32﹣（3﹣）＝3π﹣，
故答案为：3π﹣．
【点评】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，扇形面积公式是解题的关键．
21．如图，四边形ABCD是矩形，E，F分别为BC，AB的中点，若∠BCF＝2∠EAB，则＝　　．
【分析】先求出BF，BH的长，通过证明△ABE∽△HBF，可得，即可求解．
【解答】解：如图，延长BC至H，使FC＝CH，连接FH，
设，则CD＝mAD＝AB，
∵E，F分别为BC，AB的中点，
∴BF＝AB＝CD＝mAD，BE＝BC＝AD，
∴CF＝＝AD，
∵CF＝CH＝AD，
∴∠CFH＝∠CHF，BH＝AD+AD，
∴∠BCF＝2∠CHF，
∵∠BCF＝2∠EAB，
∴∠BAE＝∠CHF，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABE∽△HBF，
∴，
∴＝，
∴m2＝或0（舍去），
∴m＝（负值舍去），
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
22．如图，将矩形ABCD的边AD翻折到AE，使点D的对应点E在边BC上，再将边AD翻折到DF，且点A的对应点F为△ABE的内心，则＝　4　．
【分析】作AG⊥DE于点G，作FH⊥AG于点H，则FH∥ED，由翻折得AE＝AD＝DF，所以EG＝DG，∠GAE＝∠GAD＝∠DAE，由点F为△ABE的内心，得∠FEA＝∠FEB＝∠AEB，∠FAE＝∠FAB＝∠BAE，推导出∠DAE＝∠AEB，∠FAH＝∠GAE+∠FAE＝45°，于是得∠GAE＝∠FEA＝∠FEB，∠FAH＝∠AFH＝45°，由AG∥FE，得∠DEF＝∠AGD＝90°，再证明△AGE≌△DEF，得GE＝EF＝ED，设DF交AE于点L，可证明DF⊥AE，所以＝tan∠FEA＝tan∠EDF＝＝＝，则DL＝4FL，求得＝4，于是得到问题的答案．
【解答】解：作AG⊥DE于点G，作FH⊥AG于点H，则∠AHF＝∠AGE＝90°，
∴FH∥ED，
由翻折得AE＝AD＝DF，
∴EG＝DG，∠GAE＝∠GAD＝∠DAE，
∵点F为△ABE的内心，
∴∠FEA＝∠FEB＝∠AEB，∠FAE＝∠FAB＝∠BAE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠BAD＝∠C＝90°，
∴∠DAE＝∠AEB，∠FAH＝∠GAE+∠FAE＝（∠DAE+∠BAE）＝∠BAD＝45°，
∴∠GAE＝∠FEA＝∠FEB，∠FAH＝∠AFH＝45°，
∴AG∥FE，
∴∠DEF＝∠AGD＝90°，
∵∠DAF＝∠DFA，
∴∠DAF﹣∠FAH＝∠DFA﹣∠AFH，
∴∠GAE＝∠GAD＝∠DFH＝∠EDF，
∵∠AGE＝∠DEF＝90°，AE＝DF，
∴△AGE≌△DEF（AAS），
∴GE＝EF＝ED，
设DF交AE于点L，
∵∠GAE＝∠FEA＝∠EDF，
∴∠ELF＝∠AED+∠EDF＝∠AED+∠FEA＝∠DEF＝90°，
∴DF⊥AE，
∴∠DLE＝90°，
∴＝tan∠FEA＝tan∠EDF＝＝＝，
∴DL＝2EL，EL＝2FL，
∴DL＝2×2FL＝4FL，
∴＝＝＝4，
故答案为：4．
【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形的内心的定义、全等三角形的判定与性质、锐角三角形函数与解直角三角形、三角形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
23．如图，已知⊙O的半径为2，所对的圆心角∠AOB＝60°，点C为的中点，点D为半径OB上一动点（D不与B重合）．将△CDB沿CD翻折得到△CDE，若点E落在半径OA、OB、围成的封闭图形的边界上，则CD的长为 　1或2或　．
【分析】当点E落在半径OB上，点B与点E关于点CD对称，从而可以得到DE＝DB，由点C为弧AB的中点，∠AOB＝60°，OC＝OA＝2，可以求得CD的长；当E落在上时，E与A重合，D与O重合，CD＝2，；当点E落在半径OA上，画出相应的图形，由前面求得的OE的长与此时OE的长相等，可得E的坐标和直线BE的解析式，得∠EBD＝45°，∠BDE＝2∠CDB＝90°，即得D（，0），CD＝．
【解答】解：当点E落在半径OB上时，连接OC，如图：
∵∠BDC＝∠EDC＝90°，∠AOB＝60°，点C为弧AB的中点，⊙O的半径为2，
∴∠COD＝30°，OA＝OC＝2，
∴CD＝OC sin30°＝2×＝1，
∴OD＝OC cos30°＝2×＝，
∴BD＝OB﹣OD＝2﹣，
∵DE＝DB，
∴OE＝OD﹣DE＝﹣（2﹣）＝2﹣2，
当E落在上时，如图：
此时E与A重合，D与O重合，
∴CD＝2，
当点E落在半径OA上时，以O为原点，OB所在直线为x轴，建立直角坐标系，连接OC，BE，AC，如图：
由已知可得，CE＝CB＝CA，
同E在OB上可知此时OE＝2﹣2，C（，1），
∴点E的横坐标为：（2﹣2）×cos60°＝﹣1，点E的纵坐标为：（2﹣2）×sin60°＝3﹣，
∴E（﹣1，3﹣），
∵B（2，0），
∴直线BE的解析式为y＝﹣x+2，
∴∠EBD＝45°，
∵CD⊥BE，
∴∠CDB＝45°，
∴∠BDE＝2∠CDB＝90°，
∵E（﹣1，3﹣），
∴D（，0），
∵C（，1），
∴CD＝，
综上所述，CD的长为1或2或，
故答案为：1或2或．
【点评】本题考查扇形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，会寻找特殊位置解决问题．
24．如图，一张矩形纸片ABCD中，（m为常数）．将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在BC边上的点H处，点D的对应点为点M，CD与HM交于点P．当点H落在BC的中点时，且，则m＝　　．
【分析】根据＝，设CP＝t，则CD＝AB＝3t，根据△CHP∽△BEH，得到BC2＝4BE t①，在Rt△BEH中，利用勾股定理得到（3t﹣BE）2＝BE2+（BC）2②，解①②即可求解．
【解答】解：∵＝，
设CP＝t，则CD＝AB＝3t，
∵点H是BC的中点，
∴CH＝BH＝BC，
∵△CHP∽△BEH，
∴＝，
即＝，
∴BC2＝4BE t①，
∵AE＝AB﹣BE，AE＝EH，CD＝AB＝3t，
∴AE＝EH＝3t﹣BE，
在Rt△BEH中，EH2＝BE2+BH2，
∴（3t﹣BE）2＝BE2+（BC）2②，
解①②得BE＝t，
∴BC2＝4BE t＝4×t＝t2，
∴BC＝t，
∴m＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，从复杂的图形中找出相似三角形是解题的关键．
25．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设＝λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为 　﹣1　；
（2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为 　　．
【分析】（1）根据AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长；
（2）然后根据题目中的条件，可以得到△ADG≌△FGC，△EGC∽△GFC，根据全等三角形的性质、相似三角形的性质可以得到CE和EB的比值，从而可以得到λ的值．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAG＝∠F，
又∵AG平分∠DAE，
∴∠DAG＝∠EAG，
∴∠EAG＝∠F，
∴EA＝EF，
∵＝λ＝1，
∴点E为BC的中点，
∵AB＝2，∠B＝90°，
∴BE＝EC＝1，
∴AE＝＝，
∴EF＝，
∴CF＝EF﹣EC＝﹣1，
故答案为：﹣1；
（2）∵EA＝EF，EG⊥AF，
∴AG＝FG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠BCD＝90°，
∴∠GCF＝180°﹣90°＝90°，
在△ADG和△FCG中，
，
∴△ADG≌△FCG（AAS），
∴DG＝CG，CF＝DA，
设CD＝2a，则CG＝a，CF＝DA＝2a，
∵EG⊥AF，∠GCF＝90°，
∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，
∴∠EGC＝∠F，
∴△EGC∽△GFC，
∴＝，
∵GC＝a，CF＝2a，
∴＝，
∴＝，
∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a，
∴λ＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
26．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，E为CD上一点，tan∠EAD＝，以E为圆心，EA为半径的弧交AB于F，交BC于G，若F为弧AG的中点，则AF＝　5　，tan∠GEC＝　　．
【分析】过E点作EH⊥AF于H点，连接AG、FG，如图，在Rt△ADE中利用正切的定义得到an∠EAD＝＝，则设DE＝x，AD＝3x，根据垂径定理得到AH＝FH＝DE＝x，利用圆心角、弧、弦的关系得到FG＝FA＝2x，再证明∠FAG＝∠EAD，则tan∠BAG＝＝，于是可计算出BG＝3，在Rt△BFG中利用勾股定理得到（9﹣2x）2+32＝（2x）2，解方程求出x，则AF＝5，DE＝，AD＝，所以CG＝，CE＝，然后在Rt△CGE中利用正切的定义得到an∠GEC的值．
【解答】解：过E点作EH⊥AF于H点，连接AG、FG，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝∠BAD＝90°，
在Rt△ADE中，∵tan∠EAD＝＝，
∴设DE＝x，AD＝3x，
∵∠AHE＝∠HAD＝∠D＝90°，
∴四边形ADEH为矩形，
∴AH＝DE＝x，AD∥AE，
∴∠DAE＝∠HEA，
∵EH⊥AF，
∴AH＝FH＝x，∠HEA＝∠HEF，
∵F为弧AG的中点，
∴FG＝FA＝2x，∠AEF＝∠GEF，
∵∠FAG＝∠GEF＝∠AEF，
∴∠FAG＝∠EAD，
在Rt△ABG中，∵tan∠BAG＝＝，
∴BG＝AB＝×9＝3，
在Rt△BFG中，∵BF＝9﹣2x，FG＝2x，BG＝3，
∴（9﹣2x）2+32＝（2x）2，
解得x＝，
∴AF＝5，DE＝，AD＝，
∴CG＝BC﹣BG＝，CE＝CD﹣DE＝，
在Rt△CGE中，tan∠GEC＝＝．
故答案为：5，．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了矩形的性质和解直角三角形．
三．解答题（共5小题）
27．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为O，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）若AC＝4，AD＝2，cos∠ACB＝，求BC的长．
【分析】（1）根据平行线的判定定理得到AC∥DE，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠ACB＝∠DEB，根据平行四边形的性质得到DE＝AC＝4，CE＝AD＝2，求得BE＝5，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵AC⊥BD，BD⊥DE，
∴AC∥DE，
∵AD∥BC，
∴AD∥CE，
又∵AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）解：∵AC∥DE，
∴∠ACB＝∠DEB，
∴cos∠ACB＝cos∠DEB＝＝，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴DE＝AC＝4，CE＝AD＝2，
∴BE＝5，
∴BC＝BE﹣CE＝3，
故BC的长为3．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
28．如图，△ABC中，AB＝AC，圆O为△ABC 的外接圆，弦BD⊥OC 于点F，交AC于点E，连结CD．
（1）求证：BE＝BC；
（2）若tan∠BCA＝3，EF＝2，求AB的长．
【分析】（1）证明△ABC∽△BEC，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；
（2）求出CE的长，求出BC＝10，由（1）知，△ABC∽△BEC，得出，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵BD⊥OC，
∴，
∴∠CBE＝∠CAB，
又∵∠ECB＝∠BCA，
∴△ABC∽△BEC，
∴，
∵AB＝AC，
∴BE＝BC；
（2）解：∵BE＝BC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∵BD⊥OC，tan∠BCA＝3，EF＝2，
∴，
∴CF＝6，
∴，
设BC＝x，
∵BC2＝BF2+CF2，BF＝BE﹣EF＝x﹣2，
∴x2＝（x﹣2）2+62，
∴x＝10．
∴BC＝10，
由（1）知，△ABC∽△BEC，
∴，
∴，
∴．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质和勾股定理以及锐角三角函数的定义等知识，证明三角形相似得出BC的长是解题的关键．
29．四边形ABCD中，点E在边AB上，连接DE，CE．
（1）如图1，若∠A＝∠B＝∠DEC＝50°，证明：△ADE∽△BEC．
（2）如图2，若四边形ABCD为矩形，AB＝5，BC＝2，且△ADE与E、B、C为顶点的三角形相似，求AE的长．
【分析】（1）由点E在边AB上，且∠A＝∠DEC＝50°，得∠ADE＝130°﹣∠AED，∠BEC＝130°﹣∠AED，所以∠ADE＝∠BEC，又因为∠A＝∠B，所以根据“有两个角分别相等的两个三角形相似”即可证明△AED∽△BCE；
（2）分两种情况：△ADE∽△BEC或△ADE∽△BCE，设AE＝x，根据相似三角形的对应边成比例列方程求出x的值即可．
【解答】（1）证明：∵点E在边AB上，且∠A＝∠DEC＝50°，
∴∠ADE＝180°﹣50°﹣∠AED＝130°﹣∠AED，∠BEC＝180°﹣50°﹣∠AED＝130°﹣∠AED，
∴∠ADE＝∠BEC，
∵∠A＝∠B，
∴△ADE∽△BEC；
（2）如图2、如图3，
分两种情况：
设AE＝x，
∵AB＝5，AD＝BC＝2，
当△ADE∽△BEC时，
∴＝，
∴＝，
解得x1＝1，x2＝4；
△ADE∽△BCE时，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝2.5，
综上，AE的长为1或4或2.5．
【点评】此题考查相似三角形的判定与性质、同角的余角相等、矩形的性质等知识，找出图形中的相似三角形并根据已知条件证明三角形相似是解题的关键．
30．如图1，已知△ABC，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC＝90°，连接DE交AB于点F．
（1）探究：AF与BF的数量关系，写出你的猜想并加以证明；
（2）如图2，若∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°，题目中的其他条件不变，（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，若∠ADB＝∠BEC＝m∠ABC，题目中的其他条件不变，使得（1）中得到的结论仍然成立，请直接写出m的值．
【分析】（1）作DG⊥AB于G，证明△DFG≌△EFB，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）仿照（1）的证明方法证明；
（3）作DH⊥AB于H，要使得结论AF＝3BF成立，则有∠DGF＝∠EBF＝90°，可得（180°﹣m∠ABC）+∠ABC＝90°，可得m＝2．
【解答】解：（1）结论：AF＝3BF．
理由：如图1，过点D作DG⊥AB于G，则∠DGB＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，
∴AC＝CB，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴BC＝AB，
∵DA＝DB，∠ADB＝90°，
∴DG＝AG＝BG＝AB，
在Rt△BEC中，∠BEC＝90°，EB＝EC，
∴BE＝BC＝AB，
∴DG＝BE，
在△DFG和△EFB中，
，
∴△DFG≌△EFB（AAS），
∴FG＝BF，
∵AF＝3BF；
（2）猜想：AF＝3FB．
证明：如图2中，过点D作DG⊥AB于G，则∠DGB＝90°．
∵DA＝DB，∠ADB＝60°．
∴AG＝BG，△DBA是等边三角形．
∴DB＝BA．
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴AC＝AB＝BG．
在Rt△DBG和Rt△BAC中，
，
∴Rt△DBG≌Rt△BAC（HL）．
∴DG＝BC．
∵BE＝EC，∠BEC＝60°，
∴△EBC是等边三角形．
∴BC＝BE，∠CBE＝60°．
∴DG＝BE，∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°．
∵∠DFG＝∠EFB，∠DGF＝∠EBF，
在△DFG和△EFB中，
，
∴△DFG≌△EFB（AAS）．
∴GF＝BF，
故 AF＝3FB；
（3）结论：m＝2，
理由：如图3中，过点D作DG⊥AB于G，则∠DGB＝90°．
要使得结论AF＝3BF成立，则有∠DGF＝∠EBF＝90°，
∴（180°﹣m∠ABC）+∠ABC＝90°，
∴90°﹣m ∠ABC+∠ABC＝90°，
∴m＝2．
【点评】本题属于三角形综合题，考查的是等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
31．在矩形ABCD中，（k为常数），点G，F分别在边CD，AB上．
（1）如图1，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，GF⊥AE，且，求证：AE＝FG；
（2）如图2，将矩形ABCD沿GF折叠，点A恰好落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．
①探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；
②连接CP，若，若，，求CP的长．
【分析】（1）先证明△ABE≌△DAQ（ASA），得AE＝DQ，再证明四边形DQFG是平行四边形，即可得出结论；
（2）过点G作GM⊥AB于M，证明△ABE∽△GMF，即可求解；
（3）过点P作PM⊥BC交BC的延长线于点M，利用相似三角形的性质求出PM，CM，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ，
∴∠QAO+∠OAD＝90°，
∵AE⊥DQ，
∴∠ADO+∠OAD＝90°，
∴∠QAO＝∠ADO，
∴△ABE≌△DAQ（ASA），
∴AE＝DQ，
∵DQ⊥AE，GF⊥AE，
∴DQ∥GF，
∵FQ∥DG，
∴四边形DQFG是平行四边形，
∴GF＝DQ，
∵AE＝DQ，
∴AE＝FG；
（2），理由如下：
如图，过点G作GM⊥AB于M，
∵AE⊥FG，
∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，
∴∠BAE＝∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM＝AD，
∴；
（3）解：如图，过点P作PM⊥BC交BC的延长线于点M，
∵FB∥GC，FE∥GP，
∴∠CGP＝∠BFE，
∴tan∠CGP＝tan∠BFE＝，
∴设BE＝4k，BF＝3k，EF＝AF＝5k，
∵＝，FG＝2，
∴AE＝，
∴（4k）2，
∴k＝或﹣（舍去），
∴BE＝，AB＝，EF＝AF＝，BF＝2，
∵BC：AB＝3：4，
∴BC＝4，
∴CE＝BC﹣BE＝4﹣，AD＝PE＝BC＝4，
∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，
∴∠FEB＝∠EPM，
∴△FEB∽△EPM，
∴，
∴，
∴EM＝，PM＝，
∴CM＝EM﹣CE＝，
∴CP＝＝．
【点评】本题是相似三角形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，正确作出辅助线，灵活运用各性质定理是解题的关键．
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