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7.4.1 二项分布 导学案
学习目标
1.理解n重伯努利试验的概念.
2.掌握二项分布.
3.能利用n重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题．
重点难点
1．重点：n重伯努利试验、二项分布及其数字特征.
2．难点：在实际问题中抽象出模型的特征，识别二项分布.
课前预习 自主梳理
知识点一　n重伯努利试验及其特征
1．n重伯努利试验的概念
将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
2．n重伯努利试验的共同特征
（1）同一个伯努利试验重复做n次．
（2）各次试验的结果相互独立．
思考　在相同条件下，有放回地抽样试验是n重伯努利试验吗？
答案　是．其满足n重伯努利试验的共同特征．
知识点二　二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0P（X＝k）＝Cpk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n.
称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p）．
知识点三　二项分布的均值与方差
若X～B（n，p），则E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）．
自主检测
1．判断正误，正确的写正确，错误的写错误．
（1）设为重伯努利试验中事件A发生的次数，则．( )
（2）在n重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响．( )
（3）对于n重伯努利试验，各次试验中事件发生的概率可以不同．( )
（4）如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n重伯努利试验中这个事件恰好发生k次的概率.( )
2．已知，且，则等于（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
3．如果X～B(15，)，则使P(X＝k)最大的k值（ ）
A．3 B．4
C．4或5 D．3或4
4．已知随机变量服从二项分布，且，则（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
5．一个盒子里装有大小相同的红球、白球共30个，其中白球4个．从中任取两个，则概率为的事件是（ ）
A．没有白球 B．至少有一个白球
C．至少有一个红球 D．至多有一个白球
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
刘备帐下的智囊团除诸葛亮以外还有9名谋士，假定对某事进行决策时，这9名谋士贡献正确意见的概率均为0.7，诸葛亮贡献正确意见的概率为0.85.现刘备为某事可 行与否征求智囊团的意见.有以下两种方案：
（1）征求每名谋士的意见，并按多数人的意见作出决策.（2）采纳诸葛亮的意见.应按哪种方案作出决定？学完本节课，你就能够帮助刘备作出决定了.
【设计意图】通过具体的问题情境，引发学生思考，积极参与互动，说出自己的见解，从而引入伯努利试验的概念.
前面我们学习了离散型随机变量的有关知识，本节将利用这些知识研究两类重要的概率模型——二项分布和超几何分布．
在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果．例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等．我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验（Bernoulli trials）．
思考1：你能根据"重伯努利试验的定义，归纳总结它的特征吗？
我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．显然，n重伯努利试验具有如下共同特征：
（1）同一个伯努利试验重复做n次；
（2）各次试验的结果相互独立．
“重复”意味着各次试验成功的概率相同．
学生思考、讨论、交流，得出n重伯努利试验具有如下 共同特征：
（1）同一个伯努利试验重复做n次；
（2）各次试验的结果相互独立.
【设计意图】在具体实例的基础上理解伯努利试验和n 重伯努利试验的概念，并探究江重伯努利试验的特征，提 升数学抽象核心素养.
在归纳总结出n重伯努利试验的特征后，教师提出以 下问题让学生思考：
环节二 观察分析，感知概念
思考：下面3个随机试验是否为n重伯努利试验？如果是，那么其中的伯努利试验是什么？对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大？重复试验的次数是多少？
（1）抛掷一枚质地均匀的硬币10次．
（2）某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次．
（3）一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件．
在伯努利试验中，我们关注某个事件A是否发生，而在n重伯努利试验中，我们关注事件A发生的次数X．进一步地，因为X是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列．例如，对产品抽样检验，随机抽取n件，我们关心样本中不合格品数的概率分布列．
思考2：伯努利试验和n重伯努利试验有什么不同？
【师生活动】教师展示问题，让学生思考.
在学生思考的同时，教师可以适当引导，让学生在充 分理解这两个概念的基础上进行辨析.
伯努利试验是一个“只有两个结果的试验”，在试验 中，只关注某个事件发生或不发生；"重伯努利试验是对 一个“只有两个结果的试验”重复进行了 n次，试验中的关 注点是某个事件“发生”的次数X.进一步地，因为X是一 个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分 布列.
【设计意图】通过辨析伯努利试验和 重伯努利试验，加深学生对这两个概念的理解.
探究：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8．连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的？
【师生活动】教师和学生共同完成这一问题的分析和解答过程，让 学生体验二项分布模型的构建过程.
用A：表示“第i次射击中靶”，用如图7.4-1的树状图表示试验的可能结果．
由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积．由概率的加法公式和乘法公式得
，
，
，
．
为了简化表示，每次射击用1表示中靶，用0表示脱靶，那么3次射击恰好2次中靶的所有可能结果可表示为011，110，101，这三个结果发生的概率都相等，均为，并且与哪两次中靶无关．因此，3次射击恰好2次中靶的概率为．同理可求中靶0次、1次、3次的概率．于是，中靶次数X的分布列为，．
环节三 抽象概括，形成概念
思考：如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些？写出中靶次数X的分布列．
【师生活动】
学生类比上面的分析，自己独立完成解答.
3次射击恰好2次中靶的所有可能结果可表示为0011，0110，0101，1001，1010，1100．中靶次数X的分布列为，．
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为，
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布（binomial distribution），记作．
对比二项分布与二项式定理，你能看出它们之间的联系吗？
由二项式定理，容易得到．
【设计意图】通过对具体问题的分析，让学生掌握二项 分布的概念及其特点，发展学生的数学抽象核心素养.
环节四 辨析理解 深化概念
例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：
（1）恰好出现5次正面朝上的概率；
（2）正面朝上出现的频率在内的概率．
分析：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等，这是一个10重伯努利试验．因此，正面朝上的次数服从二项分布．
解：设“正面朝上”，则．用X表示事件A发生的次数，则，
（1）恰好出现 5 次正面朝上等价于，于是；
（2）正面朝上出现的频率在内等价于，于是
．
【设计意图】通过典例解析，在具体的问题情境中，深化 学生对二项分布的理解.发展学生的数学建模和数学运算 核心素养.
例2 图7.4-2是一块高尔顿板的示意图．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列．
【师生活动】
教师展示例题，设计以下问题引导学生分析.
对于本例题来说：
（1）伯努利试验是什么？
（2）“成功”的事件是什么？ “成功”的概率是多少？
（3）重复试验的次数是多少？各次试验结果之间是否 相互独立？
（4）成功的次数与落入格子的号码的对应关系是 什么？
分析：小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果．设试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向，有“向左下落”和“向右下落”两种可能结果，且概率都是0.5．在下落的过程中，小球共碰撞小木钉10次，且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响，因此这是一个10重伯努利试验．小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数，因此X服从二项分布．
解：设“向右下落”，则 “向左下落”，且．因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以．于是，X的分布列为．
X的概率分布图如图7.4-3所示．
【设计意图】以问题引导学生分析，帮助他们逐步掌握 抽象模型特征的一般步骤.钉板试验可以使学生认识到随机现象的特点，即偶然中蕴含着必然规律，提升学生的数 学建模核心素养.
环节五 概念应用，巩固内化
例3 甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？
分析：判断哪个赛制对甲有利，就是看在哪个赛制中甲最终获胜的概率大．可以把“甲最终获胜”这个事件，按可能的比分情况表示为若干事件的和，再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率；也可以假定赛完所有n局，把n局比赛看成n重伯努利试验，利用二项分布求“甲最终获胜”的概率．
解法1：采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2：0或2：1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜．因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为．
类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3：0，3：1或3：2．因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为．
解法2：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则，甲最终获胜的概率为．
采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，则．甲最终获胜的概率为
．
因为，所以5局3胜制对甲有利．实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利．
为什么假定赛满3局或5局，不影响甲最终获胜的概率？
归纳
一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下：
（1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；
（2）确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；
（3）设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则．
对于一个离散型随机变量，除了关心它的概率分布列外，我们还关心它的均值和方差等数字特征．因此，一个服从二项分布的随机变量，其均值和方差也是我们关心的．
【设计意图】对于例3，给出了两种解法.前一种解法符 合比赛实际规则，比较容易理解，但不符合二项分布的特 征.后一种解法用二项分布求解，解法较简单，但不易理解. 需要思考的问题是为什么假定赛满3局或5局不影响甲 最终获胜的概率.利用不同方法解决问题，拓展学生的思 维，提高学生解决问题的能力，同时培养他们的逻辑推理 和数学建模核心素养.
探究
假设随机变量X服从二项分布，那么X的均值和方差各是什么？
我们知道，抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”的概率为0.5，如果掷100次硬币，期望有次正面朝上．根据均值的含义，对于服从二项分布的随机变量X，我们猜想．
我们不妨从简单开始，先考察n较小的情况．
（1）当时，X服从两点分布，分布列为，．
均值和方差分别为，．
（2）当时，X的分布列为
，，．
均值和方差分别为
，
．
一般地，可以证明：
如果，那么，．
下面我们对均值进行证明．
令，由，可得．
令，则．
由，可得
（注意到）
令，则
．
二项分布的应用非常广泛．例如，生产过程中的质量控制和抽样方案，都是以二项分布为基础的；参加某保险人群中发生保险事故的人数，试制药品治愈某种疾病的人数，感染某种病毒的家禽数等，都可以用二项分布来描述．
环节六 归纳总结，反思提升
1. 本节课学习的概念有哪些？
（1）n重伯努利试验的概念及特征．
（2）二项分布的概念及表示．
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为，
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布（binomial distribution），记作．
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
（1）方法归纳：数学建模．
（2）常见误区：二项分布的判断错误．
3.确定一个二项分布模型的步骤如下：
（1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；
（2）确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；
（3）设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则．
【设计意图】通过总结，进一步巩固本节所学内容，提高 概括总结的能力.
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：教材第76 77页练习第1，2，3题.
备用练习
6．若，且，则（ ）
A．a的最小值为4 B．的最小值为4
C．a的最大值为4 D．的最大值为4
7．若X～B（20，0.3），则（ ）
A．E（X）＝3 B．P（X≥1）＝1﹣0.320
C．D（X）＝4 D．P（X＝10）
8．某人在19次射击中击中目标的次数为X，若，若最大，则（ ）
A．14或15 B．15 C．15或16 D．16
9．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，且，则（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
10．已知某疾病的某种疗法治愈率为80%.若有100位该病患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相互独立，设其中被治愈的人数为X，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．存在，使得成立
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1． 正确 正确 错误 正确
【分析】根据重伯努利试验的特征和二项分布的定义可依次判断各个选项得到结果.
【详解】一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验为重伯努利试验，
在重伯努利试验中，各次试验的结果相互之间没有影响，各次试验中事件发生的概率相同，
故（2）正确，（3）错误；
二项分布的定义为：在重伯努利试验中，
设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，
则这个事件恰好发生次的概率，
如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，
记作，故（1）正确，（4）正确．
故答案为：（1）正确，（2）正确，（3）错误，（4）正确．
2．B
【分析】由条件结合二项分布期望公式列方程求，再由期望公式求.
【详解】因为，，
所以，所以，
所以，
所以.
故选：B.
3．D
【分析】利用做商法比较大小，，得．即可得出结论．
【详解】解：，得．
所以当时，，
当时，，
其中时，，
从而或4时，取得最大值，
故选：D
4．C
【分析】先由和二项分布的期望计算公式求得，再根据二项分布方差计算公式，可得选项.
【详解】因为，所以，故．
故选：C.
【点睛】本题考查二项分布的期望和方差的计算公式，属于基础题.
5．B
【分析】根据，，以及所代表的意义，可得到正确的选项.
【详解】表示从30个球中任取两个球的不同取法的总数，表示从30个球中任取两个球且两球是
一红一白的不同取法的总数，表示从4个白球中任取两个不同的球的取法总数，故为从
30个球中任取两个球，至少有一个白球的概率，
故选：B.
6．B
【分析】根据二项分布方差的性质得到方程，得到，由基本不等式求出.
【详解】因为，所以，
则，因为（当且仅当时，等号成立），
所以，则的最小值为4．
故选：B
7．D
【分析】根据二项分布的均值，方差以及概率公式求解即可.
【详解】因为，所以，
故选：D
【点睛】本题主要考查了二项分布的均值，方差以及概率公式，属于中档题.
8．C
【分析】由二项分布的概率计算公式及计算即可.
【详解】因为在19次射击中击中目标的次数为X，，
所以，且.
若最大，则.
，即
解得：，
因为且，所以当或时，最大.
故选：C.
9．A
【分析】由二项分布的方差公式可求出或，又因为可得，所以可求出，再由二项分布的期望即可求出答案.
【详解】解：由二项分布的方差公式有，
解得: 或.
而即，
解得:
所以，从而.
故选:A
10．B
【分析】
根据二项分布的概率公式、期望与方差公式及期望与方差的性质计算即可逐一判定.
【详解】由题意可得，
则，
所以，，故AC错误；
由二项分布的概率公式得，故B正确；
，
若，
则，
化简得，解得，与条件矛盾，即D错误.
故选：B.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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