资源简介

7.4.2超几何分布 导学案
学习目标
1. 理解超几何分布概念， 能够判定随机变量是否服从超几何分布;
2. 会应用超几何分布列的概率公式计算求解随机事件的概率;
3. 能够利用随机变量服从超几何分布的知识解决实际问题， 会求服从超几何分布的随机变量的均值.
重点难点
重点：超几何分布的概率求法及应用
难点：区分超几何分布与二项分布
课前预习 自主梳理
知识点一　超几何分布
定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P（X＝k）＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
知识点二 超几何分布的期望
E（X）＝＝np（p为N件产品的次品率）．
自主检测
1．判断正误，正确的写“正确”，错误的写“错误”．
（1）超几何分布的总体里只有两类物品．( )
（2）超几何分布的模型是不放回抽样．( )
（3）超几何分布与二项分布的期望值都为np.( )
（4）超几何分布是不放回抽样．( )
（5）超几何分布的总体是只有两类物品．( )
（6）超几何分布与二项分布的均值相同．( )
（7）超几何分布与二项分布没有任何联系．( )
（8）将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X服从超几何分布.( )
（9）盒中有4个白球和3个黑球，有放回地摸取3个球，黑球的个数X服从超几何分布.( )
（10）某射手的命中率为0.8，现对目标射击3次，命中目标的次数X服从超几何分布.( )
2．设随机变量，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为
A． B．
C． D．
4．下列说法正确的有（ ）
A．若随机变量X的数学期望，则
B．若随机变量Y的方差
C．将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为，则服从二项分布
D．从7男3女共10名学生干部中随机选取5名学生干部，记选出女学生干部的人数为，则服从超几何分布
5．生产方提供箱的一批产品，其中有箱不合格产品.采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取箱产品进行检测，若至多有箱不合格产品，便接收该批产品.则该批产品被接收的概率为 （结果用最简分数表示）.
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
前面我们学习了排列组合、离散型随机变量的有关知识，本节课将利用这些知识继续研究第二个重要的概率模型----超几何分布.
问题 已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列．
（1）采用有放回抽样，随机变量X服从二项分布吗？
我们知道，如果采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时X服从二项分布，即．
（2）如果采用不放回抽样，请问抽取的4件产品中次品数X还服从二项分布吗？若不服从，那么X的分布列是什么？
采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合n重伯努利试验的特征，因此X不服从二项分布．
学生回答：不服从，需要根据古典概型来求X的分布列.
环节二 观察分析，感知概念
可以根据古典概型求X的分布列．由题意可知，X可能的取值为0，1，2，3，4．从100件产品中任取4件，样本空间包含个样本点，且每个样本点都是等可能发生的．其中4件产品中恰有k件次品的结果数为．由古典概型的知识，得X的分布列为
．
计算的具体结果（精确到0.00001）如表7.4-1所示．
表7.4-1
X 0 1 2 3 4
P 0.71257 0.25621 0.02989 0.00131 0.00002
（3）观察上述分布列中的概率求解方法，与二项分布的有什么不同？从中得出什么规律？
【设计意图】通过具体的问题情境，引发学生积极思考，也就是利用已学知识来观察这个问题，通过参与互动，说出自己见解.从而引出超几何分布的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养.
环节三 抽象概括，形成概念
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为．其中，，，，．
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布（hypergeometric distribution）．
（4）剖析超几何分布的概念：
1.公式 中个字母的含义
N—总体中的个体总数；M—总体中的特殊个体总数（如次品总数）
n—样本容量；k—样本中的特殊个体数（如次品数）
2.上述概率分布列计算公式是直接利用组合数的意义列式计算的，所以不要机械记忆这个概率分布列.
3. “任取n件，恰有k件次品”是可以理解为一次性抽取，也可以理解为逐个不放回抽取.
例4 从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率．
解：设X表示选出的5名学生中含甲的人数（只能取0或1），则X服从超几何分布，且，，．
因此甲被选中的概率为
．
容易发现，每个人被抽到的概率都是，这个结论非常直观，这里给出了严格的推导．
例5 一批零件共有30个，其中有3个不合格．随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率．
解：设抽取的10个零件中不合格品数为X，则X服从超几何分布，且，，．X的分布列为
．
至少有 1 件不合格的概率为
．
也可以按如下方法求解：
．
归纳总结：（1）当研究的事物涉及二维离散型随机变量（如：次品、两类颜色等问题）时的概率分布可视为一个超几何分布；
（2）在超几何分布中，只要知道参数N，M，n就可以根据概率计算公式求出X取不同值时的概率.
【设计意图】通过两个例题，让学生更加充分的认识超几何分布的概率计算方法，提高他们的数学运算能力.也通过数学抽象和数学建模来达到问题归类，方法统一.
环节四 辨析理解 深化概念
探究：服从超几何分布的随机变量的均值是什么？
设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数． 令，则是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，我们猜想，即．
实际上，由随机变量均值的定义，令，，由随机变量均值的定义：
当时，
．（1）
因为，所以
．
当时，注意到（1）式中间求和的第一项为0，类似可以证明结论依然成立．
【设计意图】通过一个例题的计算，知道结果是满足猜想E（X）=np，接下来将引导学生深知数学结论能否直接使用，必将进行严格的证明，此时鼓励同学们课后去完成.因为课堂上如果去完成这个证明，将会使得课堂教学脱离教学重点，正好也鼓励同学们进行课后思考和同时提升同学们的自学能力.
环节五 概念应用，巩固内化
例6 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本．用X表示样本中黄球的个数．
（1）分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；
（2）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率．
分析：因为只有两种颜色的球，每次摸球都是一个伯努利试验．摸出20个球，采用有放回摸球，各次试验的结果相互独立，；而采用不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布．
解：（1）对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此，X的分布列为
．
对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，X的分布列为
，．
（2）利用统计软件可以计算出两个分布列具体的概率值（精确到 0.00001 ），如表7.4-2 所示．
表7.4-2
k p1k p2k k p1k p2k
0 0.000 04 0.000 01 11 0.070 99 0.063 76
1 0.000 49 0.000 15 12 0.035 50 0.026 67
2 0.003 09 0.001 35 13 0.014 56 0.008 67
3 0.012 35 0.007 14 14 0.004 85 0.002 17
4 0.034 99 0.025 51 15 0.001 29 0.000 41
5 0.074 65 0.065 30 16 0.000 27 0.000 06
6 0.124 41 0.124 22 17 0.000 04 0.000 01
7 0.165 88 0.179 72 18 0.000 00 0.000 00
8 0.179 71 0.200 78 19 0.000 00 0.000 00
9 0.159 74 0.174 83 20 0.000 00 0.000 00
10 0.117 14 0.119 24
样本中黄球的比例是一个随机变量，根据表7.4-2，计算得
有放回摸球： ．
不放回摸球： ．
因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些．
两种摸球方式下，随机变量X分别服从二项分布和超几何分布．虽然这两种分布有相等的均值（都是8），但从两种分布的概率分布图（图7.4-4）看，超几何分布更集中在均值附近．
二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同．对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似．
【设计意图】通过对二项分布和超几何分布的问题对比分析和研究，以逻辑推理、直观想象的教学方式，让学生充分掌握超几何分布的概念及其特点.通过问题的探究和对比，进一步了解了这两个分布的区别和联系.
环节六 归纳总结，反思提升
1.本节课学习的概念有哪些？
（1）超几何分布的概念及特征．
（2）超几何分布的均值．
（3）超几何分布与二项分布的区别与联系．
2.在解决问题时，用到了哪些数学思想？
（1）方法归纳：类比．
（2）常见误区：超几何分布与二项分布混淆，前者是不放回抽样，后者是有放回抽样．
【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力.
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：教材第80页练习第1，2题.
备用练习
6．研究显示，某地区实施人工降雨以后降水量超过200mm的率为.现在由于干旱，要对该地区连续4天使用人工降雨，则在这4天中至少有2天降水量超过200mm的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为9
B．已知随机变量服从二项分布：，设，则的方差
C．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是
D．若样本数据的平均数为2，则的平均数为8
8．某中学组织了足球射门比赛，规定每名同学有次射门机会，踢进一球得分，没踢进得分．小明参加比赛且没有放弃任何一次射门机会，每次踢进的概率为，每次射门相互独立．记为小明得分总和，为小明踢进球的次数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．若随机变量，，则（ ）
A． B． C． D．
10．下列关于超几何分布的叙述中，正确的是（ ）
A．X的可能取值为0，1，2，…，20 B．
C．X的数学期望 D．当k＝8时，最大
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1． 正确 正确 正确 正确 正确 正确 错误 错误 错误 错误
【分析】由超几何分布概念可判断正误.
【详解】第一空，超几何分布总体只有两类物品，故说法正确；
第二空，超几何分布是不放回抽样，故说法正确；
第三空，设超几何分布中，某类物品数量为M，物品总数为N，则每次抽一个，不放回抽取n次，某类物品数量的期望为；
设二项分布中，出现某种情况的概率为p，则重复试验n次，出现某种情况次数的期望为.则超几何分布与二项分布的期望值都为np，故说法正确；
第四空，超几何分布是不放回抽样，故说法正确；
第五空，由第二空可知，说法正确；
第六空，由第三空可知，说法正确；
第七空，当总体分布很大时，超几何分布近似于二项分布，故说法错误；
第八空，由题可知正面向上的次数X服从二项分布，故说法错误；
第九空，超几何分布对应不放回抽取，故说法错误；
第十空，由题可知命中目标的次数X满足二项分布，故说法错误.
故答案为：正确；正确；正确；正确；正确；正确；错误；错误；错误；错误.
2．A
【分析】利用二项分布的期望公式求解.
【详解】因为随机变量，且，
所以，所以,
故选:A.
3．A
【分析】由题意可知，选手射击属于独立重复事件，属于二项分布，按照二项分布求概率即可得到答案.
【详解】设为击中目标的次数，则，从而这名射手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为．选A.
【点睛】本题考查独立重复事件发生的概率，考查二项分布公式的运用，属于基础题.
4．ABCD
【分析】利用离散型随机变量的期望的性质可判断A，利用离散型随机变量的方差的性质可判断B，利用二项分布的概念可判断C，利用超几何分布的概念可判断D.
【详解】对于选项A：因为，故A正确；
对于选项B：因为，故B正确；
对于选项C：根据二项分布的概念可知随机变量服从，故C正确；
对于选项D：根据超几何分布的概念可知服从超几何分布，故D正确.
故选：ABCD.
5．
【分析】以箱为一批产品，从中随机抽取箱，用表示“箱中不合格产品的箱数”，则服从超几何分布，其中..，结合超几何分布的概率公式即可求解.
【详解】以箱为一批产品，从中随机抽取箱，用表示“箱中不合格产品的箱数”，
则服从超几何分布，其中..，
∴该批产品被接收的概率为：.
故答案为：.
6．B
【分析】利用独立重复试验概率公式即得.
【详解】依题意，所求概率为.
故选：B.
7．AD
【分析】由百分位数的概念可判断A，由二项分布的方差可知B错误，由古典概型可判断C，由平均数的性质可判断D.
【详解】对于A，共有7个数据，而，故第60百分位数为9，A正确；
对于B，易知，而，所以，B错误；
对于C，由古典概型可知：从51个体中抽取2个个体，每个个体被抽到的概率都是，C错误；
对于D，若样本数据的平均数为2，则的平均数为，D正确.
故选：AD
8．AC
【分析】根据二项分布的性质，结合数学期望和方差的公式逐一判断即可．
【详解】由题意得，，因此，所以选项A正确；
，所以选项B不正确；
由题意得，则，所以选项C正确；
，，因此选项D不正确．
故选：AC．
9．D
【分析】根据二项分布的期望与方程的计算公式，由题中条件，列出方程，即可求出结果.
【详解】因为，，
则，解得，
所以.
故选：D.
10．ACD
【分析】根据超几何分布的定义和性质即可判断ABC选项；根据最大列不等式，解不等式即可得到，即可判断D选项.
【详解】根据超几何分布的定义得到的可能取值为0，1，2，20，，，故AC正确，B错；
，解得，所以时最大，故D正确.
故选：ACD.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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