资源简介

7.5 正态分布 导学案
学习目标
1.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
2.了解变量落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率大小.
3.会用正态分布去解决实际问题．
重点难点
重点：正态分布的特征，概率的表示，正态分布的均值、方差及其含义.
难点：描述正态分布随机变量的概率分布.
课前预习 自主梳理
知识点一 正态曲线
正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线
函数f（x）＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数．
显然对于任意x∈R，f（x）>0，它的图象在x轴的上方．可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1．我们称f（x）为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
若随机变量X的概率密度函数为f（x），则称随机变量X服从正态分布，记为X～ N（μ，σ2），特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．
知识点二　正态曲线的特点
1．对 x∈R，f（x）>0，它的图象在x轴的上方．
2．曲线与x轴之间的面积为1.
3．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．
4．曲线在x＝μ处达到峰值.
5．当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
6．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.
7．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.
知识点三　正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则
P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 7；
P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954 5；
P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997 3.
尽管正态变量的取值范围是（－∞，＋∞），但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N（μ，σ2）的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．
自主检测
1．判断正误，正确的写正确，错误的写错误．
（1）正态曲线中参数的意义分别是样本的均值与方差．( )
（2）正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数的变化而变化的．( )
（3）正态曲线可以关于y轴对称．( )
（4）若，则.( )
（5）正态曲线是一条钟形曲线.( )
（6）正态曲线在轴的上方，并且关于直线对称.( )
2．已知随机变量，则（ ）(附：若，则，)
A．0.02275 B．0.1588 C．0.15865 D．0.34135
3．为准备2022年北京冬季奥运会，某冰上项目组织计划招收-批青少年参加集训，以选拔运动员，最终共有20000名青少年报名参加测试，其测试成绩（满分100分）服从正态分布，成绩在90分以上者可以进入集训队．若80分以上的人数为460，则可推断进入集训队的人数为（ ）
A．18 B．22 C．26 D．30
4．设随机变量，且，则 .
5．某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量近似服从正态分布（单位：），现有该新品种大枣个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为（ ）附：若，则，，.
A． B． C． D．
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
现实中，除了前面已经研究过的离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量（continuous random variable）．下面我们看一个具体问题．
问题 自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400 g．由于各种不可控制的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差（实际质量减去标准质量）．用X表示这种误差，则X是一个连续型随机变量，检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差X（单位：g）的观测值如下：
-0.6 -1.4 -0.7 3.3 -2.9 -5.2 1.4 0.1 4.4 0.9
-2.6 -3.4 -0.7 -3.2 -1.7 2.9 0.6 1.7 2.9 1.2
0.5 -3.7 2.7 1.1 -3.0 -2.6 -1.9 1.7 2.6. 0.4
2.6 -2.0 -0.2 1.8 -0.7 -1.3 -0.5 -1.3 0.2 -2.1
2.4 -1.5 -0.4 3.8 -0.1 1.5 0.3 -1.8 0.0 2.5
3.5 -4.2 -1.0 -0.2 0.1 0.9 1.1 2.2 0.9 -0.6
-4.4 -1.1 3.9 -1.0 -0.6 1.7 0.3 -2.4 -0.1 -1.7
-0.5 -0.8 1.7 1.4 4.4 1.2 -1.8 -3.1 -2.1 -1.6
2.2 0.3 4.8 -0.8 -3.5 -2.7 3.8 1.4 -3.5 -0.9
-2.2 -0.7 -1.3 1.5 -1.5 -2.2 1.0 1.3 1.7 -0.9
（1）如何描述这100个样本误差数据的分布？
（2）如何构建适当的概率模型刻画误差的分布？
【师生活动】教师提出问题：根据我们已学的统计知识，你能用频 率分布直方图描述这组误差数据的分布吗？引导学生动手画频率分布直方图.
根据已学的统计知识，可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布，如图7.5-1所示．频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率，所有小矩形的面积之和为1．
学生画出频率分布直方图后，教师引导学生观察分析.
观察图形可知：误差观测值有正有负，并大致对称地分布在的两侧，而且小误差比大误差出现得更频繁．
环节二 观察分析，感知概念
随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线，如图7.5-2所示．
根据频率与概率的关系，可用图7.5-3中的钟形曲线（曲线与水平轴之间的面积为1）来描述袋装食盐质量误差的概率分布，例如，任意抽取一袋食盐，误差落在内的概率，可用图中黄色阴影部分的面积表示．
【设计意图】引导学生思考，使学生领悟描述连续型随机变量概率分布的思想方法.
由函数知识可知，图7.5-3中的钟形曲线是一个函数．那么，这个函数是否存在解析式呢？
答案是肯定的，在数学家的不懈努力下，找到了以下刻画随机误差分布的解析式：其中，为参数．
环节三 抽象概括，形成概念
显然，对任意的，，它的图象在轴的上方．可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线，如图7.5-4所示．若随机变量X的概率分布密度函数为，则称随机变量X服从正态分布（normal distribution），记为．特别地，当，时，称随机变量服从标准正态分布．
早在1734年，法国数学家棣莫弗（A．DeMoivre，1667-1754）在研究二项概率的近似计算时，已提出了正态密度函数的形式，但当时只是作为一个数学表达式．直到徳国数学家高斯（C．F．Gauss，1777-1855）提出“正态误差”的理论后，正态密度函数才取得“概率分布”的身份．因此，人们也称正态分布为高斯分布．
【师生活动】教师介绍得到正态密度函数的过程.
若，则如图7.5-4所示，取值不超过的概率为图中区域A的面积，而为区域B的面积．
正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布，例如，某些物理量的测量误差，
某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等，一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量，自动流水线生产的各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容），某地每年7月的平均气温、平均湿度、降水量等，一般都近似服从正态分布．
探究2观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现 正态曲线的哪些特点？
【师生活动】教师提出问题，让学生思考.学生观察正态曲线及相应的正态密度函数，说出自己的发现，教师评价完善.
师生共同归纳总结：
观察：观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点？
由的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点：
（1）曲线是单峰的，它关于直线对称；
（2）曲线在处达到峰值；
（3）当无限增大时，曲线无限接近轴．
【设计意图】介绍正态密度函数的数学史料，让学生了 解正态分布的概念；观察正态曲线及相应的正态密度函数，了解正态曲线的特点.发展学生的数学抽象与直观想象核心素养.
环节四 辨析理解 深化概念
思考：一个正态分布由参数和完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响 它们反映正态分布的哪些特征
【师生活动】教师提出问题，学生认真思考后发表自己的看法，教师评价完善.
师生共同归纳总结：
我们知道，函数的图象可由的图象平移得到．因此，在参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿轴平移，如图7.5-5所示．
当取定值时，因为曲线的峰值与成反比，而且对任意的，曲线与轴围成的面积总为1．因此，当较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图7.5-6所示．
观察图7.5-5和图7.5-6可以发现，参数反映了正态分布的集中位置，反映了随机变量的分布相对于均值的离散程度．实际上，我们有
若，则，．
在实际问题中，参数，可以分别利用样本平均值和样本标准差来估计．
【设计意图】通过观察正态密度曲线的特征，了解正态 密度函数中参数的变化对曲线的影响，以及服从正态分布 的变量的均值和方差.
环节五 概念应用，巩固内化
例 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30 min，样本方差为36；骑自行车平均用时34 min，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布．
（1）估计X，Y的分布中的参数；
（2）根据（1）中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线；
（3）如果某天有38 min可用，李明应选择哪种交通工具？如果某天只有34 min可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由．
分析：对于第（1）问，正态分布由参数和完全确定，根据正态分布参数的意义，可以分别用样本均值和样本标准差来估计，对于第（3）问，这是一个概率决策问题，首先要明确决策的准则，在给定的时间内选择不迟到概率大的交通工具；然后结合图形，根据概率的表示，比较概率的大小，作出判断．
解：（1）随机变量X的样本均值为30，样本标准差为6；随机变量Y的样本均值为34，样本标准差为2．用样本均值估计参数，用样本标准差估计参数，可以得到，．
（2）X和Y的分布密度曲线如图7.5-7所示．
（3）应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具．由图7.5-7可知，，．
所以，如果有38 min可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车；如果只有34 min可用，那么坐公交车不迟到的概率大，应选择坐公交车．
假设，可以证明：对给定的，是一个只与有关的定值．特别地，
，
，
．
上述结果可用图7.5-8表示．
由此看到，尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况几乎不可能发生．
在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值，这在统计学中称为原则．
环节六 归纳总结，反思提升
1. 本节课学习的概念有哪些？
（1）正态曲线及其特点．
（2）正态分布．
（3）正态分布的应用，3σ原则．
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
（1）方法归纳：转化化归、数形结合．
（2）常见误区：概率区间转化不等价．
3.正态分布的研究路径：
构建正态分布模型---正态分布的定义---概率的表示---正态密度曲线的特征----参数的意义----简单应用.
【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内 容，提高概括能力.
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：教材第87页习题7.5第1 4题.
备用练习
6．已知随机变量，且，则（ ）
A．0.1587 B．0.1827 C．0.3173 D．0.8413
7．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6
8．设随机变量x服从正态分布，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．关于正态分布N(μ，)，下列说法正确的是（ ）
A．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件
B．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件
C．随机变量落在[－3σ，3σ]之外是一个小概率事件
D．随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件
10．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1． 错误 错误 正确 正确 正确 错误
【分析】根据正态曲线的定义，性质判断正误，得到答案.
【详解】（1）正态曲线中参数的意义分别是样本的均值与标准差，错误；
（2）正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积为1，错误；
（3）当时，正态曲线关于y轴对称，正确；
（4）若，由对称性可知，正确；
（5）正态曲线是一条钟形曲线，正确；
（6）正态曲线在轴的上方，并且关于直线对称，错误.
故答案为：错误，错误，正确，正确，正确，错误
2．A
【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解.
【详解】由题意可得：，则，
所以.
故选：A.
3．D
【分析】利用正态分布的对称性求解即可
【详解】由题意，得．又，
所以由正态分布曲线的对称性可得
，故，
所以，
所以，
则90分以上的人数为，即进入集训队的人数为30．
故选：D
4．0.2##
【分析】由题设易知正态分布曲线关于y轴对称，利用对称性求即可.
【详解】由，即正态分布曲线关于y轴对称，
又，
所以.
故答案为：0.2
5．A
【分析】求出、的值，结合原则可求得的值，乘以可得结果.
【详解】因为，，则，，
则
，
因此，估计单果质量在范围内的大枣个数约为个.
故选：A.
6．A
【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得.
【详解】解：由题意得：
随机变量
正态曲线的对称轴是
故选：A
7．A
【分析】根据正态分布的对称性求解可得.
【详解】因为，且，所以，
又，所以.
故选：A
8．C
【分析】由随机变量x服从正态分布，可得正态曲线的对称轴为，然后对称关系可求得结果
【详解】解：因为随机变量x服从正态分布，
所以正态曲线的对称轴为，
因为，所以，得，
故选：C
9．D
【分析】根据正态分布的原则，结合小概率事件的定义，即可求解.
【详解】由正态分布中的原则，可得，
所以或，
所以随机变量落在之外是一个小概率事件.
故选：D.
10．B
【分析】根据正态曲线的对称性，由的概率可求出．
【详解】解：因为随机变量服从正态分布，所以所对应的正态曲线关于对称，所以，
．
故选：．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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