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4.3.2等比数列的前n项和公式（第2课时）导学案
学习目标
1.能够把实际问题转化成数列问题.
2.进一步熟悉通过建立数列模型并应用数列模型解决实际问题的过程．
重点难点
1.掌握等比数列前n项和的性质．
2．能够运用所学知识解决等差数列与等比数列的综合应用问题.
课前预习 自主梳理
知识点1．等比数列前n项和的性质
（1）若数列{an}为非常数列的等比数列，且其前n项和Sn＝A·qn＋B（A≠0，B≠0，q≠0，q≠1），则必有A＋B＝0；反之，若某一非常数列的前n项和Sn＝A·qn－A（A≠0，q≠0，q≠1），则该数列必为等比数列．
（2）如果公比q≠－1或虽q＝－1但n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列．
（3）当等比数列{an}的项数为偶数时，偶数项的和与奇数项的和之比＝q.
知识点2．分组求和
某些数列通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．
知识点3　等比数列前n项和的实际应用
1．解应用问题的核心是建立数学模型．
2．一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型．
3．注意问题是求什么（n，an，Sn）．
注意：
（1）解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答．
（2）在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确．
（3）在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系．
（4）在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求．
自主检测
1．判断正误，正确的写正确，错误的写错误．
（1）对于公比的等比数列的前项和公式，其的系数与常数项互为相反数. ( )
（2）数列的前项和为，则数列一定是等比数列. ( )
（3）数列为等比数列，则成等比数列. ( )
（4）若某数列的前项和公式为且，则此数列一定是等比数列. ( )
（5）若等比数列的前项和，则.( )
（6）若数列是公比的等比数列，则其前项和公式可表示为（，且，）．( )
2．已知数列满足，，设，则数列的前6项和为（ ）
A．127 B．255 C．31 D．63
3．数列{}中，已知对任意正整数n，有a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则（ ）
A．(3n－1)2 B． (27n－1)
C． (3n－1) D．27n－1
4．数列的前n项和为，，若，则m的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．设等比数列的前项和为，若，且的公比为整数，则（ ）
A． B． C． D．
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
回顾上节课内容总结为：
分类讨论的思想：
（1）利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论．
（2）研究等比数列的单调性时应进行讨论：
当a1>0，q>1或a1<0，0当a1<0，q>1或a1>0，0当q<0时为摆动数列；当q＝1时为常数列．
2．函数的思想：等比数列的通项an＝a1qn－1＝·qn（q>0且q≠1）常和指数函数相联系．
等比数列前n项和Sn＝·（qn－1）（q≠1）．
设A＝，则Sn＝A（qn－1）也与指数函数相联系．
3．整体思想：应用等比数列前n项和时，常把qn，当成整体求解．
环节二 观察分析，感知概念
例10如图4.3-2，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去．
（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少
分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列．
解：设正方形ABCD的面积为，后继各正方形的面积依次为，，…，，…，则．
由于第个正方形的顶点分别是第个正方形各边的中点，所以．
你能说明理由吗？
因此，是以25为首项，为公比的等比数列．
设的前项和为．
（1）．
所以，前10个正方形的面积之和为．
（2）当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和．而
．
随着的无限增大，将趋近于0，将趋近于50．
所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50．
环节三 抽象概括，形成概念
例11去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨．为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）．
分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列．因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算．
解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列，年内通过填埋方式处理的垃圾总量为（单位：万吨），则，，
．
当时，．
所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨．
环节四 辨析理解 深化概念
例12某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…．
（1）写出一个递推公式，表示与之间的关系；
（2）将（1）中的递推公式表示成的形式，其中，为常数；
（3）求的值（精确到1）．
分析：（1）可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立与的关系；
（2）这是待定系数法的应用，可以将它还原为（1）中的递推公式的形式，通过比较系数，得到方程组；（3）利用（2）的结论可得出解答．
解：（1）由题意，得，并且 ①
（2）将化成 ②
比较①的系数，可得，
解这个方程组，得．
所以，（1）中的递推公式可以化为．
环节五 概念应用，巩固内化
（3）由（2）可知，数列是以为首项，1.08为公比的等比数列，则
．
所以．
利用递推公式，借助于电子表格的计算，能快捷地求得（3）的结果．你可以试一试．
环节六 归纳总结，反思提升
问题：请同学们回顾本节课的学习内容，并回答下列问题：
1. 本节课学习的概念有哪些？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
1．知识清单：
（1）构造等比数列．
（2）建立数学模型．
2．方法归纳：构造法、转化法．
3．常见误区：在实际问题中首项和项数弄错．
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：第40页 练习 第1，2，3，4题
第40页 习题4.3 第1，2题
备用练习
6．设数列的前n项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．为响应国家号召，某地出台了相关的优惠政策鼓励“个体经济”.个体户小王2022年6月初向银行借了1年期的免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求.据测算：他每月月底获得的利润是该月初投入资金的20%，并且每月月底需扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2023年5月底他的年所得收入（扣除当月生活费且还完贷款）为（ ）元（参考数据：，）
A．35200 B．43200 C．30000 D．32000
8．中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰.书里记载了这样一个问题“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”译文是“今有一女子很会织布，每日加倍增长，5天共织5尺，问每日各织布多少尺？”，则该女子第二天织布（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
9．我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚十六尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢 ”，意思是：今有土墙厚尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠相逢需要的最少天数为（ ）
A． B． C． D．
10．已知等比数列的前n项和与前n项积分别为，，公比为正数，且，，则使成立的n的最大值为（ ）
A．8 B．9 C．12 D．13
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1． 正确 错误 错误 正确 正确 正确
【分析】根据等比数列前项和公式判断即可.
【详解】设等比数列的前项和为，则当时，
当时，
令，则，故（1）（5）（6）正确；
对于（2）：当时不是等比数列，故错误；
对于（3）：令，则，显然不成等比数列，故错误；
对于（4）：设数列的前项和公式为且，
当时，当时，
则，
显然当时也成立，
所以是以为首项，为公比的等比数列，故正确；
故答案为：正确；错误；错误；正确；正确；正确.
2．D
【分析】原式变形得，即，结合等比数列通项公式求解即可
【详解】由及，得，又，所以数列是等比数列，于是前6项和为，
故选：D.
3．B
【分析】由与的关系求出，再由等比数列的求和公式求解即可
【详解】设Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，
则当n≥2时，Sn－1＝3n－1－1，
故an＝Sn－Sn－1＝2×3n－1，
又a1＝2，
所以an＝2×3n－1，
所以＝.
故选：B
4．C
【分析】利用关系可得，并求得，根据等比数列的定义及其前n项和公式，即可求m的值.
【详解】由，则，两式相减得：，而，
所以，故是首项、公比均为的等比数列，
所以，可得.
故选：C
5．D
【解析】利用等比数列的通项公式和前项和定义把已知等式用表示后可求得．
【详解】因为，所以（舍去）.
故选：D．
6．C
【分析】根据通项与的关系可得递推公式，再构造等比数列求的通项公式，进而代入求得得到即可
【详解】当时，，解得.
当时，，
所，即，
所以，即，
所以数列是首项为3，公比为2的等比数列，则，
从而，故.
故选：C
7．D
【分析】根据题意，由条件可得数列是首项为4800，公比为1.2的等比数列，再由等比数列的通项公式即可得到结果.
【详解】设2022年6月底小王手中有现款为元，
设2022年6月底为第一个月，以此类推，设第个月底小王手中有现款为，第个月月底小王手中有现款为，
则，即，
所以数列是首项为4800，公比为1.2的等比数列，
∴，即，
年所得收入为元.
故选：D.
8．B
【分析】由题得每日织布尺数成公比为2的等比数列，根据前5项和得第二天织布数.
【详解】由题，设每日织布数的数列为，则为以2为公比的等比数列，
由题知，得，所以第二天织布尺数为.
故选：B.
9．C
【分析】设大鼠第天打洞尺，小鼠第天打洞尺，其中，分析可知两数列均为等比数列，确定这两个数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式以及数列的单调性可求得结果.
【详解】设大鼠第天打洞尺，小鼠第天打洞尺，其中，
则数列是首项为，公比为的等比数列，，
数列是首项为，公比为的等比数列，，
设数列的前项和为，则，
因为，故数列单调递增，
因为，故两鼠相遇至少需要天.
故选：C.
10．C
【分析】先求出，，再求出，接着求出并建立不等式，最后求解即可.
【详解】解：因为，，公比为正数显然不为1，所以，解得，，
所以，则，
要使，则，解得，
故n的最大值为12.
故选：C.
【点睛】本题考查等比数列的基本量法，是基础题.
答案第1页，共2页
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