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4.1.2 数列的概念 导学案
（1）理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.
（2）了解用累加法、累乘法由递推公式求通项公式.
（3）会由数列{an}的前n项和Sn求数列{an}的通项公式．
1.教学重点：掌握数列的通项公式及应用．
2.教学难点：理解Sn与an的关系，能运用这个关系解决相关问题．
知识点一　数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
思考　仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2（n≥2，n∈N*）就能确定这个数列吗？
答案　不能．知道了首项和递推公式，才能确定这个数列．
知识点二　数列的前n项和Sn与an的关系
1．把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2．
1．判断正误，正确的写正确，错误的写错误．
（1）递推公式也是表示数列的一种方法.( )
（2）所有数列都有递推公式.( )
（3） 成立的条件是( )
（4）在数列中，若，，则.( )
（5）利用，，可以确定数列．( )
（6）递推公式是表示数列的一种方法．( )
（7）表示数列中所有偶数项的和.( )
2．下列图案关于星星的数量构成一个数列，该数列的一个通项公式是（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列中，，，则的值为（ ）
A．5 B．6
C．7 D．8
4．已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝an，则数列{an}最大项是(　　)
A．a1 B．a9
C．a10 D．不存在
5．（多选）数列的递推公式是（ ）
A．
B．
C．
D．
环节一 创设情境，引入课题
问题1如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？
例3如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？
分析：要判断120是不是数列中的项，就是要回答是否存在正整数，使得．也就是判断上述关于的方程是否有正整数解．
解：令，解这个关于的方程，得（舍去），或．
所以，120是数列的项，是第10项．
【师生活动】教师引导学生理解题意：要判断120是不是该数列中的项，就是要判断是否存在正整数n，使得.我们令，接下来就是要判断这个关于n的方程是否有正整数解．学生解这个关于n的方程，得或.教师提醒学生：
因为n是正整数，所以-12要舍掉.因此，120是这个数列的项，并且是第10项.在这道题讲解后，教师总结：通项公式反映的是项与序号之间的关系，我们不仅要会通过序号求项，还要会像这道题一样根据项求序号.
环节二 观察分析，感知概念
问题2 图4.1-3中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中４个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前４项，写出这个数列的一个通项公式.
例4图4.1-3中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式．
解：在图4.1-3（1）（2）（3）（4）中，着色三角形的个数依次为1，3，9，27，
即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1．
因此，这个数列的一个通项公式是．
【师生活动】教师引导学生先数各图中着色三角形的个数，从而得到数列的前四项：1，3，9，27.教师启发学生：求这个数列的通项公式，就要找项与序号之间的关系.学生发现第1项是，第2项是，第3项，第4项是.这些数都是3的指数幂，指数为序号-1.因此，学生得出这个数列的一个通项公式就是.
追问：你能用数学语言归纳出后一项与前一项的关系吗？
换个角度观察图4.1-3中的4个图形．可以发现，，且每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1无色小三角形．于是从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍．
这样，例4中的数列的前4项满足，，，．
由此猜测这个数列满足公式
【师生活动】教师给学生以提示：当不能明显看出数列的项的取值规律时，我们可以尝试通过运算来寻找规律.如依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察.教师强调这是一种通过运算发现规律的思想，在数列的研究中有重要作用.学生按照教师的提示，发现这个数列的后一项等于前一项的3倍.教师接着帮助学生通过图形解释这个问题：每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为３个着色小三角形和１个无色小三角形.于是从第２个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的３倍.学生接着把发现的规律用数学语言归纳出来，得出.教师提醒学生注意：这个式子是在n≥2的前提下才成立的，n=1的情况我们只能单独讨论.于是写成.教师总结：同样一个数列，从两个不同的角度去观察，就发现了不同的规律.通项公式反映的是项与序号之间的关系.而（n≥2）这个式子反映的是后一项与前一项之间的关系.根据这个式子，我们已知第1项就能推出第2项，已知第2项就能推出第3项，以此类推.
环节三 抽象概括，形成概念
问题3什么是一个数列的递推公式？
像这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了．
【师生活动】教师呈现数列递推公式的定义：“如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.”学生根据前面对递推公式的认识，对教师呈现的数列递推公式的定义进行理解.教师提醒学生：知道了首项和递推公式，就能求出该数列的每一项了.
追问（1）：相邻多项之间的关系能用递推公式表示吗？
当不能明显看出数列的项的取值规律时，可以尝试通过运算来寻找规律．如依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察．
【师生活动】教师提到大名鼎鼎的斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…引导学生通过观察，发现这个数列第n项等于它的前一项（第n-1项）加上再往前一项（第n-2项）.学生认识到这其实就是相邻三项之间的关系：.教师提醒学生注意：因为下标最小是1，所以这里n≥3.这个数列的递推公式反映的是相邻三项之间的关系.教师向学生介绍：这个数列由意大利数学家斐波那契于1202年提出，它有很多有趣的性质.
追问（2）：一个数列的通项公式和递推公式有何联系与区别？
【师生活动】学生将通项公式和递推公式相比较，发现和刚刚学习的通项公式一样，递推公式也是数列的一种表示方法.只不过通项公式反映的是项与序号之间的对应关系，而递推公式反映的则是相邻两项或多项之间的关系.学生在教师的引导下认识到通项公式和递推公式各有利弊，在数列的研究中都发挥着巨大的作用.
【设计意图】通过具体问题的思考和分析，帮助学生认识数列中的递推公式.发展学生数学抽象和数学建模的核心素养.
例5已知数列的首项为，递推公式为，写出这个数列的前5项．
解：由题意可知
，
，
，
，
．
【师生活动】教师引导学生根据递推公式，令n=2，就得到.同理，令n分别等于3，4，5，就可依次求出，，.教师总结：知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了.
【设计意图】强化递推公式推数列的项，培养学生运算的素养.
环节四 辨析理解 深化概念
问题4什么是数列的前n项和公式？
在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一．我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即．
【师生活动】教师引导学生顾名思义：一个数列从第1项起到第n项止的各项之和就是该数列的前n项和，记作.如果数列的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的前n项和公式.
探索数列的求和公式，曾是古代算学家非常感兴趣的问题．
追问：数列的前n项和公式与通项公式有何联系？
如果数列的前项和与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前项和公式．
显然，而，
于是我们有
【师生活动】教师引导学生观察，发现其中有.如果把留出来，前面的就是前n-1项的和，也就是.如果已知前n项和公式，那么把公式中的n给换成n-1，就能得到，然后用就可以得到.教师提醒学生注意是前n-1项的和，这里n一定是大于或等于2的，所以当n≥2时，.学生接着思考n=1的情况，发现就是第1项，所以就等于.于是我们有 .
【设计意图】通过数列的通项与前n项和的认识，帮助学生理解.
环节五 概念应用，巩固内化
问题5 已知数列的前n项和公式为，你能求出的通项公式吗？
思考
已知数列的前项和公式为，你能求出的通项公式吗？
因为，
，
并且当时，依然成立．
所以的通项公式是．
【师生活动】教师引导学生根据一个数列前n项和公式与通项公式的关系，即，进行求解.教师提醒学生关注n=1的情况是否满足n≥2时求出的通项公式，如果不满足，要分开写.
【设计意图】通过具体问题引出通项公式与递推公式之间的关系，强化已知前n项和求通项，帮助学生课堂掌握.
环节六 归纳总结，反思提升
问题6请同学们回顾本节课的学习内容，并回答下列问题：
1. 本节课学习的概念有哪些？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
1.判断给定的项是不是数列中的项，实质就是一个解方程的过程.若解得的是正整数，则该项是此数列中的项;否则，就不是此数列中的项.
2.求数列的最大(小)项的两种方法:
（1）先判断数列的增减情况，再求数列的最大(小)项;
（2）设是最大(小)项，则对任意的，且都成立，解不等式组即可.
3.与的关系:
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：第8页 练习 第3，4题
第8页 习题4.1 第6，7题
备用练习
6．若数列的通项公式，则此数列是（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．以上都不是
7．已知数列满足，对一切，，则数列是（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．不确定
8．已知数列，则数列的第4项为
A． B． C． D．
9．已知数列的前项和满足，求数列的通项公式.
10．已知数列的通项公式为.
(1)求数列的前三项，60是此数列的第几项；
(2)n为何值时，.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1． 正确 错误 错误 正确 错误 正确 错误
【分析】根据数列的表示方法以及数列前项和的性质一一分析即可.
【详解】（1）根据数列的表示方法可知其正确，故（1）正确；
（2）不是所有数列都有递推公式，故（2）错误；
（3） 成立的条件是且，故（3）错误；
（4）当时得到，故（4）正确；
（5）无法确定数列中某项，则不确定数列，故（5）错误；
（6）递推公式是表示数列的一种方法，正确；
（7），其中既包含奇数项，也包含偶数项，故（7）错误；
故答案为：正确；错误；错误；正确；错误；正确；错误
2．C
【解析】根据已有的图形结合选项验证求解.
【详解】由图形可知：
当n=1时，有1个，排除BD,
当n=3时，有6个，排除A
故选：C
3．D
【分析】根据递推公式代入即得
【详解】因为，，
所以，
故选： D
4．A
【详解】∵，且
∴
又∵
∴
∴此数列为递减数列，最大项为.
故选A.
点睛：求解数列中的最大项或最小项的一般方法：
（1）研究数列的单调性，利用单调性求最值；
（2）可以用或；
（3）转化为函数最值问题或利用数形结合求解.
5．CD
【分析】根据等差数列的通项和定义即可判断.
【详解】AB中没有说明某一项, 无法进行递推，故AB错误；
而CD均可递推出，故CD正确.
故选：CD.
6．A
【分析】由，计算，得出，即可判断出结果.
【详解】因为，
所以，
因此数列是递增数列.
故选A
【点睛】本题主要考查递增数列的判断，根据作差法比较大小即可，属于常考题型.
7．B
【解析】由题可得数列为等比数列，进而得出，再由可得答案.
【详解】解：因为，
所以数列为等比数列，，
又，则，
所以得，，
故数列是递减数列.
故选：B.
【点睛】本题考查等比数列的单调性，注意要确定数列为正项等比数列，是基础题.
8．B
【分析】根据数列的通项公式，求得的值.
【详解】依题意.
故选：B.
【点睛】本小题主要考查根据数列的通项公式求某一项的值，属于基础题.
9．
【分析】利用降次作差并验证即可.
【详解】，当时，;
当时，.
由于不适合.
故.
10．(1)，第10项
(2)答案见解析
【分析】（1）直接代入计算即可；
（2）解一元二次方程和一元二次不等式即可.
【详解】（1）由，得.
设，则，解得或(舍去).
∴是此数列的第10项.
（2）令，解得或(舍去)，∴.
令，解得或(舍去).
∴当时，.
令，解得.
∴当时，.
综上，当，；
当时，；
当时，.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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