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4.2.1等差数列的概念 第2课时 导学案
学习目标
1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.
2.能运用等差数列的性质简化计算.
重点难点
1.重点：等差数列通项公式的变形及推广
2.难点：等差数列的性质
课前预习 自主梳理
知识点一　等差数列通项公式的变形及推广
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，
②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，
③d＝ (m，n∈N*，且m≠n).
其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上.
②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.
③可用来由等差数列任两项求公差.
知识点二　等差数列的性质
1.若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列 结论
{c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k} 公差为kd的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
2.下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap.
3.在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列.
4.等差数列{an}的公差为d，则d>0 {an}为递增数列；
d<0 {an}为递减数列；d＝0 {an}为常数列.
思考　若{an}为等差数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝ap一定成立吗？
答案　不一定.如常数列{an}，1＋2＝3，而a1＋a2＝2a3.
自主检测
1．判断正误：（正确的写“正确”， 错误的写 “ 错误 ”）
（1）若是等差数列，则也是等差数列；( )
（2）若是等差数列，则也是等差数列； ( )
（3）若是等差数列，则对任意都有；( )
（4）数列的通项公式为，则数列的公差与函数的图象的斜率相等. ( )
2．在等差数列{an}中，a3＋a5＝10，则a1＋a7等于（ ）
A．5 B．8 C．10 D．14
3．等差数列中，，，则公差等于（ ）
A．2 B．20 C．100 D．不确定
4．在等差数列中，若，则 .
5．已知等差数列中，，，则的值是 .
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
例3某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少（为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定的取值范围.
分析：这台设备使用年后的价值构成一个数列，由题意可知，10年之内（含10年)，这台设备的价值应不小于万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元.可以利用的通项公式列不等式求解.
解：设使用年后，这台设备的价值为万元，则可得数列.由已知条件，得
由于是与无关的常数，所以数列是一个公差为的等差数列.因为购进设备的价值为220万元，所以，于是.
根据题意，得
即
解这个不等式组，得.
所以，的取值范围为.
环节二 观察分析，感知概念
例4已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列.
（1）求数列的通项公式.
（2）是不是数列的项 若是，它是的第几项 若不是，说明理由.
分析：（1）是一个确定的数列，只要把表示为中的项，就可以利用等差数列的定义得出的通项公式；（2）设中的第项是中的第项，根据条件可以求出与的关系式，由此即可判断是否为的项.
解：（1）设数列的公差为.由题意可知，，，于是
.
因为，所以，所以.
环节三 抽象概括，形成概念
如果插入个数，那么的公差是多少？
所以.
所以，数列的通项公式是.
（2）数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则.
令，解得
.
所以，是数列的第8项.
对于第（2）小题，你还有其他解决方法吗？
环节四 辨析理解 深化概念
例5已知数列是等差数列，，且.求证.
分析：只要根据等差数列的定义写出，再利用已知条件即可得证.
证明：设数列的公差为，则
所以
因为，所以
环节五 概念应用，巩固内化
思考
例5是等差数列的一条性质，图4.2-2是它的一种情形.你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？
环节六 归纳总结，反思提升
问题7请同学们回顾本节课的学习内容，并回答下列问题：
1. 本节课学习的概念有哪些？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
1.等差数列的性质
（1）在等差数列中，，且，则.
（2）若为公差为的等差数列，则是公差为的等差数列.
（3）若为公差为的等差数列，则是公差为的等差数列.
（4）若是等差数列，公差为，则也是等差数列，公差为
（5）若分别是以为公差的等差数列，则是以为公差的等差数列.
（6）若是等差数列，公差为，则，组成公差为的等差数列.
（7）当时，数列为单调递增数列；当时，数列为单调递减数列；当时，数列为常数列.
2.若是公差为的等差数列，则还具有其他性质
（1）
（2）下标成等差数列，则数列成等差数列，公差为.
（3）是等差数列，则仍成等差数列(首项不一定选.
（4）若为等差数列，则(为非零常数)也为等差数列.
（5）去掉前几项后余下的项仍组成公差为的等差数列.
（6）奇数项数列是公差为的等差数列；偶数项数列是公差为的等差数列.
（7）若成等差数列，则也是等差数列.
环节七 目标检测，作业布置
完成教材： 课本17页习题4.2第1、2题
备用练习
6．已知{an}满足，，则的值为（ ）
A．48 B．96
C．120 D．130
7．下列数列中，是等差数列的是（ ）
A．1，4，7，10 B．
C． D．10，8，6，4，2
8．已知等差数列的公差为，若，，则首项的值可能是（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
9．已知数列的首项，且满足，则中最小的一项是（ ）
A． B． C． D．
10．有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1． 错误 错误 正确 正确
【分析】（1）举出反例即可得；
（2）举出反例即可得；
（3）利用通项公式进行分析即可得；
（4）计算公差即斜率即可得.
【详解】（1）当时，显然是等差数列，此时，
显然不成等差数列，所以不是等差数列，故说法错误；
（2）当时，，
此时为等差数列，但不是等差数列，故说法错误；
（3）因为，所以，
又，所以，
故说法正确；
（4）数列的通项公式为，则数列的公差为，
函数的图象的斜率也为，故说法正确.
故答案为：错误；错误；正确；正确
2．C
【分析】直接利用等差数列的性质计算
【详解】a1＋a7＝a3＋a5＝10.
故选：C
3．A
【分析】直接利用等差数列的性质求解即可
【详解】解：因为等差数列中，，，
所以公差，
故选：A
【点睛】此题考查等差数列公差的计算，属于基础题
4．
【分析】运用等差数列公差公式，结合等差数列的通项公式进行求解即可.
【详解】由题意得.
故答案为：
5．15
【分析】设等差数列的公差为，由，再由，解方程组，求得和公差的值，从而计算的值，即可.
【详解】设等差数列的公差为，由可得，即.
再由，可得，.
故.
故答案为：15
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的应用，求出首项和公差的值，是解题的关键，属于容易题.
6．B
【分析】利用等差数列的定义和通项公式，结合累乘法进行求解即可.
【详解】因为，
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，
所以，
于是当时，，
即，
所以，
故选：B
7．ABD
【分析】根据等差数列的定义逐项分析即可得出结果.
【详解】根据等差数列的定义，可得：
A中，满足(常数)，所以是等差数列；
B中，满足(常数)，所以是等差数列；
C中，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；
D中，满足(常数)，所以是等差数列.
故选：ABD.
8．BC
【分析】
根据等差数列的通项，建立不等式组，可得答案.
【详解】
由题意，得，所以.
故选：BC.
9．B
【分析】根据等差数列的定义和通项公式进行求解即可.
【详解】由，
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，
即，
所以有，显然当时，，
因此中最小的一项是，
故选：B
10．B
【解析】根据两个等差数列的公差，得到公共项的公差，从而得到新数列的通项公式，通过新数列中的项小于等于，从而得到的范围，得到答案.
【详解】等差数列2，6，10，…，190，公差为，
等差数列2，8，14，…，200，公差为，
所以由两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，
其公差为，首项为，
所以通项为，
所以，解得，
而，所以的最大值为，
即新数列的项数为.
故选：B.
【点睛】本题考查求两个等差数列的公共项组成的新数列，属于中档题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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