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4.2.1等差数列的概念 第1课时 导学案
学习目标
1.理解等差数列、等差中项的概念.
2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题.
3.掌握等差数列的判断与证明方法．
重点难点
1.重点：掌握等差数列的通项公式、理解等差数列及等差中项的概念．
2.难点：等差数列的通项公式推导及应用、掌握等差数列的判定方法.
课前预习 自主梳理
1．等差数列、等差中项的概念
等差数列 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示
等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项，且2A＝a＋b
2．等差数列的通项公式
（1）首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋（n－1）d.
（2）第n项与第m项的关系为an＝am＋（n－m）d，从而可得变形公式：d＝.
3.从函数角度认识等差数列{an}
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，
则an＝f（n）＝a1＋（n－1）d＝nd＋（a1－d）．
（1）点（n，an）落在直线y＝dx＋（a1－d）上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d ；
（2）这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.
自主检测
1．判断正误，正确的写正确，错误的写错误．
（1）如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列．( )
（2）数列不是等差数列．( )
（3）在等差数列中，除第1项和最后一项外，其余各项都是它前一项和后一项的等差中项．( )
（4）数列是等差数列．( )
（5）数列的通项公式为则是等差数列．( )
（6）若一个数列从第2项起每一项与它前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )
（7）若三个数满足，则一定是等差数列．( )
2．已知数列是等差数列，且.若，则数列是.
A．以3为首项，3为公差的等差数列
B．以6为首项，3为公差的等差数列
C．以3为首项，6为公差的等差数列
D．以6为首项，6为公差的等差数列
3．设数列都是等差数列，，则（ ）
A．4034 B．4036 C．4038 D．4040
4．已知等差数列中各项都不相等，，且，则公差（ ）
A．1 B． C．2 D．2或
5．已知等差数列为递增数列，若，，则数列的公差等于（ ）
A．1 B．2 C．9 D．10
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
【实际情境】（1）1896年，雅典举行了第一届现代奥运会，到2008年的北京奥运会已经是第29届奥运会.观察奥运会举办的年份所对应的数列： 1896，1900，1904，…，2008，2012，（ ） 你能预测出第33届奥运会的时间吗？
学生口答：2024.2024如何预测出来的？ 根据已有数的规律，每两个相邻数之间相差4，而且后一个数总比前一个数多4.
【设计意图】创设奥运会的数学情境，以问题为导向，这样的导入贴近学生的实际生活，引起学生极大的兴趣.用这一实例，借助于实际意义让学生感受“等差数列”的问题是自然、清楚、明白的.
【实际情境】下面，我们再来观察几个生活当中的数列.
引入三个生活问题中的数列：
（2）2000年女子举重4个体重级别：48，53，58，63.
（3）各年末本利和（存100元）：104.25， 108.5， 112.75， 117，121.25，……
（4）气温随高度的变化/km：28， 21.5， 15， 8.5， 2 ，-4.5.
【设计意图】由生活情境的多个数列引出下面的探究问题.
我们知道，数列是一种特殊的函数．在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性、奇偶性等）后，通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的函数模型．类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用．下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手．
环节二 观察分析，感知概念
请看下面几个问题中的数列．
1．北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为9，18，27，36，45，54，63，72，81． ①
2．S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是38，40，42，44，46，48． ②
3．测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为25.0，24.4，23.8，23.2，22.6． ③
4．某人向银行贷款万元，贷款时间为年．如果个人贷款月利率为，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金元，每月支付给银行的利息（单位：元）依次为，，，，…． ④
如果按月还款，等额本金还款方式的计算公式是每月归还本金=贷款总额÷贷款期总月数，利息部分=（贷款总额一已归还本金累计额）×月利率．
对于①，我们发现
，，…，，
换一种写法，就是
，，…，．
改变表达方式使数列的取值规律更突出了．
如果用表示数列①，那么有，，…，．
这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数．数列②~④也有这样的取值规律．
环节三 抽象概括，形成概念
思考
在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律．例如，在指数函数的学习中，我们通过运算发现了A，B两地旅游人数的变化规律．类似地，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？
问题1：什么是等差数列？
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列（arithmetic progression），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母表示．例如，数列①的公差．
由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，叫做与的等差中项（arithmetic mean）．根据等差数列的定义可以知道，．
在日常生活中，人们常常用到等差数列．例如，在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级（如前面例子中的上衣尺码）．你能举出一些例子吗？
问题2：如何求？　
探究
你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
追问1：如果已知一个等差数列的首项是，公差是 ，那么这个数列的通项能求出来吗？
设一个等差数列的首项为，公差为．根据等差数列的定义，可得，
就是等差数列的递推公式．
所以，，，…．
于是
……
归纳可得．
当时，上式为．这就是说，上式当时也成立．
注：需要特别强调的是，由猜想归纳得出这个通项公式的方法称作不完全归纳法，这种方法仅仅是猜想出来的结论，没有说服力，严格的证明需要——数学归纳法，将在以后学习.
因此，首项为，公差为的等差数列的通项公式为．
这种求通项公式的方法叫累加法，是探讨数列通项的一种常见方法.后续的学习还会继续研究.我们在这里的要求是:需要你记住这个公式，它是解决等差数列通项公式的主要方法.
说明：通项公式中，有四个量:首项，公差，序号和第项，知道其中的任意三个量，就可以求出另一个量，即知三求一 . 下面，我们通过几个例子来看这个公式的用法.
环节四 辨析理解 深化概念
思考
观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
由于，所以当时，等差数列的第项是一次函数当时的函数值，即．
如图4.2-1，在平面直角坐标系中画出函数的图象，就得到一条斜率为，截距为的直线．在这条直线上描出点，，…，，…，就得到了等差数列的图象．事实上，公差的等差数列的图象是点组成的集合，这些点均匀分布在直线上．
反之，任给一次函数（为常数），则，，…，，…，构成一个等差数列，其首项为，公差为．
下面，我们利用通项公式解决等差数列的一些问题．
环节五 概念应用，巩固内化
例1 （1）已知等差数列的通项公式为，求的公差和首项．
（2）求等差数列8，5，2，…的第20项．
分析：（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由即可求出公差；
（2）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项．
解：（1）当时，由的通项公式，可得．
于是．
把代入通项公式，得．
所以，的公差为，首项为3．
（2）由已知条件，得．
把，代入，得．
把代入上式，得．
所以，这个数列的第20项是．
说明：这道题是在等差数列通项公式的四个量中，知道，， ，求.体现了等差数列通项公式中“知三求一”的方程思想.
例2 是不是等差数列的项？如果是，是第几项
分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于的方程，再看是否能使这个方程有正整数解．
解：由，，得这个数列的通项公式为
令
解这个关于的方程，得．
所以，是这个数列的项，是第100项．
【设计意图】让学生体会并总结：判断一个数是否为数列的项，只须令通项公式等于这个数，得到关于n的方程.若方程有正整数解，则它就是，否则不是.
环节六 归纳总结，反思提升
问题3：请同学们回顾本节课的学习内容，并回答下列问题：
1. 本节课学习的概念有哪些？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
1．知识清单：
（1）等差数列的有关概念．
（2）等差数列的通项公式．
（3）等差数列的判定与证明．
2．方法归纳：列方程组法、迭代法、构造法．
3．常见误区：在具体应用问题中项数不清．
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：
教材第15页 第123题
备用练习
6．在等差数列{an}中，若，公差d=2，则a7=（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
7．若等差数列，，则公差的值为（ ）
A． B．1 C． D．
8．在等差数列中，，则（ ）
A．16 B．8 C．10 D．14
9．在等差数列中，，，则（ ）
A．40 B．70 C．80 D．90
10．已知在等差数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1． 错误 错误 正确 正确 错误 错误 正确
【分析】根据等差数列的定义和等差中项的性质一一分析即可.
【详解】（1）该常数可能不是同一个常数，则不符合等差数列定义，故（1）错误；
（2）数列是等差数列，公差为0，故（2）错误；
（3）根据等差数列性质知，，故（3）正确；
（4）数列是等差数列，其公差为0，故（4）正确；
（5），，，，故不是等差数列，故（5）错误；
（6）该数列必须为同一个常数，故（6）错误；
（7）根据等差中项性质知一定是等差数列，故（7）正确.
故答案为：错误；错误；正确；正确；错误；错误；正确
2．D
【分析】由，可以求出等差数列的通项公式，而后根据，可以判断出数列是等差数列，也就能求出它的首项和公差.
【详解】因为数列是等差数列，，设公差为，所以有，解得，所以，因此，而，所以数列是以6为首项，6为公差的等差数，故本题选D.
【点睛】本题考查了等差数列的基本量计算，考查了用定义判断一个数列是等差数列，考查了数学运算能力.
3．B
【分析】令，则也是等差数列，然后根据条件求出其通项即可.
【详解】令，∵数列为等差数列，
∴也是等差数列，不妨设其公差为．∵,
∴，解得．∴．∴．
故选：B
4．B
【分析】利用等差数列的通项公式表示已知条件，解方程即可求解.
【详解】，且，
整理可得，；
；
.
故选：B．
5．A
【分析】根据给定条件结合等差数列性质计算出，进而求出与即可得解.
【详解】在等差数列中，依题意，，
解得，而，且为递增数列，即，则，，
所以数列的公差.
故选：A
6．A
【分析】根据，公差d=2，利用等差数列的性质求解即可.
【详解】因为等差数列{an}中，且，公差d=2，
所以a7=a3+4d=7.
故选：A
【点睛】本题主要考查等差数列的基本性质，属于基础题.
7．B
【分析】根据等差数列的定义计算可得.
【详解】因为，所以公差.
故选：B
8．A
【分析】计算，再根据计算得到答案.
【详解】设等差数列的公差为，，所以，
所以.
故选：A
9．D
【分析】由已知条件利用等差数列的通项公式求出首项和公差，由此能求出答案．
【详解】解：在等差数列中，设公差为d，
，，
，解得，，
．
故选：D．
10．BC
【分析】根据等差数列的通项公式和已知条件可知，然后根据，
便可求得答案.
【详解】解：由题意，
设等差数列的公差为d，
则
即，所以
故选：BC.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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