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4.4 数学归纳法 导学案
学习目标
1.了解数学归纳法的原理.
2.能用数学归纳法证明一些简单的命题.
重点难点
1.教学重点：
（1）了解数学归纳法的基本思想和原理，
（2）如何类比多米诺骨牌原理解决数学问题，掌握数学归纳法的基本步骤，；
（3）能应用数学归纳法证明与正整数n有关的数学命题；.
2.教学难点：
（1）通过游戏模型和生活实例，了解数学归纳法的基本思想；
（2）学握数学归纳法的证明步骤及每个步骤的作用
课前预习 自主梳理
知识点　数学归纳法
1．数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当n＝n0（n0∈N*）时命题成立；
（2）（归纳递推）以当“n＝k（k∈N*，k≥n0）时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．
2．数学归纳法的证明形式
记P（n）是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：
条件：（1） P（n0）为真；（2）若P（k）为真，则P（k＋1）也为真．
结论：P（n）为真．
3. 数学归纳法中的两个步骤
在数学归纳法的两步中，第一步验证（或证明）了当n＝n0时结论成立，即命题P（n0）为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P（k）为真，则P（k＋1）也为真．只要将这两步交替使用，就有P（n0）真，P（n0＋1）真……P（k）真，P（k＋1）真……，从而完成证明．
自主检测
1．判断正误，正确的写正确，错误的写错误
（1）应用数学归纳法证明数学命题时.( )
（2）用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，缺一不可．( )
（3）推证n＝k＋1时可以不用n＝k时的假设. ( )
2．用数学归纳法证明，第一步验证（ ）
A．n=1 B．n=2
C．n=3 D．n=4
3．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．利用数学归纳法证明…且）时，第二步由到时不等式左端的变化是（　　）
A．增加了这一项
B．增加了和两项
C．增加了和两项，同时减少了这一项
D．以上都不对
5．利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了（ ）
A．1项 B．k项 C．项 D．项
新课导学
学习探究
环节一：创设情境，引入课题
在数列的学习过程中，我们已经用归纳的方法得出了一些结论，例如等差数列的通项公式等，但并没有给出严格的数学证明．那么，对于这类与正整数有关的命题，我们怎样证明它对每一个正整数都成立呢 本节我们就来介绍一种重要的证明方法数学归纳法．
探究已知数列满足，，计算，，，猜想通项公式，并证明你的猜想．
分析：计算可得，再结合，由此猜想：，如何证明这个猜想呢？
计算可得，，，再结合，由此猜想：．
如何证明这个猜想呢
环节二 观察分析，感知概念
我们自然会想到从开始一个个往下验证．一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当n较大时，验证起来会很麻烦．特别是证明n取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的．因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立．
问题1 多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
我们先从多米诺骨牌游戏说起．码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．这样，只要推倒第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；……总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下．
思考
在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么
可以看出，使所有骨牌都能倒下的条件有两个：
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．
问题2 你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言来描述它？ 递推作用：当第k块倒下，相邻的第k+1块也倒下.
【设计意图】问题情境引发数学归纳法的学习欲望，挖掘多米诺骨牌全部倒下的原理，通过类比、迁移“骨牌原理”获得证明数学命题的方法.
思考
你认为条件（2）的作用是什么 如何用数学语言描述它
可以看出，条件（2）实际上是给出了一个递推关系：第块骨牌倒下第块骨牌倒下．
这样，只要第1块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能够相继倒下，事实上，无论有多少块骨牌，只要保证（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下．
假设有无限多块多米诺骨牌，我们可以想象前一块推倒后一块的动作将永远进行下去．
思考
你认为前面的猜想“数列的通项公式是”与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌解决这个问题吗？
显然，如果能得到一个类似于“第块骨牌倒下第块骨牌倒下”的递推关系，那么猜想的正确性也就得到证明了．为此，我们先回顾一下猜想的获得过程：
由，利用递推关系，推出；
由，利用递推关系，推出；
由，利用递推关系，推出．
……
思考
归纳上述过程的共性，你能得出推理的一般结构吗
我们发现，上述过程蕴含着一个与多米诺骨牌游戏的条件（2）类似的递推结构：
以成立为条件，推出也成立．它相当于命题：
当时猜想成立，则时猜想也成立．
这里k是任意的，所有能使猜想成立的正整数都可以作为k，并且这样的k也是存在的，因为数“1”就是一个例子．
只要能够证明这个命题，我们就可以在的条件下，由这个命题得到，对任意正整数n，成立．事实上，如果时猜想成立，即，那么，
即当时，猜想也成立．
这样，对于猜想“”，由成立，就有成立；由成立，就有成立；……．所以，对于任意正整数，猜想都成立，即数列的通项公式是．
环节三 抽象概括，形成概念
一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当时，命题成立；
（2）（归纳推理）以“当时，命题成立”为条件推出“当时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法（mathematical induction）．
思考
数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
记是一个关于正整数的命题，我们可以把用数学归纳法证明形式改写如下：
条件：（1）为真；（2）若为真，则也为真．
结论：为真．
在数学归纳法的两步中，第一步验证（或证明）了当时结论成立，即命题为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新的命题：若为真，则也为真．
完成了这两步，就有为真，为真……为真，真……从而完成证明．
环节四 辨析理解 深化概念
例1用数学归纳法证明：如果是一个公差为的等差数列，那么 ①
对任何都成立．
分析：因为等差数列的通项公式涉及全体正整数，所以用数学归纳法证明的第一步应证明时命题成立．第二步要明确证明的目标，即要证明一个新命题：如果时①式是正确的，那么时①式也是正确的．
证明：（1）当时，左边，右边，①式成立．
（2）假设当时，①式成立，即，
根据等差数列的定义，有
于是．
即当时，①式也成立．
由（1）（2）可知，①式对任何都成立．
在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，并把“证明的目标”牢记在心．
练习（第47页）
1．下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？
（1）求证：当时，．
证明：假设当时，等式成立，即．
则当时，左边右边．
所以当，等式也成立．
由此得出，对任何，等式都成立．
（2）用数学归纳法证明等差数列的前项和和公式是．
证明：①当时，左边，右边，等式成立．
②假设当时，等式成立，即．
则当时，，．
上面两式相加并除以2，可得
即当时，等式也成立．
由①②可知，等差数列的前项和公式是．
1．【解析】这两题的证明都是错误的．
第（1）题的错误在于缺少第一步的验证，因此归纳假设时命题成立没有基础．事实上，当时，左边，右边，所以左边右边．
第（2）题的错误是第二步推理利用了“倒序相加法”，而没有证明命题“若为真，则也为真，所以该证法不是用数学归纳法的证明．
注：第二步正确的证明方法如下：
假设当时，等式成立，即，
则当时，
．这表明，当时，等式也成立．
2．用数学归纳法证明：首项为，公比为的等比数列的通项公式是，前项和公式是．
2．【解析】（1）证明通项公式是，
①当时，，显然满足；
②假设时，成立，
则当时，成立，
由①②可知，对于任意，都有成立．
证明：前项和公式，
③当时，成立；
④假设时，成立，
则当时，成立，
由③④可知，对于任意，都有成立．
环节五 概念应用，巩固内化
例2用数学归纳法证明：
． ①
分析：用数学归纳法证明时，第二步要证明的是一个以“当时，①式成立”为条件，得出“当时，①式也成立”的命题，证明时必须用上上述条件．
证明：（1）当时，①式的左边，
右边，
所以①式成立．
（2）假设当时，①式成立，即，
在上式两边同时加上，有
即当时①式也成立．
由（1）（2）可知，①式对任何都成立．
例3已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
分析：先将数列的递推关系化为，通过计算的值，归纳共性并作出猜想，在应用数学归纳法证明猜想．
解：由可得
由
可得
同理可得．
归纳上述结果，猜想 ①
下面用数学归纳法证明这个猜想．
（1）当时，①式左边，右边，猜想成立．
（2）假设当时，①式成立，即，
那么．
即当时，猜想也成立．
由（1）（2）可知，猜想对任何都成立．
例4设为正实数，为大于1的正整数，若数列
的前项和为，试比较与的大小，并用数学归纳法证明你的结论．
分析：该问题中涉及两个字母x和n，x是正实数，n是大于1的正整数．一种思路是不求和，而直接通过n取特殊值比较Sn与n的大小关系，并作出猜想；另一种思路是先由等比数列的求和公式求出Sn，再通过n取特殊值比较Sn与n的大小关系后作出猜想，两种做法都必须用数学归纳法证明得到的猜想．
解法1：由已知可得
．
当时，，由可得；
当时，，由，可得；
由此，我们猜想，当，且时，．
下面用数学归纳法证明这个猜想．
（1）当时，由上述过程知，不等式成立．
（2）假设当，不等式成立，即
由，可得，所以
于是．
所以，当时，不等式也成立．
由（1）（2）可知，不等式对任何大于1的正整数都成立．
解法2：显然，所给数列是等比数列，公比为，于是
．
当时，，由可得
当时，，由可得
由此，我们猜想，当，且时，都有．
下面用数学归纳法证明这个猜想．
（1）当时，由上述过程知，不等式成立．
（2）假设当且，不等式成立，即
由，知．
所以
．
所以，当时，不等式也成立．
由（1）（2）可知，不等式对任何大于1的正整数都成立．
环节六 归纳总结，反思提升
问题：请同学们回顾本节课的学习内容，并回答下列问题：
1. 本节课学习的概念有哪些？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
1．知识清单：
（1）数学归纳法的概念．
（2）数学归纳法的步骤．
2．方法归纳：归纳—猜想—证明．
3．常见误区：
（1）对题意理解不到位导致n0的取值出错；
（2）推证当n＝k＋1时忽略n＝k时的假设．
（1）数学知识：数学归纳法——将无限递推转化为有限步验证，实现由量变到质变的飞跃；
（2） 数学方法：数学归纳法——两个步骤一个结论；
（3） 数学思想：归纳思想、递推思想、类比思想.
注意：
1.用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，两个步骤缺一不可.
2.（1）（归纳奠基）是递推的基础.→找准n0
（2）（归纳递推）是递推的依据→n＝k时命题成立．作为必用的条件运用，而n＝k+1时情况则需要利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明.
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：第51页 练习 第1，2，3，4题
第51 页 习题4.1 第1，2题
备用练习
6．用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边增加了（ ）
A． B．
C． D．
7．用数学归纳法证明：，当时，左式为，当时，左式为，则应该是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，则等于（ ）
A． B．
C． D．
9．用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（　　）
A． B． C． D．
10．用数学归纳法证明能被31整除时，从k到添加的项数共有（ ）项
A．7 B．6 C．5 D．4
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1． 错误 正确 错误
【分析】利用数学归纳法步骤和原则，即可得出.
【详解】（1）应用数学归纳法证明数学命题时，归纳奠基，故（1）错误；
（2）用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，缺一不可．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立．故（2）正确；
（3）推证n＝k＋1时可以不用n＝k时的假设，不符合数学归纳法的原则和要求，也无法保证“传递性”，故（3）错误.
故答案为：错误；正确；错误
2．C
【分析】由数学归纳法的一般步骤，第一步需要验证取第一个值时命题是否成立.
【详解】由题知，即n的最小值为3，
∴第一步验证n=3时，不等式是否成立.
故选：C
3．C
【分析】根据数学归纳法的步骤，结合题意即可求解.
【详解】边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3.
故选：C
4．C
【详解】当时，左端，那么当时 左端，故第二步由到时不等式左端的变化是增加了和两项，同时减少了这一项，故选C.
5．D
【分析】分别分析当与时等号左边的项，再分析增加项即可
【详解】由题意知当时，左边为，
当时，左边为，
增加的部分为，共项．
故选：D
6．D
【分析】当时，写出左端，并当时，写出左端，两者比较， 可得答案.
【详解】当时，左端，
那么当时 左端，
故由到时不等式左端的变化是增加了，两项，同时减少了这一项，
即，
故选：．
7．B
【分析】根据题意表示出和，然后代入计算即可.
【详解】由题意，，，所以
.
故选：B.
8．C
【分析】根据递推关系求出，从而作差可得.
【详解】解：由，
，
所以，
故选：C．
9．B
【分析】
分别求出时左端的表达式，和时左端的表达式，比较可得“n从到”左端需增乘的代数式．
【详解】
解：当时，左端＝，
当时，左端＝，
故左边要增乘的代数式为.
故选：B．
10．C
【分析】分别写出与时相应的代数式，对比观察求解.
【详解】当时，则
当时，则
∴从k到添加的项数共有5项
故选：C.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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