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4.2.2等差数列的前n项和公式（第2课时）
导学案
学习目标
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式，了解等差数列前n项和的一些性质.
2.掌握等差数列前n项和的最值问题．
重点难点
1.重点:等差数列的前项和公式的应用.
2.难点:综合与灵活运用等差数列的前项和公式.
课前预习 自主梳理
知识点一　等差数列前n项和的性质
1．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为.
2．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.
3．若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝.
4．若等差数列{an}的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，＝.
思考　在性质3中，an和an＋1分别是哪两项？在性质4中，an＋1是哪一项？
答案　中间两项，中间项．
知识点二　等差数列{an}的前n项和公式的函数特征
1.公式可化是关于的表达式:.当时，关于的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前项和公式是关于的二次函数，它的图象是抛物线上横坐标为正整数的一系列孤立的点.
2.等差数列前项和的最值
(1)在等差数列中，
当时，有最大值，使取得最值的可由不等式组确定;
当时，有最小值，使取到最值的可由不等式组确定.
（2），若，零的二次函数的角度中:
当时，有最小值;
当时，有最大值.当取最接近对称轴的正整数时，取到最值.
自主检测
1．判断正误，正确的填正确，错误的填错误．
（1）等差数列的前项和一定是关于的二次函数．( )
（2）若无穷等差数列的公差，则其前项和不存在最大值．( )
（3）若两个等差数列、的前项和分别为、，则一定有.( )
2．已知等差数列，其前n项和满足，则（ ）
A．4 B． C． D．3
3．已知等差数列满足，，则的前项的和为（ ）
A． B． C． D．
4．数列前项和为，且，则取最小值时，的值是（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
5．设数列为等差数列，其前n项和为，已知，，若对任意都有成立，则的值是（　　）
A．10 B．20 C．30 D．40
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
例8某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位．问第1排应安排多少个座位．
分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列．设数列的前项和为．由题意可知，是等差数列，且公差及前20项的和已知，所以可利用等差数列的前项和公式求首项．
解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列，其前项和为根据题意，数列是一个公差为2的等差数列，且．
由，可得．
因此，第1排应安排21个座位．
环节二 观察分析，感知概念
例9已知等差数列的前项和为，若，公差，则是否存在最大值 若存在，求的最大值及取得最大值时的值；若不存在，请说明理由．
分析：由和，可以证明是递减数列，且存在正整数，使得当时，，递减．这样，就把求的最大值转化为求的所有正数项的和．
另一方面，等差数列的前项和公式可写成，所以当时，可以看成二次函数当时的函数值．如图4.2-4，当时，关于的图象是一条开口向下的物物线上的一些点．因此，可以利用二次函数求相应的，的值．
环节三 抽象概括，形成概念
解法1：由，得，所以是递减数列．
又由，可知：
当时，；
当时，；
当时，．
所以
．
也就是说，当或6时，最大．
因为，所以的最大值为30．
环节四 辨析理解 深化概念
解法2：因为．
所以，当取与最接近的整数即5或6时，最大，最大值为30．
环节五 概念应用，巩固内化
想一想，这是为什么？
思考
在例9中，当时，有最大值吗？结合例9考虑更一般的等差数列前项和的最大值问题．
环节六 归纳总结，反思提升
问题 请同学们回顾本节课的学习内容，并回答下列问题：
1. 本节课学习的概念有哪些？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
等差数列{an}的前n项和公式的函数特征
1.公式可化是关于的表达式:.当时，关于的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前项和公式是关于的二次函数，它的图象是抛物线上横坐标为正整数的一系列孤立的点.
2.等差数列前项和的最值
(1)在等差数列中，
当时，有最大值，使取得最值的可由不等式组确定;
当时，有最小值，使取到最值的可由不等式组确定.
(2)，若，零的二次函数的角度中:当时，有最小值;当时，有最大值.当取最接近对称轴的正整数时，取到最值.
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：教科书 练习 第24页 第 4，5题
习题4.2第24页 第5，6，7，8题.
备用练习
6．已知在等差数列中，，，则数列的前项和（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列的前项和，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．等差数列 中，，当 取得最小值时，n的值为（ ）
A．4或5 B．5或6 C．4 D．5
9．记为等差数列的前项和，则（ ）
A． B．
C．，，成等差数列 D．，，成等差数列
10．我国古代数学家沈括，杨辉，朱世杰等研究过二阶等差数列的相关问题.如果，且数列为等差数列，那么数列为二阶等差数列.现有二阶等差数列的前4项分别为1，3，6，10，则该数列的前10项和为（ ）
A．120 B．220 C．240 D．256
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1． 错误 正确 错误
【分析】（1）取，可判断（1）的正误；（2）利用二次函数的基本性质可判断（2）的正误；（3）利用等差数列的基本性质和等差数列的求和公式可判断（3）的正误.
【详解】（1）若等差数列的通项公式为，则，故（1）错误；
（2）由，且，
由二次函数的基本性质可知，当时，，
此时，不存在最大值，故（2）正确；
（3）若两个等差数列、的前项和分别为、，
则，故（3）错误.
故答案为：（1）错误；（2）正确；（3）错误.
2．A
【分析】由等差数列的前项和公式，与等差中项易得，由等差中项易得.
【详解】是等差数列，其前n项为，
，
，.
故选：A.
3．C
【分析】利用已知等式可求得等差数列的公差和首项，由等差数列求和公式可求得结果.
【详解】设等差数列公差为，
，，，
解得：，，解得：，
的前项的和为.
故选：C.
4．B
【分析】由题知数列是公差为3的递增等差数列，再根据等差数列的性质求解即可.
【详解】在数列中，由，得，
所以数列是公差为3的等差数列．
又，
所以数列是公差为3的递增等差数列．
由，解得．
因为，
所以数列中从第五项开始为正值．
所以当时，取最小值．
故选：B．
5．B
【分析】设等差数列的公差为d，根据等差数列通项公式列出方程，求出和，进而求出等差数列的前n项和为，再根据二次函数的性质，即可求出结果.
【详解】设等差数列的公差为d，
由解得
∴．
∴当时，取得最大值．
∵对任意都有成立，
∴为数列的最大值，∴．
故选：B.
6．B
【分析】将题干中两个已知等式相加，利用等差数列的性质求出的值，然后利用等差数列求和公式可求得的值.
【详解】已知在等差数列中，，，
所以，，，
因此，.
故选：B.
7．B
【分析】，又由，后由累乘法可得答案.
【详解】注意到，则当时，.
故.
故选：B
8．A
【分析】求得数列的首项和公差d，可得通项公式，继而求得的表达式，结合二次函数知识即可得答案.
【详解】设等差数列的首项为，公差为d，则 ，
解得，则，
所以，
由于，故当n取4或5时，取得最小值，
故选：A.
9．BCD
【分析】利用等差数列求和公式分别判断.
【详解】由已知得，
A选项，，，，所以，A选项错误；
B选项，，B选项正确；
C选项，，，，，，则，C选项正确；
D选项，，，，则，D选项正确；
故选：BCD.
10．B
【分析】根据题意可知数列的前4项，再由可求出，由数列为等差数列，可求出的通项公式，代入中再利用累加法可求出的通项公式，从而可求出结果.
【详解】由题意可知数列的前4项为1，3，6，10，即，
因为，所以，
所以等差数列的公差为，
所以，
所以，
所以，，……，
，
所以上面个式子相加得
，
所以，
所以
，
故选：B
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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