资源简介

4.2.2等差数列的前n项和公式（第1课时）
导学案
学习目标
1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.
2.掌握等差数列前n项和公式.
3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．
重点难点
1.重点： 等差数列的前n项和的应用
2难点：等差数列前n项和公式的推导方法
课前预习 自主梳理
知识点　等差数列的前n项和公式
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
求和公式
自主检测
1．判断正误，正确的写正确，错误的写错误．
（1）等差数列前项和公式的推导方法是倒序相加．( )
（2）若数列的前项和，则为常数列．( )
（3）等差数列的前项和，等于其首项、第项的等差中项的倍．( )
（4）.( )
2．已知数列是等差数列，其前n项和为，若，则（ ）
A．15 B．25 C．35 D．45
3．在等差数列中，则数列前9项和为（ ）
A．54 B．27 C．36 D．24
4．已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列满足则其前9项和等于（ ）
A．150 B．180 C．300 D．360
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
前面我们学习了等差数列的概念和通项公式，下面我们将利用这些知识解决等差数列的求和问题．
据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：
当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：
高斯的算法实际上解决了求等差数列
①
前100项的和的问题．
高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一. 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献.
环节二 观察分析，感知概念
问题1：你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗？你能从中得到求数列①的前项和的方法吗？
对于数列①，设，那么高斯的计算方法可以表示为
．
可以发现，高斯在计算中利用了
这一特殊关系，这就是上一小节例5中性质的应用，它使不同数的求和问题转化成了相同数（即101）的求和，从而简化了运算．
问题2：你能用高斯的方法求吗？
将上述方法推广到一般，可以得到：
当是偶数时，有
于是有
．
当是奇数时，有
．
所以，对任意正整数，都有
．
环节三 抽象概括，形成概念
问题3：我们发现，在求前个正整数的和时，要对分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦．能否设法避免分类讨论？
如果对公式作变形，可得
它相当于两个相加，而结果变成个相加．
受此启发，我们得到下面的方法：
将上述两式相加，可得
所以
环节四 辨析理解 深化概念
问题4：上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列的前项和吗？
可以发现，上述方法的妙处在于将“倒序”为，再将两式相加，得到个相同的数（即）相加，从而把不同数的求和转化为个相同的数求和．
对于等差数列，因为，由上述方法得到启示，我们用两种方式表示：
①
②
得
由此得到等差数列的前项和公式 （1）
对于等差数列，利用公式（1），只要已知等差数列的首项和末项，就可以求得前项和．另外，如果已知首项和公差，那么这个等差数列就完全确定了，所以我们也可以用和来表示．
把等差数列的通项公式代入公式（1），可得
（2）
将（1）变形可得，所以就是等差教列前项的平均数．实际上，我们就是利用等差数列的这一重要特性来推导它的前项和的．你还能发现这一特性的一些应用吗
问题5：不从公式（1）出发，你能用其他方法得到公式（2）吗？
环节五 概念应用，巩固内化
例6 已知数列是等差数列．
（1）若，，求；
（2）若，，求；
（3）若，，，求．
问题6：对于等差数列的相关量，，，，，已知几个量就可以确定其他量
分析：对于（1），可以直接利用公式求和；在（2）中，可以先利用和的值求出，再利用公式求和；（3）已知公式中的，和，解方程即可求得．
解：（1）因为，，根据公式，可得
．
（2）因为，，所以．根据公式，可得
．
（3）把，，代入，得
．
整理，得．
解得，或(舍去)．所以．
例7已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220．由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
分析：把已知条件代入等差数列前项和的公式（2）后，可得到两个关于与的二元一次方程．解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得和．
解：由题意，知，．
把它们代入公式，
得，解方程组，得．
所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差．
一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定．
探究
已知数列的前项和为，其中，，为常数，且．任取若干组，，，在电子表格中计算，，，，的值（图给出，，的情况），观察数列的特点，研究它是一个怎样的数列，并证明你的结论．
环节六 归纳总结，反思提升
问题7 请同学们回顾本节课的学习内容，并回答下列问题：
1. 本节课学习的概念有哪些？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
1．知识清单：
（1）等差数列前n项和及其计算公式．
（2）等差数列前n项和公式的推导过程．
（3）由an与Sn的关系求an.
（4）等差数列在实际问题中的应用．
2．方法归纳：函数与方程思想、倒序相加法、整体思想．
3．常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论．
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：教科书 练习 第24页 第 1，2，3题
习题4.2第24页 第1，2，3，4题.
备用练习
6．已知为等差数列，为其前项和，若，则公差等于（ ）
A．3 B． C． D．
7．等差数列的前项和为，且，，则的公差为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
8．已知等差数列满足，则其前项和等于（ ）
A．2300 B．2400 C．2600 D．2500
9．在等差数列中，，则此等差数列的前9项之和为（ ）
A．5 B．27 C．45 D．90
10．下列说法中正确的是（ ）
A．数列是递增数列 B．数列是递减数列
C．数列是递增数列 D．数列的前项和的最大值为
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1． 正确 正确 正确 正确
【分析】根据等差数列前项和公式判断（1）（3）（4），根据求出通项公式 ，即可判断（2）.
【详解】对于（1）：等差数列前项和公式的推导方法是倒序相加，故正确；
对于（2）：若数列的前项和，当时，
当时，所以，
综上可得，即为常数列，故正确；
对于（3）：设等差数列的前项和为，则，
又等差数列的首项与第项的等差中项为，
所以等差数列的前项和，等于其首项、第项的等差中项的倍，故正确；
对于（4）：，故正确.
故答案为：正确；正确；正确；正确
2．D
【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和公式，结合等差数列性质计算作答.
【详解】等差数列的前n项和为，，所以.
故选：D
3．A
【分析】由等差数列前n项和公式及等差中项的应用，即可求.
【详解】.
故选：A
4．B
【分析】设等差数列的公差为，根据题设条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，再利用等差数列的求和公式可求得的值.
【详解】设等差数列的公差为，则，
，
所以，，解得，
所以，，
故选：B.
5．B
【分析】根据等差数列的性质和前项和公式求解.
【详解】因为
所以所以其前9项和等于，
故选:B.
6．C
【分析】根据等差数列的通项和前项和公式，列方程求解即可.
【详解】设等差数列的首项为，则，联立解得，
故选:C
7．C
【分析】利用等差数列前项和公式列出方程组，能求出的公差.
【详解】∵等差数列的前项和为，且，，
∴，
解得，.
∴的公差为4.
故选：C.
【点睛】本题考查等差数列公差的计算，属于基础题.
8．D
【解析】先由通项公式求出，再由等差数列求和公式即可求出.
【详解】由，
得，解得，
所以．
故选：D.
9．C
【分析】根据已知求得，由此求得.
【详解】依题意，即，即，
所以.
故选：C
10．C
【解析】根据数列单调性的定义依次判断ABC选项，可知AB错误，C正确；根据等差数列前项和的二次函数性可知D错误.
【详解】对于A，，是递减数列，A错误；
对于B，数列各项为：，，，，…，不是递减数列，B错误；
对于C，，是递增数列，C正确；
对于D，数列是以为首项，为公差的等差数列，前项和，
，的最大值为，D错误.
故选：C.
答案第1页，共2页
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