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4.3.1等比数列的概念（导学案）
学习目标
1.通过实例，理解等比数列的概念.
2.掌握等比中项的概念并会应用.
3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.
4. 灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形．
重点难点
1、教学重点
探索并掌握等比数列的通项公式，能运用通项公式解决实际问题.
2、教学难点
（1）等比数列的运算、等比数列的性质及应用．
（2）掌握等比数列的判断与证明方法．
课前预习 自主梳理
知识点一　等比数列的概念
1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)
2．递推公式形式的定义：＝q(n∈N*且n>1).
思考　为什么等比数列的各项和公比q均不能为0
答案　由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为0，因此q也不能为0.
知识点二　等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab
思考　当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？
答案　不一定，如数列0，0，5就不是等比数列．
知识点三　等比数列的通项公式
（1）已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1.
（2）第n项与第m项的关系为an＝amqn－m ，变形得qn－m＝.
（3）由an＝·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)．
知识点四　等比数列通项公式的推广和变形
等比数列{an}的公比为q，则
an＝a1 qn－1①
＝amqn－m②
＝·qn.③
其中当②中m＝1时，即化为①.
当③中q>0且q≠1时，y＝·qx为指数型函数．
自主检测
1．判断正误，正确的写正确，错误的写错误．
（1）等比数列中不存在数值为0的项．( )
（2）常数列a，a，a，a，…一定是等比数列．( )
（3）若数列的通项公式是，则一定是等比数列．( )
（4）存在一个数列既是等差数列，又是等比数列．( )
（5）任何两个实数都有等比中项．( )
（6）数列是等比数列．( )
（7）若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．( )
（8）等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．( )
（9）常数列一定为等比数列．( )
2．在等比数列中，，，则首项
A． B． C． D．1
3．已知数列-1，，，-16成等差数列，-1，，，，-16成等比数列，则（ ）
A． B． C．或 D．
4．已知等比数列满足，且成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知在等比数列中，，等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A．26 B．52 C．78 D．104
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
问题1：前面我们学习了等差数列，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？
我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？
【师生活动】 学生独立思考、讨论交流．
教师提示，类比已有的学习经验是一个好方法，比如“等差数列”；然后指引学生回顾等差数列相邻两项的关系，确定新数列的研究问题：相邻两项比是固定常数．
【设计意图】意在引导学生从运算的角度，类比已有研究对象的主要特征，发现一个新的特殊数列作为研究对象，这样的过程有利于培养学生发现问题和提出问题的能力．
问题2：“请看下面几个问题中的数列”，类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？
【师生活动】 学生独立观察，充分思考，交流讨论．
根据学生交流讨论情况，教师可以适时地选择以下问题进行追问．
【设计意图】该情境让学生从生活实例中发现各组数列在运算上的特点，目的在从而自然引出本节课的探究问题——等比数列的概念
请看下面几个问题中的数列．
1．两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列：
； ①
； ②
； ③
古巴比伦人用60进制计数，这里转化为十进制．
2．《庄子 天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是
④
3．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是
⑤
4．某人存入银行元，存期为5年，年利率为，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是
． ⑥
追问：（1）你能用自然语言归纳每组数列的特征吗？（从相邻两项间的关系分析）
（2）请归纳概括上述四个具体例子的共同特点． （类比等差数列的过程）
（3）类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗可以用符号语言表示吗？
【师生活动】 教师引导学生梳理观察、讨论、分析的结果，抽象概括成数学定义，给出等比数列的定义．
【设计意图】让学生充分经历从观察、分析到抽象、概括的过程，其中包括独立思考和交流讨论．这是一个提升学生数学抽象素养的时机．
复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．
环节二 观察分析，感知概念
探究：类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律 你发现了什么规律
我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律．
如果用表示数列①，那么有
，，……，．
这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于9．
其余几个数列也有这样的取值规律，请你写出相应的规律．
问题3： 请同学们结合上述实例子的运算特点和等差数列的定义总结等比数列的定义。
环节三 抽象概括，形成概念
思考：
类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列（geometric progression）．这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示（显然)．例如，数列①~⑥的公比依次是9，100，5，，2，．
问题4：结合等比数列的定义，观察等比数列的相邻三项，你有什么新的发现？
【师生活动】 让学生独立阅读这段内容，然后分别提出自己的新发现．
教师根据学生的回答情况，可以选择以下问题进行追问．
追问：（1）等比数列相邻三项有什么代数关系？
（2）类比等差中项，你能得到等比中项的定义吗？能够用符号语言表示吗？
【师生活动】 根据学生探究的情况，教师引导，帮助学生建立等比中项的定义．
【设计意图】对于难度不大的内容，引导学生通过类比的方法去找到等比数列中相邻三项的关系，并抽象概念得到等比数列的定义．
问题5：回忆等差中项的定义？
追问1 类比等差中项的定义，能否总结出等比中项的定义？
与等差中项类似，如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项（geometric mean）．此时，．
追问2 如何求等比数列的通项公式
【师生活动】
【设计意图】通过问题 :5 通过类比等差数列的相关知识，进一步解析等比数列.
问题6：请同学们回忆等差数列的通项公式推导方法有哪些呢？
追问：你能等比数列的定义推导它的通项公式吗？
环节四 辨析理解 深化概念
探究：
你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
设一个等比数列的公比为．根据等比数列的定义，可得
．
所以
由此可得
又，这就是说，当时上式也成立．
因此，首项为，公比为的等比数列的通项公式为
．
【师生活动】方法有两种，分别是不完全归纳法和叠加法，类比等差数列的通项公式的推导方法，等比数列的通项公式也有两中推导方法。教师和学生共同完成等比数列的两种推导方法：
设等比数列，首项为，公比为
不完全归纳法：
叠乘法 ，共有（n-1）个等式
将这（n-1）个等式左右两边相乘得到
【师生活动】让学生先独立思考，教师展示学生推导并规范解答．
【设计意图】内容难度不大，引导学生类比等差数列通项公式的推导过程进行推导，并得到等比数学的通项公式．这是一个提升学生数学抽象的时机．
问题:7：在等差数列中，公差的等差数列可以与相应的一次函数建立联系，通过类比，等比数列可以与那个函数建立联系？单调性如何？这里让学生“类比指数函数的性质，说明公比的等比数列的单调性”．
类似于等差数列与一次函数的关系，由可知，当且时，等比数列的第项是函数当时的函数值，即（如图4.3-1所示）．
类比指数函数的性质，说说公比的等比数列的单调性．
公比且的等比数列的图象有什么特点
反之，任给函数（为常数，，且），则，，…，，…构成一个等比数列，其首项为，公比为．
下面，我们利用通项公式解决等比数列的一些问题．
【师生活动】学生独立思考、讨论交流．
教师提示，类比指数函数的性质，说明公比的等比数列的单调性．
【设计意图】让学生充分经历从观察、分析的过程，其中包括独立思考和交流讨论．
环节五 概念应用，巩固内化
例1若等比数列的第4项和第6项分别为8和12，求的第5项．
分析：等比数列由，唯一确定，可利用条件列出关于，的方程（组），进行求解．
解法1：由，，得
②的两边分别除以①的两边，得
．
解得
或．
把代入①，得
此时
．
把代入①，得
此时
．
因此，的第5项是24或．
解法2：因为是与的等比中项，所以
．
所以
．
因此，的第5项是24或．
【师生活动】学生分析解题思路，给出解答并讨论交流，教师进行展示总结．
【设计意图】例1与4．2节的例7类似，也给出了两个独立的条件．根据两个给定条件得到的关于首项和公比的方程组的解法往往不唯一，有时会得到两个的值，也就是得到两个不同的等比数列．此例题可以让学生掌握分类讨论的方法．例1也可以直接利用等比中项的定义进行解决，鼓励学生从多角度思考问题．
例2已知等比数列的公比为，试用的第项表示．
解：由题意，得
， ①
． ②
②的两边分别除以①的两边，得
．
所以
等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示．
【师生活动】学生独立思考，教师给出解答示范．
【设计意图】等比数列通项公式的应用，给你两个条件与可以表示数列的每一项，同时等比数列的任意一项都可以由数列的某一项和公比表示．
例3数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列．
分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列方程组求解．
解：设前三项的公比为，后三项的公差为，则数列的各项依次为，，80，，．于是得
解方程组，得
或
所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，．
【师生活动】学生独立思考，教师给出解答示范．
【设计意图】例3安排了一道综合应用等差数列和等比数列的通项公式解决问题的题目．根据条件包含的等量关系，列出关于数列相关量的方程组是解决这类问题的常用策略．本题利用中间量去表示其他各项，可以减少所设未知数的个数．通过此题提高学生分析问题、解决问题的能力．
环节六 归纳总结,反思提升
问题8 回顾本节课的研究过程，我们是怎样来开展对等比数列进行研究的？
1. 本节课学习的概念有哪些？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
1．等比数列的通项公式
（1）已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列．
（2）在公式an＝a1qn－1中有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量．
2．判定一个数列是等比数列的常用方法
（1）定义法；
（2）等比中项法；
（3）通项公式法．
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：解决生活中的实际问题
教材31页 练习 1,2,3.
备用练习
6．已知实数是2、8的等比中项，则（ ）
A． B． C．4 D．5
7．已知数列满足，若，，则（ ）
A．2 B． C．2 D．8
8．在等差数列中，，，依次成公比为3的等比数列，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
9．若数列对任意正整数n都有，则（ ）
A．17 B．18 C．34 D．84
10．设是等比数列，且，则（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1． 正确 错误 正确 正确 错误 正确 错误 错误 错误
【分析】根据等比数列的定义一一分析即可.
【详解】（1）根据等比数列性质知等比数列中不存在数值为0的项，故（1）正确；
（2）当时，此时不是等比数列，故（2）错误；
（3），则一定是等比数列，故（3）正确.
（4）若数列为其既是等差数列，又是等比数列，故（4）正确；
（5）如果两个实数分别为0,1，则其没有等比中项；故（5）错误；
（6）数列的公比为，则其为等比数列；
（7）该常数应为同一个非零常数，故（7）错误；
（8）等比数列的公比不可以为零，故（8）错误；
（9）常数列不一定为等比数列，如每一项均为0，故（9）错误.
故答案为：正确；错误；正确；正确；错误；正确；错误；错误；错误
2．D
【详解】.
3．A
【分析】根据已知条件求得的值，由此确定正确答案.
【详解】∵数列-1，，，-16成等差数列，∴，
∵-1，，，，-16成等比数列，∴，且，
则，
∴．
故选：A．
4．C
【解析】设公比为，由等比数列的通项公式和等差数列中项性质列方程，解方程可得q，即可得到所求值
【详解】成等差数列，得，即：，
所以＝16，
故选：C.
【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题.
5．B
【分析】等比数列中，可得，即，所以在等差数列中，，，代入即可得出答案.
【详解】在等比数列中，，所以，所以，
在等差数列中，，所以.
故选：B.
6．A
【分析】
由等比中项的定义列方程求解即可.
【详解】因为实数是2、8的等比中项，
所以，得，
故选：A
7．C
【分析】由数列满足，得到是等比数列，推导出，即可得解．
【详解】解：数列满足，
是等比数列，
，，同号，
，，
，
故选：．
8．B
【分析】直接利用等差数列和等比数列的公式计算得到答案.
【详解】，故，，
即，，解得.
故选：B
9．B
【分析】根据递推公式，可求出数列的通项公式，从而可求出的值.
【详解】因为，
所以时，，
两式相减，得，即，
又时，得也适合，
所以时，，
所以．
故选：B．
10．B
【分析】根据题意结合等比数列的通项公式列式求解，代入即可求得结果.
【详解】由题意可得：，解得，
故.
故选：B.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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