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4.3.1等比数列的概念（第2课时）导学案
学习目标
1.理解复利计算方法，能解决存款利息的有关计算方法.
2.通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题.
3.理解等比数列的常用性质.
4.掌握等比数列的判断及证明方法.
重点难点
1、教学重点
运用等比数列的知识解决简单的实际问题.
2、教学难点
根据等比数列的定义和通项公式推出等比数列的常用性质，
课前预习 自主梳理
知识点一　实际应用题常见的数列模型
1.储蓄的复利公式：本金为a元，每期利率为r，存期为n期，则本利和y ＝a(1＋r)n.
2.总产值模型：基数为N，平均增长率为p，期数为n， 则总产值y ＝ N (1 ＋ p)n.
知识点二　等比数列的常用性质
设数列{an}为等比数列，则：
（1）若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.
（2）若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列.
（3）在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列.
（4）若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2.
（5）若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和.
知识点三 等比数列性质的应用
一般来说，当三个数成等比数列时，可设这三个数分别为a，aq，aq2或，a，aq，此时公比为q；当四个数成等比数列时，可设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3(公比为q)，当四个数均为正(负)数时，可设为，，aq，aq3(公比为q2).
自主检测
1．判断正误，正确的写“正确”，错误的写“错误”.
（1）在等比数列{an}中，若aman＝apaq，则m＋n＝p＋q.( )
（2）若数列{an}，{bn}都是等比数列，则数列{an＋bn}也一定是等比数列.( )
（3）若数列{an}是等比数列，则{λan}也是等比数列.( )
2．已知等比数列中，，则（ ）
A．8 B．14 C．128 D．256
3．已知数列为等比数列，，则的值为（ ）
A．16 B．8 C．-8 D．-16
4．已知数列为等比数列，且，则等于（ ）
A． B．32 C．12 D．
5．根据下列通项能判断数列为等比数列的是（ ）．
A． B． C． D．
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
例4 用10000元购买某个理财产品一年.
（1）若以月利率的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）
（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到)
分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为元，每期的利率为，则从第一期开始，各期的本利和，，，…构成等比数列.
解：（1）设这笔钱存个月以后的本利和组成一个数列，则是等比数列，
首项，公比，所以
所以，12个月后的利息为(元).
（2）设季度利率为，这笔钱存个季度以后的本利和组成一个数列，则也是一个等比数列，首项，公比为，于是
.
因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为
元.
解不等式，得
所以，当季度利率不小于时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.
环节二 观察分析，感知概念
例5 已知数列的首项.
（1）若为等差数列，公差，证明数列为等比数列；
（2）若为等差数列，公比，证明数列为等差数列.
分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明.
证明：（1）由，，得的通项公式为
设，则.
又，
所以，是以27为首项，9为公比的等比数列.
（2）由，，得
两边取以3为底的对数，得
所以
又
所以，是首项为1，公差为的等差数列.
环节三 抽象概括，形成概念
思考：已知且，如果数列是等差数列，那么数列是否一定是等比数列？如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是否一定是等差数列
环节四 辨析理解 深化概念
例6 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内
分析：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，，则各月不合格品的数量构成数列.由题意可知，数列是等比数列，是等差数列.由于数列既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法.
解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，.由题意，知
，
，其中，
则从今年1月起，各月不合格产品的数量是
.
由计算工具计算（精确到0.1），并列表（表4.3-1).
表4.3-1
n 1 2 3 4 5 6 7
anbn 105.0 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9
n 8 9 10 11 12 13 14
anbn 106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0
环节五 概念应用，巩固内化
观察发现，数列先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当时，递减，
且即可.由，
得.
所以，当时，递减.又，
所以，当时，.
所以，生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100个以内.
为什么？
环节六 归纳总结，反思提升
问题：请同学们回顾本节课的学习内容，并回答下列问题：
1.本节课学习的概念有哪些？
2.在解决问题时，用到了哪些数学思想？
1.知识清单：
（1）等比数列的实际应用.
（2）等比数列的常用性质.
（3）等比数列的判定和证明.
2.方法归纳：方程和函数思想.
3.常见误区：不注重运用性质，使解题过程烦琐或者性质运用不正确而出错.
等差数列 等比数列
不同点 （1）强调每一项与前一项的差； （2）a1和d可以为零； （3）等差中项唯一. （1）强调每一项与前一项的比； （2）a1与q均不为零； （3）等比中项有两个值.
相同点 （1）都强调每一项与前一项的关系； （2）结果都必须是常数； （3）数列都可以由a1、d或a1、q确定.
联系 （1）若{an}为正项等比数列，则{logaan}为等差数列； （2）{an}为等差数列{bn}为等比数列，则{ban}为等比数列.
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：第34页 练习 第1，2，3，4题
备用练习
6．在等比数列中，若，则（ ）
A．3 B． C． D．
7．已知正项等比数列中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．在等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知等比数列前项和为，则下列一定成立的是
A．若，则； B．若，则；
C．若，则； D．若，则．
10．已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A． B． C．10 D．15
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1． 错误 错误 错误
【分析】通过举反例，依次分析即可判断结果.
【详解】（1）若等比数列是非零常数列，则结论不一定成立.
（2）例如：为 为
则为0，0，0，0，…，显然不是等比数列.
（3）若，可知不是等比数列.
故答案为：（1）错误；（2）错误;（3）错误.
2．C
【分析】根据等比数列的性质计算出答案.
【详解】由等比数列的性质可知：，
故,
故选：C
3．C
【分析】根据等比数列下标和性质计算可得；
【详解】解：因为，
所以，又，所以，
所以，
故选：C
4．B
【分析】首先根据等比数列的性质计算，再根据所有的奇数项同号可求得的值，再由即可求解.
【详解】由等比数列的性质可得，
所以，
因为，所以或，
因为
所以
所以，
故选: B.
5．C
【分析】根据可判断A和B，根据可判断C，根据可判断D.
【详解】对于A，，，则有,故数列不为等比数列；
对于B，则有，，则有，故数列不为等比数列；
对于C，，故数列是首项为，公比为的等比数列；
对于D，，故数列不为等比数列．
故选：C．
6．D
【分析】利用等比数列的性质可知，再结合条件即求.
【详解】因为数列是等比数列，
所以，
又因为，
所以.
故选：D.
7．B
【分析】首先由等比数列的性质得到，再根据等比数列的性质可知，再计算求值.
【详解】由等比数列的性质可知，并且，
， ，
.
故选：B
8．A
【分析】根据等比数列的通项公式及题干条件，可得q值，根据，代入计算，即可得答案.
【详解】由题意得，
又，
所以．
故选：A
9．C
【详解】设等比数列的公比为，且
若，则，所以，故正确，不正确；
若，则，因此不正确，正负不定，D不正确.
故选C
10．C
【分析】根据等比数列的性质得，由对数运算化简即可．
【详解】解：因为等比数列的各项均为正数，且
所以
.
故选：C．
【点睛】对数运算的一般思路：
（1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并；
（2）合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
答案第1页，共2页
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