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4.3.2等比数列的前n项和公式（第1课时）导学案
学习目标
1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用.
2.会用错位相减法求数列的和.
3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.
重点难点
1.教学重点：
掌握等比数列的前n项和公式及其应用，等比数列前n项和公式推导方法；
等比数列前n项和公式的推导（错位相减法）及简单应用.
2.教学难点：
等比数列前n项和公式推导方法（错位相减法）的理解.
会用错位相减法求数列的和，能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.
课前预习 自主梳理
知识点一　等比数列的前n项和公式
已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项
求和公式 Sn=_______________ Sn＝______________
知识点二　等比数列前n项和的性质
1.数列{an}为公比不为－1的等比数列（或公比为－1，且n不是偶数），Sn为其前n项和，
则Sn，S2n－Sn，_______________仍构成等比数列.
2.若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋_______（n，m∈N*）.
3.若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，
则：①在其前2n项中，＝q；
②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝（q≠－1）.
自主检测
1．判断正误，正确的填写“正确”，错误的填写“错误”.
(1)求等比数列{an}的前n项和时，可直接套用公式Sn＝.( )
(2)若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n项和等于na.( )
(3)若a∈R，则1＋a＋a2＋…＋an－1＝.( )
(4)等比数列前n项和Sn不可能为0.( )
(5)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a（a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*），则此数列一定是等比数列.( )
2．等比数列中，，且前三项和为，则公比q的值是（ ）
A．1 B． C．1或 D．－1或
3．在等比数列中，，则其前3项的和的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知正项等比数列中，为前n项和，，则（　　）
A．7 B．9 C．15 D．30
5．已知为正项等比数列的前项和，，且，，成等差数列，则（ ）
A．2 B． C． D．4
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
问题 1 ：相传国际象棋起源于古印度，是西萨发明的.国王要奖励西萨， 西萨说：“请在棋盘第1个格子里放1颗麦粒，在第2个格子里放2颗麦粒，在第3个格子里放4颗麦粒，在第4个格子里放8颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一格子里所放麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够粮食来实现上述要求！”你知道西萨要多少粒小麦吗？国王能满足西萨的要求吗？
国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.已知一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016-2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.
追问 1 把各格所放麦粒数看成一个数列，可以得到一个怎样的数列？能写出它的通项公式吗？
让我们一起来分析一下.如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和.
追问 2 各格所放麦粒总数如何求？
一般地，如何求一个等比数列的前n项和呢？
设等比数列的首项为，公比为，则的前n项和是
.
探究1：这个和式右边任意相邻两项有何特点？
根据等比数列的通项公式，上式可写成
. ①
探究2：若在此等式两边同以，得到②式，比较①，②两式，你有什么发现？
我们发现，如果用公比乘①的两边，可得
②
探究3：两边同乘的2是等比数列的什么？乘2的作用是什么？
①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，
追问 1 两个等式相减后，还剩下哪些项，相减后符号如何？
就可以消去这些相同的项，可得，即
.
追问2 由得到正确吗？
因此，当时，我们就得到了等比数列的前项和公式
（1）
因为，所以公式（1）还可以写成
（2）
追问3若q=1，{an}是什么数列，前项和等于什么？
当时，等比数列的前项和等于多少？
有了上述公式，就可以解决本小节开头提出的问题了.
由，，可得
.
这个数很大，超过了.如果一千颗麦粒的质量约为40g，那么以上这些麦粒的总质量超过了7000亿吨，约是2016—2017年度世界小麦产量的981倍.因此，国王根本不可能实现他的诺言.
环节二 观察分析，感知概念
例7 已知数列是等比数列.
（1）若，，求；
（2）若，，，求；
（3）若，，，求.
对于等比数列的相关量，，，，，已知几个量就可以确定其他量？
解：
环节三 抽象概括，形成概念
例8 已知等比数列的首项为，前项和为.若，求公比.
解：
环节四 辨析理解 深化概念
例9 已知等比数列的公比，前项和为.证明，，成等比数列，并求这个数列的公比.
证明：
环节五 概念应用，巩固内化
想一想，不用分类讨论的方式能否证明该结论？
证明：
环节六 归纳总结，反思提升
问题7 请同学们回顾本节课的学习内容，并回答下列问题：
1. 本节课学习的概念有哪些？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：第37页 练习 第1，2，3，4题
备用练习
6．已知数列的通项公式为，若前项和为9，则项数为（ ）
A．99 B．100 C．101 D．102
7．设是等比数列的前项和，若，则
A． B． C． D．
8．已知递增等比数列的前项和为，，，，，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．已知等比数列的前项和为，且，，则（ ）
A．12 B．24 C．36 D．39
10．设是等比数列的前项和，若，则公比（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)错误
(2)正确
(3)错误
(4)错误
(5)正确
【分析】利用常数列可判断（1）（2）（3）（5）（6）；通过举例可判断（4）；根据与的关系求出通项，然后再根据等比数列定义验证即可判断（7）.
【详解】（1）当时，不能使用公式求和，错误；
（2）若数列是首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则，
所以，，正确；
（3）当时，不能使用等比求和公式计算1＋a＋a2＋…＋an－1＝，错误.
（4）例如：等比数列前n项和Sn可能为0，错误.
（5）若某数列的前n项和公式为，
则时，，
时，，
综上，该数列的通项为，
因为，所以该数列为等比数列，正确.
2．C
【分析】由等比数列通项公式基本量运算求解．
【详解】由题意，
解得或．
故选：C．
3．C
【分析】把用公比表示，利用函数知识得结论．
【详解】设的公比为，则，
，时等号成立，
与时都有，所以．
故选：C．
4．C
【分析】先根据已知条件并结合等比数列的通项公式求得公比，再求出各项得出结果即可.
【详解】由，，得，
即，由等比数列，
得，即.
由题知，所以，
所以.
故选：C.
5．C
【分析】设正项等比数列的公比为q（），由题意求出q，再结合，，成等差数列即可求得，即得答案.
【详解】设正项等比数列的公比为q（），则由，
得，可得，
解得或（舍去），
又成等差数列，所以，
即，所以，
故选：C．
6．A
【分析】化简，利用裂项相消求出数列的前项和，即可得到答案
【详解】假设数列的前项和为，
因为，
则数列的前项和为，
当前项和为9，故，解得，
故选：A
7．B
【分析】利用等比数列的求和公式，化简，再代入计算，即可得出结论．
【详解】∵
∴
∴
∴q504＝9，
∴.
故选B．
【点睛】本题考查等比数列的求和公式，考查学生的计算能力，属于中档题．对于等比等差数列的 小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.
8．C
【分析】根据条件先确定公比的范围，然后结合条件列出关于的方程组，由此求解出的值，最后根据等比数列前项和公式求解出结果.
【详解】设等比数列的公比为，因为且递增，所以，
因为，，所以，所以，
所以，所以，所以，
故选：C.
9．D
【分析】先根据已知条件算出等比数列的公比和首项，然后根据等比数列的求和公式算出.
【详解】设等比数列的公比为，
则，解得，
于是，解得，
于是.
故选：D
10．C
【分析】根据题意两式相减可求得公比．
【详解】因为，
两式作差得，
即，
则该等比数列的公比
故选：C．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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