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4.1.1 数列的概念 导学案
学习目标
1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.
2.掌握数列的分类，了解数列的单调性.
3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项.
4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．
重点难点
1.重点：数列的有关概念与数列的表示方法、数列的通项公式.
2.难点：数列的函数特征，用数列的前n项和与通项的关系求通项公式
课前预习 自主梳理
知识点一　数列及其有关概念
1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．
2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．
思考　数列1，2，3与数列3，2，1是同一个数列吗？
答案　 不是．顺序不一样．
知识点二　数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的个数 有穷数列 项数有限的数列
无穷数列 项数无限的数列
知识点三　函数与数列的关系
数列{an}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f（n）．
知识点四　数列的单调性
递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列 各项都相等的数列
知识点五　通项公式
1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．
思考　既然数列是一类特殊的函数，那么表示数列除了用通项公式外，还可以用哪些方法？
答案　还可以用列表法、图象法．
自主检测
1．判断正误，正确的写正确，错误的写错误．
（1）1，1，1，1是一个数列．( )
（2）数列1，3，5，7可表示为．( )
（3）如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列．( )
（4）与表达不同的含义．( )
（5）数列中的项互换次序后还是原来的数列．( )
（6）所有的数列可分为递增数列和递减数列两类．( )
（7）与的意义一样，都表示数列．( )
2．设数列满足，则（ ）
A．0 B．4 C．5 D．8
3．在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．数列 的项数为（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列、、、、，那么在此数列中的项数是（ ）
A． B． C． D．
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
（一）章引言的教学
引导语：这一阶段我们将学习一个新的内容——数列，请大家跟随老师的问题来了解数列的内容与学习方法.在生活中，常有按顺序记录数据来研究事物变化规律的事例.
例如，一棵树在某一时刻的高度为2m，如果在每年的同一时刻都记录下这棵树的高度，并按时间的先后顺序排列起来，就得到一列数.通过对记录下来的这列数的分析，可以研究树的生长规律.将某个学生某一学科的历次考试成绩按考试时间顺序逐个记录，据此可研究该学生这科成绩的变化情况.
问题1：你能举出几个类似的用按顺序排成一列的数来研究变化规律的事例吗？
【师生活动】学生举例，教师通过学生的答案，判断他们对数列的已有认知情况.
【设计意图】通过事例让学生感知，将数据按确定顺序排成一列进行研究有其实际的意义和价值.
问题2：对数列的研究，既有实际需求，也有数学本身的需求.章头图沙滩上的图形，显示了古希腊毕达哥拉斯学派用小石子摆出的三角形数、正方形数和五边形数.你能分别将表示三角形数、正方形数和五边形数的点数按顺序排成一列写下来吗？你能用一个式子表示这些数吗？
【师生活动】让学生在写的过程中体会，数列学习的一个重要内容是求数列的通项，而归纳的方法是常用的方法.教师可以结合学生的回答提醒学生，数列的通项公式及归纳的方法是这一章的重要内容和思想方法.
【设计意图】使学生感知数列有实际和数学自身两方面的需求，同时引出本章的学习内容与方法.
问题3：上述树的高度、小石子的个数问题是否能用函数关系来刻画？为什么？
【师生活动】学生可能从表格表达的是函数的角度来解释，如能从对应关系上解释更好，但这里主要是让学生体会数列是特殊的函数.
教师可进一步对章头语作如下介绍：
通过上述问题我们可以知道，研究数列有着实际的需求，数列与函数有着一定的联系.在函数学习中我们先学习函数的概念和性质，然后研究一些基本初等函数.与函数类似，在数列的学习中，-我们将学习数列的概念及表示法，研究通项公式（类似函数的解析式），并研究两类典型的数列模型——等差数列和等比数列.通过对这两类数列的研究，我们将学习数列的研究方法，还将把其他数列转化为等差数列、等比数列，并利用这两类数列的性质解决问题.
当然数列也有别于函数，有其特殊的研究内容，如相邻两项之间的关系、求和问题等，这些也是数列重
要的研究内容.在数列的学习过程中，我们常用归纳的方法得出一些结论，但并没有给出严格的数学证明，因此在本章最后，我们将介绍一种证明与正整数有关的命题的方法——“数学归纳法”.
【设计意图】让学生从具体问题中感知数列与函数的联系.通过教师的介绍，让学生对本章将要学习的内容及处理问题的方法有大致的了解，发挥章引言的“先行组织者”的作用.
对数列的研究源于现实生产、生活的需要．例如，一棵树在某一时刻的高度是2m，如果在每年的同一时刻都记录下这棵树的高度，并按先后顺序排列起来，就得到一列数．人们常用这样的一列数有序地表达一类事物，或者记录一个过程．像这样按照确定的顺序排列的一列数称为数列．如果用正整数表示事物发展过程的先后顺序，并且把这样的正整数看作自变量的取值，把事物的对应数值看作相应的函数值，那么数列就是定义在正整数集（或正整数集的有限子集）上的一类离散函数．数列无论在理论研究还是在实际应用中都非常重要．
引导语：从前面的介绍中，我们对数列已经有了一个大致的了解，那么究竟什么是数列呢 我们将通过例子来归纳数列的共性，研究该怎样定义、表示数列.
环节二 观察分析，感知概念
先看教科书上的两个例子：
在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象．例如：
1．王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高．将这些身高数据（单位：cm）依次排成一列数：
75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168．①
记王芳第岁时的身高为，那么，，，．
我们发现，中的反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，即是排在第1位的数，是排在第2位的数……是排在第17位的数，它们之间不能交换位置．所以，①是具有确定顺序的一列数．
2．在两河流域发掘的一块泥版（编号K90，约产生于公元前7世纪）上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数①：
①把满月分成240份，则从初一到十五每天月亮的可见部分可用一个代表份数的数来表示．
5，10，20，40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240．②
问题4：根据上述两个例子回答下列问题：
（1）例（1）中的第3，8个数的实际意义是什么？
（2）例（2）中哪一天的月亮可见部分数为128
（3）按顺序排列实际上确定了怎样的一种关系？
【师生活动】学生回答，例（1）中第3，8个数表示王芳在3岁和8岁生日那天的身高分别为96cm和128cm，例（2）中的“128”对应的是第8天月亮的可见部分数.
教师归纳：这些数是有确定的顺序的，每个位置上的数都有其特定的意义.
【设计意图】通过对“章引言”的学习，及对上述所给问题的作答，使学生认识所给实例的共性.
问题5：我们能否引入一个符号，表示上述问题中的数？
记第天月亮可见部分的数为，那么，，…，．这里，中的反映了月亮可见部分的数按日期从1到15的顺序排列时的确定位置，即是排在第1位的数，是排在第2位的数……是排在第位的数，它们之间不能交换位置．所以，②也是具有确定顺序的一列数．
【师生活动】在学生作答的基础上，教师归纳:既然这两列数中的每一个数的值是由排列顺序中的序号所确定的，我们可以引人一个与序号相关的符号来表示数列中的数.
例如，对于例（1），我们可以记王芳第岁生日那天的身高为，这样.
追问1:的值分别是多少
【师生活动】学生回答:.
追问2:怎样用符号来表示例（2）中这列数中的每一个数
【师生活动】学生回答，设第天月亮可见部分的数为，则
追问3:按这样的表述，的实际意义是什么
【师生活动】学生回答，教师总结:因为，而满月时为240，所以表示第5天月亮的可见部分是满月时的.
【设计意图】通过用数学符号表示实例中的数，使学生认识到实例中的数都是具有确定顺序的一列数.
问题6:我们再来看下面一个例子:
3．的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数：③
思考
你能仿照上面的叙述，说明③也是具有确定顺序的一列数吗？
【师生活动】学生回答:的第次幂为，那么.这里，中的反映了的次幂按指数从小到大的顺序排列时的确定位置，即是排在第1位的数，是排在第2位的数，是排在第3位的数..它们之间不能交换位置.所以，（*）是具有确定顺序的一列数列.
学生通过仿照前面用数学符号表示数列并进行分析的过程，进一步认识数列是具有确定顺序的一列数.
问题7:上面三个例子的共同特征是什么
【师生活动】学生交流并回答.教师在前面活动的基础上给出数列的概念:
环节三 抽象概括，形成概念
一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列（sequenceofnumber），数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示……第个位置上的数叫做这个数列的第项，用表示．其中第1项也叫做首项．①是按年龄从小到大的顺序排列的，②是按每月的日期从小到大的顺序排列的，③是按幂指数从小到大的顺序排列的，它们都是从第1项开始的．
项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．
数列的一般形式是，，…，，…，
简记为．
【设计意图】让学生在具体的例证基础上进行抽象概括，体会数列的概念及一般形式的合理性.
问题8:若将上面的次幂所得的数列记作，则的值各为多少
【师生活动】学生回答:.
【设计意图】数列概念的简单运用.
由于数列中的每一项与它的序号有下面的对应关系：
所以数列是从正整数集（或它的有限子集）到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为．
也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值，，…，，…，就是数列．另一方面，对于函数，如果有意义，那么，，…，，…，
构成了一个数列．
以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．
环节四 辨析理解，深化概念
问题9:我们已经归纳出了数列的概念，从给出的具体例子中你能发现数列与函数的联系吗 你能从函数的角度解释一下这三个数列的特点吗 例如，它们是不是函数 如果是，那么它们的对应关系、定义域分别是什么
与其他函数一样，数列也可以用表格和图象来表示．例如，数列①可以表示为表4.1-1．
表4.1-1
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
75 87 96 103 110 116 120 128 138 145 153 158 160 162 163 165 168
它的图象如图4.1-1所示．
【师生活动】学生作答，教师引导学生认识作为函数的数列定义域的特点.
【设计意图】通过上述三个数列，使学生进一步认识数列是一种特殊的函数，并给出定义域.
问题10:一般地，数列能否看作是一个函数 如果能，数列的定义域又有怎样的特点
从表4.1-1和图4.1-1中，你能发现数列①中的项随序号的变化呈现出的特点吗？
问题11:分别写出一个递减的无穷数列和一个递增的有穷数列的通项公式.
【师生活动】学生回答，教师评价.
【设计意图】帮助学生认识到可以从函数的角度来研究数列.
与函数类似，我们可以定义数列的单调性．从第２项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列．特别地，各项都相等的数列叫做常数列．
如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．例如，数列③的通项公式为．显然，通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项．
【师生活动】在学生回答的基础上，教师引导学生对照教科书中的表述，理解数列是特殊的函数.同时，教师还需指出:
（1）数列作为特殊的函数也可以有表格（如教科书中的表4.1-1）、图象（如教科书中的图4.1-1）和解析式这三种表示形式，表格法、图象法可以根据数列的前若干项得到，因此需要侧重研究解析式法一用来表示数列各项的公式.结合教科书中数列的通项公式的定义，使学生明确并不是所有的数列都有通项公式.
（2）与函数类似，我们可以定义递增数列、递减数列与常数列.教学时先让学生阅读单调数列的定义，并回答如何由教科书中的表4.1-1和图4.1-1，确定数列的单调性.再让学生计算由的次幂按升幂顺序排列所成数列的前10项，并画出其图象（图1），观察各项的变化趋势.（参考答案:该数列既不是递增数列也不是递减数列，当项数无限增大时，数列的项会无限趋近于0.）
（3）函数在数列研究中有着重要的作用.
【设计意图】让学生理解，数列是一种特殊的函数，数列也和函数一样，有3种表示方法，数列也有单调性的概念.
环节五 概念应用，巩固内化
例1根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象．
（1）；（2）．
解：（1）当通项公式中的时，数列的前5项依次为
图象如图4.1-2（1）所示．
（2）当通项公式中的时，数列的前项依次为．
图象如图4.1-2（2）所示．
【师生活动】学生计算、画图.教师利用电子表格计算、画图（图2、图3），结合表格、图象，请学生回答这两个数列是否是递增数列.
【设计意图】本例是对通项公式的直接运用，并要求学生描点作图，使学生从通项公式、表格和图象三个角度认识数列.
例2根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
（1）；
（2）．
解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为①
①或常常用来表示正负相间的变化规律．
（2）这个数列前4项的奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为．
【师生活动】学生回答，教师进行引导:解答第（1）题时，可以先思考第（1）题与下列两个数列（1），（2）的关系;对于第（2）题，可以考虑在的每一项上加1，也可以对例1（2）中数列的每一项取绝对值后乘以2.教师同时强调，通过数列的前几项归纳得到的数列的通项公式，可能是不唯一的.
练习:教科书第5页练习第4题.
【设计意图】让学生体会从数列的具体项归纳通项公式的基本方法，认识到得到的通项公式不是唯一的.
环节六归纳总结，反思提升
问题12:回顾章引言，概述本章的主要内容.
【师生活动】教师引导学生再次阅读章引言，共同画一个思维导图，其中包括本章的主要内容和主要的思想方法.
问题13:回顾数列的概念及其表示方法的学习过程，说说其中运用了怎样的思想方法.
【师生活动】学生交流后回答，教师总结:
（1）通过具体的例子，归纳、概括数列的共同特征，给出数列的概念;
（2）用数学语言描述数列，给出数列的一般形式;
（3）用函数的观点看数列，明确数列是一种特殊的函数;
（4）运用函数的方法研究数列，介绍数列的三种表示方法.
【设计意图】总结本节课的主要内容及思想方法.
1．知识清单：
（1）数列及其有关概念．（2）数列的分类．（3）函数与数列的关系．（4）数列的单调性．（5）数列的通项公式．
2．方法归纳：观察、归纳、猜想．
3．常见误区：归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；不注意用（－1）n进行调节，不注意分子、分母间的联系．
数列的概念与表示
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：教科书习题4.1第题.
备用练习
6．已知数列的通项公式为，则（ ）
A．1 B． C．0 D．
7．数列1，，，，，…的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知数列满足，，则（ ）
A． B． C．2 D．1
9．已知一列数如此排列：1，，4，，16，，则它的一个通项公式可能是（ ）
A． B． C． D．
10．在数列中，，（），则（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1． 正确 错误 错误 正确 错误 错误 错误
【分析】根据数列的定义和单调性一一分析即可.
【详解】（1）根据数列定义得该组数为常数列，故（1）正确；
（2）数列不能表示为集合，故（2）错误；
（3）常数列不具有单调性，故（3）错误；
（4）根据数列定义知与表达不同的含义，故（4）正确；
（5）数列中的项互换次序后可以不是原来的数列，如数列1,2,3，故（5）错误；
（6）常数列不具有单调性，故（6）错误；
（7）与的意义不一样，前者表示数列，后者表示数列中具体一项，故（7）错误.
故答案为：正确；错误；错误；正确；错误；错误；错误.
2．B
【分析】由递推关系式直接求即可.
【详解】由题意得：.
故选：B.
3．C
【分析】利用数列的递推公式逐项计算可得的值.
【详解】由已知可得，，.
故选：C.
4．B
【分析】根据数列所给的项，归纳项与项数的规律即可得解.
【详解】；；……，.
故共有项，
故选：B.
5．C
【分析】解方程，可得出结论.
【详解】由可得，因此，在此数列中的项数是.
故选：C.
6．A
【分析】由数列通项公式直接计算即可.
【详解】因为．
故选：A
7．A
【分析】根据规律写出数列的通项公式
【详解】奇数项为正，偶数项为负，可用来实现，
而各项分母可看作
各项分子均为1，
∴该数列的通项公式为．
故选：A
8．B
【分析】由递推关系，求出.
【详解】由，，则，.
故选：B
9．D
【分析】令，代入选项，即可选出答案.
【详解】令，，，
，，选项D正确.
故选：D
10．B
【分析】根据，（），求出，从而可知是周期为3的周期数列，可得
【详解】因为，（），所以，，，…所以数列是周期为3的周期数列，又，所以，
故选：B.
答案第1页，共2页
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