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专题8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系【七大题型】
【人教A版（2019）】
【题型1 平面的基本性质及推论】4
【题型2 空间中的点共线、点（线）共面问题】5
【题型3 空间中的线共点问题】6
【题型4 平面分空间的区域数量】8
【题型5 直线与直线的位置关系】9
【题型6 直线与平面的位置关系】10
【题型7 平面与平面的位置关系】11
【知识点1 平面】
1.平面
（1）平面的概念
生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的.
（2）平面的画法
①与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面.
②当平面水平放置时，如图（1）所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图（2）所示，常把平行四边形的一边画成竖向.
（3）平面的表示方法
平面一般用希腊字母，，，表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD.
2.点、直线、平面的位置关系的符号表示
点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的集合.点与直线（平面）之间的位置关系用符号“”“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”“”表示.
3.三个基本事实及基于基本事实1和2的三个推论
（1）三个基本事实及其表示
基本事实 自然语言 图形语言 符号语言
基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. A，B，C三点不共线存在唯一的平面α使A，B，C∈α.
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α.
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. P∈α，且P∈βα∩β=l，且P∈l.
（2）三个基本事实的作用
基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面.
基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面.
基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点.
（2）基本事实1和2的三个推论
推论 自然语言 图形语言 符号语言
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点a与A共面于平面α，且平面唯一.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a与b共面于平面α，且平面唯一.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线直线a，b共面于平面α，且平面唯一.
4.平面分空间问题
一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢？三个平面呢？
（1）两个平面有两种情形：
①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图（1）；
②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图（2）.
（2）三个平面有五种情形：
①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图（1）；
②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图（2）；
③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图（3）；
④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图（4）；
⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图（5）.
【题型1 平面的基本性质及推论】
【例1】（2023下·高一课时练习）
1．下面说法中正确的是（ ）
A．任何一个平面图形都是一个平面
B．平静的太平洋面是平面
C．平面就是平行四边形
D．在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面
【变式1-1】（2023下·黑龙江·高一校考期中）
2．在空间中，下列命题不正确的是（ ）
A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点．且在一条直线上
B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线
C．梯形可确定一个平面
D．任意三点能确定一个平面
【变式1-2】（2023上·上海静安·高二校考期末）
3．下列命题中真命题是（ ）
A．四边形一定是平面图形
B．相交于一点的三条直线只能确定一个平面
C．四边形四边上的中点可以确定一个平面
D．如果点，，平面，且，，平面，则平面与平面为同一平面
【变式1-3】（2023下·全国·高一专题练习）
4．下列说法中错误的是（ ）
A．经过两条平行直线，有且只有一个平面
B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
C．平面与平面相交，它们只有有限个公共点
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
【题型2 空间中的点共线、点（线）共面问题】
【例2】（2023下·河南开封·高一河南省杞县高中校联考期末）
5．如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（ ）

A．三点共线，且
B．三点共线，且
C．三点不共线，且
D．三点不共线，且
【变式2-1】（2023下·湖北黄冈·高一校考阶段练习）
6．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，分别在，CD上，且则下面几个说法中正确的个数是（ ）

①E，F，G，H四点共面；②③若直线EG与直线FH交于点P，则P，A，C三点共线．
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式2-2】（2023上·全国·高三专题练习）
7．在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ）
① 三点共线；
② 四点共面；
③ 四点共面；
④ 四点共面.
A．①② B．①②③④ C．①②③ D．①③④
【变式2-3】（2023·江苏·高一专题练习）
8．如图所示，在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，则下列说法正确的是（ ）
①，，，四点共面；
②与异面；
③与的交点可能在直线上，也可能不在直线上；
④与的交点一定在直线上．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【题型3 空间中的线共点问题】
【例3】（2023·全国·高三专题练习）
9．如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且．求证：直线，，相交于一点．
【变式3-1】（2023·全国·高一专题练习）
10．如图所示，已知棱长为1正方体中，点分别是棱的中点．

求证：三条直线交于一点；
【变式3-2】（2023·全国·高一随堂练习）
11．如图，点是正方体的上底面的中心，过，，A三点作一个截面．求证：此截面与对角线的交点P一定在上．

【变式3-3】（2023下·安徽合肥·高一校联考期中）
12．在四面体中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且．求证：

(1)，，，四点共面；
(2)直线，，相交于一点．
【题型4 平面分空间的区域数量】
【例4】（2023·高一课时练习）
13．空间三个平面能把空间分成（ ）
A．4部分或6部分 B．7部分或8部分
C．5部分或6部分或7部分 D．4部分或6部分或7部分或8部分
【变式4-1】（2023·全国·高一专题练习）
14．两个平面能把空间分成几个部分（ ）
A．2或3 B．3或4 C．3 D．2或4
【变式4-2】（2023·全国·高一专题练习）
15．空间的4个平面最多能将空间分成（ ）个区域．
A．13 B．14 C．15 D．16
【变式4-3】（2023·全国·高一专题练习）
16．三棱柱各面所在平面将空间分为（ ）
A．部分 B．部分 C．部分 D．部分
【知识点2 空间点、线、面之间的位置关系】
1.空间中直线与直线的位置关系
（1）三种位置关系
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种：
（2）异面直线的画法
为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示.
2.空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下：
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
直线在平面内 有无数个公共点
直线与平面相交 有且只有一个公共点
直线与平面平行 没有公共点
3.空间中平面与平面的位置关系
（1）两种位置关系
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下：
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
两个平面平行 没有公共点
两个平面相交 有一条公共直线
（2）两种位置关系
平行平面的画法技巧
画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.
【题型5 直线与直线的位置关系】
【例5】（2023上·上海·高二期末）
17．如果直线a和b没有公共点，那么a与b（　　）
A．共面 B．平行
C．可能平行，也可能是异面直线 D．是异面直线
【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）
18．已知空间中两个角，，且角与角的两边分别平行，若，则（ ）
A．30° B．150° C．30°或150° D．60°或120°
【变式5-2】（2023上·四川达州·高二达州市第一中学校校考阶段练习）
19．如图，在正方体 中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】（2023上·安徽·高二合肥一中校联考阶段练习）
20．已知两条异面直线a，b所成角为，若过空间内一定点的直线l和a，b所成角均为，则这样的直线l有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【题型6 直线与平面的位置关系】
【例6】（2023下·北京西城·高一统考期末）
21．已知直线，直线和平面，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【变式6-1】（2023上·上海青浦·高二校考期末）
22．若一直线上有两点到一个平面的距离都等于1，则该直线与这个平面的位置关系是（ ）．
A．直线在平面内 B．直线与平面相交或平行
C．直线与平面相交 D．直线平行平面
【变式6-2】（2023·河南·郑州一中校联考模拟预测）
23．设m，n，l分别是三条不同的直线，是平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，，，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【变式6-3】（2023·全国·高一专题练习）
24．如图， 在正方体中， 点分别为的中点， 设过点的平面为， 则下列说法正确的是（ ）
A．在正方体中， 存在某条棱与平面平行
B．在正方体 中， 存在某条面对角线与平面平行
C．在正方体 中， 存在某条体对角线与平面平行
D．平面截正方体所得的截面为五边形
【题型7 平面与平面的位置关系】
【例7】（2023上·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）
25．已知，，是空间中三个不同的平面，，是空间中两条不同的直线，则下列结论错误的是（ ）
A．若，，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，，则
【变式7-1】（2023·四川宜宾·宜宾市校考模拟预测）
26．若三个不同的平面满足则之间的位置关系是（ ）
A． B．
C．或 D．或与相交
【变式7-2】（2023下·江西赣州·高一统考期末）
27．已知空间中三个互不相同的平面、、，两条不同的直线、，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，则
【变式7-3】（2023·高一课时练习）
28．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥ABCD，NB⊥ABCD．且MD＝NB＝1．则下列结论中：
①MC⊥AN
②DB∥平面AMN
③平面CMN⊥平面AMN
④平面DCM∥平面ABN
所有假命题的个数是（　　 ）
A．0 B．1 C．2 D．3
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据平面的概念，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，平面是无限延展的，所以一个平面图形不是一个平面，所以A不正确；
对于B中，平静的太平洋面是个有边界的图形，不是平面，所以B不正确；
对于C中，平面可以用平行四边形表示，但平面不是是平行四边形，所以C不正确；
对于D中，在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面，所以D正确.
故选：D.
2．D
【分析】利用平面的相关公理和推论逐项进行判断即可求解.
【详解】对于选项A，若两个平面有一个公共点，则它们有经过该公共点的一条直线，即两平面有无数个公共点，故选项A正确；
对于选项B，若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线，否则，若存在三点共线，则问题转化为一条直线与直线外一点，则四点共面，故选项B正确；
对于选项C，因为两条平行直线确定一个平面，所以梯形可确定一个平面，故选项C正确；
对于选项D，共线的三点不能确定一个平面，故选项D错误；
故选：D.
3．C
【分析】利用平面的基本性质逐一判断即可．
【详解】对于A，四边形有平面四边形和空间四边形，由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形，故A错误；
对于B，三棱锥三条侧棱所在的直线相交于一点，但这三条直线不共面，故B错误；
对于C，由四边形四边上的中点连线为平行四边形，平行四边形对边平行，所以四边形四边上的中点可以确定一个平面，故C正确；
下面证明四边形四边上的中点连线为平行四边形．
证明：如图为四边形，其中，，，分别为，，，的中点，
连接，，，
由，为，，则，且，同理，且，
所以，且，所以四边形为平行四边形．
对于D，当点，，在一条直线上时，平面和与平面也可能相交，故D错误．
故选：C．
4．C
【分析】根据立体几何三大公理以及推论，可得答案.
【详解】对于A，由不在同一直线上的三个点确定唯一平面，故A正确；
对于B，由两条相交直线确定唯一平面，由题意，第三条直线与相交的两条直线分别相交于两个不同的点，根据直线上两个不同点在一个平面内，该直线也在平面内，故B正确；
对于C，由平面与平面相交，则两平面一定相交于一条直线，在该直线上存在无数个点，故C错误；
对于D，由平面相交公理，可得D正确.
故选：C.
5．B
【分析】
连接，利用公理2可直接证得，并且由三角形相似得比例关系，从而求出结果.
【详解】
连接连接，，

直线平面平面.
又平面，平面平面直线
∴三点共线.
.
故选：B.
6．C
【分析】推导出，，从而，由此能证明E，F，G，H四点共面；，从而直线EG与直线FH必相交，设交点为P，证明P点在直线上．
【详解】如图所示，

E，F分别为AB，AD的中点，∴，，
分别在，CD上，且，∴，，
∴，则E，F，G，H四点共面，说法①正确；
∵，四边形是梯形，不成立，说法②错误；
若直线与直线交于点P，则由，平面，得平面，
同理平面，又平面平面，
∴则P，A，C三点共线，说法③正确；
说法中正确的有2 个.
故选：C
7．A
【分析】根据图示可得三点，，在平面与平面的交线上，可判断①；
根据公理可得，确定一个平面，可判断②；
根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，故 四点不共面，可判断③；
根据异面直线的判定定理可得与异面直线，故 四点不共面，可判断④.
【详解】解：∵，平面，∴平面.
∵，平面，∴平面，
∴是平面和平面的公共点；
同理可得，点和都是平面和平面的公共点，
∴三点，，在平面与平面的交线上，
即，，三点共线.故①正确.
∵，，∴，，确定一个平面，
又，平面，∴平面，故②正确.
根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，故 四点不共面，故③不正确.
根据异面直线的判定定理可得与异面直线，故 四点不共面，故④不正确.
故选：A.
8．B
【分析】利用平面几何的性质及平行公理可得，且四边形EFGH是梯形，结合公理可得答案.
【详解】依题意，可得， ，故，所以，，，四点共面；
所以①正确，②错误；
因为，所以四边形EFGH是梯形；
EF与GH必相交，设交点为M.
因为点M在EF上，故点M在平面ACB上，
同理，点M在平面ACD上，所以点M是平面ACB与平面ACD的交点.
又AC是这两个平面的交线，
所以点M一定在直线AC上. 所以④正确，③错误；
故选：B.
9．证明见解析
【分析】
先通过中点以及线段比例关系证明，然后说明与交于一点，结合点在两个平面内这一特点说明三线共点.
【详解】
在空间四边形中，连接，
∵分别为的中点，则，且，
又由，则，且，
故，且，故四边形为梯形，与交于一点，
设与交于点，如图，
由于平面，故点在平面内，同理点在平面内，
又∵平面平面，∴点在直线上，
故直线相交于一点．
10．证明见解析
【分析】根据分别是棱的中点可得，利用等角定理可得三点共线，同理可得三点共线；即三条直线交于一点O．
【详解】延长交的延长线于点O，如下图所示：

易得．
在与中，
，所以
所以，由等角定理可知三点共线；
同理可得三点共线；
∴三条直线交于一点O．
11．证明见解析
【分析】
由已知条件利用基本事实三得到平面平面，且平面，平面，由此利用基本事实三，即可证得对角线与平面的交点一定在上.
【详解】证明：如图所示，连接，
因为是正方体的上底面的中心，
所以，且，
因为平面，平面，
所以平面，平面，
又因为平面，平面，
所以平面平面，
因为对角线平面，所以平面，平面，
所以由基本事实三可得，对角线与平面的交点一定在上.

12．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据基本事实的推论证明即可；
（2）根据基本事实3证明即可.
【详解】（1）
连接，，
在三角形中，，所以，
∵，分别是边，的中点，
∴，
∴，，，，四点共面.
（2）∵，为中点，
∴与不平行，
∵平面，
∴与相交，
设，
∵，平面，
∴平面，同理平面，
∵平面平面，
∴，
∴直线，，相交于一点.
13．D
【解析】根据平面与平面的位置关系，结合题意，从而进行判断.
【详解】
若三个平面两两平行，则把空间分成4部分，如图1；
若三个平面两两相交，且只有一条交线，则把空间分成6部分，如图2；
若三个平面两两相交，有三条交线，且三条交线不交于一点，则把空间分成7部分，如图3；
若三个平面两两相交，有三条交线，且三条交线相交于一点，把空间分成8部分，如图4.
故选：D.
【点睛】本题考查平面划分空间的问题，属基础题.
14．B
【分析】分别判断两个平面的平行和相交时，分空间的情况即可的答案.
【详解】若两个平面平行，此时两个平面把空间分成3个平面，
若两个平面相交，此时两个平面把空间分成4个平面，
故两个平面能把空间分成3个或4个部分.
故选:B
【点睛】关键点点睛：本题的关键是要考虑到两个平面的位置关系.
15．C
【分析】根据平面的性质进行归纳推理．前三个平面与第4个平面相交，最多有三条交线，这三条交线把第四个平面，最多分成7部分，而每一部分就是第四个平面与前三个平面所分空间部分的截面，这个截面把所在空间部分一分为二，由此可得4个平面最多能将空间分成的区域数．
【详解】一个平面把空间分成2部分，两个平面最多把空间分面4部分，3个平面最多把空间分布8个部分，前三个平面与第4个平面相交，最多有三条交线，这三条交线把第四个平面，最多分成7部分，这里平面的每一部分就是第四个平面与前三个平面分空间部分的截面，这个截面把所在空间部分一分为二，这样所有空间部分的个数为．
故选：C．
16．C
【分析】把一个三棱柱的俯视图，延长三边，可把平面分成7部分，还原为三棱柱，空间被两个底面分成上下3层，每层都有7部分，即可求解.
【详解】想象一个没有上下底的三棱柱（上下两边无限延伸），将三棱柱的侧面延伸出来，
俯视图如图所示，
分成个区域.
拿两个水平的平面去截（其实就是三棱柱上下底面所在平面），
分成上中下三个大块，每个大块个区域，共个区域.
故选：C
【点睛】本题主要考查了空间想象力，转化的思想，属于容易题.
17．C
【分析】
根据直线a和b没有公共点，结合空间直线的位置关系进行判断．
【详解】
∵直线a和b没有公共点，
∴直线a与b不是相交直线．
∴直线a与b可能是相交直线或异面直线．
故选：C．
18．C
【分析】由于角与角的两边分别平行，所以角与角相等或互补，从而可求得的值
【详解】∵角与角的两边分别平行，
∴与相等或互补，又，∴或150°.
故选：C
19．C
【分析】连接，易证，只需解三角形，求出的余弦值即可得解.
【详解】
如图，连接，，
因为，，
所以四边形是平行四边形，
，因此是异面直线与所成的角或其补角，
设正方体的棱长为2，则，，
在直角三角形中，，
，即三角形是直角三角形，
，
即异面直线与所成角的余弦值为.
故选：C.
20．C
【分析】先将异面直线a，b平移到点P，结合图形知，当使直线l在平面BPE的射影为的角平分线时，存在2条直线满足条件，当直线l在平面EPD的射影为的角平分线时，存在2条满足条件，则可判断4条直线满足.
【详解】如图：

通过平移过点P作a∥BD，b∥CE，由题意，,,
而的角平分线与a和b的所成角为，
的角平分线与a和b的所成角为，
因为，所以直线l和a，b所成角均为的直线有4条，
其中直线l在平面BPE的射影为的角平分线时存在2条直线满足条件，
当直线l在平面EPD的射影为的角平分线时存在2条满足条件，故共4条.
故选：C.
21．C
【分析】根据直线与直线、直线与平面的位置关系逐项分析可得答案.
【详解】对于A，若，，则或与异面，故A错误；
对于B，若，，则或与异面或与相交，故B错误；
对于C，若，过作平面，使得，则，
因为，，则，又，则，故C正确；

对于D，若，，则或或与相交，故D错误.
故选：C.
22．B
【分析】
根据直线与平面的位置关系，结合题意，进行判断.
【详解】结合题意：要使一条直线的两点到一个平面的距离为1，则由线面位置关系可得：
当时，可满足题意；
当与相交时，在面的异侧各有一个点可满足题意；
当时，无法满足题意.
故直线与平面相交或平行.
故选：B.
23．C
【分析】利用直线与直线、直线与平面的位置关系即可判断．
【详解】A选项，时，直线m可能不垂直于平面，A错误；
B选项，当m，n异面时，也存在平面，使得，，，B错误；
C选项，由线面垂直的性质可知，当，时，必有，C正确；
D选项，当时，显然也可以有m，n异面，，，D错误．
故选：C．
24．D
【分析】根据题意可得 交平面于点， 交平面于点， 交平面于点，
故不存在某条棱与平面平行，即可以判断选项A错误；
由六个面的12条面对角线与平面都相交，即可判断选项B错误；
体对角线全部与面相交，即可判断选项C错误；
补全图形可得平面截正方体所得的截面为五边形，即可以判断选项D正确.
【详解】对于选项A，交平面于点，平面，
都不与平面平行，
交平面于点，平面，
都不与平面平行，
交平面于点，平面，
都不与平面平行，
故A错误；
观察几何体可知六个面的12条面对角线与平面都相交，
故B错误；
四条体对角线全部与面都相交，
故C错误.
如下图，取中点为，易得，
取中点为，连接，易得，
再取中点为，连接，则，
，
是平面与正方体底面的交线，
延长，与的延长线交于，连接，交于，
则可得五边形即为平面交正方体的截面，
故D正确；
故选：D.
25．D
【分析】借助空间中的位置关系逐个判定即可得.
【详解】对于A，若，，，则，故A正确；
对于B，若，，，则，故B正确；
对于C，若，，则，故C正确；
对于D，若，，，则，平行或相交，故D错误.
故选：D.
26．D
【分析】利用正方体中的面面关系即可求解.
【详解】由可得或与相交，
比如在正方体中，
平面平面，平面平面，则平面平面，
又平面平面，平面平面，但是平面与平面相交，
故选：D
27．B
【分析】根据直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判定即可.
【详解】选项AD：若，，则和可能平行也可能相交（此时交线与平面垂直），故AD错误；
选项B：若，，则，又且、是空间中两不相同的平面，则，故B正确；
选项C：若，，，则与可能相交也可能平行，故C错误；
故选：B
28．B
【分析】由题可知该几何体的顶点均在边长为1的正方体的顶点上,再根据线面平行与垂直以及面面垂直平行的判定逐个判断即可.
【详解】由题画出该几何体外接的正方体.
对①,因为,,故MC⊥AN成立.故①正确.
对②,因为平面AMN,故DB∥平面AMN成立.故②正确.
对③,连接易得为正四面体.故平面CMN⊥平面AMN不成立.故③错误.
对④,正方体中平面DCM与平面ABN分别为前后两面,故④正确.
故选：B
【点睛】本题主要考查了空间中的线面与面面的平行垂直判定,需要根据正方体的性质进行判定,属于中等题型.
答案第1页，共2页
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