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第四章 数列
第4.3.2讲 等比数列前n项和的性质及应用(第2课时)
1.理解并应用等比数列前n项和公式的性质解题.
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.
1、等比数列的连续n项之和的性质
2、等比数列的不连续n项和的性质
3、等比数列前n项和在几何图形中的应用
4、等比数列前n项和的实际应用
知识点 等比数列前n项和的性质
1.设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn.
(1)当q≠-1,或q=-1且n为奇数时,则Sn, S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn.
(2)Sn+m=Sn+qnSm=Sm+qmSn.(m,n∈N*)
2.若{an}是公比为q的等比数列,S偶,S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和,则:
(1)在其前2n项中,S偶∶S奇=q.
(2)在其前2n+1项中,S奇=a1+qS偶.
题型1、等比数列的连续n项之和的性质
1.数列的前n项和,数列的前n项和为,则=( )
A.192 B.190 C.180 D.182
2.在正项等比数列中,为其前n项和,若,,则( )
A.786 B.240 C.486 D.726
3.记等比数列的前项和为.若,,则( )
A. B. C. D.
4.正项等比数列的前项和为,,,则等于( )
A.90 B.50
C.40 D.30
5.设等比数列 的公比为 ,其前 项和为 ,前 项积为 ,并满足条件 , ,,下列结论正确的是( )
A. B.
C. 是数列中的最大值 D.数列无最大值
题型2、等比数列的不连续n项和的性质
6.设等比数列的前项和是.已知,则( )
A.13 B.12 C.6 D.3
7.设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则S9等于( )
A. B.- C. D.
8.已知正项等比数列的前项和为,且,则的最小值为( )
A.20 B.16 C.9 D.8
9.在等比数列中,前n项和为, , ,则+( )
A.22 B.210 C.640 D.2560
10.各项均为正数的等比数列的前项和为,若,则( )
A.80 B.30 C.26 D.16
题型3、等比数列前n项和在几何图形中的应用
11.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是从一个正三角形开始,把每条边分成三等分,然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形,再去掉底边,反复进行这一过程,就得到一个“雪花”状的图案.设原正三角形(图①)的边长为1,把图①、②、③、④……中图形的周长依次记为,得到数列.设数列的前项和为,若时,则的最小值为( )
(参考数据:,)
A.5 B.8 C.10 D.12
12.“康托尔尘埃”是数学理性思维的构造产物,具有典型的分形特征,其过程如下:在一个单位正方形中,首先,将正方形等分成9个边长为的小正方形,保留靠角的4个小正方形,记4个小正方形面积之和为;然后,将剩余的4个小正方形分别继续9等分,分别保留靠角的4个小正方形,记16个小正方形面积之和为;…;操作过程不断进行下去,以至无穷,保留的图形称为康托尔尘埃.若,则操作次数n的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
13.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规则的蜘蛛网,如图,它是由无数个正方形环绕而成,且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上,设外围第一个正方形的边长是m,有人说,如此下去,蜘蛛网的长度也是无限的增大,那么,试问,侏罗纪蜘蛛网的长度真的是无限长的吗?设侏罗纪蜘蛛网的长度为,则( )
A.无限大 B.<3(3+)m
C.=3(3+)m D.可以取100m
14.如图,是一块半径为的半圆形纸板,在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到纸板,然后依次剪去一个更小的半圆(其直径为前一个被减掉半圆的半径)得到纸板,,,.记第块纸板的面积为,则( )
A. B.
C. D.
15.如图,已知正三角形的边长为1,取正三角形各边的中点,,,得到第二个正三角形,然后再取正三角形各边的中点,,,得到第三个正三角形,依此方法一直进行下去,则从第一个正三角形开始,前10个正三角形的面积之和为( )
A. B. C. D.
题型4、等比数列前n项和的实际应用
16.某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术,以此达到10年内每年此农产品的销售额(单位:万元)等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年(2023年)该公司该产品的销售额为100万元,则按照计划该公司从2023年到2032年该产品的销售总额约为(参考数据:)( )
A.3937万元 B.3837万元
C.3737万元 D.3637万元
17.某家庭打算为子女储备“教育基金”,计划从2021年开始,每年年初存入一笔专用存款,便这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益.如果每年的存款数额相同,依年利息并按复利计算(复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再计算下一期的利息),则每年应该存入约( )万元.(参考数据:,)
A.5.3 B.4.1 C.7.8 D.6
18.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢?”描述的问题是:有五尺厚的墙,两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙,大 小鼠第一天都进一尺,以后每天,大鼠加倍,小鼠减半,则( )天后两鼠相遇.
A.1 B.2 C.3 D.4
19.云冈石窟,古称为武州山大石窟寺,是世界文化遗产.若某一石窟的某处“浮雕像”共7层,每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍,共有1016个“浮雕像”,这些“浮雕像”构成一幅优美的图案,若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成一个数列,则的值为( )
A.8 B.10 C.12 D.16
20.复印纸按照幅面的基本面积,把幅面规格分为A系列、B系列C系列,其中B系列的幅面规格为:,,,…,,所有规格的纸张的长度(以表示)和幅宽(以y表示)的比例关系都为;将纸张沿长度方向对开成两等分,便成为规格;将纸张沿长度方向对开成两等分,便成为规格;…,如此对开至规格.现有,,…,纸各一张,已知纸的幅宽为1m,则,,…,这8张纸的面积之和是( )
A. B.
C. D.
一、单选题
21.已知等比数列的前项和为,若,,则( )
A.20 B.30 C.40 D.50
22.等比数列的前n项和为,若,,则( )
A.10 B.70 C.30 D.90
23.已知等比数列的前项和为,若,,则( )
A. B. C. D.
24.已知等比数列的前项和为,若,则( )
A.83 B.108 C.75 D.63
25.一个等比数列前项的和为48,前项的和为60,则前项的和为( )
A. B. C. D.
26.已知等比数列中,,则前9
项之和等于
A.50 B.70 C.80 D.90
27.我国古代的数学名著《九章算术》中记载:“今有蒲生一日,长三尺,蒲生日自半”.其意为:今有蒲草第一日长高3尺,以后蒲草每日长高前一日的半数,则蒲草第5日的高度为( )
A.尺 B.尺 C.尺 D.尺
28.新型冠状病毒(简称新冠)传播的主要途径包括呼吸道飞沫传播、接触传播、气溶胶传播等.其中呼吸道飞沫传播是指新冠感染的患者和正常人在间隔左右的距离说话,或者是患者打喷嚏、咳嗽时喷出的飞沫,可以造成对方经过呼吸道吸入而感染.如果某地某天新冠患者的确诊数量为,且每个患者的传染力为2(即一人可以造成两人感染),则5天后的患者人数将会是原来的( )倍
A.10 B.16 C.32 D.63
二、多选题
29.设等比数列的公比为q,其前n项和为,前n项积为,并且满足条件,,,则下列结论正确的是( )
A. B.
C.的最大值为 D.的最大值为
30.设等比数列的公比为,其前项和为,前项积为,并且满足条件,则下列结论正确的是( )
A. B.
C.的最大值为 D.的最大值为
三、填空题
31.一个小球从54米高处自由落下,每次着地后又弹回到原来高度的处,则小球第2次落地时,经过的路程是 米;小球第次落地时,经过的路程是 米.
32.在正项等比数列中,,,则= .
四、解答题
33.在等比数列中,若,,求.
34.在等比数列中,,,求的值.
35.如图,已知直角三角形的两直角边和的长分别为5和12,直角三角形的斜边所在的直线与以、、…、、…为圆心,且依次外切的半圆都相切,其中半圆与边所在的直线相切,半圆圆心都在边上,半径分别为、、…、、….
(1)求证:为等比数列;
(2)求所有半圆弧长的总和.
试卷第1页,共3页
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参考答案:
1.B
【分析】利用关系求的通项公式,进而可得的通项公式,求即可.
【详解】当时,,
当 时,,
经检验满足上式,所以,
设,则 ,
所以.
故选:B
2.D
【分析】
根据等比数列前n项和的性质可得,,,…成等比数列.结合等比中项的应用计算即可求解.
【详解】
因为为等比数列,所以,,,…仍为等比数列.
设,因为,,所以6,,成等比数列.
由,解得或(舍去),
所以数列,,…的公比为3.
因为,,,
所以,,
故,.
故选:D
3.C
【分析】设等比数列的公比为(),根据求得,再由等比数列的性质得到,即可求解.
【详解】设等比数列的公比为(),
则,解得:,
又,
所以,
故选:C.
4.B
【分析】由,可得,由等比数列前n项和的性质可得,代入求解即可.
【详解】解:因为是正项等比数列的前项和,
所以,
所以,
又因为,,
所以,
所以,
解得或(舍).
故选:B.
5.A
【分析】根据 , ,,可判断数列 的,进而可知数列是单调递减的等比数列,结合选项,即可逐一求解.
【详解】根据题意,等比数列中,,则有,有,
又由0,即 ,必有, 由此分析选项:
对于A, ,故 ,A正确;
对于B,等比数列中,,,则 ,则 ,即 ,B错误;
对于C, ,则 是数列 中的最大项,C错误;
对于D,由C的结论,D错误;
故选:A.
6.A
【分析】方法一,根据等比数列的性质可求得,可得,求得,可得解;方法二,同方法一求得,再根据等比数列前项和公式代入运算可得解.
【详解】方法一 因为,所以,,
所以,所以.又,得,
所以.
故选:A.
方法二 因为,,所以,
所以,所以.
故选:A.
7.C
【分析】利用等比数列中,,,成等比数列的这个性质解决问题.
【详解】已知:,,成等比数列,
且:,,∴,
∴.
故选:C
8.B
【分析】由题意可得,再根据等比数列前项和的性质可得,即,结合基本不等式即可得解.
【详解】因为,所以,
由正项等比数列的前项和为,
得为等比数列,且,
则,
则,
当且仅当,即时取等号,
所以的最小值为.
故选:B.
【点睛】根据等比数列前项和的性质得出是解决本题的关键.
9.C
【分析】利用等比数列片段和的性质知、、、成等比数列,应用等比中项列方程求得,进而求即可.
【详解】由,由题设易知:、、、成等比数列,
所以,即,
同理,即.
故选:C
10.B
【分析】据等比数列性质可知,,,成等比数列,由等比中项特点可构造方程求得,由等比数列通项公式可求得,进而得到结果.
【详解】是各项均为正数的等比数列的前项和,
也为等比数列,
又,
该等比数列第一项,第二项.
则公比,
,
.
故选:B.
11.C
【分析】观察图形可知周长形成的数列是首项,公比为的等比数列,即可求出与,从而得到关于的不等式,解得即可..
【详解】观察图形知,各个图形的周长依次排成一列构成数列,
从第二个图形开始,每一个图形的边数是相邻前一个图形的倍,边长是相邻前一个图形的,
因此从第二个图形开始,每一个图形的周长是相邻前一个图形周长的,即有,
因此数列是首项,公比为的等比数列,,
数列的前项和为,
若,则,即,
所以,
所以,又为正整数,所以的最小值为.
故选:C
12.C
【分析】由已知得,再由等比数列的求和公式建立不等式,由函数的单调性即可得答案.
【详解】是边长为的4个正方形的面积之和,故;
是边长为的个正方形的面积之和,故;
以此类推得:
从而,
所以,函数关于单调递减,
且时,,时,,故最小值取3.
故选:C
13.B
【分析】根据给定条件,由第一个正方形边长,求出第二个、第三个正方形边长,确定从外向内的各正方形边长依次排成一列的数列特性,再求和作答.
【详解】依题意,从外到内正方形的边长依次为,,,,
显然数列是首项为,公比的等比数列,
所以,ACD错误,B正确.
故选:B
14.B
【分析】根据题意找出每次减掉半圆的规律:半径构成等比数列,面积构成等比数列,从而利用等比数列的有关知识得出剩余的面积.
【详解】由题意每次减掉的半圆的半径分别为,构成以为首项,为公比的等比数列,
所以每次减掉的半圆的面积为,构成以为首项,为公比的等比数列,
而开始时半圆的面积为,所以第块纸板的面积为
,
故选:B.
15.B
【分析】设的面积为,由条件证明数列为等比数列,利用等比数列求和公式求面积和.
【详解】设的面积为,,则可得数列,
由已知为线段的中点,为线段的中点,
所以
又,都为等边三角形,
所以,又,
所以数列为等比数列,公比为,
所以前10个正三角形的面积之和为,
故选:B.
16.A
【分析】根据配凑法、分组求和法求得正确答案.
【详解】设,,,
所以数列是首项为,公比为的等比数列,
所以
则
(万元).
故选:A
17.A
【分析】首先设每年应该存入万元,写出每年存入前到2027年底的本利和,再利用等比数列求和公式,即可求解.
【详解】设每年应该存入万元,
则2021年初存入的钱到2027年底本利和为,
2022年初存入的钱到2027年底本利和为,
……,
2027年存入的钱到2027年底本利和为
则,
即,解得:.
故选:A
18.C
【分析】
由题意得等比数列的前项和列不等式,然后再由,结合函数零点的判断得出答案.
【详解】设天后能打穿,则,化简为,
令,则,又由函数的单调性可知在内有唯一零点,
所以至少需要天.
故选:C.
19.C
【分析】
推导出是以2为公比的等比数列,且,解得,由此能求出的值.
【详解】
从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列,
则是以2为公比的等比数列,
,,解得,
所以,
.
故选:C.
20.C
【分析】分析出,,…,的面积的规律,根据等比数列前项和公式求得正确答案.
【详解】由题意,可得的长、宽分别为,1,
的长、宽分别为1,,
的长、宽分别为,,…,
所以,,…,的面积是首项为,公比为的等比数列,
所以,,…,这8张纸的面积之和为.
故选:C
21.B
【分析】根据等比数列前项和的性质进行求解即可.
【详解】因为是等比数列,所以成等比数列,即成等比数列,
显然,
故选:B
22.B
【分析】根据等差数列前项和的性质来求得.
【详解】由等比数列的性质可得,,,成等比数列
∴(S20-S10)2=S10·(S30-S20)
∴400=10·(S30-30)
∴S30=70
故选:B.
23.A
【分析】根据等比数列的性质列式,由此求得.
【详解】由于是等比数列,所以也成等比数列,
其中,所以,
所以.
故选:A
24.D
【分析】根据等比数列性质,若是等比数列,则也是等比数列解决即可.
【详解】由题知,等比数列的前项和为,
所以也是等比数列,即也是等比数列,
根据等比中项性质解得,
故选:D
25.C
【分析】根据等比数列前和的性质,简单计算即可得到结果.
【详解】设该等比数列的前和为,
则,,成等比数列,
所以
故选:C
26.B
【详解】解:因为等长连续片段的和依然是等比数列,因此可知S3,S6- S3,S9- S6,解得前9项的和为70,选B
27.D
【分析】判断蒲草每日增长的高度成等比数列,用等比数列的求和公式即可解出.
【详解】由题意,蒲草每日增长的高度成等比数列,
等比数列的首项为3,公比为,
蒲草第5日的高度为等比数列前5项和,
(尺),
故选:D.
28.D
【分析】由等比数列求和公式即得.
【详解】根据题意,设每天新冠患者的确诊人数组成数列,
则是公比为2的等比数列,所以5天后的新冠患者人数为,
所以5天后的患者人数将会是原来的63倍.
故选:D.
29.AD
【分析】根据题意,,再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可.
【详解】因为,,,
所以,,所以,故A正确.
,故B错误;
因为,,所以数列为递减数列,所以无最大值,故C错误;
又,,所以的最大值为,故D正确.
故选:AD
【点睛】本题考查了等比数列的性质、定义,考查了基本知识的掌握情况,属于基础题.
30.BD
【分析】根据给定的条件分析公比q的符号和大小,再逐项分析.
【详解】由题意,同号,即与同号,, 又有…①或…②;
若为①,则有 ,即;
若为②,则有,则不可能大于1,即②不成立;
,并且,,即是递减的正数列, A错误;
所以,B正确;
,即对任意的n都成立,C错误;
当时,,当时,,是的最大值,D正确;
故选:BD.
31. 90
【分析】先求出通项公式,再利用等比数列的求和公式可得答案.
【详解】设小球第1次落地时经过的路程为,小球从第次落地到第n次落地时经过的路程为米,
则,
所以小球第2次落地时,经过的路程是米,
小球第次落地时,经过的路程是
米.
32.40
【分析】根据是等比数列,可得公比,和,由等比数列性质,得到成等比数列,求出.
【详解】设正项等比数列的公比为,
则,,
由,,
所以,,
又由是等比数列,所以成等比数列,
所以,
即,
故,
解得或,
又,所以.
故答案为:40
33.70
【分析】根据条件,利用等比数列的性质,即可求出结果.
【详解】因为为等比数列,根据等比数列前项和的性质,可得:,,仍成等比数列,
所以,又,,
所以,解得.
34.50
【分析】利用等比数列的奇数项和与偶数项和的关系,即可求解.
【详解】解:设,,
所以,
所以,
所以.
35.(1)证明见解析;
(2).
【分析】(1)如图,根据相似三角形可得,即,求出,同理可得,,,进而,结合等比数列的定义即可证明;
(2)由(1)知,结合等比数列前n项求和公式计算即可求解.
【详解】(1)如图,设圆与AB相切于点、、,连接、、,
则,得,
又,所以,
得,解得.
同理,即,解得,
,,
有,
所以是以为首项,以为公比的等比数列,
即证.
(2)由(1)可得,所有半圆弧长的总和为:
.
故所有半圆弧长的总和为.
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