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第八章 概率（知识归纳+题型突破）
1.结合古典概型，了解条件概率的定义，掌握条件概率的计算方法.
2.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．
3.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率，了解贝叶斯公式.
4.通过具体的实例，了解离散型随机变量的概念及其对于刻画随机现象的重要性.
5.理解离散型随机变量的分布列，掌握离散型随机变量分布列的表示方法及性质.
6.通过具体实例，理解离散型随机变量的均值.能计算简单离散型随机变量的均值.
7.通过具体实例，理解离散型随机变量的方差及标准差的概念.
8.能计算简单离散型随机变量的方差及标准差，并能解决一些实际问题.
9.通过具体实例了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征.
10.能用二项分布解决简单的实际问题.
11.通过具体实例，了解超几何分布及其均值.
12.能用超几何分布解决简单的实际问题.
13.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量；通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征.
14.了解正态分布的均值、方差及其含义.
1．条件概率的概念
一般地，设A，B为两个事件，P(A)>0，我们称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率(conditional probability)，记为P(B|A)，读作“A发生的条件下B发生的概率”．即P(B|A)＝ (P(A)>0)．
注意点：
A与B相互独立时，即可得P(AB)＝P(A)P(B)，则P(B|A)＝P(B)．
2．概率的乘法公式
由条件概率的公式可知P(AB)＝P(B|A)P(A).
通常将此公式称为概率的乘法公式.
注意点：
（1）如果知道事件A发生会影响事件B发生的概率，那么P(B)≠P(B|A).
（2）已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的样本空间计算AB发生的概率.
3．条件概率的性质
（1）P(Ω|A)＝1；
（2）P( |A)＝0；
（3）若B1，B2互斥，则P((B1＋B2)|A)＝P(B1|A)＋P(B2|A).
注意点：
（1）A与B互斥，即A，B不同时发生，则P(AB)＝0，故P(B|A)＝0；
（2）互斥事件的条件概率公式可以将复杂事件分解为简单事件的概率和.
4．全概率公式
一般地，若事件A1，A2，…，An两两互斥，且它们的和Ai＝Ω，P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对于Ω中的任意事件B，有P(B)＝P(Ai)P(B|Ai).这个公式称为全概率公式.
注意点：
如图所示，B发生的概率与P(BAi)(i＝1，2，…，n)有关，且B发生的概率等于所有这些概率的和，即P(B)＝P(BAi)＝P(Ai)P(B|Ai).在实际问题中，当某一事件的概率难以求得时，可转化为一系列条件下发生的概率的和.
5．贝叶斯公式
一般地，若事件A1，A2，…，An两两互斥，且A1∪A2∪…∪An＝Ω，P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对于Ω中的任意事件B，P(B)>0，有
P(Ai|B)P(B)＝P(B|Ai)P(Ai)，
因此P(Ai|B)＝，
再由全概率公式得P(Ai|B)＝.
这个公式称为贝叶斯公式.
注意点：
（1）公式P(Ai|B)＝＝反映了P(AiB)，P(Ai)，P(B)，P(Ai|B)，P(B|Ai)之间的互化关系.
（2）P(Ai)称为先验概率，P(Ai|B)称为后验概率，其反映了事件Ai发生的可能在各种可能原因中的比重.
6．随机变量的概念
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，则称X为随机变量.通常用大写英文字母X，Y，Z(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示随机变量，而用小写英文字母x，y，z(加上适当下标)等表示随机变量的取值.
注意点：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：
①取值依赖于样本点；②所有可能取值是明确的.
7．离散型随机变量
随机变量可分为以下两类：
（1）离散型随机变量：取值为离散的数值的随机变量称为离散型随机变量；
（2）连续型随机变量：取值为连续的实数区间，具有这种特点的随机变量称为连续型随机变量.
注意点：是不是离散型随机变量与变量的选取有关，比如：对树木高度问题，可定义如下离散型随机变量ξ＝
8．离散型随机变量的概率分布
（1）定义：一般地，随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，xn，且P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n，①
称①为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.
（2）表示：分布列可以用下表来表示.
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
我们将上表称为随机变量X的概率分布表.它和①式都叫作随机变量X的概率分布.
（3）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…n；
②p1＋p2＋…＋pn＝1.
注意点：（1）概率分布表中x1，x2，…，xn表示离散型随机变量X可能取的不同值，p1，p2，…，pn表示X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi.
（2）随机变量X取值为x1，x2，…，xn时所对应事件是互斥的.
9．0～1分布(两点分布)
随机变量X只取两个可能值0和1.把这一类概率分布称为0－1分布或两点分布，并记为X～0－1分布或X～两点分布.此处“～”表示“服从”.
注意点：（1）两点分布有且只有两个对应结果，且互为对立.
（2）其随机变量的取值只能是0和1，故又称0－1分布.
（3）其中p＝P(X＝1)称为成功概率.
（4）两点分布可应用于彩票中奖、新生儿性别、投篮是否命中等.
10．离散型随机变量的均值
一般地，随机变量X的概率分布如表所示，
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
其中pi≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1，将p1x1＋p2x2＋…＋pnxn称为随机变量X的均值或数学期望，记为E(X)或μ.
注意点：（1）均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均数.
（2）离散型随机变量的均值E(X)是一个数值，是随机变量X本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平.
11．离散型随机变量均值的性质
X，Y的概率分布为
X x1 x2 … xi … xn
Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b
P p1 p2 … pi … pn
于是E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn
＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋B.
12.离散型随机变量的方差、标准差
（1）一般地，若离散型随机变量X的概率分布如表所示，
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
其中，pi≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1， 则(xi－μ)2(μ＝E(X))描述了xi(i＝1，2，…，n)相对于均值μ的偏离程度，故(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn(其中pi≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1)刻画了随机变量X与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X的方差，记为D(X)或σ2.即D(X)＝σ2＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn.
（2）方差也可用公式D(X)＝xpi－μ2计算.
（3）随机变量X的方差也称为X的概率分布的方差，X的方差D(X)的算术平方根称为X的标准差，即σ＝.
注意点：（1）离散型随机变量的方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
（2）离散型随机变量的方差的单位是随机变量本身的单位的平方，标准差与随机变量本身的单位相同.
13.离散型随机变量方差的性质
（1）设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X).
（2）D(c)＝0(其中c为常数).
14.两点分布的均值与方差
若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
注意点：两点分布的方差公式的推导：
由于X服从两点分布，即P(X＝0)＝1－p，
P(X＝1)＝p，
∴E(X)＝p，
∴D(X)＝(0－p)2(1－p)＋(1－p)2p＝p－p2＝p(1－p).
15.n重伯努利试验
我们把只包含两个可能结果的试验叫作伯努利试验.将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
注意点：在相同条件下，n重伯努力试验是有放回地抽样试验.
16.二项分布
若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Cpkqn－k，其中0X 0 1 2 … n
P Cp0qn Cpqn－1 Cp2qn－2 … Cpnq0
注意点：（1）由二项式定理可知，二项分布的所有概率和为1.
（2）两点分布与二项分布的关系：两点分布是只进行一次的二项分布.
17.二项分布的均值与方差
（1）当n＝1时，X服从两点分布，其概率分布为
X 0 1
P 1－p p
E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
（2）二项分布的概率分布为(q＝1－p)
X 0 1 … k … n
P Cp0qn Cp1qn－1 … Cpkqn－k … Cpnq0
则E(X)＝0×Cp0qn＋1×Cp1qn－1＋2×Cp2qn－2＋…＋kCpkqn－k＋…＋nCpnq0，
由kC＝nC，
可得E(X)＝nCp1qn－1＋nCp2qn－2＋…＋nCpkqn－k＋…＋nCpnq0＝np(Cp0qn－1＋Cp1qn－2＋…＋Cpk－1qn－k＋…＋Cpn－1q0)
＝np(p＋q)n－1＝np，
同理可得D(X)＝np(1－p).
（3）一般地，当X～B(n，p)时，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)，σ＝.
18.超几何分布
一般地，若一个随机变量X的分布列为P(X＝r)＝，其中r＝0，1，2，3，…，l，l＝min{n，M}，则称X服从超几何分布，记为X～H(n，M，N)，并将P(X＝r)＝记为H(r；n，M，N).
注意点：（1）在超几何分布的模型中，“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件”.
（2）超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型.
19.超几何分布的均值
一般地，当X～H(n，M，N)时，E(X)＝kPk＝，其中l＝min{n，M}.
注意点：超几何分布和二项分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以近似看成二项分布.
20.正态密度曲线
（1）正态密度曲线
①函数P(x)＝e－ (x∈R)的图象称为正态密度曲线.这里有两个参数μ和σ，其中σ>0，μ∈R.
②不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线.
（2）正态密度曲线的特征
①当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线；
②曲线关于直线x＝μ对称；
③σ越大，曲线越扁平；σ越小，曲线越尖陡；
④在曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1.
注意点：参数σ和μ对正态密度曲线的形状的影响
（1）σ为形状参数，参数σ的大小决定了曲线的高低和胖瘦.当参数μ取固定值，σ取不同值时，对应的正态密度曲线的形状如图（1）所示.
（2）μ为位置参数.当参数σ取固定值时，正态密度曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图（2）.
21.正态分布
（1）设X是一个随机变量，若对任给区间(a，b]，P(a（2）正态分布N(0，1)称为标准正态分布.
注意点：（1）μ＝0，σ＝1的正态分布叫作标准正态分布；
（2）参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数(均值)；σ2是衡量随机变量总体波动大小的特征数(方差).
22.随机变量在三个特殊区间内取值的概率
若X～N(μ，σ2)，则随机变量X取值
（1）落在区间(μ－σ，μ＋σ)内的概率约为68.3%；
（2）落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内的概率约为95.4%；
（3）落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率约为99.7%.
题型一　利用定义求条件概率
【例1】
1．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.
思维升华　利用定义计算条件概率的步骤
（1）分别计算概率P(AB)和P(A).
（2）将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生.
巩固训练
2．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是
A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45
题型二　缩小样本空间求条件概率
【例2】
3．集合A＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．
思维升华　
将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A，原来的事件B缩小为AB.而A中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P(B|A)＝，这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的基本事件范围的.
巩固训练
4．5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率是 ．
题型三　条件概率的性质及应用
【例3】
5．在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．
思维升华　
（1）利用公式P((B＋C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”.
（2）为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率.
巩固训练
6．在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少答对其中的4道题即可通过；若至少答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率.
题型四　全概率公式
【例4】
7．某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行新冠疫情防控宣传．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占．求该社区居民遇到一位进行新冠疫情防控宣传的同学恰好是女生的概率．
思维升华　“化整为零”求多事件的全概率问题
（1）如图，P(B)＝P(Ai)P(B|Ai).
（2）已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和.
巩固训练
8．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品.
（1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
（2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率.
题型五　贝叶斯公式
【例5】
9．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1.假设发送信号0和1是等可能的.若已知接收的信号为0，求发送的信号为1的概率.
思维升华　此类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生的可能性大小.
巩固训练
10．设某公路上经过的货车与客车的数量之比为，货车中途停车修理的概率为0.02，客车中途停车修理的概率为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率．
题型六　随机变量的概念
【例6】
11．抛掷一枚质地均匀的硬币一次,随机变量为(　　)
A．掷硬币的次数
B．出现正面向上的次数
C．出现正面向上或反面向上的次数
D．出现正面向上与反面向上的次数之和
12．（多选）下列随机变量是离散型随机变量的是（ ）
A．从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数
B．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数
C．某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度
D．某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差
思维升华
（1）判断一个试验是否为随机试验，依据是这个试验是否满足随机试验的三个条件，即
①试验在相同条件下是否可重复进行；
②试验的所有可能的结果是否是明确的，并且试验的结果不止一个；
③每次试验的结果恰好是一个，而且在每一次试验前无法预知出现哪个结果.
（2）离散型随机变量判定的关键是随机变量X的所有取值是否可以一一列出.
巩固训练
13．指出下列哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)某人射击一次命中的环数；
(2)掷一颗质地均匀的骰子，出现的点数；
(3)某个人的属相随年龄的变化．
14．下列随机变量是离散型随机变量的个数是（ ）
①掷一颗骰子出现的点数；
②投篮一次的结果；
③某同学在12：00至12：30到校的时间；
④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数.
A．1 B．2
C．3 D．4
题型七　离散型随机变量的概率分布
【例7】
15．为检测某产品的质量，现抽取5件产品，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克），测量数据如下：
编号 1 2 3 4 5
x
y
如果产品中的微量元素x，y满足且时，该产品为优等品.现从上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数X的概率分布.
思维升华　
求离散型随机变量的概率分布的步骤
（1）首先确定随机变量X的取值；
（2）求出每个取值对应的概率；
（3）列表对应，即为概率分布.
巩固训练
16．某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人.将O，A，B，AB四种血型分别编号为1，2，3，4，现从中抽1人，其血型为随机变量X，求X的概率分布.
题型八　两点分布
【例8】
17．袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记，求X的概率分布．
思维升华　
两步法判断一个分布是否为两点分布
（1）看取值：随机变量只取两个值0和1.
（2）验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立.
如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布.
巩固训练
18．已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的概率分布．
题型九　概率分布的性质及其应用
【例9】
19．设离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
0.2 0.1 0.1 0.3
试求：
(1)的分布列；
(2)的分布列.
思维升华　
离散型随机变量的概率分布的性质的应用
（1）通过性质建立关系，求得参数的取值或范围，进一步求出概率，得出概率分布.
（2）求对立事件的概率或判断某概率是否成立.
巩固训练
20．已知随机变量服从的分布列为
1 2 3 n
P
则的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．3
题型十　利用定义求离散型随机变量的均值
【例10】
21．袋中有4只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的均值.
思维升华　求随机变量的均值关键是写出概率分布，一般分为四步：（1）确定X的可能取值；（2）计算出P(X＝k)；（3）写出概率分布；（4）利用E(X)的计算公式计算E(X).
巩固训练
22．某综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，若三道题目全部猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分.如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为，，，且三道题目之间相互独立.求嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值.
题型十一　离散型随机变量均值的性质
【例11】
23．已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P m
若，则 .
思维升华　
求线性关系的随机变量Y＝aX＋b的均值方法
（1）定义法：先列出Y的概率分布，再求均值.
（2）性质法：直接套用公式E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b求解即可.
巩固训练
24．已知随机变量和，其中，且，若的分布列如下表，则的值为
ξ 1 2 3 4
P m n
A． B． C． D．
题型十二　求离散型随机变量的方差
【例12】
25．已知随机变量的分布列为（ ）
则的值为（ ）
A． B． C． D．
思维升华　求离散型随机变量的方差的类型及解决方法
（1）已知分布列型(非两点分布)：直接利用定义求解，先求均值，再求方差.
（2）已知分布列是两点分布：直接套用公式D(X)＝p(1－p)求解.
（3）未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成（1）中的情况.
巩固训练
26．袋中有大小相同的四个球，编号分别为1,2,3,4，每次从袋中任取一个球，记下其编号.若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放回袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球.
（1）求“第二次取球后才停止取球”的概率；
（2）若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和方差.
题型十三　方差性质的应用
【例13】
27．设随机变量的概率分布为：
若，则等于（ ）
A． B．
C． D．
巩固训练
28．已知随机变量X的分布列为
X 0 1 x
P p
若，
(1)求的值;
(2)若，求的值.
题型十四　n重伯努利试验的判断
【例14】
29．判断下列试验是不是n重伯努利试验：
(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；
(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；
(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．
思维升华　n重伯努利试验的判断依据
（1）要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行.
（2）每次试验的结果相互独立，互不影响.
巩固训练
30．下列试验是否为n重伯努利试验：
(1)袋中有质地、大小完全相同的6个红球和4个白球，每次从中任取1个球，记下颜色后放回，连续取球2次；
(2)袋中有质地、大小完全相同的6个红球和4个白球，每次从中任取1个球，不放回，连续取球2次.
题型十五　n重伯努利试验概率的求法
【例15】
31．某气象站天气预报的准确率为，计算(结果保留到小数点后面第2位)：
（1）“5次预报中恰有2次准确”的概率；
（2）“5次预报中至少有2次准确”的概率．
思维升华　n重伯努利试验概率求解的关注点
（1）解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式.
（2）运用n重伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率.
巩固训练
32．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求：
(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率；
(2)其中恰有3次击中目标的概率；
(3)其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率.
题型十六　二项分布的均值与方差
【例16】
33．为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物，某人一次种植了n株沙柳,各株沙成活与否是相互独立的,成活率为p,设为成活沙柳的株数，数学期望,标准差
(1)求n.p的值并写出的分布列
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需补种沙柳的概率
思维升华　解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求解.若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
巩固训练
34．某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量,其概率分布如下表，数学期望.
（1）求a和b的值；
（2）某同学连续玩三次该智力游戏，记积分X大于0的次数为Y，求Y的概率分布与数学期望.
X 0 3 6
P a b
题型十七　超几何分布的判断
【例17】
35．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以表示取出球的最大号码，则是否服从超几何分布？
思维升华　判断所给问题是否属于超几何分布，关键是紧扣超几何分布的定义.超几何分布，实质上就是有总数为N件的两类物品，其中一类有M(M≤N)件，从所有物品中任取n件，这n件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，它取值为r时的概率为P(X＝r)＝(r≤l，l是n和M中较小的一个).
巩固训练
36．下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是（　　）
A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X
B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X
C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数
题型十八　超几何分布的概率分布
【例18】
37．某校高一、高二的学生组队参加辩论赛，高一推荐了3名男生、2名女生，高二推荐了3名男生、4名女生．推荐的学生一起参加集训，最终从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．
(1)求高一至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．
思维升华　解决超几何分布问题的两个关键点
（1）超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆.
（2）超几何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的概率分布.
巩固训练
38．从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．
(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；
(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列．
题型十九　正态密度曲线及特征
【例19】
39．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量.
思维升华　
利用待定系数法求平面法向量的步骤
（1）设向量：设平面的一个法向量为n＝(x，y，z).
（2）选向量：在平面内选取两个不共线向量，.
（3）列方程组：由列出方程组.
（4）解方程组：
（5）赋非零值：取x，y，z其中一个为非零值(常取±1).
（6）得结论：得到平面的一个法向量.
巩固训练
40．在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：
(1)平面的一个法向量；
(2)平面的一个法向量.
题型二十　正态密度曲线的图象的应用
【例20】
41．函数(其中)的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
42．已知三个随机变量的正态密度函数（，）的图象如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
思维升华　利用正态密度曲线的特点求参数μ，σ
（1）正态密度曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点结合图象求出μ.
（2）正态密度曲线在x＝μ处达到峰值，由此特点结合图象可求出σ.
巩固训练
43．甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布)，，其正态密度曲线，x∈R 如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99
题型二十一　利用正态密度曲线的对称性求概率
【例21】
44．设，试求：
(1)；
(2)；
(3).
思维升华　解答此类题目的关键在于将给定的区间转化为用μ加上或减去几个σ来表示；当要求服从正态分布的随机变量的概率所在的区间不对称时，不妨先通过分解或合成，再通过求其对称区间概率的一半解决问题.经常用到如下转换公式：（1）P(X≥a)＝1－P(X＜a)；（2）若b＜μ，则P(X≤b)＝.
巩固训练
45．设，试求：
(1)；
(2)；
(3).
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)
(3)
【分析】(1)求出从6个节目中依次抽取2个节目的试验的基本事件总数，再求出第1次抽到舞蹈节目的事件所含基本事件数即可.
(2)求出第1次和第2次都抽到舞蹈节目的事件所含基本事件数，结合(1)中信息即可得解.
(3)利用(1)(2)的结论结合条件概率的定义计算作答.
【详解】（1）设第1次抽到舞蹈节目为事件，第2次抽到舞蹈节目为事件，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件，
从6个节目中不放回地依次抽取2个的基本事件总数为，根据分步计数原理有，
所以.
（2）由(1)知，，所以.
（3）由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为
.
2．A
【详解】试题分析：记“一天的空气质量为优良”，“第二天空气质量也为优良”，由题意可知,所以，故选A.
考点：条件概率．
3．
【分析】列举出甲抽到奇数所有的可能情况，再计算出其中乙抽到的数比甲抽到的数大的可能的情况，根据概率的计算公式即可求得答案.
【详解】将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共15个．
在这15个情形中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9个，
所以所求概率.
4．##0.5
【详解】设第一次取到新球为事件，第二次取到新球为事件，
则.
故答案为：.
5．
【分析】设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C，由求解.
【详解】解：设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C，
则，
,
所以．
6．
【分析】由条件根据条件概率的求法，并注意互斥事件概率计算公式的合理运用，求得他获得优秀成绩的概率．
【详解】解：设“他能答对其中的6道题”为事件，“他能答对其中的5道题”为事件，“他能答对其中的4道题”为事件，
设“他考试通过”为事件，“他考试获得优秀”为事件．
则由题意可得，，且、、两两互斥．
所以．
又，，
，
故他获得优秀成绩的概率为；
7．
【分析】
用事件分别表示“居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的”，事件B表示“居民所遇到的一位同学是女生”，根据题意利用全概率公式运算求解.
【详解】
用事件分别表示“居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的”，事件B表示“居民所遇到的一位同学是女生”，
则，且互斥，，
由题意可知，且，
由全概率公式可知.
8．（1）；（2）．
【分析】（1）甲箱的8件产品，任取2件的取法为，而2个都是次品的取法是为3件次品中取2件，取法数为，再利用古典概型的概率公式求解；
（2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，所取2件产品对乙箱中的正品次品数有影响，因此需分三类，即2件都是正品，一正品一次品，2件都是次品，然后利用条件概率公式和互斥事件的概率公式求解即可．
【详解】（1）从甲箱中任取2个产品的事件为，这2个产品都是次品的事件数为.
所以这2 个产品都是次品的概率为.
（2）设事件为“从乙箱中取一个正品”，事件为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件为“从甲箱中取2个产品都是次品”，则事件、事件、事件彼此互斥.
，
，，
所以.
9．
【分析】由条件概率和贝叶斯公式计算．
【详解】设A表示“发送的信号为0”，B表示“接收的信号为0”，则表示“发送的信号为1”，表示“接收的信号为1”.
由题意得，，，，，.
由贝叶斯公式有.
故已知接收的信号为0，则发送的信号为1的概率为.
10．
【分析】设表示“中途停车修理”，表示“经过的是货车”，表示“经过的是客车”，由题意及贝叶斯公式可求解.
【详解】设表示“中途停车修理”，表示“经过的是货车”，表示“经过的是客车”，
则，由题意得，，，，，
由贝叶斯公式得，．
11．C
【分析】根据随机变量的定义即可判断.
【详解】出现正面向上或反面向上的次数为0或1，是随机变量.
故选：C.
12．AB
【分析】根据离散型随机变量的定义可依次判断各个选项.
【详解】对A，只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义，故A正确；
对B，从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球、2个白球，1个黑球、1个白球和2个黑球、3个黑球，即所含白球的个数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义，故B正确；
对C，林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0，30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量，故C错误；
对D，实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量，故D错误.
故选：AB.
13．(1)是随机变量，理由见解析
(2)是随机变量，理由见解析
(3)不是随机变量，理由见解析
【分析】
根据随机变量的定义对（1）（2）（3）逐一进行判断即可.
【详解】（1）
某人射击一次，可能命中的所有环数是0，1，…，10，而且出现哪一个结果是随机的，
因此命中的环数是随机变量；
（2）
掷一颗质地均匀的骰子，出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个，且出现哪一个结果是随机的，
因此出现的点数是随机变量；
（3）
一个人的属相在他出生时就确定了，不随年龄的变化而变化，
因此属相不是随机变量．
14．C
【分析】
根据离散型随机变量的定义逐个分析即可.
【详解】①中骰子出现的点数为1，2，3，4，5，6，可以一一列举出来.
②中投篮一次有两种情况，若用1表示投中，0表示不中，
则也可以一一列举出来.
④中所取3件产品的合格品数可能为0，1，2，3，共4种情况，
可以一一列举出来.
③中学生到校时间可以是12：00到12：30中的任意时刻，
不能一一列举出来，因此③不是离散型随机变量，
故只有①②④满足.
故选：C.
15．答案见解析
【分析】
按表格信息可知5件抽测品中有2件优等品，抽取的2件产品中优等品数X服从超几何分布，按超几何分布计算分布列即可.
【详解】
5件抽测品中有2件优等品，则X服从超几何分布
，，.
∴优等品数X的概率分布为:
X 0 1 2
P
16．答案见解析
【详解】
根据古典概型概率公式，写出随机变量对应的概率，即可求解分布列.
由题意知X的可能取值为1，2，3，4.
，，，
故其概率分布为
X 1 2 3 4
P
17．答案见解析
【分析】
由题设可知：X服从两点分布，根据古典概型以及对立事件运算求解.
【详解】
由题设可知：X服从两点分布．
则，
所以X的概率分布为
X 0 1
P
18．答案见解析
【分析】由题意可得服从两点分布，利用古典概型概率公式，结合组合数公式，即可求解.
【详解】由题意知，X服从两点分布，
，所以，
所以随机变量X的概率分布为
X 0 1
P
19．(1)分布列见解析
(2)分布列见解析
【分析】（1）由，求得m，得到的取值，列出分布列；
（1）由，求得m，得到的取值，列出分布列；
【详解】（1）解：由分布列的性质知，
所以.列表为
0 1 2 3 4
1 3 5 7 9
1 0 1 2 3
的分布列为
1 3 5 7 9
0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
（2）的分布列为
0 1 2 3
0.1 0.3 0.3 0.3
20．A
【分析】
利用分布列的性质即可得解.
【详解】
由概率和等于1可得：，则.
故选：A.
21．
【分析】由题可求得分X的分布列，再利用均值的公式即求.
【详解】取出4只球颜色及得分分布情况是4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，X的可能取值为5,6,7,8，
P(X＝5)＝＝，
P(X＝6)＝＝，
P(X＝7)＝＝，
P(X＝8)＝＝，
故X的分布列为
X 5 6 7 8
P
∴E(X)＝5×＋6×＋7×＋8×＝.
22．
1 3 6
均值为：
【分析】根据题意写出的可能取值，计算概率，求解分布列即可.
【详解】根据题意，设表示“所得分数”，则的可能取值为，1，3，6.
，
，
，
.
所以的分布列为：
1 3 6
所以.
23．
【分析】根据概率综合为1求出m，再用分布列求出数学期望，
用公式即可求解.
【详解】由随机变量分布列的性质，
得，解得，
∴.
由，得，即.
故答案为： .
24．A
【分析】根据随机变量和的关系得到，概率和为1，联立方程组解得答案.
【详解】且，则
即
解得
故答案选A
【点睛】本题考查了随机变量的数学期望和概率，根据随机变量和的关系得到是解题的关键.
25．C
【分析】利用随机变量的分布列计算出，再利用方差公式可求得的值.
【详解】由随机变量的分布列可得，
所以，.
故选：C.
【点睛】本题考查随机变量方差的计算，考查计算能力，属于基础题.
26．（1）；（2）分布列见解析，。
【分析】（1）分别求出第一次取到偶数球和第二次第二次取到奇数球的概率，再根据相互独立事件得概率公式即可的解；
（2）若第一次取到2，则第二次取球时袋中有编号为1,3,3,4的四个球；若第一次取到4，则第二次取球时袋中有编号为1,2,3,3的四个数，写出随机变量X的所有取值，求出对应概率，即可写出分布列，再根据期望公式和方差公式即可的解.
【详解】解：（1）记“第二次取球后才停止取球”为事件A.
易知第一次取到偶数球的概率为，
第二次取球时袋中有三个奇数，
所以第二次取到奇数球的概率为，
而这两次取球相互独立，
所以P(A)＝；
（2）若第一次取到2，则第二次取球时袋中有编号为1,3,3,4的四个球；
若第一次取到4，则第二次取球时袋中有编号为1,2,3,3的四个数，
所以X的可能取值为3,5,6,7.
所以P(X＝3)＝，
P(X＝5)＝，
P(X＝6)＝，
P(X＝7)＝，
所以X的分布列为：
X 3 5 6 7
P
均值E(X)＝，
方差D(X)＝＋＋＋.
27．D
【分析】先根据随机变量的分布列求出随机变量的期望和方差，再根据求出.
【详解】
由题意知，，
故，
所以.
故选：D.
28．(1)
(2)
【分析】（1）根据分布列有关知识，概率和为1，以及均值方差计算；
（2）利用，则可得解.
【详解】（1）由题意可得：，解得，
所以.
（2）因为，则，
所以.
29．(1)不是n重伯努利试验
(2)是n重伯努利试验
(3)不是n重伯努利试验
【分析】
通过分析不同的试验的条件即可得出结论.
【详解】（1）由题意，
∵试验的条件不同(质地不同)，
∴不是n重伯努利试验
（2）由题意，
∵某人射击且击中的概率是稳定的，
∴是n重伯努利试验．
（3）由题意，
∵每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，
∴不是n重伯努利试验．
30．(1)是
(2)不是
【分析】（1）（2）根据n重伯努利试验的特点判断；
【详解】（1）
是n重伯努利试验，因为每次试验的条件相同，且每次试验的结果互不影响，同一事件发生的概率也相同.
（2）
不是n重伯努利试验，因为每次试验的条件不同（每次取球后不放回，下次取球与上次取球时袋中球的数目不同），并且每次试验中同一事件发生的概率不同.
31．（1）；（2）
【分析】（1）记“预报一次准确”为事件，得到，根据独立重复试验的概率计算公式，即可求解；
（2）根据“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，结合独立重复试验的概率计算公式和对立事件的计算方法，即可求解；
【详解】（1）记“预报一次准确”为事件，则，
可得5次预报中恰有2次准确的概率为，
即5次预报中恰有2次准确的概率约为.
（2）“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，
其概率为，
所以“5次预报中至少有2次准确”的概率，
即“5次预报中至少有2次准确”的概率约为.
32．(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）根据独立事件的乘法公式可求出结果；
（2）根据独立重复试验的概率公式可求出结果.
（3）根据独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式可求出结果.
【详解】（1）
该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，相当于射击了5次，在第一、三、五次击中目标，
在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的结果互不影响，
故所求概率为.
（2）
因为各次射击的结果互不影响，所以符合次独立重复试验的概率模型.
该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标的概率为.
（3）
该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有目标，
把3次连续击中目标看成一个整体，可得共有种情况.
故所求概率为.
33．（1）见解析（2）
【详解】(1)由得,从而
的分布列为
0 1 2 3 4 5 6
(2)记”需要补种沙柳”为事件A, 则 得
或
34．(1) .
(2)分布列见解析，.
【详解】分析：（1）根据分布列的性可知所有的概率之和为1然后再根据期望的公式得到第二个方程联立求解即可；（2）根据二项分布求解即可.
详解：(1)因为，所以，
即．①
又，得．②
联立①，②解得，．
(2)，依题意知，
故，，
，．
故的概率分布为
的数学期望为．
点睛：考查分布列的性质，二项分布，认真审题，仔细计算是解题关键，属于基础题.
35．不服从
【分析】根据超几何分布的概念即可判断.
【详解】不服从超几何分布.
因为随机变量是否服从超几何分布，关键是看随机变量的分布列是否由确定，根据题意可确定对应的N，M，n是多少.
本题随机变量的可能取值为3，4，5，6.
不妨探讨“”与“”两种情况：
“”对应事件“取出的3个球中恰好取到4号球和1，2，3号球中的2个”，其概率；
“X＝5”对应事件“取出的3个球中恰好取到5号球和1，2，3，4号球中的2个”，其概率；
显然仅从“”与“”两种情况就可看出随机变量X的分布不是由确定的，所以随机变量不服从超几何分布.
36．ACD
【分析】
根据超几何分布、二项分布的概念，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，将一枚硬币连抛3次，每次正面向上的概率均为，所以正面向上的次数服从二项分布；
对于B中，从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为服从超几何分布；
对于C中，某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，可得命中目标的次数服从二项分布；
对于D中，盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，首次摸出黑球时的总次数的取值为，
而超几何分布定义为，即从N个物件（包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出指定种类的物件的次数（不放回），故不服从超几何分布.
故选：ACD.
37．(1)
(2)分布列见解析
【分析】（1）利用对立事件求得高一至少有1名学生入选代表队的概率.
（2）根据超几何分布的分布列的计算公式，计算出的分布列.
【详解】（1）高一高二共推荐名男生和名女生，
高一没有学生入选代表队的概率为，
所以高一至少有1名学生入选代表队的概率为.
（2）根据题意得知，X的所有可能取值为1、2、3．
，，，
所以X的分布列为
38．(1)；(2)
0 1 2 3
【分析】(1)用古典概型概率计算公式直接求解；
(2) 的可能取值为0,1,2,3,分别求出相应取值时的概率，最后列出分布列.
【详解】(1)所选3人中恰有一名男生的概率；
(2) 的可能取值为0,1,2,3.
∴ξ的分布列为:
0 1 2 3
【点睛】本题考查了古典概型概率计算公式、以及离散型随机变量分布列，考查了数学运算能力.
39．（不唯一）
【分析】用垂直关系，可以以A为原点，以AB、AD、AP为坐标轴建立空间直角坐标系，再按照法向量的求法计算即可.
【详解】因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直.
如图所示，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A－xyz，
则，， ，，，
于是，，
设平面ACE的一个法向量为，
则，即，所以，
令，则，，即
所以平面ACE的一个法向量.
40．(1) (答案不唯一)
(2) (答案不唯一)
【分析】
（1）利用线面垂直的判定定理求解法向量；
（2）利用空间向量的坐标运算求平面的法向量.
【详解】（1）
由题意，可得,
连接AC，因为底面为正方形，所以,
又因为平面，平面，所以，
且，则AC⊥平面，
∴为平面的一个法向量. (答案不唯一).
（2）
设平面的一个法向量为，
则
令，得
∴即为平面的一个法向量.(答案不唯一).
41．A
【分析】
函数图象的对称轴为直线，由判断各选项..
【详解】
函数图象的对称轴为直线，因为，所以排除B，D；
又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，所以A正确.
故选：A.
42．D
【分析】直接根据图像的对称轴，以及图像的胖瘦进行判断即可.
【详解】由题意知：正态曲线关于直线对称，且越大，对称轴越靠右，故，
又越小，数据越集中，图像越瘦高，故.
故选：D.
43．ABC
【分析】根据正态分布的特征可得两者的均值、方差的大小关系，结合正态分布密度曲线可判断D的正误，从而可得正确的选项.
【详解】
由图象可知甲图象关于直线x＝0.4对称，乙图象关于直线x＝0.8对称，
所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，μ1<μ2，
故A，C正确；
因为甲图象比乙图象更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；
因为乙图象的最大值为1.99，即，所以，故D错误.
故选：ABC.
44．(1)
(2)
(3)
【分析】
根据原则和正态分布曲线的对称性依次求解即可.
【详解】（1），，，
.
（2）
.
（3）.
45．(1)0.683
(2)0.1355
(3)0.023
【分析】
根据题意，结合正态分布曲线的对称性，这个计算，即可求解.
【详解】（1）解：因为随机变量，可得，
则.
（2）解：由，
所以.
（3）解：因为,
所以.
答案第1页，共2页
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