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第七章 计数原理（知识归纳+题型突破）
1.通过实例，了解分类计数原理、分步计数原理及其意义.
2.理解分类计数原理与分步计数原理.
3.进一步理解分类计数原理和分步计数原理的区别.
4.会正确应用这两个计数原理计数.
5.通过实例，理解排列的概念.
6.能利用计数原理推导排列数公式.
7.掌握几种有限制条件的排列.
8.能应用排列解决简单的实际问题.
9.通过实例理解组合的概念.
10.能利用计数原理推导组合数公式，并会解决简单的组合问题.
11.理解组合数的性质.能解决有限制条件的组合问题.
12.能解决有关排列与组合的简单综合问题.
13.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.
14.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.
15.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
16.理解二项式系数的性质并灵活运用.
1. 分类计数原理
如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法……在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法.
（1）分类计数原理中各类方案相互独立，各类方案中的各种方法也相互独立，用任何一类方案中的任何一种方法都可以单独完成一件事.
（2）分类计数原理的使用关键是分类，分类必须明确标准，要求每一种方法必须属于某一类，不同类的任意两种方法是不同的，这是分类问题中所要求的“不重复”“不遗漏”.
2. 分步计数原理
如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法.
（1）分步时，要先根据问题的特点确定一个分步的标准，一般地，标准不同，分成的步骤数也会不同.
（2）分步时还要注意：完成一件事必须连续完成n个步骤后这件事才算完成，各步骤之间既不能重复也不能遗漏.
3. 分类计数原理和分步计数原理的联系　
分类计数原理 分步计数原理
相同点 用来计算完成一件事的方法种类
不同点 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘
每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事（每步中的一种方法不能独立完成这件事）
注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整
4. 排列的定义
一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
（1）要求m≤n.
（2）按照一定顺序排列，顺序不同，排列不同.
5. 排列数公式
（1）一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示.
（2）排列数公式A＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1），其中n，m∈N*，且m≤n.
（3）n个不同元素全部取出的一个排列，叫作n个不同元素的一个全排列.在排列数公式中，当m＝n时，即有A＝n（n－1）（n－2）×…×3×2×1，n（n－1）（n－2）×…×3×2×1称为n的阶乘，通常用n！表示，即A＝n！.
（4）规定0！＝1.
排列数公式还可以写成A＝.
注意：（1）注意排列数公式的特征，m个自然数之积，其中最大的因数是n，最小的因数是n－m＋1.
（2）规定0！＝1，这是一种规定，不能按阶乘的定义作解释，但可以从更原始的概念作出说明：一个元素都不取，构成的排列的情形只有1种.
6. 排列问题的方法
（1）直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素（又称为元素分析法）；或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置（又称位置分析法）.
（2）间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不合要求的排列数.
7. 组合的概念
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
8. 排列与组合的区别与联系
（1）共同点：两者都是从n个不同对象中取出m（m≤n）个对象.
（2）不同点：排列与对象的顺序有关，组合与对象的顺序无关.
（3）两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.
9. 组合数及组合数公式
组合数定义及表示 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示
组合数公式 乘积形式 C＝＝
阶乘形式 C＝
（1）C＝1.
（2）C＝＝常用于计算.
（3）C＝常用于证明.
10.（a＋b）2的展开式
（a＋b）2＝（a＋b）（a＋b）＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝a2＋2ab＋b2.
二项式定理 公式（a＋b）n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn叫作二项式定理
二项式系数 C（r＝0，1，…，n）
通项 Tr＋1＝Can－rbr
二项式定理的特例　　 （1＋x）n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn
11.二项式系数表
二项式系数表
此表的规律如下：
（1）每一行中的二项式系数都是“对称”的.
（2）每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.
（3）每行的二项式系数从两端向中间逐渐增大.
（4）第1行为1＝20，第2行的两数之和为2，第3行的三数之和为22……第7行的各数之和为26.
12.二项式系数的性质
一般地，（a＋b）n展开式的二项式系数C，C，…，C有如下性质：
（1）C＝C；
（2）C＋C＝C；
（3）当r<时，C当r>时，C（4）C＋C＋…＋C＝2n.
注意　（1）在求二项式系数的最大值时，要注意讨论n的奇偶性.
（2）各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n源于（a＋b）n＝Can＋Can－1b＋…＋Cbn中，令a＝1，b＝1，即得到C＋C＋C＋…＋C＝2n.
（3）在（a＋b）n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都为2n－1.
题型一　分类计数原理的应用
【例1】
1．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有 ．
思维升华　利用分类计数原理计数时的解题流程
巩固训练
2．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字且为偶数，那么这样的两位数有多少个？
3．设集合，则方程表示焦点位于x轴上的椭圆有 ．
题型二　分步计数原理
【例2】
4．一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，若各位上的数字允许重复，那么这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？
思维升华　利用分步计数原理解题的一般思路
（1）分步：将完成这件事的过程分成若干步.
（2）计数：求出每一步中的方法数；
（3）结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果.
巩固训练
5．一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，若各位上的数字允许重复，那么这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？
6．在平面直角坐标系内，若点的横、纵坐标均在内取值，则可以组成多少个不同的点P
题型三　两个计数原理的简单应用
【例3】
7．现有高二四个班学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．
（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法
（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法
（3）推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法
思维升华　使用两个计数原理的原则
使用两个计数原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手，“分类”是把较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，用分类计数原理；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步计数原理.
巩固训练
8．某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教,有多少种不同的选法
题型四　组数问题
【例4】
9．用0,1,2,3,4五个数字．
（1）可以排成多少个三位数字的电话号码？
（2）可以排成多少个三位数？
（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
迁移 由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？
【解析】完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，从1，2，3，4中除去用过的一个，从剩下的3个中任取一个，有3种方法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法.由分步计数原理知共有2×3×3×2＝36（个）.
思维升华　对于组数问题，应掌握以下原则
（1）明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置（末位或首位）分类，分类中再按特殊位置（特殊元素）优先的策略分步完成，如果正面分类较多，可采用间接法求解.
（2）要注意数字“0”不能排在两位数或两位数以上的数的最高位.
巩固训练
10．从0，2中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为
A．24 B．18 C．12 D．6
题型五　选（抽）取与分配问题
【例5】
11．高三年级的四个班到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂中的一个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ）
A．360种 B．420种
C．369种 D．396种
思维升华　选（抽）取与分配问题的常见类型及其解法
（1）当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法.
（2）当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：
①直接使用分类计数原理或分步计数原理.一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行.
②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.
巩固训练
12．如图所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之间建有A，B，C，D，E五个水闸，若上游有充足水源但下游没有水，则这五个水闸打开或关闭的情况有（ ）
A．7种 B．15种 C．23种 D．26种
13．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有．
A．280种 B．240种 C．180种 D．96种
题型六　涂色与种植问题
【例6】
14．用6种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有多少种不同的书写方案？
思维升华　求解涂色（种植）问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：
（1）按区域的不同以区域为主分步计数，用分步计数原理分析；
（2）以颜色（种植作物）为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类计数原理分析.
巩固训练
15．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有 种
题型七　对排列概念的理解
【例7】
16．判断下列问题是否为排列问题：
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；
(2)选2个小组分别去植树和种菜；
(3)选2个小组去种菜；
(4)选10人组成一个学习小组；
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
(6)某班40名学生在假期相互打电话．
思维升华　判断一个具体问题是否为排列问题的方法
巩固训练
17．判断下列问题是不是排列问题，并说明理由.
(1)从1，2，3，，10这10个正整数中任取两个数组成平面直角坐标系内点的坐标，可以得到多少个不同的点的坐标？
(2)从1，2，3，，10这10个正整数中任取两个数组成一个集合，可以得到多少个不同的集合？
题型八　用列举法解决排列问题
【例8】
18．写出下列问题的所有排列：
(1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？
(2)由1，2，3，4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出.
思维升华　在排列个数不多的情况下，树状图是一种比较有效的表示方式.在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树状图写出排列.
巩固训练
19．同室人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则张贺年卡不同的分配方式有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
题型九　排列数公式的应用
【例3】
20．计算：
(1)；
(2)；
(3)若，求x.
2.排列数公式的阶乘的形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意提取公因式，可以简化计算.
巩固训练
21．等于( )
A． B．
C． D．
22．（1）计算：；（2）计算：.
23．解不等式：
题型十　对组合概念的理解
【例10】
24．给出下列问题：
（1）a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？
（2）a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？
（3）从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？
（4）从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？
在上述问题中， 是组合问题， 是排列问题.
思维升华　区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题.
巩固训练
25．下列问题是组合问题的有（　　）
A．设集合，则集合A的含有3个元素的子集有多少个
B．某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种票价
C．3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法
D．把3本相同的书分给5个学生，每人最多分得1本，有几种分配方法
题型十一　组合数公式的应用
【例11】
26．（1）求值：；
（2）解方程：.
思维升华　（1）组合数公式
C＝一般用于计算，而组合数公式C＝一般用于含字母的式子的化简与证明.
（2）要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数C的隐含条件为m≤n，且n∈N*，m∈N.
巩固训练
27．计算：
28．证明：.
题型十二　简单的组合问题
【例12】
29．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
（1）现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
（2）选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？
（3）现要从中选出男、女老师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
思维升华　（1）解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关.
（2）要注意两个计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏.
巩固训练
30．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名.从中选2名教师参加会议，至少有1名男教师的选法是多少？最多有1名男教师的选法又是多少？
31．一个口袋内装有大小相同的4个白球和1个黑球.
(1)从口袋内取出3个小球，共有多少种取法？
(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
题型十三　二项式定理的正用、逆用
【例13】
32．（1）求的展开式.
（2）化简：.
思维升华　（1）（a＋b）n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.
（2）逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢.
巩固训练
33．化简：.
题型十四　二项展开式通项的应用
【例14】
34．（1）求二项式的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；
（2）求的展开式中的系数.
思维升华　（1）（a＋b）n的展开式的通项Tr＋1＝Can－rbr（r＝0，1，2，…n）是指的第r＋1项；
（2）二项式系数指的是C，而项的系数指项中除去字母及其指数外剩余的部分，包含符号在内.
巩固训练
35．已知．求：
（1）展开式中第项的二项式系数；
（2）展开式中第项的系数；
（3）展开式的第项．
题型十五　与展开式中的特定项有关的问题
【例15】
36．已知在的展开式中，第项为常数项．
(1)求；
(2)求含项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
思维升华　（1）求二项展开式的特定项的常见题型
①求第r项，Tr＝Can－r＋1br－1；②求含xr的项（或xpyq的项）；③求常数项；④求有理项.
（2）求二项展开式的特定项的常用方法
首先写出通项公式.
①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0（即0次项）；
②对于有理项，是指其所有字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致.
巩固训练
37．若的展开式中的系数是，则 ．
38．已知n为等差数列－4，－2，0，…的第六项，则的二项展开式的常数项是 .
题型十六　二项式系数表
【例16】
39．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，记其前n项和为，求的值.

思维升华　解决与杨辉三角有关问题的一般思路
（1）观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察.
（2）找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律.
（3）将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解.
巩固训练
40．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多规律，如图是一个11阶杨辉三角.
11阶杨辉三角
（1）第20行中从左到右的第4个数为 ；
（2）若第行中从左到右第7个数与第9个数的比为，则的值为 .
题型十七　二项展开式的系数和问题
【例17】
41．已知，求
思维升华　（1）赋值法是求二项展开式系数和及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项.
（2）一般地，对于多项式f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，各项系数和为f（1），奇次项系数和为[f（1）－f（－1）]，偶次项系数和为[f（1）＋f（－1）]，a0＝f（0）.
巩固训练
42．已知，求.
43．已知，求的值.
44．已知.求：
(1)；
(2)；
(3).
题型十八　二项式系数性质的应用
【例18】
45．已知f(x)＝(＋3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项．
思维升华　（1）二项式系数的最大项的求法
求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对（a＋b）n中的n进行讨论.
①当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大.
②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.
（2）展开式中系数最大的项的求法
求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的.如求（a＋bx）n（a，b∈R）的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法，设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项的系数最大，应用解出k，即得出系数最大的项.
巩固训练
46．在的展开式中，
(1)系数的绝对值最大的项是第几项？
(2)求二项式系数最大的项.
(3)求系数最大的项.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．36
【详解】根据题意个位上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9共8种情况，在每一类中满足题目要求的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．
2．25
【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理求解即得.
【详解】当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个；
当个位数字是6时，十位数字可取7，8，9，共3个；
当个位数字是4时，十位数字可取5，6，7，8，9，共5个；
同理可知，当个位数字是2时，共7个，
当个位数字是0时，共9个.
由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＋9＝25（个）.
3．，，，，，
【分析】由题意可得，再写出符合题意的椭圆即可.
【详解】因为方程表示焦点位于x轴上的椭圆，
所以，
则符合题意的椭圆有，，，，，.
故答案为：，，，，，.
4．10000
【分析】根据分步乘法即可得到所有情况.
【详解】按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：
第1步，有10种拨号方式，所以；
第2步，有10种拨号方式，所以；
第3步，有10种拨号方式，所以；
第4步，有10种拨号方式，所以.
根据分步计数原理，共可以组成（个）四位数的号码.
5．10000
【分析】根据分步乘法即可得到所有情况.
【详解】按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：
第1步，有10种拨号方式，所以；
第2步，有10种拨号方式，所以；
第3步，有10种拨号方式，所以；
第4步，有10种拨号方式，所以.
根据分步计数原理，共可以组成（个）四位数的号码.
6．16
【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理求解即得.
【详解】确定点P的坐标必须分两步，即分步确定点P的横坐标与纵坐标.
第一步，确定横坐标，从0，1，2，3四个数字中选一个，有4种方法；
第二步，确定纵坐标，从0，1，2，3四个数字中选一个，也有4种方法，
根据分步乘法计数原理，所有不同的点P的个数为4×4＝16，
所以可以组成16个不同的点P.
7．（1）34种；（2）5040种；（3）431种.
【分析】（1）从34人中任选1人即可，
（2）先求出从每个班选组长的方法数，然后由分步乘法原理求解，
（3）分六种情况：从一、二班学生中各选1人，从一、三班学生中各选1人，从一、四班学生中各选1人，从二、三班学生中各选1人，从二、四班学生中各选1人，从三、四班学生中各选1人，求出各种情况的方法数，然后利用分类加法原理求解
【详解】解：（1）根据题意，四个班共34人，要求从34人中，选其中一人为负责人，
即有种选法
（2）根据题意，分析可得：从一班选一名组长，有7种情况，
从二班选一名组长，有8种情况，从三班选一名组长，有9种情况，
从四班选一名组长，有10种情况，
所以每班选一名组长，不同的选法共有：（种）．
（3）根据题意，分六种情况讨论，
①从一、二班学生中各选1人，有种不同的选法；
②从一、三班学生中各选1人，有种不同的选法，
③从一、四班学生中各选1人，有种不同的选法；
④从二、三班学生中各选1人，有种不同的选法；
⑤从二、四班学生中各选1人，有种不同的选法；
⑥从三、四班学生中各选1人，有种不同的选法，
所以不同的选法共有：
（种）．
8．20种.
【分析】根据题意，可得英语和日语都会的有1人，只会英语的有6人，只会日语的有2人，进而按以只会英语的人被不被抽到，分2类讨论，分别计算其情况数目，由加法原理，计算可得答案．
【详解】由题意,知有1人既会英语又会日语,6人只会英语,2人只会日语.
方法一:分两类.
第一类:从只会英语的6人中选1人教英语,有6种选法,则教日语的有2+1=3种选法.此时共有6×3=18种选法.
第二类:从不只会英语的1人中选1人教英语,有1种选法,则选会日语的有2种选法,此时有1×2=2种选法.
所以由分类加法计数原理知,共有18+2=20种选法.
方法二:设既会英语又会日语的人为甲,则甲有入选、不入选两类情形,入选后又要分两种:(1)教英语;(2)教日语.
第一类:甲入选.
(1)甲教英语,再从只会日语的2人中选1人,由分步乘法计数原理,有1×2=2种选法;
(2)甲教日语,再从只会英语的6人中选1人,由分步乘法计数原理,有1×6=6种选法.
故甲入选的不同选法共有2+6=8种.
第二类:甲不入选,可分两步.
第一步,从只会英语的6人中选1人有6种选法;第二步,从只会日语的2人中选1人有2种选法.由分步乘法计数原理,有6×2=12种不同的选法.
综上,共有8+12=20种不同选法.
【点睛】本题考查加法原理和乘法原理，关键是分清是用加法还是乘法，属于基础题．
9．（1）125个；（2）100个；（3）30个.
【分析】（1）由分步乘法计数原理计算；
（2）由分步乘法计数原理计算，只要首位不为0．
（3）确定末位为奇数，然后首位不为0，中间两位任意排可得．
【详解】（1）三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(个)．
（2）三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(个)．
（3）被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法；
一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，
所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法．
因而有12＋18＝30(种)排法．即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．
10．B
【详解】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共12+6=18种情况．
11．C
【分析】根据直接法讨论甲工厂分配班级情况进行分类求解或者利用间接法求解即可；
【详解】解：方法1：直接法
以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为四类：
第一类，四个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；
第二类，有三个班级去甲工厂，剩下的班级去另外四个工厂，其分配方案共有 (种)；
第三类，有两个班级去甲工厂，另外两个班级去其他四个工厂，其分配方案共有(种)；
第四类，有一个班级去甲工厂，其他班级去另外四个工厂，其分配方案有 (种).
综上所述，不同的分配方案有1＋16＋96＋256＝369(种).
方法2：间接法先计算四个班自由选择去何工厂的总数，再去除甲工厂无人去的情况，
即： (种)方案.
故选：C
12．C
【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理及排除法计算作答.
【详解】每个水闸有打开或关闭两种情况，五个水闸的打开或关闭不同结果有种，
水闸A打开，水闸B，C至少打开一个，水闸D，E至少打开一个，下游有水，
水闸B，C至少打开一个有()种，水闸D，E至少打开一个()种，
由分步乘法计数原理得下游有水的不同结果有种，
所以所求五个水闸打开或关闭的情况有种.
故选：C
13．B
【详解】根据题意，由排列可得，从6名志愿者中选出4人分别从事四项不同工作，
有种不同的情况，其中包含甲从事翻译工作有种，
乙从事翻译工作的有种，若其中甲、乙两名支援者都不能从事翻译工作，
则选派方案共有360-60-60=240种．
故选：B.
14．600
【分析】根据分步计数原理将问题分成四步，分别求得每一步的选法进行相乘可得结果.
【详解】完成这件事可分四步：
第一步，“英语角”用的粉笔颜色有6种不同的选法；
第二步，“语文学苑”用的粉笔颜色不能与“英语角”用的粉笔颜色相同，有5种不同的选法；
第三步，“理综世界”用的粉笔颜色与“英语角”和“语文学苑”用的粉笔颜色都不相同，有4种不同的选法；
第四步，“数学天地”用的粉笔颜色只要与“理综世界”用的粉笔颜色不同即可，有5种不同的选法.
由分步计数原理知，该板报共有6×5×4×5＝600（种）不同的书写方案.
15．18
【详解】试题分析：．
考点：组合的应用．
16．(1)不是
(2)是
(3)不是
(4)不是
(5)是
(6)是
【分析】根据排列定义分别判断即可.
【详解】(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．
(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(3)不存在顺序问题，不属于排列问题．
(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．
(5)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(6)A给B打电话与B给A打电话是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．
所以在上述各题中(2)(5)(6)是排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题．
17．(1)是排列问题，理由见解析
(2)不是排列问题，理由见解析
【分析】（1）由排列的定义判断结论；
（2）由组合的定义判断结论.
【详解】（1）取出的两个数组成平面直角坐标系内点的坐标，
这与以哪一个数为横坐标，哪一个数为纵坐标的顺序有关，所以这是排列问题.
（2）取出的两个数组成一个集合，由于集合中的元素具有无序性，
即集合不受所选两个数的排列顺序的影响，所以这不是排列问题.
18．(1)12；
(2)24个，答案见解析.
【分析】
（1）利用列举法列出所有两位数即可作答.
（2）利用树状图列出符合要求的四位数，再写出所有四位数作答.
【详解】（1）
所有两位数是12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共有12个不同的两位数.
（2）
画出树状图，如图：
由树状图知，所有的四位数为：1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314，2341，2413，2431，
3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231，4312，4321，共24个没有重复数字的四位数.
19．B
【分析】
设四人分别为,写的卡片分别为,从开始分析,易得有三种拿法,假设拿了,再分析的取法数目,剩余两人只有种取法,由分步计数原理,计算可得答案.
【详解】
设四人分别为,写的卡片分别为,由于每个人都要拿别人写的卡片,即不能拿自己写的卡片,
故有种拿法,不妨设拿了,则可以拿剩下张中的任一张,也有3种拿法,和只能有一种拿法,
所以共有种分配方式.
故选：B.
20．(1)720
(2)1
(3)x＝5
【分析】
（1）（2）（3）利用排列数公式化简求值或列方程求解即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）由题设，则，
所以，则，
又，故.
21．D
【分析】结合已知条件，根据排列数公式求解即可.
【详解】因为从4，5，，，共个数，
所以根据排列数公式知，.
故选：D.
22．（1）6（2）1
【分析】（1）（2）都可以由排列数公式直接代入即可求解.
【详解】①.
②原式＝.
23．6
【分析】
根据排列数公式及不等式可得，进而求解集即可.
【详解】
由原不等式得且，
所以，即，解得且，
所以.
24． （1）（4） （2）（3）
【分析】区分排列问题和组合问题的关键是看有没有顺序因素影响，由此即可逐一判断求解.
【详解】（1）单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题.
（2）冠、亚军是有顺序的，是排列问题.
（3）3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题.
（4）3人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题.
故答案为：（1）（4），（2）（3）.
25．ABD
【分析】
利用排列与组合的定义判断各选项中的问题.
【详解】
A选项，取出的元素与顺序无关，故是组合问题.
B选项，甲站到乙站的车票与乙站到甲站的车票是不同的，但票价与顺序无关，甲站到乙站与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题.
C选项，从5种不同的工作中选出3种，并按一定顺序分给3个人去干，故是排列问题.
D选项，因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需要考虑它们的顺序，故是组合问题.
故选：ABD
26．（1）148（2）
【分析】（1）和（2）都可以直接代入组合数公式计算或者解方程即可.
【详解】（1）；
（2）原方程可化为，
即，解得或.
又且，
所以.
27．5150.
【分析】利用组合数公式计算即得.
【详解】.
28．证明见解析
【分析】根据组合数的运算公式和运算性质，准确化简，即可求解.
【详解】根据组合数的运算性质得：右边，
又因为左边，
所以.
29．（1）45；（2）21；（3）90.
【分析】直接利用组合数公式，结合分类加法和分步乘法计数原理计算，即可求解.
【详解】（1）从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，
就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，
即（种），
所以要从中选2名去参加会议，有45种选法.
（2）可把问题分成两类情况：
第1类：选出的2名是男教师，有种方法，
第2类：选出的2名是女教师，有种方法，
所以选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有种方法.
（3）从6名男教师中选2名的选法有种，
从4名女教师中选2名的选法有种，
所以选出男、女老师各2名去参加会议，共有选法种.
【点睛】本题考查组合、分类加法和分步乘法计数原理的应用，注意区分分类和分步，属于基础题.
30．至少有1名男教师的选法39种；最多有1名男教师的选法30种.
【分析】从10名教师中选2名教师，至少有1名是男教师的选法，包括有1名男教师和2名男教师的情况，由此可以看做一个分类完成的组合问题，最多有1名是男教师的选法，包括有1名男教师和没有男教师的情况，也可以看做一个分类完成的组合问题，
【详解】从10名教师中选2名教师，至少有1名是男教师的选法，
包括有1名男教师和2名男教师的情况，
由分类计数原理知抽出的两位教师中至少有1名男教师的选法有
(种).
从10名教师中选2名教师，最多有1名是男教师的选法，
包括有1名男教师和没有男教师的情况，
由分类计数原理知抽出的两位教师中最多有1名男教师的选法有
（种）
31．(1)10
(2)6
(3)4
【分析】（1）由组合数公式即可求解；
（2）由组合数公式即可求解；
（3）由组合数公式即可求解；
【详解】（1）从口袋内的5个球中取出3个球，取法种数是.
（2）从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是需要从4个白球中取出2个，取法种数是.
（3）由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从4个白球中取出3个球，取法种数是.
32．（1）；（2）.
【分析】利用二项式定理化简求值.
【详解】（1）法一:
.
法二:
（2）
.
33．
【分析】逆用二项式定理进行合并即可.
【详解】原式
.
34．（1）第6项的二项式系数为6，第6项的系数为；（2）
【分析】（1）写出二项展开式的通项，根据二项式系数与项的系数的定义计算可得结果；
（2）由二项展开式的通项可知第4项含，其系数为.
【详解】（1）由已知得二项展开式的通项为
可得，
可得第6项的二项式系数为，第6项的系数为.
（2）展开式的通项为，
令，得，
则展开式中第4项含，其系数为.
35．（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）利用二项式定理可得出展开式第项的二项式系数为；
（2）利用二项式定理可得出展开式第项的系数为；
（3）利用二项式定理可得出展开式的第项.
【详解】的展开式通项为，
其中且.
（1）展开式中第项的二项式系数为；
（2）展开式中第项的系数为；
（3）展开式的第项为.
36．(1)；
(2)；
(3)，，.
【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令时的指数为，即可得出结果；
将的值代入通项，令的指数为，即可求出结果；
令通项中的指数为整数，求出结果即可.
【详解】（1）解：通项公式为.
因为第项为常数项，所以时，有，解得.
（2）解：由可知，令，解得.
所以含项的系数为.
（3）解：由题意可知，，
则可能的取值为，，.
所以第项，第项，第项为有理项，分别为，，.
37．1
【分析】先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式中的项的系数，再根据的系数是列方程求解即可.
【详解】展开式的的通项为，
令，
的展开式中的系数为，
故答案为1.
【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
38．160
【分析】根据等差数列确定，再利用二项式定理计算得到答案.
【详解】等差数列－4，－2，0，…的第六项为，故，
的二项展开式的通项为：
令，得，常数项为.
故答案为：
39．164
【分析】
根据给定条件，结合“杨辉三角”的特征列式计算即得.
【详解】
由“杨辉三角”知，
.
40． 1140 15
【分析】（1）根据杨辉三角数字规律可得第20行中从左到右的第4个数为，
（2）列出等式可得，解得.
【详解】（1）易知第行的数从左到右分别为，
所以第20行中从左到右的第4个数为，
（2）由，得，解得或（舍去），
即的值为15.
故答案为：（1）1140；（2）15
41．1
【分析】利用赋值法将代入计算即可求得结果.
【详解】令，得，
∴.
故答案为：1
42．243
【分析】根据题意将绝对值去掉后，利用赋值法代入计算可得结果.
【详解】易知的展开式中偶数项的系数为负值，
可得，
令，得，
即，
可得.
43．-121
【分析】直接由赋值法解方程组即可.
【详解】在题述展开式中分别令，得，
两式相减得.
44．(1)256
(2)32896
(3)65536
【分析】
（1）令即可得结果；
（2）令，结合（1）中结果运算求解；
（3）根据二项展开式分析可知：当为偶数时，；当为奇数时，；结合（2）中结果分析求解.
【详解】（1）令，可得.
（2）令，可得，
则，所以.
（3）因为的展开式的通项公式为，
即，
可知：当为偶数时，；当为奇数时，；
所以.
45．（1），；（2）.
【分析】（1）求出展开式中各项的系数和，二项式系数和，再建立方程求出n，最后根据二项式系数的性质即可得解；
（2）求出二项展开式的通项，根据系数最大列出不等式组即可作答.
【详解】（1）令，则展开式中各项系数和为，展开式中的二项式系数和为，
依题意，，即，整理得，
于是得，解得，而5为奇数，
所以展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是，；
（2）由(1)知展开式通项为，
令Tr＋1项的系数最大，则有，即，
整理得，解得，而，从而得，
所以展开式中系数最大项为.
46．(1)第6项和第7项；
(2)；
(3).
【分析】（1）求出二项式展开式的通项公式，结合已知列出不等式并求解即得.
（2）利用二项式系数的性质求解即得.
（3）利用（1）的结论，按正负比较即得.
【详解】（1）的展开式的通项为，
设第项系数的绝对值最大，显然，则，
整理得，即，解得，而，则或，
所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.
（2）二项式系数最大的项为中间项，即第5项，.
（3）由（1）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正，
所以系数最大的项为第7项.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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