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第六章 空间向量与立体几何（知识归纳+题型突破）
1.通过向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念.
2.掌握空间向量的线性运算（加法、减法和数乘）及其运算律.
3.掌握共线向量定理，会用共线向量定理解决相关问题.
4.了解空间向量的夹角及有关概念.掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法.
5.了解空间向量投影的概念及投影向量的意义.会用投影向量计算空间两个向量的数量积.
6.了解共面向量的概念.理解空间共面向量定理，会证明直线与平面平行.
7.理解空间向量共面的充要条件，会证明空间四点共面.
8.掌握空间向量基本定理及其推论.会选择适当的基底表示任何一个空间向量.
9.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置.
10.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.掌握空间向量的平行及线性运算的坐标表示.
11.掌握空间向量的数量积的坐标表示.能利用空间两点间的距离公式解决有关问题.
12.能用向量语言表述直线和平面.理解直线的方向向量与平面的法向量.
13.会求直线的方向向量与平面的法向量.
14.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系.
15.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行、垂直关系.
16.能用向量方法解决简单夹角问题.通过空间向量解决夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用.
17.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面及线面间的距离问题.
18.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用.
1.空间向量的定义及表示
定义 在空间，把既有大小又有方向的量，叫作空间向量.
长度或模 空间向量的大小叫作空间向量的长度或模
表示方法 几何表示 与平面向量一样，空间向量也可用有向线段表示
符号表示 表示空间向量的有向线段，若以A为起点，B为终点，则记作，其模记作||
空间向量常用一个小写字母表示.如：向量a，b，其模分别记为|a|，|b|
注意点：
（1）平面向量是一种特殊的空间向量.
（2）两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同.
（3）向量不能比较大小.
2.几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 规定长度为0的向量称为零向量，记作0
单位向量 长度等于1个单位长度的向量，叫作单位向量
相反向量 与向量a长度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作－a
相同的向量 所有长度相等且方向相同的向量都看作相同的向量，向量a与b是相同的向量，也称a与b相等.
3.空间向量及其线性运算
空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：
①a＋b＝b＋a；
②（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）；
③λ（a＋b）＝λa＋λb（λ∈R）.
向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.
4.共线向量及共线向量定理
（1）共线向量（平行向量）
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量.
向量a与b平行，记作a∥b.
规定零向量与任意向量共线.
（2）共线向量定理
对空间任意两个向量a，b（a≠0），b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.
5.空间向量的夹角
定义 a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作＝a，＝b，∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉
范围 0≤〈a，b〉≤π
特殊夹角 （1）如果〈a，b〉＝0，a与b同向； （2）如果〈a，b〉＝π，a与b反向； （3）如果〈a，b〉＝，a与b互相垂直，记作a⊥b.
6.空间向量的数量积
（1）定义：设a，b是空间两个非零向量，数量|a‖b|cos 〈a，b〉叫作向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a‖b|cos__〈a，b〉.
（2）性质：①规定：零向量与任一向量的数量积为0.
②空间两个非零向量a，b的夹角〈a，b〉可以由cos 〈a，b〉＝求得.
③a⊥b a·b＝0（a，b是两个非零向量），|a|2＝a·a＝a2.
（3）运算律：与平面向量一样，空间向量的数量积也满足下列运算律：
①a·b＝b·a；
②（λa）·b＝λ（a·b）（λ∈R）；
③（a＋b）·c＝a·c＋b·c.
7.空间向量的投影向量
（1）向量a在向量b上的投影向量
①定义：对于空间任意两个非零向量a，b，设向量＝a，＝b（如图），过点A作AA1⊥OB，垂足为A1，上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量.
②意义：a·b＝·b，即向量a，b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积.
（2）向量m在平面α上的投影向量
①定义：如图，设向量m＝，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量.上述由向量m得到向量的变换称为向量m向平面α投影，向量称为向量m在平面α上的投影向量.
②意义：
对于平面α内的任一向量n，有m·n＝·n，即空间向量m，n的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积.
注意点：
（1）共面向量不仅包括在同一个平面内的向量，还包括平行于同一平面的向量.
（2）空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了.
9.共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组（x，y），使得p＝xa＋yb，即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示.
（1）空间向量基本定理
如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使p＝xe1＋ye2＋ze3.
（2）空间向量基本定理的推论
设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得＝
10.基底的有关概念
基底与基向量 在空间向量基本定理中，如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示.我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫作基向量
正交基底与单位正交基底 如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底.特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示
11.空间直角坐标系
如图，在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}.以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫作坐标轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标系O－xyz，点O叫作坐标原点，三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面.
12.空间向量的坐标表示
在空间直角坐标系O－xyz中，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a1，a2，a3），使a＝a1i＋a2j＋a3k.有序实数组（a1，a2，a3）叫作向量a在空间直角坐标系O－xyz中的坐标，记作a＝（a1，a2，a3）.
13.空间中点的坐标的求法
如图，在空间直角坐标系O－xyz中，对于空间任意一点P，我们称向量为点P的位置向量.把与向量对应的有序实数组（x，y，z）叫作点P的坐标，记作P（x，y，z）.
（4）设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则＝－＝（x2－x1，y2－y1，z2－z1），即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标.
14.空间向量数量积的坐标运算
设a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），则
名称 满足条件
向量表示形式 坐标表示形式
a·b |a||b|cos〈a，b〉 x1x2＋y1y2＋z1z2
a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
模 |a|＝
夹角余弦 cos〈a，b〉＝
15.空间两点间的距离公式及线段的中点坐标
（1）空间两点间的距离公式
设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则A，B两点间的距离为AB＝.
（2）空间中点坐标公式
设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则线段AB的中点M的坐标为.
16.直线的方向向量
把直线l上的向量e（e≠0）以及与e共线的非零向量叫作直线l的方向向量.
（1）空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合.
（2）与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个.
17.平面的法向量
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，我们可以考虑用平面的垂线的方向向量来刻画平面的“方向”.
如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们把向量n叫作平面α的法向量.
（1）平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量；
（2）一个平面的法向量有无数多个，它们互相平行；
（3）零向量不能作为直线的方向向量与平面的法向量.
18.空间向量与平行关系
设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面α1，α2的法向量分别为n1，n2，则有下表：
线、面间的位置关系 与向量间的等价关系 图示
平行 线线平行l1∥l2 l1∥l2 e1∥e2，且l1与l2不重合 e1＝λe2，λ≠0，且l1与l2不重合
线面平行l1∥α1 l1∥α1 e1⊥n1，且l1 α1 e1·n1＝0，且l1 α1
面面平行α1∥α2 α1∥α2 n1∥n2，且α1与α2不重合 n1＝λn2，λ≠0，且α1与α2不重合
（1）用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合；
（2）证明线面平行时，必须说明直线不在平面内.
19.空间向量与垂直关系
线、面间的位置关系 与向量间的等价关系 图示
垂直 线线垂直l1⊥l2 l1⊥l2 e1⊥e2 e1·e2＝0
线面垂直l1⊥α1 l1⊥α1 e1∥n1 e1＝λn1，λ≠0
面面垂直α1⊥α2 α1⊥α2 n1⊥n2 n1·n2＝0
20.两条异面直线所成的角
设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝.
21.直线和平面所成的角
直线的方向向量与平面的法向量所成的角是不是直线与平面所成的角？
设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，
则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝.
（1）线面角的范围为.
（2）斜线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角.
22.二面角
（1）由于平面的法向量垂直于平面，这样，两个平面所成的二面角就可以转化为这两个平面的法向量所成的角.因为二面角的平面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°，所以二面角的平面角θ与这两个平面的法向量的夹角相等或互补.
（2）二面角的计算：设两个半平面α，β所在平面的法向量分别是n1，n2，二面角的平面角为θ，则|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝＝.
23.点到平面的距离
如图，P是平面α外一点，PO⊥α，垂足为O，A为平面α内任意一点，设n为平面α的法向量，则·n＝|||n|cos θ，其中θ＝〈，n〉.
从而||cos θ＝
因为||cos θ的绝对值即为点P到平面α的距离d，所以d＝
（1）点A为平面α内的任意一点，可视题目情况灵活选择.
（2）点P到平面α的距离的实质就是平面α的单位法向量与从该点出发的任一条斜线段AP对应的向量的数量积的绝对值.
24.点到直线的距离
（1）如图，P为直线l外一点，A是l上任意一点，在点P和直线l所确定的平面内，取一个与直线l垂直的向量n，则·n＝|||n|cos θ，其中θ＝〈，n〉，从而点P到直线l的距离为d＝.
（2）如图，P是直线l外一点，PO⊥l，O为垂足，A是l上任意一点，设e是直线l的方向向量，记φ＝〈，e〉，则cos φ＝，故点P到直线l的距离为d＝ sinφ.
25.直线（平面）到平面的距离
（1）如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解.
（2）如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.
题型一　空间向量的概念
【例1】
1．下列命题为真命题的是（ ）
A．若空间向量满足，则
B．在正方体中，必有
C．若空间向量满足，，则
D．任一向量与它的相反向量不相等
思维升华
空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.
巩固训练
2．如图所示，以长方体的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量；
(3)若，求向量的模．
题型二　空间向量的线性运算
【例2】
3．已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：

(1)；
(2)；
(3).
思维升华　
解决空间向量线性运算问题的方法
进行向量的线性运算，实质上是在正确运用向量的数乘运算及运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和.运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中.
巩固训练
4．（多选）如图，在长方体中，下列各式运算结果为的是（　　）

A． B．
C． D．
题型三　向量共线问题
【例3】
5．如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：.
思维升华　
1.要判定空间图形中的两向量共线或所在直线平行，往往寻找图形中的三角形或平行四边形，并利用向量运算法则进行转化，从而使其中一个向量表示为另一个向量的倍数关系，即可证得这两向量共线或所在直线平行.
2.证明空间三点P，A，B共线的方法
（1）＝λ（λ∈R）.
（2）对空间任一点O，＝＋t（t∈R）.
（3）对空间任一点O，＝x＋y（x＋y＝1）.
巩固训练
6．若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 .
7．如图，正方体中，O为上一点，且，BD与AC交于点M.求证：三点共线．
题型四　空间向量数量积的运算
【例4】
8．已知正四面体的棱长为1，如图所示.
(1)确定向量在直线上的投影向量，并求·；
(2)确定向量在平面上的投影向量，并求.
思维升华
求空间向量数量积的步骤
（1）将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清；
（2）利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的乘积；
（3）代入a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉求解.
巩固训练
9．已知，是相互垂直的单位向量，则＝（　　）
A．1 B．2
C．3 D．4
10．已知棱长为1的正方体的上底面的中心为，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
题型五　利用空间向量的数量积求夹角
【例5】
11．如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是（　　）

A．30° B．45°
C．60° D．90°
思维升华　
根据数量积a·b＝|a||b|cos θ可得cos θ＝，结合图形计算相关量，进而求得两向量的夹角.
巩固训练
12．如图，在正方体中，求向量与的夹角的大小．
题型六　利用空间向量的数量积求模
【例6】
13．如图，正三棱柱的各棱长都为，、分别是、的中点，求的长.
思维升华　
求解向量模（或线段长度）问题时，将待求问题的向量表示为几个向量和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝求解即可.
巩固训练
14．如图所示，平行六面体中，，，，，，求的长．
题型七　判断点共面
【例7】
15．已知三点不共线，对于平面外的任意一点，判断在下列各条件下的点与点是否共面．
(1)；
(2)．
思维升华　
向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量.对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值.
巩固训练
16．已知三点A，B，C不共线，对平面ABC外一点O，且满足，判断点P是否与点A，B，C共面.
题型八　判断（证明）向量共面
【例8】
17．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足．
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
思维升华　
证明三个向量共面，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.
巩固训练
18．如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=BD，AN=AE.求证:向量共面.
题型九　基底的判断
【例9】
19．已知{e1，e2，e3}为空间一基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，能否以,,作为空间的一个基底？
思维升华　
基底的判断思路
（1）判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底.
（2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.
巩固训练
20．（多选）设，且是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有（　　）
A． B．
C． D．
题型十　用基底表示空间向量
【例10】
21．如图所示，在平行六面体中，设，分别是的中点，试用表示以下各向量：
(1)；
(2)；
(3).
思维升华　
用基底表示向量时：
（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行；
（2）若没给定基底，则首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求.
巩固训练
22．如图所示，在平行六面体中，设，，，，，分别是，，的中点，试用，，表示向量.
23．如图所示，在平行六面体中，设，M，N分别是的中点，P在线段上，且，试用表示向量.

24．在四面体ABCD中，设＝，＝，＝，E，F分别是AB，CD的中点，试用，，表示向量.
题型十一　求点的坐标
【例11】
25．点关于轴的对称点的坐标是 ，关于坐标平面的对称点的坐标是 .
26．如图所示，在四棱锥中，建立空间直角坐标系，若，是的中点，求点的坐标.

思维升华　
（1）求点关于坐标轴或坐标平面对称的点的坐标，其规律是“关于谁对称，谁不变”，如点（x，y，z）关于y轴的对称点为（－x，y，－z），关于平面yOz的对称点是（－x，y，z）.
（2）求空间一点P的坐标方法有两种：①利用点在坐标轴上的投影求解，②利用单位正交基底表示向量，的坐标就是点P的坐标.
巩固训练
27．在如图所示的空间直角坐标系中，四边形是正方形，则PD的中点M的坐标为 .

题型十二　空间向量的坐标表示
【例12】
28．
在直三棱柱ABO A1B1 O1中，∠AOB＝ ，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D 为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求 的坐标．
题型十三　空间向量的坐标运算
【例13】
29．已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3).求点P的坐标，使.
思维升华　1.用坐标表示空间向量的步骤
2.(1)向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，即向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标.特别地，当向量的起点为坐标原点时，向量的坐标即是终点的坐标.
(2)进行空间向量的加、减、数乘的坐标运算的关键是运用好其运算法则.
巩固训练
30．已知空间三点，，．
(1)求，；
(2)是否存在实数，，使得成立，若存在，求，的值；若不存在，请说明理由．
题型十四　空间向量平行的坐标表示及应用
【例14】
31．已知四边形ABCD的顶点分别是A(3，－1，2)，B(1，2，－1)，C(－1，1，－3)，D(3，－5，3)．
求证：四边形ABCD是一个梯形．
思维升华　
利用空间向量平行的坐标表示判断空间向量平行的步骤
（1）向量化：将空间中的平行转化为向量的平行.
（2）向量关系代数化：写出向量的坐标.
（3）对于a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2（λ∈R）或＝＝（x2，y2，z2都不为0）判断两向量是否平行.
巩固训练
32．若四边形为平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（　　）
A． B．
C． D．
33．设若，则 .
题型十五　空间向量数量积的坐标运算
【例15】
34．已知，则 .
35．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且k+与2互相垂直，则k值是 ．
思维升华　
关于空间向量坐标运算的两类问题
（1）直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量数量积坐标运算公式计算.
（2）求参数值
首先把向量坐标形式表示出来，然后通过数量积运算建立方程组，解方程组求出参数.
巩固训练
36．已知空间向量，若与垂直，则 .
题型十六　空间两点间的距离
【例16】
37．如图所示，直三棱柱中，， ，分别是棱的中点，是的中点，求的长度．

思维升华　
利用空间两点间的距离公式求空间两点间距离的步骤
（1）建立适当的坐标系，并写出相关点的坐标.
（2）代入空间两点间的距离公式求值.
巩固训练
38．已知点,，求：
(1)线段MN的长度；
(2)到M，N两点的距离相等的点的坐标满足的条件．
题型十七　利用数量积公式求夹角及模
【例17】
39．在棱长为1的正方体中，分别是，的中点.
(1)求证：；
(2)求；
(3)求的长.
思维升华　
1.通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷.
2.对于正方体载体常用的建系方法一般如例题中所述.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和模问题.
巩固训练
40．如图，在直三棱柱中，，棱，N为的中点.
(1)求的长；
(2)求.
题型十八　求直线的方向向量
【例18】
41．已知直线l的一个方向向量，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则等于（ ）
A．0 B．1 C． D．3
42．如图，在三棱台中，，，，设，以为空间的一个基底，求直线的一个方向向量.
思维升华　
求直线的方向向量关键是找到直线上两点，用所给的基向量表示以这两点为起点和终点的向量，其难点是向量的运算.
巩固训练
43．(多选)若点M(1， 0， －1)， N(2， 1， 2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是（ ）
A．(2， 2， 6) B．(1， 1， 3)
C．(3， 1， 1) D．(－3， 0， 1)
44．在如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为 ，直线BC1的一个方向向量为 .
题型十九　求平面的法向量
【例19】
45．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量.
思维升华　
利用待定系数法求平面法向量的步骤
（1）设向量：设平面的一个法向量为n＝（x，y，z）.
（2）选向量：在平面内选取两个不共线向量，.
（3）列方程组：由列出方程组.
（4）解方程组：
（5）赋非零值：取x，y，z其中一个为非零值（常取±1）.
（6）得结论：得到平面的一个法向量.
巩固训练
46．在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：
(1)平面的一个法向量；
(2)平面的一个法向量.
题型二十　利用空间向量证明平行问题
【例20】
47．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，
求证：（1）FC1∥平面ADE；
（2）平面ADE∥平面B1C1F.
思维升华　
用空间向量证明平行的方法
（1）线线平行：证明两直线的方向向量共线.
（2）线面平行：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行.
在证明线面平行时，需注意说明直线不在平面内.
（3）面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题.
巩固训练
48．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=2，P,Q,R,S分别是AA1,D1C1,AB,CC1的中点.
证明：PQ∥RS.
题型二十一　利用空间向量证明垂直问题
【例21】
49．如图，在正方体中，，分别是，的中点，求证：平面.
思维升华　
用空间向量证明垂直的方法
（1）线线垂直：证明两直线的方向向量互相垂直，即证明它们的数量积为零.
（2）线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.
（3）面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.
巩固训练
50．如图底面是正方形，平面，且，是的中点．求证：平面平面．
题型二十二　求异面直线所成的角
【例22】
51．在三棱锥中，和均为等边三角形，且二面角的大小为，则异面直线和所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
思维升华　
（1）利用向量法求异面直线所成角θ的一般步骤是：①选好基底或建立空间直角坐标系；②求出两直线的方向向量u，v；③代入公式cos θ＝求解.
（2）两异面直线所成角θ的范围是，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角.
巩固训练
52．如图,三棱柱中,平面平面,且,,求异面直线与所成角的余弦值.
题型二十三　求直线和平面所成的角
【例23】
53．如图，已知正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为的中点，求与平面所成角的正弦值.
思维升华　
利用平面的法向量求直线与平面所成角的基本步骤
（1）建立空间直角坐标系；（2）求直线的方向向量u；（3）求平面的法向量n；（4）设线面角为θ，则sin θ＝.
巩固训练
54．如图所示，在直四棱柱中，，，，，.
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
题型二十四　求二面角
【例24】
55．如图，四棱柱的所有棱长都相等， ，四边形和四边形 为矩形．
（1）证明：底面 ；
（2）若，求二面角 的余弦值．
思维升华　
利用向量法求二面角的大小的步骤
第一步：建立适当的空间直角坐标系；
第二步：分别求出二面角的两个半平面所在平面α，β的法向量u，v的坐标；
第三步：利用公式cos〈u，v〉＝，求出法向量u，v的夹角φ；
第四步：判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角；
第五步：确定二面角的平面角的大小.
巩固训练
56．如图，四棱柱的所有棱长都相等，，，四边形和四边形均为矩形，，求二面角的平面角的余弦值.

57．如图，在正方体ABEF-DCE'F'中，M，N分别为AC，BF的中点，求平面MNA与平面MNB所成锐二面角的余弦值.
题型二十五　点到直线的距离
【例25】
58．如图，在空间直角坐标系中有长方体求点B到直线的距离.
思维升华　
用向量法求点到直线的距离的一般步骤
（1）建立空间直角坐标系.
（2）求直线的方向向量e.
（3）计算所求点与直线上某一点所构成的向量a.
（4）求a与e夹角的余弦值cos φ，进而求正弦值sin φ.
（5）计算距离d＝|a|sin φ.
巩固训练
59．如图，为矩形所在平面外一点，平面，若已知 ，求点到的距离.
题型二十六　点到平面的距离
【例26】
60．已知在正三棱柱中，D是BC的中点，.
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离.
思维升华　
利用向量法求点到平面的距离的一般步骤
（1）建立空间直角坐标系.
（2）求出该平面的一个法向量.
（3）找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量.
（4）法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离.
巩固训练
61．如图所示，已知四棱柱是底面边长为1的正四棱柱.若点到平面的距离为，求正四棱柱的高.
题型二十七　线线距、线面距和面面距
【例27】
62．在直四棱柱，底面为直角梯形，且，，是的中点．求直线与平面的距离．
思维升华　
点面距的求解步骤：
（1）求出该平面的一个法向量；
（2）找出过该点与平面上的任一点的直线的方向向量；
（3）求出法向量与方向向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离.
巩固训练
63．已知正方体 的棱长为1，求平面 与平面 间的距离．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．BC
【分析】根据向量相等的定义可判断A，B；根据向量的相等具有传递性，判断C；根据相反向量的含义结合零向量判断D.
【详解】A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，
而A中向量的方向不一定相同；
B为真命题，与的方向相同，模也相等，故；
C为真命题，由于空间向量满足，，且向量的相等满足传递性，
故；
D为假命题，零向量的相反向量仍是零向量.
故选：BC
2．(1)；
(2)；
(3)3.
【分析】（1）（2）利用长方体的结构特征，结合相等向量、相反向量的意义求解作答.
（3）由长方体的体对角线长求法，结合向量模的意义求解作答.
【详解】（1）在长方体中，与相等的所有向量（除本身外）有，共3个.
（2）的相反向量是.
（3）在长方体中，连接，如图，
，
所以向量的模.
3．(1)，作图见解析
(2)，作图见解析
(3)，作图见解析
【分析】根据空间向量的线性运算依次求解即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3），
设是线段的中点，
则.
向量如图所示，

4．ABC
【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形即可求解.
【详解】A：，故A符合题意；

B：，故B符合题意；

C：，故C符合题意；

D：，故D不符合题意；

故选：ABC.
5．证明见解析.
【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算，计算判断与共线即可推理作答.
【详解】（方法1）因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
则有，又，
两式相加得：，因此与共线，而直线与不重合，
所以.
（方法2）因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
，
因此与共线，而直线与不重合，
所以.
6．－##
【分析】
根据空间共线向量可得，建立方程组，解之即可求解.
【详解】
由题意知，存在实数λ使得，
即，解得.
故答案为：
7．证明见解析.
【分析】取空间的基底，利用空间向量基本定理探求的关系，即可推理作答.
【详解】在正方体中，令，
，BD与AC交于点M，即点M是的中点，
于是
，
，
因此，即，而直线与直线有公共点，
所以三点共线.
8．(1)投影向量见解析，
(2)投影向量见解析，
【分析】（1）（2）利用投影向量的定义及空间垂直关系确定投影向量，再求数量积.
【详解】（1）在正四面体OABC中，取OB的中点P，连接，则有，
因此即为在直线上的投影向量.
所以·
（2）在正四面体中，设O在底面内的投影为Q，易知Q为底面中心，则平面,
连接并延长交于M，则M为中点，，
且即为平面内的投影向量.
∴
9．A
【分析】
根据空间向量数量积公式计算出答案.
【详解】
是相互垂直的单位向量，故，
故.
故选：A
10．C
【分析】根据空间向量的线性运算，将和用、、表示，再根据空间向量的数量积运算可得解.
【详解】，，
则
.
故选：C．
【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，考查了空间向量的数量积，属于基础题.
11．C
【分析】由线面垂直推导出线线垂直，再利用向量运算及夹角公式运算求解.
【详解】∵平面，平面，平面，
∴.
∵，，∴，
又，∴E为的中点，
∴.
∵，∴.
∵
∴＝,
又，∴.
故选：C.
12．
【分析】方法1：结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；
方法2：先求，再利用公式求，最后确定即可．
【详解】解：方法1：因为，所以的大小就等于
因为△为等边三角形，所以，所以与的夹角的大小为．
方法2．设正方体的棱长为1，
又因为，所以，
因为，所以与的夹角的大小为．
13．
【分析】设，，，利用空间向量的基本定理得出，计算出的值，从而求得的长.
【详解】依题意，设，，，则，
由题意可得，，
又、分别为、的中点，
所以，
所以
，
因此.
14．.
【分析】设，，，则构成空间的一个基底，把用基底表示出来取其模长即可.
【详解】设，，，这三个向量不共面，构成空间的一个基底，则.
又，，，，.
.
故答案为：
15．(1)共面
(2)不共面
【分析】（1）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解；
（2）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解；
【详解】（1）解：因为三点不共线，可得三点共面，
对于平面外的任意一点，若，
即，
又因为，根据空间向量的共面定理，可得点与共面.
（2）解：因为三点不共线，可得三点共面，
对于平面外的任意一点，若，此时，
根据空间向量的共面定理，可得点与不共面．
16．共面
【分析】若点与点共面，则存在唯一实数对使得.根据空间向量的线性运算可得，结合题意建立方程组，求出x、y即可下结论.
【详解】点与点共面，理由如下：
若点与点共面，则存在唯一实数对，使得，
那么对空间任意一点，有，
即，又，
所以，解得，
所以，即向量共面，
又有公共起点，故点与点共面.
17．(1)，，共面
(2)点M在平面ABC内
【分析】（1）根据空间向量的线性运算，结合平面向量基本定理证明即可；
（2）根据（1）结合平面向量的基本定理判断即可．
【详解】（1）由题知，
则，
即，
所以，，共面．
（2）由（1）知，，共面且基线过同一点M，
所以M，A，B，C四点共面，即点M在平面ABC内．
18．证明见解析
【解析】根据题意，求得，，再结合向量的共面定理，即可求解.
【详解】因为在上，且，
所以.
同理.
所以
=++=.
又与不共线，根据向量共面的充要条件可知共面.
【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记平面向量的共面定理，准确化简、运算是解答的关键，着重考查推理与论证能力.
19．详见解析
【分析】假设共面，根据向量共面的充要条件有，进而得e1＋2e2－e3＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3，通过系数相等解方程组知方程组无解，从而证得.
【详解】假设共面，根据向量共面的充要条件有，
即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
∴此方程组无解．∴不共面．
∴{}可作为空间的一个基底．
【点睛】解答本题的关键是正确理解空间基底的定义，考查对概念的理解，解题时注意只有不共面的三个向量才能作为空间的一个基底，这也是判定三个向量能否作为空间基底的方法．
20．BCD
【分析】如图，根据空间向量的线性运算可得，，结合基底的概念依次判断选项即可.
【详解】如图所示，

令，则，，
A：由四点共面，则向量也共面，故A不符合题意；
B：由四点不共面，则向量也不共面，故B符合题意；
C：由四点不共面，则向量也不共面，故C符合题意；
D：由四点不共面，则向量也不共面，故D符合题意.
故选：BCD.
21．(1)
(2)
(3)
【分析】
根据空间向量的线性运算，结合图形依次求解即可.
【详解】（1）
∵是的中点，
∴；
（2）
∵是的中点，
∴；
（3）
∵是的中点，
∴.
22．
【分析】根据平行六面体的性质及空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】因为，分别是，的中点，则，，
所以
.
23．
【分析】由题意根据向量线性运算结合将分解成的线性组合即可.
【详解】因为，所以，
所以.
24．
【分析】画出示意图，根据空间向量的加法运算即可.
【详解】如图所示，
.
25．
【分析】根据空间直角坐标系的中对称的性质直接求解.
【详解】在空间直角坐标系中，
点关于轴的对称点的横坐标不变，
纵坐标与竖坐标都变为原来的相反数，即；
点关于坐标平面的对称点的横、纵坐标不变，
竖坐标变为原来的相反数，即.
故答案为：；
26．
【分析】设的单位向量分别为，利用空间的线性运算可得，即可求解.
【详解】法一：设点在轴、轴、轴上的射影分别为，
它们在坐标轴上的坐标分别为，所以点的坐标是.

法二：设的单位向量分别为，则为空间的一个基底，
.
所以点的坐标是.
27．
【分析】根据给定的空间直角坐标系，求出的坐标即可得解.
【详解】依题意，，则，
则点，而点，
所以PD的中点M的坐标为.
故答案为：
28．
【分析】通过空间向量的线性运先计算得＝－－－及＝－－，进而通过坐标的线性运算可得解.
【详解】
∵＝－(＋)＝＝－－－又||＝||＝4，||＝4，||＝2，
∴＝－－－
∵＝－＝－(＋)＝－－.
又||＝2，||＝4，||＝4，
∴＝－－(－4,2，－4)．
【点睛】本题考查了向量共线定理、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
29．.
【分析】设点P的坐标为(x，y，z)，根据，利用向量相等求解.
【详解】因为A，B，C三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，
所以＝(2,6，－3)，＝(－4,3,1)，
所以＝(6,3，－4)，
设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)，
所以点P的坐标为.
故答案为：
30．(1)，；
(2)存在，，.
【分析】（1）利用空间向量线性运算的坐标表示求解作答.
（2）根据给定条件，借助空间向量运算列出方程组，求解作答.
【详解】（1）因点，，，则，，
所以，.
（2）依题意，，x，y∈R，则
若成立，即，于是得，解得，
所以存在实数，使得成立.
31．见证明
【分析】利用向量的运算法则证明与共线即可．
【详解】证明：因为＝(1，2，－1)－(3，－1，2)＝(－2，3，－3)，＝(3，－5，3)－(－1，1，－3)＝(4，－6，6)，
因为＝＝，所以和共线，即AB∥CD.
又因为＝(3，－5，3)－(3，－1，2)＝(0，－4，1)，＝(－1，1，－3)－(1，2，－1)＝(－2，－1，－2)，
因为≠≠，所以与不平行，
所以四边形ABCD为梯形．
【点睛】本题考查了利用向量证明梯形的方法，属于基础题．
32．C
【分析】设出，根据得到方程组，求出答案.
【详解】由四边形是平行四边形知，
设，则，又，
所以，解得，即D点坐标为.
故选：C
33．6
【分析】由空间向量平行得比例关系求解即可.
【详解】∵，易知，∴，
∴，∴.
故答案为：6.
34．
【分析】
根据空间向量的线性运算和数量积的坐标表示即可求解.
【详解】
由题意得，，
则.
故答案为：
35．
【详解】试题分析：由已知中向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），我们可以求出向量k+与2的坐标，根据k+与2互相垂直，两个向量的数量积为0，构造关于k的方程，解方程即可求出a值．
解：∵向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），
∴k+=（k﹣1，k，2），2=（3，2，﹣2）
∵k+与2互相垂直，
则（k+）（2）=3（k﹣1）+2k﹣4=5k﹣7=0
解得k=
故答案为
考点：向量语言表述线线的垂直、平行关系．
36．##
【分析】根据题意，结合向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解.
【详解】由向量，可得，
因为与垂直，可得，
解得.
故答案为：.
37．
【分析】
建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用中点坐标公式与两点间距离公式求解.
【详解】
以点为坐标原点， 所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

，
，
由中点坐标公式可得，
，
.
38．(1)
(2)
【分析】（1）根据空间两点间的距离公式得线段MN的长度；
（2）点到M，N两点的距离相等,列出方程，求解坐标的关系.
【详解】（1）已知点,，
根据空间两点间的距离公式得线段MN的长度
.
所以线段MN的长度为.
（2）因为点到M，N两点的距离相等．
所以有下面等式成立：
，
化简得.
因此，到M，N两点的距离相等的点的坐标满足的条件是.
39．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，根据空间位置的向量证明方法，即可证明结论；
（2）根据空间向量家教的坐标表示，即可求得答案；
（3）根据空间向量模长的坐标表示，即可求得答案.
【详解】（1）
证明：以D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
因为，所以，即.
（2）
由（1）得，，
，，
所以.
（3）
由（1）知，
故.
40．(1)
(2)
【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用点点距和向量夹角公式求解.
【详解】（1）如图，以C为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.
依题意得，
∴,
∴ 线段BN的长为.
（2）依题意得, ,
∴，
.
又，
∴.
41．A
【分析】根据方向向量的定义以及向量平行的规则求解.
【详解】因为A，B点在直线l上，必有 ， ， ，
，解得： ；
故选：A.
42．直线AE的一个方向向量为，直线AD的一个方向向量是
【分析】利用空间向量基本定理得到，，得到答案.
【详解】
，
所以直线AE的一个方向向量为；
所以直线AD的一个方向向量是.
43．AB
【分析】根据向量平行的规则求解.
【详解】因为点M， N在直线l上，， 显然向量(1， 1， 3)， (2， 2， 6)与 平行，所以都是直线l的方向向量；
故选：AB.
44． (0， 0， 1) (0， 1， 1)(答案不唯一)
【分析】利用方向向量的定义求解.
【详解】因为DD1∥AA1，＝(0， 0， 1)， 所以直线DD1的一个方向向量为(0， 0， 1).
因为BC1∥AD1， ＝(0， 1， 1)，所以直线BC1的一个方向向量为(0， 1， 1)．
故答案为：(0， 0， 1)，(0， 1， 1)(答案不唯一).
45．（不唯一）
【分析】用垂直关系，可以以A为原点，以AB、AD、AP为坐标轴建立空间直角坐标系，再按照法向量的求法计算即可.
【详解】因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直.
如图所示，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A－xyz，
则，， ，，，
于是，，
设平面ACE的一个法向量为，
则，即，所以，
令，则，，即
所以平面ACE的一个法向量.
46．(1) (答案不唯一)
(2) (答案不唯一)
【分析】
（1）利用线面垂直的判定定理求解法向量；
（2）利用空间向量的坐标运算求平面的法向量.
【详解】（1）
由题意，可得,
连接AC，因为底面为正方形，所以,
又因为平面，平面，所以，
且，则AC⊥平面，
∴为平面的一个法向量. (答案不唯一).
（2）
设平面的一个法向量为，
则
令，得
∴即为平面的一个法向量.(答案不唯一).
47．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求得直线的方向向量以及平面的法向量，计算其数量积即可证明；
（2）计算两个平面的法向量，根据法向量是否平行，即可证明.
【详解】证明：如图，建立空间直角坐标系D-xyz，
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，
E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，
所以=(0，2，1)，=(2，0，0)，=(0，2，1).
（1）设=(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则⊥，⊥，
即得令z1=2，则y1=-1，
所以=(0，-1，2).因为·=-2+2=0，所以.
又因为FC1 平面ADE，所以FC1∥平面ADE.
（2）=(2，0，0).
设=(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量.由⊥，⊥，
得
令z2=2，则y2=-1，所以=(0，-1，2).
因为=，所以平面ADE∥平面B1C1F.
【点睛】本题考查用向量证明线面平行、以及面面平行，属基础题.
48．证明见试题解析．
【分析】方法一：以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求得，即可得到.
方法二：建立空间直角坐标系，利用向量的运算，求得-+,+-，从而得到，即可得到.
【详解】方法一：以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.
则P(3,0,1),Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,1),
=(-3,2,1),=(-3,2,1),∴,∴∥,即PQ∥RS.
方法二：+-+,
++-,∴,
∴∥,即RS∥PQ.
【点睛】本题主要考查了空间向量在线面位置关系中的应用，对于空间向量判定两条直线平行时，通常建立适当的空间直角坐标系，利用向量的运算得到两条直线的方向向量平行（共线），进而得到两直线平行，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
49．证明见解析.
【分析】设，，，作为一组基底，分别表示向量，证明，即可.
【详解】设，，，则.
则，
.
∴.
∴，即.
同理.∵，
∴平面.
【点睛】本题主要考查空间向量法证明线面垂直问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
50．证明见解析
【分析】已知平面，可将证明平面平面转化为寻找平面内一条直线与平行；也可通过证明两平面的法向量垂直来证明两平面垂直．
【详解】证明：方法1：设，建立如图所示的空间直角坐标系
则，，，，．
连接，设与相交于点，连接，则点的坐标为．
因为，，
所以．所以．又因为平面，所以．
又因为平面，所以平面平面．
方法2：设平面的法向量为，
因为，，所以，即．
令，可得平面的一个法向量为．
因为平面，所以平面的一个法向量为．
因为，所以平面平面．
51．A
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，设，先求出点的坐标并求出与的坐标，然后由向量数量积的公式计算的值即可得出异面直线和所成角的余弦值.
【详解】如图，取的中点，连接，，因为和均为等边三角形，所以，，所以平面，即平面⊥平面.且就是二面角的平面角，即，
建立空间直角坐标系如图所示.

设，则，，，,
所以，，
，所以异面直线和所成角的余弦值为.
故选：A.
【点睛】本题主要考查利用空间向量的数量积求异面直线所成角的问题，关键是建立适当的空间直角坐标系并求出有关点和向量的坐标，属常规考题.
52．
【分析】以为坐标原点,所在直线分别为轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
利用向量法求异面直线与所成角的余弦值.
【详解】以为坐标原点,所在直线分别为轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
所以.
设所求的角为,
则,
即异面直线与所成角的余弦值为.
【点睛】(1)本题主要考查求两异面直线所成的角，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找作（平移法、补形法）证（定义）指求（解三角形）,方法二：（向量法），其中是异面直线所成的角，分别是直线的方向向量.
53．
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
故，，，
设平面的一个法向量为，
则,
∴，
令，则.
∴，
∴.
设与平面所成的角为，
则，
即与平面所成角的正弦值为.
54．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据条件建立空间直角坐标系,得两直线方向向量,利用向量数量积运算证明即可；
（2）建立方程组得平面法向量,再根据线面角的向量求法,结合空间向量数量积运算可得结果.
【详解】（1）因为在直四棱柱中，面，
又面，所以，
又因为，所以，即两两垂直，
故以方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
则，
，
，.
（2）因为，，
设平面的法向量为，则由得，
令，则，故，
设直线与平面所成角为，
因为，所以，
故直线与平面所成角的正弦值为.
55．（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）要证明线面垂直，只需要在面内找到两条相交的线段与之垂直即可，即证明与垂直，首先利用四棱柱所有棱相等，得到上下底面为菱形，进而得到均为中点，得到三者相互平行，四边形 均为矩形与平行相结合即可得到与 垂直，进而证明线面垂直．
（2）要求二面角，此问可以以以为坐标原点， 所在直线分别为轴， 轴，轴建立三维直角坐标系，利用空间向量的方法得到二面角的余弦值，在此说明第一种方法，做出二面角的平面角， 过作 的垂线交于点，连接．利用（1）得到，在利用四边形 为菱形，对角线相互垂直，两个垂直关系即可得到垂直于平面，进而得到 ，结合得到线面垂直，说明角即为所求二面角的平面角，设四棱柱各边长为 ，利用勾股定理求出相应边长即可得到角的余弦值，进而得到二面角的余弦值．
【详解】（1）四棱柱 的所有棱长都相等
四边形 和四边形均为菱形
分别为中点
四边形 和四边形为矩形
且
又且底面
底面．
（2）法1：过作 的垂线交于点 ，连接．
不妨设四棱柱的边长为 ．
底面且底面 面
面
又面
四边形 为菱形
又且 ，面
面
又面
又且， 面
面
为二面角的平面角，则
且四边形为菱形
，，
则
再由的勾股定理可得，
则，
所以二面角的余弦值为．
法2：因为四棱柱的所有棱长都相等，
所以四边形 是菱形，
因此，
又 面 ，
从而两两垂直，
如图以为坐标原点， 所在直线分别为轴，轴，轴建立三维直角坐标系，
不妨设，
因为，
所以， ，
于是各点的坐标为：，已知 是平面的一个法向量，
设是平面 的一个法向量，
则，，取，则，
所以， ，
故二面角的余弦值为．
考点：线面垂直 二面角 勾股定理 菱形
56．
【分析】
根据给定条件，证明两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求出面面角的余弦.
【详解】
四棱柱的所有棱长都相等，，，
由四边形是矩形，得，而，则，同理，
又平面，则平面，
依题意，四边形是菱形，于是直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

令，由，得,
则，
设平面的法向量，则，令，得，
设平面的法向量，则，令，得，
因此，显然二面角的平面角是钝角，
所以二面角的平面角的余弦值是.
57．.
【分析】建立空间直角坐标系，直接求出两个面的法向量，通过法向量的夹角求得二面角的大小.
【详解】设正方体棱长为1.以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴，y轴，
z轴建立空间直角坐标系B-xyz，
则M，N，A(1，0，0)，B(0，0，0).
设平面AMN的法向量=(x，y，z).
由于，
则，即,令x=1，解得y=1，z=1，
于是=(1，1，1).
设平面BMN的一个法向量，
即,令x=1，解得
所以
所以cos<，>==，
故所求两平面所成锐二面角的余弦值为.
【点睛】本题考查利用向量的方法求解二面角，将几何问题代数化便于计算，属基础题.
58．
【分析】利用空间向量的坐标运算求点到直线的距离.
【详解】
设则，
∴
∴点B到直线的距离
59．
【分析】过作于，连接，面，得出OP到直线BD的高，然后计算即可.
【详解】
过作于，连接，
直线PA⊥平面ABCD,,又，面PAE，则面
，为所求的距离，
在中， ,
在中，,
60．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）以D为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴，过点D且与平行的直线为z轴建立空间直角坐标系，求出、平面的一个法向量，再由，可得答案；
（2）由（1）知平面的一个法向量为，求出，再由点到平面的距离的向量求法可得答案.
【详解】（1）如图，以D为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴，过点D且与平行的直线为z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，
∴，，,
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，
∴，
∵，∴，
∵平面，平面AB1D；
（2）由（1）知平面的一个法向量为，
且，
∴点到平面的距离.
61．2
【分析】设正四棱柱的高为，建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量求法可得答案.
【详解】设正四棱柱的高为，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，，
设平面A1BD的一个法向量为，
则，即，取，得，
所以点到平面的距离为，解得.
故正四棱柱的高为2.
62．
【分析】由题意可知直线平面，直线与平面的距离可转化为点到平面的距离，故建立空间直角坐标系，用坐标法计算距离即可.
【详解】解：在直四棱柱中，底面为直角梯形，，如图所示，建立空间直角坐标系，
，且，是的中点，
则
∴，，，
设是平面的一个法向量，
则，
令，则，∴是平面的一个法向量，
则点到平面的距离，
又，平面ABE，平面，
∴平面，
到平面的距离为．
63．
【分析】先证明平面平面 ，再建立空间直角坐标系，求出以及平面 的法向量，利用空间点到平面的距离公式即可求得答案.
【详解】正方体中，,故四边形,
所以 ，同理 ，
所以平面 平面 ，
以D为原点，分别以 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则 ，
所以，，，
设平面 的法向量为，
则 ，所以 ，
令 ，则 ，
则为平面的一个法向量，
所以点 到平面的距离d，
则平面 与平面 的距离等于点到平面 的距离，
所以平面与平面间的距离为．
答案第1页，共2页
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