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6.6 利用余数解决排列问题
在解决规律问题时，首先要找出图形的排列规律，每几个重复出现一次，就用几作除数。余数是几，就与某一组里的第几个图形相同；没有余数，就与某一组里的最后一个图形相同。
例1：有23个苹果，5个装一袋，要装（ ）袋才能全部装完。
A．3 B．4 C．5
答案：C
分析：要求几袋能装完，即23里面有几个5，列除法算式计算。若有剩余的还需要再装一袋，据此解答。
详解：23÷5＝4（袋）……3（个）
（袋）
要装5袋才能全部装完。
故答案为：C
分析：本题考查了有余数除法的实际应用。
例2：动物火车开起来。
(1)小鸭排在第7只，应坐第( )个车厢。
(2)小猴排在第14只，应坐第( )个车厢。
(3)小马排在第29只，应坐第( )个车厢。
答案：(1)3(2)5(3)10
分析：
每个车厢坐3只，求第几只坐第几个车厢，用排的位置÷每个车厢坐的数量，若能除尽，商就是车厢数，若有余数，用商＋1计算。
（1）求第7只坐哪个车厢，用7÷3计算；
（2）求第14只坐哪个车厢，用14÷3计算；
（3）求第29只坐哪个车厢，用29÷3计算。
详解：（1）7÷3＝2（个）……1（只）；2＋1＝3（个）
小鸭排在第7只，应坐第3个车厢。
（2）14÷3＝4（个）……2（只）；4＋1＝5（个）
小猴排在第14只，应坐第5个车厢。
（3）29÷3＝9（个）……2（只）；9＋1＝10（个）
小马排在第29只，应坐第10个车厢。
例3：把68个桃子装入盒子中，每个盒子装8个，至少要9个盒子才能装完。( )
答案：√
分析：用桃子的总个数除以每个盒子装的个数，再根据计算的结果进行判断即可。
详解：68÷8＝8（盒）……4（个）
8＋1＝9（盒）
即至少要9个盒子才能装完。
故答案为：√
分析：熟练掌握有余数除法的实际应用是解答此题的关键。
例4：水果商店新进了30个柚子。
（1）如果每箱装7个柚子，要全部装入箱子中，至少需要几个箱子？
（2）如果每个柚子的进价是9元，那么80元最多能买几个袖子？
答案：（1）5个
（2）8个
分析：（1）用柚子的总数量除以每个箱子可装的柚子数量，求出商和余数，再把商加1，求出和，即可解决。
（2）用总钱数除以每个柚子的价钱，求出商和余数，商就表示最多可买的柚子数量。
详解：（1）30÷7＝4（个）……2（个）
4＋1＝5（个）
答：至少需要5个箱子。
（2）80÷9＝8（个）……8（元）
答：80元最多能买8个柚子。
基础过关练
一、选择题
1．38个气球，每6个绑成一束，可以绑成几束？竖式中的（ ）位置的数表示所求的问题。
A．A B．B C．C
2．像这样依次重复下去，第个图形是（ ）。
A． B． C． D．
3．按照下面的规律摆，第30个图形是（ ）。
A． B． C．
4．有29箱苹果，张叔叔每次最多能运5箱。至少要运（ ）次才能运完这些苹果。
A．5 B．6 C．4
5．把21颗糖，平均分给6个小朋友，结果怎样？聪聪在计算时列出下面的竖式。竖式中“→”指的数表示的是（ ）。
A．分掉的18颗糖 B．没分的18颗糖 C．还剩下的18颗糖
6．盒里有20多块糖，平均分给7个同学，还剩6块。盒里实际有（ ）块糖。
A．34 B．27 C．20
7．如图：按照这个规律，第15个图形是（ ）。
A． B． C． D．无法确定
二、填空题
8．利用有( )数的除法，可以解决某些图形有规律的摆放的问题，并能进行计算和推测。
9．在解决有余数的除法的实际问题时，要结合实际情况对余数进行“进一法”处理，也就是说用商加上( )才是所求的答案。
10．13根小棒，每4根分一组，结果怎样？
分析与解答：13根小棒，每4根分一组，根据“三四十二”，我们可以得知：分3组还剩下1根，列式为13÷4＝（ ）（组）……（ ）（根）。
还可以用竖式来表示：
11．把下面这些每2个摆一盘，摆一摆。
分析与解答：
(1)一共有6个，每盘摆2个，正好摆了3盘，所以6÷2＝( )（盘）。
(2)一共有7个，每盘摆2个，摆了3盘，还剩下1个，所以7÷2＝( )（盘）……1（个），其中1叫余数。
12．有28个面包，每6个装一袋，可以装( )袋，还剩( )个。
13．丽丽反复练习钢琴曲：1、2、3、4、5、6、7。第14下弹的是( )，第45下弹的是( )。
14．32名同学乘车去公园，小轿车每车可以坐4人，面包车每车可以坐6人。如果两种车型都要租，并且每辆车都坐满，租( )辆小轿车和( )面包车才能正好一次都运完。
15．47位同学去划船，每条船最多坐6人，至少需要租( )条船。
三、判断题
16．把29个苹果分给7个小朋友，每人分4个，还剩2个。( )
17．如果六月份有30天，有5个星期六和星期日，那么6月1日是星期日。( )
18．每支铅笔6角钱，5元钱最多能买8支铅笔。( )
19．小明用一张买，每本8元，小明最多能买6本。( )
20．按规律数，下图第25个图形是。( )
21．一个篮子可以装9个苹果，要装完42个苹果，至少需要4个这样的篮子。( )
22．小明用30元钱买4盒彩笔后还剩6元钱，平均每盒彩笔的价格是（元）。( )
培优提升练
四、解答题
23．一个星期有7天，6月有30天。

（1）6月有几个星期？还多几天？
（2）如果某年的6月有5个星期六和星期日，那么6月1日是星期几？
24．
（1）按照上图中的规律摆花，第32盆花应该摆什么颜色的？
（2）你还能提出其他数学问题并解答吗？
25．将50个鸡蛋装在包装盒里。
（1）6个装一盒，最多可以装满几个包装盒？
（2）8个装一盒，最多可以装满几个包装盒？要准备几个包装盒才能全部装下？
26．要做50个灯笼。
至少需要多少天才能做完？
27．一共有34只动物，每间大房间最多住6只，每间小房间最多住4只。
（1）如果都住大房间，那么至少需要几间？
（2）如果都住小房间，那么至少需要几间？
（3）如果让34只动物全部住上且每间房间都住满，那么应该怎么安排？
28．小猴子很懂事，它的桃子丰收了，它想把76个桃子运回家，它每次运9个桃子，至少需要多少次才能全部运完？最后一次运了多少个桃子？
29．小丽买下面的文具用了24元，有几种可能的购买方法？
30．
（1）20个粽子，放进5个盘子里，平均每个盘子装（ ）个粽子。
（ ）
（2）20个粽子，每4个粽子放一盘，需要（ ）个盘子。
（ ）
（3）20个粽子，放进6个盘子里，平均每个盘子装（ ）个粽子，还剩余（ ）个粽子。
（ ）……（ ）
1．A
分析：38个气球，每6个绑成一束，可以绑成几束？用（38÷6）得到的商表示可以绑成多少束。
详解：38÷6＝6（束）……2（个）
所以竖式中的A位置的数表示可以绑成6束。
故答案为：A。
分析：本题主要考查有余数的除法计算及简单应用。
2．C
分析：根据题意，按每个图形一个循环，计算第个图形是第几组循环零几个图形，即可知道是哪个图形。
详解：（组）
第个图形是。
故答案为：C
分析：先找到规律，再根据规律求解。
3．B
分析：根据图示可知，每4个图形为一循环，每一循环从左到右为1个黑桃，2个红心，1个方块；由此计算第30个图形是第几组循环第几个图形，即可判断是哪种图形。
详解：因为30÷4＝7（组）……2（个）
所以第30个图形是第7组循环第2个图形，即是。
故答案为：B。
分析：解题的关键是先找到规律，再根据规律求解。
4．B
分析：用29除以5，有余下的箱，就要再加运一次，据此解答即可。
详解：29÷5＝5（次） 4（箱）
5＋1＝6（次）
所以至少要运6次才能运完这些苹果。
故答案为：B
分析：本题考查有余数除法的实际应用。
5．A
分析：总共有21块糖，有6个小朋友，用21除以6，就可以得到每个小朋友分到糖的数量，其中商就是每位小朋友分到的数量，余数就表示平均分完后剩下的数量，得到的商是3，那么每位小朋友分到的数量就是3块，总共就分了（3×6）块，也就是18块，即题目中的18是指分掉的数量，据此解答。
详解：根据分析可知，竖式中“→”指的数表示的是：分掉的18颗糖。
故答案为：A
分析：本题考查有余数除法的应用。
6．B
分析：因为盒里有20多块糖，所以选项A和C不符合题意，即可得出答案。
详解：A．34是30多，不符合题意；
B．27÷7＝3（块）……6（块），符合题意；
C．20不是20多，不符合题意；
故答案为：B
分析：本题主要考查了有余数除法的实际应用。
7．A
分析：观察图形可知，图形的排列规律是，每6个图形为一个循环周期，用除法计算出15里面有几个循环周期即可解答。
详解：15÷6＝2（组）……3（个）
余数3表示一个周期里的第3个图形，所以第15个图形是。
故答案为：A
分析：找出图形排列周期规律是解题的关键。
8．余
分析：如题：要想知道第16面旗子是什么颜色，首先要找出排列规律，即1面黄旗2面红旗这3面旗子为一组，重复排列。用16除以3，得出的商为排列了几组，余数为剩余的个数，余数是几就说明第16面旗子是下一组的第几面，依此解答即可。
详解：16÷3＝5（组）……1（面）
第16面旗子是第6组的第1面，即黄旗。
根据分析可知利用有余数的除法，可以解决某些图形有规律的摆放的问题，并能进行计算和推测。
分析：本题考查通过找到图形排列规律后再利用有余数的除法来推理解决问题。
9．1
分析：如题：要想知道多少天能做完，用总数除以每天做的数量，结果是整数就是多少天，如果有余数就用商加上1就是总共的天数。
即50÷8＝6（天）……2（个）。剩余的2个也需要再做1天，共需要6＋1＝7（天）。据此解答即可。
详解：根据分析可知，在解决有余数的除法的实际问题时，要结合实际情况对余数进行“进一法”处理，也就是说用商加上1才是所求的答案。
分析：本题考查利用有余数的除法解决问题时，要根据实际情况采用“进一法”计算。
10．3；1；4；3
分析：根据题意13根小棒，每4根分一组，通过图片可以看出被分成了三组剩1根，根据乘法口诀“三四十二”可列式为13÷4＝3（组）……1（根）。
详解：13÷4＝3（组）……1（根）
还可以用竖式表示：
分析：主要考查有余数的除法的计算。
11．(1)3
(2)3
分析：第一组中有6个，每2个摆一盘，根据除法的意义，6÷2＝3（盘）；
第二组中有7个，每2个摆一盘，根据除法的意义，7÷2＝3（盘）……1（个），剩余1个。根据被除数÷除数＝商……余数可知，1为余数。
详解：（1）一共有6个，每盘摆2个，正好摆了3盘，所以6÷2＝3（盘）。
（2）一共有7个，每盘摆2个，摆了3盘，还剩下1个，所以7÷2＝3（盘）……1（个），其中1叫余数。
分析：本题考查了除法的计算及有余数除法中各部分名称的认识。
12． 4 4
分析：求可以装几袋剩几个，根据除法的意义，列算式即可。
详解：28÷6＝4（袋）……4（个）
可以装4袋，还剩4个。
分析：本题根据有余数除法的计算的实际应用来解决问题。
13． 7 3
分析：根据题意可知，一组为7下，因此用14除以7，根据计算出的组数即可确定第14下弹的是几。用45除以7，得到的商就是弹的组数，再根据余数即可确定第45下弹的是几。
详解：14÷7＝2（组）
45÷7＝6（组）……3（下）
由此可知，第14下弹的是7，第45下弹的是3。
分析：解答此题的关键是要熟练掌握运用7的乘法口诀求商，以及100以内有余数除法的实际运用。
14． 5 2
分析：两种车的载客人数分别为4人和6人，两种车型都要租，但要每次都坐满。用列表的方法把不同的租车方案一一列举出来， 再填空即可。小轿车的辆数×4＋面包车的辆数×6＝全坐满的总人数，依此解答。
详解：方案1：32÷6＝5（辆）……2（人），租5辆面包车，剩下的2人可坐1辆小轿车。
全坐满的总人数
1×4＋5×6
＝4＋30
＝34（人）
方案2：租4辆面包车，2辆小车。
全坐满的总人数
2×4＋4×6
＝8＋24
＝32（人）
方案3：租3辆面包车，4辆小车。
全坐满的总人数
4×4＋3×6
＝16＋18
＝34（人）
方案4：租2辆面包车，5辆小车。
全坐满的总人数
5×4＋2×6
＝20＋12
＝32（人）
方案5：租1辆面包车，7辆小车。
全坐满的总人数
7×4＋1×6
＝28＋6
＝34（人）
列表如下：
方案 小轿车：每车4人 面包车：每车6人 全坐满的总人数
1 1辆 5辆 34人
2 2辆 4辆 32人
3 4辆 3辆 34人
4 5辆 2辆 32人
5 7辆 1辆 34人
由此可知，如果两种车型都要租，并且每辆车都坐满，租5辆小轿车和2面包车才能正好一次都运完。或者租2辆小轿车和4面包车也能正好一次都运完。
分析：解答此题的关键是根据已知条件和数量关系将所有可能的方案都一一列出来，然后从方案中选择满足条件的。
15．8
分析：根据题意可知，用总人数除以每条船最多坐的人数，得到的商就是坐满小船的条数，余数就表示剩下的人数，然后用得到的商加1条即可。
详解：47÷6＝7（条）……5（人）
7＋1＝8（条）
即至少需要租8条船。
分析：熟练掌握有余数除法的实际应用是解答此题的关键。
16．×
17．×
分析：每7天为一组，按6月1日、6月2日、6月3日、6月4日、6月5日、6月6日、6月7日所在的星期几的顺序排列。29÷7＝4……1，则6月1日是星期几，6月29日就是星期几。30÷7＝4……2，则6月2日是星期几，6月30日就是星期几。6月一共有30天，共4个星期，还剩2天。如果六月份有5个星期六和星期日，按顺序是先到星期六才到星期日，则6月29日必定是星期六，6月30日必定是星期日。即6月1日就是星期六，6月2日就是星期日。
详解：根据分析可知，如果六月份有30天，有5个星期六和星期日，那么6月1日是星期六。
故答案为：×。
分析：解决本题的关键是明确6月1日是星期几，6月29日就是星期几。6月2日是星期几，6月30日就是星期几。
18．√
19．√
20．√
21．×
22．×
23．（1）4个；2天
（2）星期六
分析：（1）用6月的总天数除以每个星期的天数，得到的商就是星期的数量，余数就是多的几天；
（2）通过（1）题可知6月有4个星期，还多2天，要想有5个星期六和星期日，多出来的2天就是星期六和星期日，由此解答。
详解：（1）30÷7＝4（个）……2（天）
答：6月有4个星期，还多2天。
（2）由分析可知，只有在6月开始的两天是星期六和星期日时，才能符合5个星期六和星期日。
答：6月1日是星期六。
分析：熟练掌握有余数除法的计算是解题的关键。
24．（1）黄色
（2）第37盆花应该摆什么颜色的？（答案不唯一）
红色
分析：（1）图中的花按照三盆红色一盆黄色为一组重复摆放，求第32盆是什么颜色，用32除以每组的数量，若能除尽，就是这组的最后一盆的颜色；若不能除尽，则余数是几，就是这组中第几盆的颜色；
（2）可提出第37盆花应该摆什么颜色的？用37除以每组的数量，若能除尽，就是这组的最后一盆的颜色；若不能除尽，则余数是几，就是这组中第几盆的颜色。
详解：（1）32÷4＝8（组）
答：第32盆花应该摆黄色的。
（2）第37盆花应该摆什么颜色的？（答案不唯一）
37÷4＝9（组）……1（盆）
第37盆为第10组的第1盆，是红色。
答：第37盆花应该摆红色的。
分析：本题找到排列的规律，再用除法的计算解决问题。
25．（1）8个
（2）6个；7个
分析：（1）用鸡蛋的总个数除以每盒装的个数，得到的商就是最多可以装满的包装盒的个数；
（2）用鸡蛋的总个数除以每盒装的个数，得到的商就是最多可以装满的包装盒的个数；若有余数的话，剩下的几个鸡蛋也需要1个包装盒，用商再加1即可。
详解：（1）50÷6＝8（个）……2（个）
答：最多可以装满8个包装盒。
（2）50÷8＝6（个）……2（个）
6＋1＝7（个）
答：最多可以装满6个包装盒。要准备7个包装盒才能全部装下。
分析：本题考查学生对有余数除法运算的掌握和运用。
26．7天
分析：求至少要多少天做完，用要做的灯笼的总数除以每天做的数量，若能除尽，商就是做完的天数；若不能除尽，则剩下的几个也需要1天的时间，用商再加1即可。
详解：50÷8＝6（天）……2（个）
6＋1＝7（天）
答：至少需要7天才能做完。
分析：本题主要考查利用有余数除法的计算解决问题。
27．（1）6间
（2）9间
（3）5间大房间，1间小房间
分析：（1）如果都住大房间，求至少住几间，就是求34里面有几个6，用34除以6即可，结果要注意运用进一法取值；
（2）如果都住小房间，求至少住几间，就是求34里面有几个4，用34除以4即可，结果要注意运用进一法取值；
（3）还可安排住房的方法，可以先住大房间有几个，再求出可以住的人数，进而求出剩下的人数，再根据（2）的方法求剩下的人数住小房间还需要几个即可。
详解：（1）34÷6＝5（间）……4（只）
剩下的4只小动物还需要1个房间
5＋1＝6（间）
答：至少住6间。
（2）34÷4＝8（间）……2（只）
剩下的2只小动物还需要1个房间
8＋1＝9（间）
答：至少住9间。
（3）34÷6＝5（间）……4（只）
答：34只动物，可以安排5间大房间，剩下的4只正好住1间小房间。
分析：本题考查有余数的除法的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。
28．9次；4个
分析：要求至少要运多少次才能运完，根据题意，也就是求76里面有几个9，用除法计算；计算结果要用进一法取值。余数就是最后一次运桃子的数量。
详解：76÷9＝8（次）……4（个）
8＋1＝9（次）
答：至少需要9次才能全部运完，最后一次运了4个桃子。
分析：解决此题的关键是：理解进一法的意义，即无论结果剩几个，虽然不够1次，但是还要再多运1次。
29．一种
分析：从买1支笔开始假设，再用减法计算出剩下的钱数，然后用除法计算剩下的钱数是不是笔记本的整倍数，是的话这种购买方法就可以，不是整倍数则不可以；据此解答。
详解：①24－3×1
＝24－3
＝21（元）
21÷4＝5（本）……1（元）
买1支笔，5本本子不行；
②24－3×2
＝24－6
＝18（元）
18÷4＝4（本）……2（元）
买2支笔，4本本子不行；
③24－3×3
＝24－9
＝15（元）
15÷4＝3（本）……3（元）
买3支笔，3本本子不行；
④24－3×4
＝24－12
＝12（元）
12÷4＝3（本）
买4支笔，3本本子可以；
⑤24－3×5
＝24－15
＝9（元）
9÷4＝2（本）……1（元）
买5支笔，2本本子不行；
⑥24－3×6
＝24－18
＝6（元）
6÷4＝1（本）……2（元）
买6支笔，1本本子不行；
答：有一种可能的购买方法，买4支笔和3本本子。
分析：本题考查的是有余数除法的实际应用。
30．（1）4；20÷5＝4（个）
（2）5；20÷4＝5（个）
（3）3；2；20÷6＝3（个）……2（个）
分析：（1）将20个粽子放进5个盘子，求平均每个盘子装几个粽子，即求20里面有几个5，根据除法的意义，列式解答即可。
（2）20个粽子，每4个粽子放一盘，求需要多少个盘子，即求20里面有几个4，根据除法的意义，列式解答即可。
（3）由题意可知：求20里面有几个6，根据除法的意义列式解答即可，注意余数一定比除数小。
详解：（1）20÷5＝4（个）
答：平均每个盘子装4个粽子。
（2）20÷4＝5（个）
答：需要5个盘子。
（3）20÷6＝3（个）……2（个）
答：平均每个盘子装3个粽子，还剩余2个粽子。
分析：本题考查学生对整数除法运算的掌握，注意有余数时，余数一定比除数小。

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