资源简介

热点1-1 集合和常用逻辑用语（核心考点六大题型）（解析版）
【考情透析】
1、集合
集合是高考数学的必考考点，常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合有限集、无限集来考查集合的交、并、补集等运算，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的第1题，以简单题为主。
2、常用逻辑用语
常用逻辑用语是高考数学的重要考点，常见于考查真假命题的判断；全称量词命题、存在量词命题以及命题的否定；偶尔涉及充分条件与必要条件以及根据描述进行逻辑推理等，中等偏易难度。但一般很少单独考查，常常与函数、不等式、数列、三角函数、立体几何等知识交汇，热点是“充要条件”,考生复习时需多注意加强这方面练习。
【考题归纳】
核心考点题型一 集合的基本概念
【例题1】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知集合，，则集合中元素的个数为（ ）
A．30 B．28 C．26 D．24
【答案】B
【解析】，，
因为，
当时，为偶数，共有个元素.
当时，为奇数，
此时，共有个元素.
当时，为奇数，
此时，有重复数字，去掉，共有个元素.
综上中元素的个数为个.
故选：B
【例题2】．（2023·江西·赣州市赣县第三中学高三）已知、，若，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．或
【答案】C
【解析】根据集合相等则元素相同，再结合互异性，计算即可得解.
由 且，则，
∴，于是，解得或,
根据集合中元素的互异性可知应舍去，
因此，,
故．
故选：C.
【变式1-1】（2023 江苏高邮高三模拟）设集合，B＝{（x，y）|y＝2|x|}，则集合A∩B中元素的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】作出图形，数形结合，能求出集合A∩B中元素的个数．
【解答】解：∵集合，B＝{（x，y）|y＝2|x|}，
作出图形如下：
∴集合A∩B中元素的个数为2．
故选：C．
【变式1-2】（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知，若，且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，且，解得，故选：B
【变式1-3】（2023·云南高三第二次模拟）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】
根据条件可得集合要么是单元素集，要么是三元素集，再分这两种情况分别讨论计算求解.
由，可得
因为等价于或，
且，所以集合要么是单元素集，要么是三元素集．
（1）若是单元素集，则方程有两个相等实数根，方程无实数根，故；
（2）若是三元素集，则方程有两个不相等实数根，方程有两个相等且异于方程的实数根，即且．
综上所求或，即，故，
故选：D．
核心考点题型二 集合间的基本关系
【例题1】（2023·湖南长沙·高三长郡中学校考开学考试）设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，因为，
所以集合是由所有奇数的一半组成，
而集合是由所有整数的一半组成，故 .
故选：B
【例题2】．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意集合，
，
若，则，此时，
因为“”是“”的必要不充分条件，故 ,
故；
若，则，此时，
因为“”是“”的必要不充分条件，故 ,
故；
若，则，此时，满足 ,
综合以上可得，
故选：C
【变式2-1】（2023·安徽蚌埠·三模）设集合，则的子集个数为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】A
【解析】根据组合数的求解，先求得集合中的元素个数，再求其子集个数即可.
因为，由，，，
故集合有3个元素，故其子集个数为个.
故选：A.
【变式2-2】．（多选题）（2023·山东潍坊·统考一模）若非空集合满足：，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由可得：，由，可得，则推不出，故选项错误；
由可得，故选项正确；
因为且，所以，则，故选项正确；
由可得：不一定为空集，故选项错误；
故选：.
【变式2-3】（2023 江西鹰潭二模）已知集合A＝{x|xa-11}，集合B＝{x|2021x+lnx≥2021}，若B A，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，e] C．[﹣1，1] D．[﹣1，e]
【分析】通过构建函数，利用函数单调性求解即可．
【解答】解：令f（x）＝2021x+lnx，易得当x＞0时f（x）单调递增
∴2021x+lnx≥2021解得x≥1
令g（x）＝ex+x易得g（x）是R上的增函数
∵x＞0
不等式xa﹣11可写成xa﹣ex+alnx﹣x≤0
即xa+alnx≤ex+x ealnx+alnx≤ex+x
可得alnx≤x
又因为B A，所以当x≥1时alnx≤x恒成立
∴恒成立
令
当x∈[1，e]函数单调递减，x∈[e，+∞）函数单调递增
所以ymin＝e∴a≤e
故选：B．
核心考点题型三：集合的运算
【例题1】．（2022 全国乙卷真题）集合，4，6，8，，，则　　
A．， B．，4， C．，4，6， D．，4，6，8，
【答案】
【解析】，4，6，8，，，
，．
故选：．
【例题2】．（2023·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）已知全集的两个非空真子集满足，则下列关系一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由是全集的两个非空真子集，，得，
如图，当时，，A错误；
观察图形，，BC错误；
由，得，因此，D正确.
故选：D
【例题3】．（2023.云南三模）已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，因为，所以，
当时，集合，满足；
当时，集合，
由，得或，解得或，
综上，实数的取值集合为.故选：D.
【变式3-1】．（2023·河南洛阳高三月考）已知集合，，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】首先利用一元二次不等式和求解集合，然后利用函数定义域求解集合，然后通过集合间的并运算即可求解.
由，得，又因为，故，
由的定义域知，，即，故，
所以.
故选:A.
【变式3-2】（2023·广东·统考一模）已知集合，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，
选项A中Venn图中阴影部分表示，不符合题意；
选项B中Venn图中阴影部分表示，符合题意；
选项C中Venn图中阴影部分表示，不符合题意；
选项D中Venn图中阴影部分表示，不符合题意，
故选：B
【变式3-3】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知集合，，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先求得，得到，结合题意得到不等式，即可求解.
【解答过程】由集合，，
可得，
因为，所以，解得，即实数的取值范围是.
故选：C.
【变式3-4】（2023·陕西榆林高三专题检测）2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________.
【答案】3
【解析】把大学社团50人形成的集合记为全集U，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三
支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图，
观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有(人)，
因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有(人)，
因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有(人)，
因此，至少看了一支短视频的有(人)，
所以没有观看任何一支短视频的人数为.
故答案为：3
核心考点题型四 集合中的新定义
【例题1】（2023·山西运城高三模拟预测）已知集合A，B满足，若，且，表示两个不同的“AB互衬对”，则满足题意的“AB互衬对”个数为（ ）
A．9 B．4 C．27 D．8
【答案】C
【解析】当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为.
故满足题意的“AB互衬对”个数为27.
故选：C
【例题2】（2023·辽宁沈阳高中联合模拟）对于集合A，B，定义集合且，已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】结合新定义可知，又，
所以．
故选：A
【变式4-1】（2023·四川广元高三第二次模拟）十九世纪下半叶集合论的创立.奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集.（Cantor）”是数学理性思维的构造产物，具体典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的开区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的开区间段，记为第二次操作；….如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段.操作过程不断地进行下去.以至无穷，剩下的区间集合即“康托三分集”.第三次操作后，从左到右第四个区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】第一次操作剩下：；
第二次操作剩下：；
第三次操作剩下：；
即从左到右第四个区间为.
故选：C.
【变式4-2】（2023·湖北黄冈高三专题检测）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即.给出下列四个结论.
①；②；③；④“整数属于同一“类””的充要条件是“”.
其中正确的结论是__________（填所有正确的结论的序号）.
【答案】①③④
【解析】根据“类”的定义可判断①②③的正误；根据“类”的定义结合充分条件、必要条件的定义可判断④的正误.
对于①，，则，①正确；
对于②，，则，②不正确；
对于③，任意整数除以，余数可以且只可以是四类，
则，③正确；
对于④，若整数、属于同一“类”，
则整数、被除的余数相同，可设，，其中、，，
则，故，
若，不妨令，
则，
显然，于是得，，即整数属于同一“类”，
“整数属于同一“类””的充要条件是“”，④正确．
正确的结论是①③④.
故答案为：①③④.
【变式4-3】（2023·江西南昌高三专题调研）定义集合运算，若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以或
所以或，
或
所以或，
，
代入验证，
故.
故选：D
核心考点题型五 充分条件与必要条件
【例题1】（2023·山东威海高三模拟预测）已知直线平面，则“直线平面”是“平面平面”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若“直线平面”成立，设，且，又平面，所以平面，又，所以“平面平面”成立；
若“平面平面”成立，且直线平面，可推出平面或平面，
所以“直线平面”不一定成立.
综上，“直线平面”是“平面平面”的充分不必要条件.
故选：A.
【例题2】．（2023·辽宁·校联考二模）已知，若，，则p是q的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据不等式的解法和指数函数的额性质，分别求得集合，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式，可得，解得或，
即命题为真命题时，构成集合或，
又由，根据指数函数的图象与性质，可得，
即命题为真命题时，构成集合
所以是的既不充分也不必要条件.
故选：D.
【例题3】．（2023·重庆·统考模拟预测）若p是q的必要不充分条件，q的充要条件是r，则r是p的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用题给条件判断出r与p的逻辑关系，进而得到正确选项.
【详解】p是q的必要不充分条件，q的充要条件是r，则有
则，又由，可得,
则r是p的充分不必要条件.
故选：A
【变式5-1】（2023·江西·校联考模拟预测）已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由条件，解得或；
因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，
故是或的真子集，
则的取值范围是，
故选：B．
【变式5-2】．（2023·辽宁抚顺高三模拟）（多选）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】因为为真命题，
所以或，
所以是命题“”为真命题充分不必要条件，A对，
所以是命题“”为真命题充要条件，B错，
所以是命题“”为真命题充分不必要条件，C对，
所以是命题“”为真命题必要不充分条件，D错，
故选：AC
核心考点题型六：全称量词与存在量词
【例题1】（2023·四川达州·统考二模）命题p：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】因为对全称量词的否定用特称量词，
所以命题p：，的否定为：，.故选：D
【例题3】（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学模拟）条件，，则的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若，使得，则，可得，则，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，且，
故当时，，即，
所以，的一个必要不充分条件是.故选：A.
【变式6-1】．（2023·陕西宝鸡高三专题检测）下列命题中，真命题的是（ ）
A．函数的周期是 B．
C．函数是奇函数. D．的充要条件是
【答案】C
【解析】由于，所以函数的周期不是，故选项A是假命题；
当时，故选项B是假命题；
函数的定义域关于原点对称，且满足，故函数是奇函数，即选项C是真命题；
由得且，所以“”的必要不充分条件是“”，故选项D是假命题
故选：C
【变式6-2】．（2023秋·广东广州·高三统考阶段检测）下列选项正确的有（ ）
A．命题“，”的否定是：“，”
B．命题“，”的否定是：“，”
C．是的充分不必要条件
D．是的必要不充分条件
【答案】ACD
【分析】利用全称量词命题的否定可判断AB选项；解方程，利用集合的包含关系可判断CD选项.
【详解】对于AB选项，由全称量词命题的否定可知，
命题“，”的否定是：“，”，A对B错；
对于CD选项，由可得或，
因为 或，
所以，是的充分不必要条件，
是的必要不充分条件，C对D对.
故选：ACD.
【变式6-3】（2023·河北·模拟预测）命题：，，命题：，，则（ ）
A．真真 B．假假 C．假真 D．真假
【解题思路】对于命题：根据特称命题结合二次函数分析判断；对于命题：根据存在命题结合二次函数的判别式分析判断.
【解答过程】对于命题：令，则开口向上，对称轴为，
且，则，
所以，，即命题为真命题；
对于命题：因为，
所以方程无解，即命题为假命题；
故选：D.
【变式6-4】．（2023·四川成都高三专题模拟）若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】命题“”为假命题，其否定为真命题，
即“”为真命题．
令，
则，即，
解得，所以实数x的取值范围为.
故选：C热点1-1 集合和常用逻辑用语（核心考点六大题型）（原卷版）
【考情透析】
1、集合
集合是高考数学的必考考点，常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合有限集、无限集来考查集合的交、并、补集等运算，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的第1题，以简单题为主。
2、常用逻辑用语
常用逻辑用语是高考数学的重要考点，常见于考查真假命题的判断；全称量词命题、存在量词命题以及命题的否定；偶尔涉及充分条件与必要条件以及根据描述进行逻辑推理等，中等偏易难度。但一般很少单独考查，常常与函数、不等式、数列、三角函数、立体几何等知识交汇，热点是“充要条件”,考生复习时需多注意加强这方面练习。
【考题归纳】
核心考点题型一 集合的基本概念
【例题1】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知集合，，则集合中元素的个数为（ ）
A．30 B．28 C．26 D．24
【例题2】．（2023·江西·赣州市赣县第三中学高三）已知、，若，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．或
【变式1-1】（2023 江苏高邮高三模拟）设集合，B＝{（x，y）|y＝2|x|}，则集合A∩B中元素的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式1-2】（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知，若，且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023·云南高三第二次模拟）用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
核心考点题型二 集合间的基本关系
【例题1】（2023·湖南长沙·高三长郡中学校考开学考试）设，，则（ ）
A． B． C． D．
【例题2】．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023·安徽蚌埠·三模）设集合，则的子集个数为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【变式2-2】．（多选题）（2023·山东潍坊·统考一模）若非空集合满足：，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2023 江西鹰潭二模）已知集合A＝{x|xa-11}，集合B＝{x|2021x+lnx≥2021}，若B A，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，e] C．[﹣1，1] D．[﹣1，e]
核心考点题型三：集合的运算
【例题1】．（2022 全国乙卷真题）集合，4，6，8，，，则　　
A．， B．，4， C．，4，6， D．，4，6，8，
【答案】
【例题2】．（2023·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）已知全集的两个非空真子集满足，则下列关系一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例题3】．（2023.云南三模）已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】．（2023·河南洛阳高三月考）已知集合，，则( )
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023·广东·统考一模）已知集合，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知集合，，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】（2023·陕西榆林高三专题检测）2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________.
核心考点题型四 集合中的新定义
【例题1】（2023·山西运城高三模拟预测）已知集合A，B满足，若，且，表示两个不同的“AB互衬对”，则满足题意的“AB互衬对”个数为（ ）
A．9 B．4 C．27 D．8
【例题2】（2023·辽宁沈阳高中联合模拟）对于集合A，B，定义集合且，已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2023·四川广元高三第二次模拟）十九世纪下半叶集合论的创立.奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集.（Cantor）”是数学理性思维的构造产物，具体典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的开区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的开区间段，记为第二次操作；….如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段.操作过程不断地进行下去.以至无穷，剩下的区间集合即“康托三分集”.第三次操作后，从左到右第四个区间为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2023·湖北黄冈高三专题检测）在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即.给出下列四个结论.
①；②；③；④“整数属于同一“类””的充要条件是“”.
其中正确的结论是__________（填所有正确的结论的序号）.
【变式4-3】（2023·江西南昌高三专题调研）定义集合运算，若集合，则（ ）
A． B． C． D．
核心考点题型五 充分条件与必要条件
【例题1】（2023·山东威海高三模拟预测）已知直线平面，则“直线平面”是“平面平面”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【例题2】．（2023·辽宁·校联考二模）已知，若，，则p是q的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【例题3】．（2023·重庆·统考模拟预测）若p是q的必要不充分条件，q的充要条件是r，则r是p的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式5-1】（2023·江西·校联考模拟预测）已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】．（2023·辽宁抚顺高三模拟）（多选）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
核心考点题型六：全称量词与存在量词
【例题1】（2023·四川达州·统考二模）命题p：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【例题3】（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学模拟）条件，，则的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】．（2023·陕西宝鸡高三专题检测）下列命题中，真命题的是（ ）
A．函数的周期是 B．
C．函数是奇函数. D．的充要条件是
【变式6-2】．（2023秋·广东广州·高三统考阶段检测）下列选项正确的有（ ）
A．命题“，”的否定是：“，”
B．命题“，”的否定是：“，”
C．是的充分不必要条件
D．是的必要不充分条件
【变式6-3】（2023·河北·模拟预测）命题：，，命题：，，则（ ）
A．真真 B．假假 C．假真 D．真假
【变式6-4】．（2023·四川成都高三专题模拟）若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．

展开更多......

收起↑