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素养提升点3-1 平面向量极化恒等式与等和线（原卷版）
【考情透析】
在向量的命题考查中，数量积的运算一直是热点问题，一般情况下，我们掌握公式法、基底法、投影法和坐标法来求解数量积，但有时会计算量繁琐、解题时间较长。而利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式来解决，而向量三点共线定理与等和线可以巧妙地把代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，
【拓展知识】
（一）极化恒等式
a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]
（1）公式推导：
（2）几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
4.三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2．
（1）推导过程：由.
（2）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．
（3）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．
（二）等和线相关性质
平面内一组基底及任一向量，，若点p在直线AB上或在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。
①当等和线恰为直线AB时，k＝1；
②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)；
③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
④当等和线过O点时，k＝0；
⑤若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；
⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比．
核心考点题型一 极化恒等式求值
【例题1】．（2024.四川绵阳高三模拟）设向量满足，，则
A．1 B．2 C．3 D．5
【例题2】．（2023.四川成都七中模拟）如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是 .
【变式1-1】（2024.河北唐山第一次模拟）如图，已知点为的重心，，，则的值为 ．
【变式1-2】.（2023·甘肃天水第一中学模拟预测）如图，在中，已知
，点分别在边上，且，若为的中点，则的值为________.
【变式1-3】（2023·山东日照市·高三二模）如图所示，AB是圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于点O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则·＝(　　)
A．13　　　　　　　　B．7　　　　　　　　C．5　　　　　　　　D．3
【变式1-4】.（2023·河北武强中学高三月考）如图，△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则·＝(　　)
A．1　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－
【变式1-5】 (2023·江苏徐州高三期末检测) 如图，在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，D为边BC的中点，若CD⊥AD，垂足为E，则·＝________．
核心考点题型二 极化恒等式求范围
【例题1】（2023·湖南长沙高三期末检测） 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　
A． B． C． D．
【例题2】（2023·云南昆明高三统考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（2023·四川巴中高三检测）正三角形内接于半径为2的圆O，E为线段上一动点，延长交圆O于点F，则的取值范围为_______.
【变式2-1】（2023·重庆八中高三检测）正方形的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆与、分别交于E、F于两点，若P为劣弧上的动点，则的最小值为_____.
【变式2-2】（2023·山西太原一中高三检测）四边形中，点分别是的中点，，，，点满足，则的最大值为 .
【变式2-3】（2023秋·河北石家庄高三检测）四边形中，M是上的点，，,若N是线段上的动点，的取值范围是_______.
【变式2-4】（2023·宁夏银川一中高三检测）已知线段是圆上的一条动弦，且，设点为坐标原点，则的最大值为 ；如果直线与相交于点，则的最小值为 .
【变式2-5】（2023秋·山东威海一中高三检测）在中，，，，若P是所在平面内一点，且，则的最大值是_________.
【变式2-6】（2023·江苏镇江高三统考高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-7】（2023·湖北武汉高三专题检测）半径为2的圆O上有三点，A、B、C满足，点P是圆内一点，则的取值范围是________．
【变式2-8】（2023秋.湖南长沙一中月考）已知正四面体的外接球半径为3，MN为其外接球的一条直径，P为正四面体表面上任意一点，则的最小值为 ．
核心考点题型三 根据等和线求基底系数和的值
【例题1】（2023·河北保定高三检测）在平行四边形中ABCD中，E和F分别是CD和BC边上的中点，且,其中，则___________.
【例题2】（2023秋·甘肃兰州交大附中模拟预测）在平行四边形ABCD中，点E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝__________．
【例题3】 （2023秋·山东青岛模拟预测）(1)如图，平面内有三个向量，，，其中〈，〉＝120°，〈，〉＝30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝m＋n，则m＋n＝________．
【变式3-1】（2023·云南玉溪·高三月考）如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设＝a，＝b，向量＝λa＋μb，则λ＋μ的值为_______．
【变式3-2】（2023·湖北武汉高三检测）．如图，在中，，，与交于点．设，，，则为（ ）
A． B． C． D．
核心考点题型四 根据等和线求基底系数和的最值（范围）
【例题1】（2023秋·四川达州模拟预测）在△ABC中，，AB＝3，AC＝1，点P是△ABC所在平面内一点， ，且满足，若，则3x＋y的最小值是( )．
A． B． C．1 D．
【例题2】（2023秋·陕西榆林高三检测）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为
A．3 B．2 C． D．2
【例题3】（2023秋·云南昆明高三专题检测）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　)
A．3　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．2
【例题4】（2023·江苏省苏州中学高三月考）如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．
【变式4-1】（2023秋·河南洛阳模拟预测）如图，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设＝α＋β(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．
【变式4-2】（2023秋·湖北武汉高三模拟）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD＝DC＝1，AB＝3，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的取值范围是________．
【变式4-3】（2023秋·陕西榆林高三专题检测）如图，在直角梯形中， ， ∥， ， ，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】（2023·江苏徐州高三模拟）如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，P是以AB为直径的半圆弧上任意一点，设，则2x+y的最小值为( )
A．－1 B．1 C．2 D．3
【变式4-5】（2023·山东济南高三模拟）如图，在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则取值范围是 ．

【变式4-6】（2023·河南开封高三模拟）（2023·全国·高三专题练习）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【变式4-7】．（2023秋.河北衡水中学二模）边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段(含短点)上运动，是圆上及其内部的动点，设向量，则的取值范围是（ ）素养提升点3-1 平面向量极化恒等式与等和线（解析版）
【考情透析】
在向量的命题考查中，数量积的运算一直是热点问题，一般情况下，我们掌握公式法、基底法、投影法和坐标法来求解数量积，但有时会计算量繁琐、解题时间较长。而利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式来解决，而向量三点共线定理与等和线可以巧妙地把代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，
【拓展知识】
（一）极化恒等式
a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]
（1）公式推导：
（2）几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
4.三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2．
（1）推导过程：由.
（2）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．
（3）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．
（二）等和线相关性质
平面内一组基底及任一向量，，若点p在直线AB上或在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。
①当等和线恰为直线AB时，k＝1；
②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)；
③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
④当等和线过O点时，k＝0；
⑤若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；
⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比．
核心考点题型一 极化恒等式求值
【例题1】．（2024.四川绵阳高三模拟）设向量满足，，则
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】A
方法一：基本方法
【详解】试题分析：因为，所以…………①，
又，所以…………②，
②得，所以
考点：1．向量模的定义及运算；2．向量的数量积．
方法二：极化恒等式
由极化恒等式可得：
故选A．
【例题2】．（2023.四川成都七中模拟）如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是 .
【答案】
方法一：【详解】因为，
，
因此，
方法二：极化恒等式
因为是上的两个三等分点,所以
联立解得:
所以
【变式1-1】（2024.河北唐山第一次模拟）如图，已知点为的重心，，，则的值为 ．
【解析】方法1：连结CO并延长交AB于点M(如图1)，
则
， 因为，所以．
方法2： 以AB的中点M为坐标原点，AB为x轴建立平面直角坐标系(如图2)，
则，， 设，则易得， 因为OAOB，所以， 从而， 化简得，，所以．
方法3：极化恒等式
.
【变式1-2】.（2023·甘肃天水第一中学模拟预测）如图，在中，已知
，点分别在边上，且，若为的中点，则的值为________.
【答案】
【解析】取的中点，连接，，
则，
在中，，
【变式1-3】（2023·山东日照市·高三二模）如图所示，AB是圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于点O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则·＝(　　)
A．13　　　　　　　　B．7　　　　　　　　C．5　　　　　　　　D．3
【答案】C　
【解析】连接AP，BP，则＝＋，＝＋＝－，所以·＝(＋)·(－)＝·－·＋·－||2＝－·＋·－||2＝·－||2＝1×6－1＝5．
【变式1-4】.（2023·河北武强中学高三月考）如图，△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则·＝(　　)
A．1　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．－
【答案】B　
【解析】取AO中点Q，连接PQ，·＝·＝PQ2－AQ2＝－＝．
【变式1-5】 (2023·江苏徐州高三期末检测) 如图，在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，D为边BC的中点，若CD⊥AD，垂足为E，则·＝________．
【答案】－　
【解析】由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2 AB·AC·cos120°＝19，即BC＝，因为·=AD2－CD2＝|AB|·|AC|·cos120°＝－3，所以|AD|＝，因为S△ABC＝2S△ADC，则|AB|·|AC|·sin120°＝2·|AD||CE|，解得|CE|＝，在Rt△DEC中，|DE|＝＝，所以·＝|ED|2－|CD|2＝－．
核心考点题型二 极化恒等式求范围
【例题1】（2023·湖南长沙高三期末检测） 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
法一：极化恒等式
取BC中点D，则
则
再去AO中点M，
当时取到最小值，故
法二：建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，
则，，，
设，则，，，
则
当，时，取得最小值，
故选：．
【例题2】（2023·云南昆明高三统考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
方法一：坐标法
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
方法二：极化恒等式
记AB的中点为M，连接CM，则
由极化恒等式可得：
即
故选：D
【例3】（2023·四川巴中高三检测）正三角形内接于半径为2的圆O，E为线段上一动点，延长交圆O于点F，则的取值范围为_______.
【解析】解法1：建立如图1所示的平面直角坐标系，则可设，
圆的半径为，故，，
所以，，
从而.
解法2：如图2，设中点为D，圆的半径为，
由极化恒等式，，由图可知当F与点B重合时，取得最小值，当点F与点C重合时，取得最大值3，所以.
【答案】
【变式2-1】（2023·重庆八中高三检测）正方形的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆与、分别交于E、F于两点，若P为劣弧上的动点，则的最小值为_______.
【解析】解法1：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，设，则，，
所以，
其中为某确定的锐角，，
故当时，取得最小值为.
解法2：设中点为，由极化恒等式，，
由图可知，
所以.
【答案】
【变式2-2】（2023·山西太原一中高三检测）四边形中，点分别是的中点，，，，点满足，则的最大值为 .
【答案】
【分析】利用向量加法运算及数量积定义得，然后利用数量积的运算律得，设出向量夹角，从而，利用余弦函数求解最值即可.
【详解】因为，，又点分别是的中点，
所以，所以，
，
又，所以，又点分别是的中点，所以，
因为，所以，
即，设，，则，所以，
所以，
所以当即时，有最大值1，即有最大值为.
【变式2-3】（2023秋·河北石家庄高三检测）四边形中，M是上的点，，,若N是线段上的动点，的取值范围是_______.
【解析】M是上的点且C、D两点在以为直径的圆上，且圆心为M，是等腰直角三角形，
由极化恒等式，，显然上点N在上运动时，，所以.
【答案】
【变式2-4】（2023·宁夏银川一中高三检测）已知线段是圆上的一条动弦，且，设点为坐标原点，则的最大值为 ；如果直线与相交于点，则的最小值为 .
【答案】
【分析】综合应用直线与圆、圆与圆的位置关系和平面向量的数量积等知识即可解决问题.
【详解】设为中点，则，点的轨迹方程为，
，则最大值为，
由直线，，
可得且过定点过定点， 点的轨迹是以为直径端点的圆，其方程为，
，
，，
，
的最小值为.
【变式2-5】（2023秋·山东威海一中高三检测）在中，，，，若P是所在平面内一点，且，则的最大值是_________.
【解析】如图，点P在以A为圆心，2为半径的圆上运动，设中点为D，由余弦定理，，
由极化恒等式，，
由斯特瓦尔特公式，，
即，
解得：（也可用其它方法求中线的长），
当点P在圆上运动时，，
所以
【变式2-6】（2023·江苏镇江高三统考高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.
【详解】如图所示，，则由题意可知:，
由勾股定理可得

当点位于直线异侧时，设，
则：
，则
当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，
则：
，则
当时，有最大值.
综上可得，的最大值为.
故选：A.
【变式2-7】（2023·湖北武汉高三专题检测）半径为2的圆O上有三点，A、B、C满足，点P是圆内一点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】结合图像＋极化恒等式
易知，且，由平行四边形性质可知□ABOC为菱形，且△ABO与△ACO均为等边三角形．
取AO中点M，由极化恒等式得
∴，易知，
∴的范围是
【变式2-8】（2023秋.湖南长沙一中月考）已知正四面体的外接球半径为3，MN为其外接球的一条直径，P为正四面体表面上任意一点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】设正四面体外接球球心为O，把用表示并计算数量积后可得．
【详解】设正四面体外接球球心为O，
正四面体的外接球半径为3，
设正四面体内切球半径为，一个面的面积为，高为，则，所以，显然，所以，即．
．
故答案为：．
核心考点题型三 根据等和线求基底系数和的值
【例题1】（2023·河北保定高三检测）在平行四边形中ABCD中，E和F分别是CD和BC边上的中点，且,其中，则___________.
【答案】
【解析】连接EF，交AC于G
∵E，F，G共线，则，且
记，则，
【例题2】（2023秋·甘肃兰州交大附中模拟预测）在平行四边形ABCD中，点E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝__________．
【答案】　
【解析】如图，EF为值是1的等和线，过C作EF的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝．由图易知，＝，故选B．
【例题3】 （2023秋·山东青岛模拟预测）(1)如图，平面内有三个向量，，，其中〈，〉＝120°，〈，〉＝30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝m＋n，则m＋n＝________．
【答案】6
解析　(1)法一　连接AB，交OC于点D，则
∠DOA＝∠OAD＝30°，∠BOD＝90°，||＝||tan 30°＝，
||＝||＝，||＝，由平面向量基本定理得＝＋，||＝2＝6||，
∴＝6＝4＋2，m＋n＝6.
法二　根据等高线定理可得＝k＝m＋n，k＝＝＝6，∴m＋n＝6.
【变式3-1】（2023·云南玉溪·高三月考）如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设＝a，＝b，向量＝λa＋μb，则λ＋μ的值为_______．
【答案】　
【解析】图，BC为值是1的等和线，过O作BC的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝．由图易知，＝．
【变式3-2】（2023·湖北武汉高三检测）．如图，在中，，，与交于点．设，，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量线性运算表示出，由此求得，进而确定正确选项.
【详解】依题意可知是三角形的重心，
，
所以，即.故选：C
核心考点题型四 根据等和线求基底系数和的最值（范围）
【例题1】（2023秋·四川达州模拟预测）在△ABC中，，AB＝3，AC＝1，点P是△ABC所在平面内一点， ，且满足，若，则3x＋y的最小值是( )．
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】若A为原点，则P（1，2），M在以P为圆心，半径为2的圆上
取D（1，0），则有，AM交CD于N，记，则有
；
【例题2】（2023秋·陕西榆林高三检测）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为
A．3 B．2 C． D．2
【答案】A
【解析】分析：如图 ，
由平面向量基底等和线定理可知，当等和线与圆相切时， 最大，此时
故选 .
【例题3】（2023秋·云南昆明高三专题检测）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　)
A．3　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．2
【答案】A　
【解析】　
过动点P作等和线，设x＋y＝k，则k＝．由图易知，当等和线与EF重合时，k取最大值，由EF∥BD，可求得＝3，∴λ＋μ取得最大值3．故选A．
【例题4】（2023·江苏省苏州中学高三月考）如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．
【答案】　(－1，0)　
【解析】　如图，作，的相反向量，，则AB∥A1B1，过O作直线l∥AB，则直线l，A1B1分别为以，为基底的值为0，－1的等和线，由题意线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，所以点C在直线l与直线A1B1之间，所以m＋n∈(－1，0)．
【变式4-1】（2023秋·河南洛阳模拟预测）如图，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设＝α＋β(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．
【答案】　[3，4]　
【解析】直线BF为k＝1的等和线，当P在△CDE内时，直线EC是最近的等和线，过D点的等和线是最远的，所以α＋β∈[，]＝[3，4]．
【变式4-2】（2023秋·湖北武汉高三模拟）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD＝DC＝1，AB＝3，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的取值范围是________．
【答案】　　
【解析】如图，作CE⊥BD于E，由△CDE∽△DBA知＝，即＝，所以CE＝，设与BD平行且与圆C相切的直线交AD延长线于点F，作DH垂直该线于点H，显然DH＝2CE＝，由△DFH∽△BDA得＝，即＝，所以DF＝，过点P作直线l∥BD，交AD的延长线于点M，设t＝，则x＋y＝t，由图形知“等值线”l可从直线BD的位置平移至直线FH的位置(不包括BD和FH)，由平面几何知识可得1＝<<＝，即1【变式4-3】（2023秋·陕西榆林高三专题检测）如图，在直角梯形中， ， ∥， ， ，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立直角坐标系，将由点坐标转化后数形结合求解
【详解】以点为坐标原点， 方向为x,y轴正方向建立直角坐标系，则，
，设，则，解得，
故，即，
数形结合可得当时，取最小值2，
当直线与圆相切时，，取得最大值 .
故选：B
【变式4-4】（2023·江苏徐州高三模拟）如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，P是以AB为直径的半圆弧上任意一点，设，则2x+y的最小值为( )
A．－1 B．1 C．2 D．3
【答案】
【解析】取AD中点F，则
直线FP交AE于G， 设
∵ FPG三点共线 ∴
当P在中点时，G与E重合，此时t取到最小值，
【变式4-5】（2023·山东济南高三模拟）如图，在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则取值范围是 ．

【答案】
【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，先求出以点为圆心，且与直线相切的圆方程，设，再根据，可求出点的坐标，再根据在圆内或圆上，可得关于的一个不等关系，设，进而可得出答案.
【详解】如图所示以为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，，，，
直线的方程为，化简得，
点到的距离，
可得以点为圆心，且与直线相切的圆方程为，
设，则，，，
，
，
可得且，的坐标为，
在圆内或圆上，
，
设，得，
代入上式化简整理得，
若要上述不等式有实数解，
则，
化简得，解得，即，
取值范围是．故答案为：．
【变式4-6】（2023·河南开封高三模拟）（2023·全国·高三专题练习）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决.
【详解】
作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，
设，则，
∵BC//EF，∴设，则
∴，
∴
∴
故选：A.
【变式4-7】．（2023秋.河北衡水中学二模）边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段(含短点)上运动，是圆上及其内部的动点，设向量，则的取值范围是（ ）
【答案】.
【解析】如图，设，由等和线结论，.此为的最小值；
同理，设，由等和线结论，.此为的最大值.
综上可知.

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